/40 /6 /11 /8 /2 /6. 0,5 f (x) 1,5 0,5 2,6 0,3 0,1 -2,25 2,25. Abschlussprüfun (Mathematik) Aufgaben

Transkript

1 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst 1 Funktionsuntersuchung Gegeben ist die Funktion f mit f ( x) = x + 7x + 5x ; x IR. /0 1.1 Untersuchenn Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f. Begründen Sie Ihre Aussage. 1. Bestimmen Sie die Nullstellen vonn f. 1.3 Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte des Graphen von f. [zur Kontrolle: f ( x) = 8x + 1x + 10x ] 1. Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen von f. 1.5 Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x und x an. 1.6 Zeichnen Sie mit Hilfe Ihrer bisherigen Ergebnisse den Graphen G derr Funktion f im Intervall [,6; 0,5]. Ergänzen Siee dafür auch folgende Wertetabelle e. / /11 /8 / x,6 1,5 0,5 0,1 0,3 0,5 f (x) -,5,5 Verwenden Sie das Koordinatensystem auf der nächstenn Seite. 1.7 Zeigen Sie, dass an derr Stelle x W = 1, 7 eine Wendetangente w durch folgende Gleichung beschrieben wird: w( x ) = 5,7 x + 5,66. Zeichnen Sie diese Wendetangentee in das Koordinatensystem auf der nächstenn Seite. /5 Koordinatensystem für Aufgabe 1.6 und 1.7 nächste Seite Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 1 von 5

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Koordinatensystem für Aufgabe 1.6 und 1.7 Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite von 5

3 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Rekonstruktion Die Firma SchulWebDe wurde in i eine Aktiengesellschaft umgewandelt und wird nun an der Börse gehandelt. Die Aktien werden zu einem Ausgabepreis von 30 ausgegeben (Zeitpunkt t = 0). Nach einem Monat (Zeitpunkt t = 1) erreichte die Aktie ihren höchsten Tageskurs von 37. Anschließend fällt der Kurs immer schneller. Nach dem 3. Monat (Zeitpunkt t = 3) wirdd dieser Abwärtstrend schwächer. Der Kurs der Aktie kann idealisiert durch eine Funktionsgleichung dritten Grades dargestellt werden. Abbildung: A Microsoft-Clipart /15 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derr Funktion f, wobei diee Zeit t in Monaten gemessen wird. Hinweis: Wennn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f () t = a t + a t + a t+ a t IR 1 0 ; 15 = 1 a 0 37 = a 3 + a + a 1 + a 0 0 = 3 a 3 + a + a a 1 0 = 9 a 3 + a Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 3 von 5

4 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst 3 Extremwertaufgabe /15 Der Materialverbrauch für die Herstellung eines Abfalleimers mit Schwingdeckel (siehe Abbildung) soll bei gegebenem Volumen möglichst klein gehalten werden. Der Abfalleimer besteht aus einem nach oben offenen Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Die Maße des Abfalleimers werden wie folgt angegeben: r: Radius der Halbkugel h: Höhe des Zylinders (siehe Abbildung). Zur Vereinfachung werden die Falzungen und Blechüberstände vernachlässigt und nur diee Außenflächen und der Boden betrachtet. Abfalleimer r h 3.1 Stellen Sie eine Zielfunktion O auf, mit der der Oberflächeninhalt des Abfalleimers berechnet werden kann. Hinweis: Kugeloberfläche O 5 V [zur Kontrolle: Or () = π r + 3 r = π r ; r > 0] 3. 3 Der Abfalleimer hat ein Gesamtvolumen von V = cm. Berechnen Sie die Werte für r undd h, für die der Materialverbrauch (Oberflächeninhalt) beii diesem Abfalleimer minimal wird. Hinweis: 3.3 Berechnen Sie den minimalen Materialverbrauch für denn gesamten Abfalleimerr in cm. Hinweis: Auf den Nachweis des Minimums kann verzichtet werden. Runden Sie das Ergebnis auf volle cm. /3 Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite von 5

5 Abschlussprüfung Fachoberschule 013 Herbst Integralrechnung /30 Ein Designer hat einee Sonnenbrille entworfen, die sich im abgebildeten Koordinatensystem teilweise durch den Graphen der Funktionn f ( x ) = 0,,005 ( x 9, 5x + 1,5) ; x IR darstellen lässt (1 LE 1 cm)..1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. [zur Kontrolle: x N1/ = ± 7; xn 3/ = ± 0,5]. Die Gläser der Sonnenbrille werden durch die x-achse und den Funktionsgraphen begrenzt. Verglast werden nur die Teilflächen unterhalb der x-achse. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Verglasung..3 Die obere Begrenzung der Verglasung soll nun etwas eleganter gestaltet werden. Hierzu erhält die Oberkante der Brille einen Schwung, der durch diee Parabel g( x) = 0,005( x + 1,5 ) beschrieben wird. Ermitteln Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen. [zur Kontrolle: P 1 ( 0 0,06), P ( 7, 09 0,31 ), P 3 ( 7,09 0,310 ) ]. Zeichnen Sie den Graphen der Parabel g in das obige KoordinatensK system ein..5 Berechnen Sie den Flächeninhalt B der neuenn Verglasung..6 Ermitteln Sie, um welchen Prozentsatz die ursprünglichee Glasflächee angewachsen ist. / / Abschlussprüfun ng Fachoberschule 013 Herbst () Seite 5 von 5

6 013 Herbst, () Erwartungshorizont 1.1 f ( x) f ( x) f ( x) f( x) oder die Exponenten von x sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-achse, noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. 1. f( x) = 0 x + 7x + 5x = 0 x (x + 7x+ 5) = 0 ; x = x 7x 5 0 N1, N3 N N1, + + = 7 5 x + x+ = 0 ; pq-formel x = 0; x = 1; x =,5 6 f ( x) = 8x + 1x + 10x f ( x) = x + x+ 10 Ansatz: f ( x) = = x(8x + 1x+ 10) = 0 ; xe1 = = 1 10 x + x+ = 0 ; pq-formel 8 8 xe = 0.65 xe3 = f (0) = 10 > 0 lokales Minimum f ( 0, 65) = 6,875 < 0 lokales Maximum f ( ) = > 0 lokales Minimum f(0) = 0 ; T1 (0 0) f( 0,65) = 0,55 ; H( 0,65 0,55) f( ) = ; T ( ) 8x 1x 10x 0 8x 1x Herbst Seite 1 von 6

7 013 Herbst, () Erwartungshorizont 1. f ( x) = x + x+ 10 f ( x) = 8x+ f ( x) = 0 x + x+ 10 = 0 10 x + x+ = 0;pq-Formel xw1 = 0, 8 xw = 1, 7 f ( 0,8) 0; f ( 1,7) 0 WP1( 0,8;0,5); WP( 1,7;,09) lim ( x 7x 3 5 x ) ; lim ( x 7x 3 5x ) 1.6 x x x,6 1,5 0,5 0,1 0,3 0,5 f (x),16 -,5 0,5 0,06 0,66,5 1.7 Wendetangente: wx ( ) = mx+ n m= f ( 1,7) 5,7,09 = 5,7 ( 1, 7) + n n= 5,66 wx ( ) = 5, 7x+ 5,66 Graphische Darstellung der Wendetangente (siehe 1.6). 5 Summe mögliche BE Herbst Seite von 6

8 013 Herbst, () Erwartungshorizont Ansatz: f () t = a t + a t + at+ a f () t = 3a3t + at+ a1 f () t = 6a t+ a 1 0 Bedingungsgefüge: 1. f (0) = 30 (Ausgabepreis bei t = 0). f (1) = 37 (Tageskurs nach einem Monat t = 1) 3. f (1) = 0 (höchster Tageskurs bei t = 1). f (3) = 0 (Krümmungsänderung bei t = 3 ) Gleichungssystem: 3 I. 30 = a 0 II. 37 = a 3 + a + a 1 + a 0 III. 0 = 3a 3 + a + a 1 IV. 0 = 18a 3 + a Lösen des Gleichungssystems (ebenso Ersatz-LGS) 6 Daraus ergibt sich (auch Ersatz-LGS): a3 = 1; a = 9 ; a1 = 15 ; a0 = 30 Für die Funktionsgleichung gilt: f() t = t 9t + 15t+ 30 Summe mögliche BE Herbst Seite 3 von 6

9 013 Herbst, () Erwartungshorizont 3.1 Bestimmung der Zielfunktion: 1 Orh (, ) = rπ + rπh+ rπ = r π + rπh+ r π = 3r π + rπh ; Hauptbedingung Aus den Formeln für die Einzelvolumina wird die Nebenbedingung aufgestellt. 1 3 V = r πh+ r π 3 3 π 3 = r h+ r π V h= r ; Nebenbedingung r π 3 V Or () = 3rπ + rπ r π r 3 V = 3r π + r π r 3 5 V = π r + 3 r O () r = πr 3 r O () r = π r = 0 3 r π r = π r = r = ; r = 3,5 π π h= r,5 π r 3 r,5 cm ; h,5 cm Für das Gesamtvolumen von V = cm 3 ergibt sich: 5 V O(,5) = π (,5) + 798,5 Die Oberfläche beträgt rund 798 cm. 3 Summe 9 mögliche BE Herbst Seite von 6

10 013 Herbst, () Erwartungshorizont.1 Nullstellen von f : 0 = 0, 005( x 9, 5x + 1, 5) = x 9,5x + 1,5 Substitution mit z : = x und p-q-formel liefern. z 1, 1 =,65 ± z = 9 x 1, (,65) = ± 7 1,5 =,65 ±,375 1 z = x3, = ± 0,5 Da der Graph achsensymmetrisch ist, gilt: 7 ( ) A= 0, 005( x 9, 5x + 1, 5) dx 0,5 6 7 ( x x ) = 0,005 9, 5 + 1, 5 dx 0, = 0,005 x x + 1,5x = 0,005 = 0,005 1, Der Flächeninhalt der Verglasung beträgt etwa.3 Schnittstellen: f( xs) = g( xs) 0, 005( x 9, 5x + 1, 5) = 0, 005( x + 1, 5) x 9,5x + 1,5 = x + 1,5 x 50, 5x = 0 x ( x 50,5) = 0 x = 0; x ± 7,09 1, 3, y-werte: g(0) 0,06 P 0 0, ,5 ( ) ( ) ( ) g( 7,09) 0,31 P 7,09 0,31, P 7,09 0,31 1,88 cm. 6 ± Herbst Seite 5 von 6

11 . 013 Herbst, () Erwartungshorizont.5 Wegen Symmetrie gilt: 7, B= 0,005 ( x 50,5 x ) dx = 0,005 x x 5 0 0, ,57 3,87 Die neue Verglasung hat einen Flächeninhalt von.6 Die ursprüngliche Fläche entspricht 100 %. 1,88 cm = ˆ 100 % 3,87 cm = ˆ x % Der Dreisatz liefert P 109,1 %, 7,08 0 3,87 cm. 6 die Fläche ist um 9,1 % gewachsen. Summe mögliche BE Herbst Seite 6 von 6