Modulabschlussklausur

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1 Sommersemester 2010 Dr. Reimund Albers Modul EM1: Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie Modulabschlussklausur Name: Mat.Nr.: Schulschwerpunkt: Grund- oder Sekundarbitte ankreuzen Aufgabe Summe maximal erreicht Zugelassene Hilfsmittel: 4 Seiten (einseitige Blätter) eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner Bitte weisen Sie sich durch einen Lichtbildausweis aus. SoSe 2010

2 Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich und logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur immer auch eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und verständlich darzustellen. 1. vollständige Induktion Beweisen Sie mit vollständiger Induktion n Für alle n gilt: ( k 2 k) = 1 n(n + 1)(n 1) 3 k =1 2. Folgen und Teilbarkeit a. Wir betrachten eine geometrische Folge, in der die Folgeglieder mit q = 3 multipliziert werden. Das 10. Folgenglied berechnet man durch die Multiplikationsaufgabe a 10 = Wie lautet das explizite Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge? b. In einer arithmetischen Zahlenfolge sind a 100 und a 103 durch 15 teilbar. Zu dieser Zahlenfolge werden folgende Behauptungen aufgestellt: i. Alle Folgenglieder sind durch 15 teilbar. ii. Alle Folgenglieder sind durch 5 teilbar. iii. Alle Folgenglieder sind durch 3 teilbar. iv. Für die Teilbarkeit von allen Folgegliedern kann man keine Aussage machen. Genau eine dieser vier Behauptungen ist richtig. Welche? Begründen Sie. 3. Abbildungen geometrisch Auf dem beigelegten Arbeitsblatt ist das Dreieck ABC und die Gerade a gezeichnet. Weiterhin ist das Dreieck A B C das Bild von ABC bei Spiegelung an a. Der Punkt Z liegt auf der Geraden a. a. Drehen Sie das Dreieck A B C um den Punkt Z um 40 (gegen den Uhrzeigersinn). Das so erhaltene Dreieck ist A B C. b. Man kann das Dreieck ABC durch Spiegelung an einer Achse auf das Dreieck A B C abbilden. Finden Sie diese Achse, sie soll b heißen. Geben Sie eine kurze Beschreibung, wie Sie b finden. c. Allgemein: Gegeben ist eine Achse a und eine Drehung um den Punkt Z mit dem Winkel α. Begründen Sie allgemein: Liegt Z auf der Achse a, so kann man die Verknüpfung von Achsenspiegelung und Drehung durch eine einzige Achsenspiegelung ersetzen. Formal: Z a D Z,α S a = S b. d. Noch einmal zu den Dreiecken ABC und A B C. Warum ist die Aufgabe Finden Sie vier Achsen, so dass die Verknüpfung der vier Spiegelungen an diesen Achsen das Dreieck ABC auf das Dreieck A B C abbildet. nicht lösbar? 4. Matrizenrechnung Gegeben ist die Matrix D = 0,6 0,8 0,8 0,6. Wir bilden damit die Abbildungsgleichung x ' = D x. a. Berechnen Sie mit der Abbildungsgleichung die Bildpunkte zu A(6;3) und B(3;4). b. Zeichnen Sie A, B und die Bildpunkte A und B in ein Achsenkreuz. Zeichnen Sie mit O(0;0) die Dreiecke OAB und OA B. c. Der Zeichnung kann man entnehmen, dass es sich um eine Drehung handelt. Bestimmen Sie aus der Zeichnung Drehzentrum und Drehwinkel.

3 noch Aufg. 4 d. Man kann den Drehwinkel auch ohne Zeichnung allein aus der Matrix bestimmen. Tun Sie dieses und machen Sie den Rechenweg deutlich. Stimmt das Ergebnis mit dem aus c. überein? 5. Arbelos In der Skizze sehen Sie einen Arbelos (dunkelgrau). Im linken inneren Halbkreis sehen Sie noch einmal den proportional verkleinerten Arbelos (hellgrau). Skizze: a. Bestimmen Sie Radien und der inneren Halbkreise des hellgrauen Arbelos. Verwenden Sie dazu nur die den dunkelgrauen Arbelos bestimmenden Größen und (Radien der inneren Halbkreise). Überprüfen Sie Ihr Ergebnis auf dem beigefügten Arbeitsblatt (nicht oben in der Skizze) anhand der Vorgabe für die Konstruktion. Dort gilt und. b. Verkleinern Sie den dunkelgrauen Arbelos ein zweites Mal, damit auch der rechte innere Halbkreis zum Arbelos wird. Arbeiten Sie dazu auf dem beiliegenden Arbeitsblatt. Wir erwarten von Ihnen: i. Die Bestimmung von a b und b b in Abhängigkeit von und. ii. Die Konstruktion. Ausgeführt in der Vorgabe auf dem Arbeitsblatt (im klassischen Sinn nach Euklid, alle Konstruktionsschritte sollen erkennbar sein, angemessen bezeichnet). Eine Konstruktionsbeschreibung ist nicht gefordert. c. (Dieser Teil wird bewusst geringer bewertet) Stellen Sie eine Verbindung zum nebenstehenden Bild aus dem Workshop her.

4 6. Dimension - Sierpinski-Drittelung Wir betrachten ein spezielles gleichseitiges Dreieck, das folgendermaßen generiert wird. Initiator ist ein gleichseitiges Dreieck. Stufe 0 Die Seiten des Dreiecks werden gedrittelt und die Teilpunkte so miteinander verbunden, dass neun gleichseitige Dreiecke entstehen. Die inneren drei Dreiecke werden entfernt. Jedes übrig gebliebenen Teildreieck wird erneut mit Schritt 1 beginnend bearbeitet. Stufe 1 Stufe 2 Die Schritte 1 bis 3 werden unendlich oft wiederholt. a. Beschreiben Sie, wie sich die Anzahl der Teile T(n) der Dreiecke, der Flächeninhalt A eines Dreiecks, der gesamte Flächeninhalt A(n) aller Dreiecke, die Kantenlänge eines Dreiecks und der gesamte Umfang U(n) aller Dreiecke im n-ten Konstruktionsschritt entwickeln, wenn die Konstruktion weiter fortgesetzt wird. Füllen Sie dazu die Tabelle auf dem Arbeitsblatt aus. b. Begründen Sie, warum es sich hier um eine selbstähnliche Figur handelt und bestimmen Sie die zugehörige Selbstähnlichkeitsdimension. c. (zu den drei Abbildungen auf dem Arbeitsblatt) i. Entscheiden Sie, ob es um eine exakt selbstähnliche Figur handelt und ii. erklären Sie Ihr Ergebnis. Argumentieren Sie. iii. Berechnen Sie gegebenenfalls die Selbstähnlichkeitsdimension.

5 7. Abbildungen und Funktionen Die Anzahl der Beschäftigten im Braunkohlebergbau nimmt in Deutschland ab. Zunächst ist die Anzahl der Beschäftigen zu zwei Zeitpunkten gegeben Jahr Zeit t Beschäftigte a. Bestimmen Sie eine lineare Funktion f, die die Anzahl der Beschäftigen in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert. b. Berechnen Sie den Zeitpunkt t, zu dem das Modell aus Aufgabe a) spätestens seine Gültigkeit verliert. Durch eine ausführlichere Recherche ist die Anzahl der Beschäftigen im Braunkohlebau nun auch für weitere Jahre bekannt: Jahr Zeit t Beschäftigte c. Begründen Sie durch eine Rechnung, dass die Modellierung der Daten durch eine Exponentialfunktion sinnvoll ist d. Bestimmen Sie die Funktion g, die die Anzahl der Beschäftigten als Funktion der Zeit t angibt e. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem im Braunkohlebergbau die Anzahl der Beschäftigen unter sinkt. [Sollten Sie Aufgabe d. nicht gelöst haben, verwenden Sie in dieser Aufgabe die Funktion g mit g( t ) = ,79 t.]

6 Arbeitsblatt zu Aufg. 3 Name: zu a) zu b) Die Spiegelachse b findet man auf folgende Weise: Die Aufgabenteile c) und d) bitte auf einem extra Blatt bearbeiten.

7 Arbeitsblatt zur Aufgabe 5 Arbelos Name: Konstruieren Sie den verkleinerten Arbelos im rechten inneren Halbkreis. Konstruieren Sie im klassischen Sinn nach Euklid, alle Konstruktionsschritte sollen erkennbar sein. Eine Konstruktionsbeschreibung ist nicht gefordert.

8 Arbeitsblatt zur Aufgabe 6 Dimension Name: zu a) n Anzahl der Teile T(n) A eines Teiles A(n) Kantenlänge eines Teiles U(n) FE 1 LE n zu c) Bild 1 Bild 2 Bild 3