Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.9 Algebra Grafische Darstellungen und Lösungen REPETITIONEN

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1 Seite Kapitel Mathematik Kapitel.9 Algebra Grafische Darstellungen und Lösungen REPETITIONEN Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut, 877 Nidfurn Telefon Telefa Ausgabe: Dezemper

2 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Im kartesischen Koordinatensstem trage man folgende Punkte ein: A (4;), B (;) und C (;4)

3 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Bestimmen Sie grafisch die Koordinaten des Umkreismittelpuktes des Dreiecks ABC mit A ( ; ), B (;4) und C (;)

4 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Koordinatensstem a) Beschriften Sie die Achse, so das ein Karo je einer Ziffer entspricht. b) Notieren Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C und D. c) Zeichnen Sie die Punkte E, F, G und H ins Koordinatensstem ein. A ( 4 / 4 ) B (-7 / 5 ) B C A D C (-7 / ) D ( 4 /- ) E ( 8 / ) F ( / ) G ( / ) H (-9 /- ) Punkt ( / )

5 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 4 Koordinatensstem a) Beschriften Sie die Achse, so das ein Karo je einer Ziffer entspricht. b) Notieren Sie die Koordinaten der Punkte A, B, C und D. c) Zeichnen Sie die Punkte E, F, G und H ins Koordinatensstem ein. B D A ( /-9 ) B (- / ) C ( 5 /-8 ) D ( / 7 ) E ( / ) F ( / ) G (- /-9 ) H (-9 / 5 ) A C Punkt ( / )

6 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 5 Koordinatensstem Zeichnen Sie die Punkte A-P ins Koordinatensstem ein und verbinden Sie die Punkte nach alphabetischer Reihenfolge. A ( /- ) B ( /- ) C ( / ) D ( 7 / ) E ( 7 / 5 ) F ( 5 / 7 ) G ( / 7 ) H ( / ) I ( / 4 ) J (- / ) K (- / 7 ) L ( / 7 ) M ( -7 / 5 ) N (-7 / ) O (- / ) P (- /- ) Q ( /- )

7 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Koordinatensstem Erstellen Sie selber eine Figur und tragen Sie die Koordinaten in die nebenstehende Tabelle ein. A B C D E F G H I J K L M N O P Q

8 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 7 Zeichnen Sie in das unten stehende Koordinatensstem die nachfogenden Punkte ein. P = 4; ) P = ; 5) P = ; = ) ( = ( = P 4 ( 4 = ; 4 = ) P 5 ( ; ) P (8; 5) ' P 7 ( ; ) 4 4 (

9 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 8 Koordinatensstem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensstem mit der Einheit Karo ( Einheiten, Beginnen Sie mit der Grafik bei (/). Weiter sind folgende Arbeiten zu erledigen: a) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P (/) und Q (/). Die Seite AD eines Quadrates liegt auf g mit D (?/) (-Koordinate). A ist Schnittpunkt von g mit der Senkrechte zu g durch den Punkt (R (/). Ergänzen Sie das Quadrat und bestimmen Sie die Koordinaten der Ecken A,B,C und D. b) Zwei Parallelen zur -Achse durch die Punkte A und C bestimmen zusammen mit zwei Parallelen zur -Achse durch die Punkte B und D ein kleineres Quadrat EFGH. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte an. c) Die Aufgabe a) hat noch eine zweite Lösung. Bestimmen Sie die passenden Koordinaten.

10 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM 9 Koordinatensstem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensstem mit der Einheit Karo ( Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (/). Die Strecke PQ mit P(/) und Q(9/) ist Seite des Quadrates PQRS. Bestimmen Sie die beiden anderen Ecken R und S und geben Sie deren Koordinaten an. R ( 9 / 8 ) S ( / 8 )

11 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Koordinatensstem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensstem mit der Einheit Karo ( Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (/). Von einem Rechteck ABCD kennen Sie die Ecken A (/5), B (5/) und C (/7). Zeichnen Sie das Rechteck fertig und bestimmen die Koordinaten der Ecke D. D ( 9 / 8 )

12 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Koordinatensstem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensstem mit der Einheit Karo ( Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (/). Gegeben sind die Ecken E (/), F (7/,5) und G (9/) des Rhomboids EFGH. - Bestimmen Sie die vierte Ecke und geben deren Koordinaten an. H ( / 8,5 ) - Zeichnen Sie ein weiteres Rhomboid über der Sträcke EF und geben die Koordinaten der beiden selbst gewählten Ecken an. G ( 8,5 / 7 ) H (,5 / 5,5 ) - Können Sie auch eien Rhombus EFST einzeichnen? S (8,5 /8,5 ) T (,5 / 7 )

13 KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM Koordinatensstem Zeichnen und beschriften Sie ein Koordinatensstem mit der Einheit Karo ( Einheiten (Beginnen Sie mit der Grafik bei (/). Von einem Trapez KLMN kennen Sie die Ecken K (/), L (8/) und M (/4). Bestimmen Sie mindestens vier Punkte, die als Ecken in Frage kommen. Einer der Punkte soll Ecke eines gleichschenkligen Trapezes sein. N ( / 8 ) (gleichschenkliges Trapez) N N N

14 EINFÜHRUNG IN DIE FUNKTIONSLEHRE Stellen Sie für nachfolgende Funktionsgleichungen eine Wertetabelle auf. Der Wertebereich liegt zwischen,,,,,, und 4. a) = b) = c) = 5 d) = + 4 e) = 4 f) = + g) = h) = +

15 LINEARE FUNKTIONEN Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: a) = b) = c) = d) = e) =, f) =, g) = h) =

16 LINEARE FUNKTIONEN Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen: a) = b) = c) = d) = e) =, f) =, g) = h) =

17 LINEARE FUNKTIONEN Skizieren Sie die Graphen: a) = + b) =

18 LINEARE FUNKTIONEN 4 Skizieren Sie die Graphen: =

19 LINEARE FUNKTIONEN 5 Zeichnen Sie die Geraden: a) =, 5 b) =, 5 c) = d) =,

20 LINEARE FUNKTIONEN Skizzieren Sie die Geraden mit der Gleichung: a) + 4 = b) =

21 LINEARE FUNKTIONEN 7 Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der skizzierten Geraden.

22 LINEARE FUNKTIONEN 8 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, welche durch die folgenden zwei Punkte geht: a) A (; ), B (;) b) C ( ; ), D ( ; ) c) E (;4), F (4;5)

23 LINEARE FUNKTIONEN 9 Prüfen Sie rechnerisch und zeichnerisch, ob der Punkt auf der Geraden liegt. 7 a) A (7,), = 5 b) B (7;5), = 8

24 LINEARE FUNKTIONEN Von einer Geraden kennt man einen Punkt und die Steigung m. Bestimmen Sie rechnerisch und grafisch die Geradengleichung. a) A (; ), m = b) B ( ;), m =,

25 LINEARE FUNKTIONEN Bestimmen Sie für die folgenden Geraden zeichnerisch und rechnerisch die Schnittpunkte mit der - und -Achse. a) = b) 4 + =

26 LINEARE FUNKTIONEN Eine Gerade schneidet die -Achse im Punkt ( 4;) und bildet mit ihr einen Winkel von. Bestimme die Funktionsgleichung

27 LINEARE FUNKTIONEN Bestimmen Sie grafisch und rechnerisch die Funktionsgleichung und den Zwischenwinkel der Geraden und der -Achse für eine Gerade, welche durch den Nullpunkt geht, und die folgenden Steigungen aufweisen: a) % b) % c) % d) %

28 LINEARE FUNKTIONEN 4 Eine Schraubenfeder wird mit verschiedenen Metallstücken der Masse m belastet. Jedesmal wird ihre Länge l gemessen. Masse m in [g] 4 8 Länge l in [cm],4,8,, Bestimmen Sie die Länge l der feder als Funktion der angehängten Masse m. Skizzieren Sie den Graphen und lesen Sie daraus ab, bei welcher Belastung sich die feder um,5 cm verlängert.

29 LINEARE FUNKTIONEN 5 Der Graph ist eine Gerade. Wie lautet die Funktionsgleichung? a) b) c) d) e) f)

30 LINEARE FUNKTIONEN Zeichnen Sie folgende Funktionsgleichung in ein Koordinatensstem: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) =

31 LINEARE FUNKTIONEN 7 Zeichnen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle folgende Funktionsgleichungen: a) = 5 b) = + 4 c) = 4 + d) = 7 e) = + f) = + g) = h) = i) = k) = + l) = m) =

32 LINEARE FUNKTIONEN 8 Zeichnen Sie nachfolgende Geraden, von denen zwei Pukte bekannt sind, und bestimmen Sie: a) den Steigungsfaktor m, b) die Funktionsgleichung P (8 / 4) P ( / ) P (/ ) P (/ ) P ( / 5) P (5 / ) P ( / ) P ( / 4) Zeichnen Sie die Graphen vor der Berechnung auf!

33 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN Die Notenskala bei einer schriftlichen Mathematikprüfung wird wie folgt festgelegt: Punkte Note und Punkte Note a) Geben Sie die Gleichung der linearen Funktion p n an. Dabei bedeuten p die Anzahl Punkte und n die Note. b) Welche Note erhält ein Schüler mit Punkten? c) Welcher Punktzahl entspricht die Note?

34 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN Im Fach Französisch wird die Notenskala bei einem Dictee wie folgt festgelegt: Fehler Note 5 Fehler und mehr Note a) Geben Sie die Gleichung der linearen Funktion m n an. Dabei bedeuten m die Anzahl Fehler und n die Note. b) Welche Note erhält ein Schüler mit 5 Fehlern? ( Ziffer nach dem Dezimalpunkt) c) Welche Fehlerzahl entspricht der Note 4?

35 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN Die Kugeln A und B bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten V A =. m/s beziehungsweise V B =.9 m/s. Beide sind zum Zeitpunkt t= bei dem in der Skizze dargestellten Standort. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen s = f (t) der beiden Bewegungen und stellen Sie sie graphisch dar. (s t s)

36 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 4 Ein Wasserbecken kann durch einen Zufluss mit einer Leistung von 5 Liter pro Minute gefüllt und durch einen Abfluss mit einer Leistung von 5 Liter pro Minute entleert werden. Bestimmen Sie für die folgende Situation die Funktionsgleichung V = f (t) (V=Volumen; t=zeit) und stellen Sie sie graphisch dar. ( min < t <- 5 min) a) 4' Liter Wasser im Becken werden bei geschlossenem Zufluss vollständig entleert. b) Zu- und Abfluss sind bei einem Anfangsvolumen von '7 Liter gleichzeitig geöffnet.

37 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 5 Die drei international gebräuchlichen Temperaturskalen sind wie folgt definiert: Schmelzpunkt von Wasser 7. K C F Siedepunkt von Wasser 7. K C F Geben Sie die Funktionsgleichung = f () an. a) K = C b) C = K c) C = F d) F = C e) F = K f) K = F Kelvin [K] Celsius [ C] Fahrenheit [ F]

38 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN Zwei Taiunternehmen A und B haben für ihre Fahrgäste folgende Tarife: A: Grundgebühr Fr. 4.- und Fr..4 pro gefahrenen Kilometer. B: Grundgebühr Fr. 5. und Fr.. pro gefahrenen Kilometer a) Bestimmen Sie die beiden Funktionsgleichungen P = f(s) und stellen Sie diese graphisch dar für km s km. b) Bei welcher Fahrstrecke ergeben beide Tarife den gleichen Fahrpreis? Rechnerisch lösen. s=fahrstrecke p=fahrpreis

39 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 7 Einem Vertreter werden von zwei Firmen folgende Angebote gemacht: Firma A : Fr. '9.-- monatliches Fium, zusätzlich % des Totals aller Aufträge Firma B : Fr. '5.-- monatliches Fium, zusätzlich 4.5% des Totals aller Aufträge. a) Bestimmen Sie die beiden Funktionsgleichungen E = f (U) und stellen Sie sie graphisch dar Fr. U Fr. 5'.-- b) Bei welchem monatlichen Umsatz ergibt sich bei beiden Firmen das gleiche Einkommen? E = Einkommen U = Umsatz

40 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 8 Der Mittelpunkt eines Kreises liegt im Nullpukt. Der Kreis geht durch den Punkt P (/ ). Berechnen Sie den Radius r des Kreises

41 4 GRAFISCHE LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 9 Die Eckpunkte eines Vierecks haben folgende Koordinaten: P ( 4 / ) P (/ ) P (/ ) P ( 4 4 / ) Zeichnen Sie das Dreieck und berechnen Sie die Seiten, Diagonalen und den Flächeninhalt!

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