5 Statistik in der Psychologie

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1 5 Statistik in der Psychologie Für Anfänger in der Psychologie ist es nicht unbedingt einsichtig, warum man sich überhaupt statistische Kompetenzen in einer Sozialwissenschaft aneignen muss, wo es doch um menschliches Verhalten geht. Es gibt sehr viele Psychologen, die qualitative Forschung bevorzugen und sehr wenig mit Statistik zu tun haben. Wie Sie sich jedoch in Kapitel 4 erarbeitet haben, ist es unter Psychologen sehr verbreitet, menschliches Verhalten quantitativ zu messen, und wann immer Verhalten auf diese Weise gemessen wird, ist statistisches Können überaus gefragt. Dieses Kapitel dient als Leitfaden für die Fragen, wie und warum Statistik im Psychologiestudium nützlich sein kann. Es rüstet Sie mit den statistischen Kompetenzen, die Sie brauchen werden, aus, um in Ihrem Hochschulstudium voranzukommen. Ein Taschenrechner sollte griffbereit sein, und Kenntnisse in Mathematik sind ein Bonus zu den üblichen Anforderungen. Inhalt 1 Zwei Arten von Statistik Einführung in die deskriptive und Inferenzstatistik 2 Deskriptive Statistik in der Psychologie Drei Maße der zentralen Tendenz Drei Maße für die Streuung Drei Möglichkeiten, Ergebnisse grafisch darzustellen Die Normalverteilung und z-werte 3 Inferenzstatistik in der Psychologie Die Verschiedenheit von Hypothesen Zwei Typen von Fehlern Das 5%-Signifikanzniveau Drei verschiedene Messniveaus/Skalenniveaus/Messebenen Signifikanztests Die Auswahl des geeigneten Inferenztests Vorzeichentest (sign test) Chi-Quadrat-Test Wilcoxon-Test Mann-Whitney-U-Test t-test für abhängige Stichproben t-test für unabhängige Stichproben Pearsons-Produkt-Moment-Berechnung Spearmans-Rho-Berechnung Einführung in die Varianzanalyse

2 156 5 Statistik in der Psychologie 5.1 Zwei Arten von Statistik Was Sie in diesem Abschnitt finden Einführung in die deskriptive und Inferenzstatistik Nicht alle Psychologen verwenden Statistik. Wenn Sie eine qualitative Untersuchung durchführen, dann ziehen Sie es wahrscheinlich vor, Ihre Ergebnisse wörtlich zu formulieren ohne grafische Darstellungen, Tabellen oder Zahlen. Wenn Sie jedoch jemals Ihre Untersuchung auch nur mit einem quantitativen Aspekt versehen werden, dann werden Sie einige der Statistikkenntnisse, die in diesem Kapitel vorgestellt werden, zu schätzen wissen. Stellen Sie sich ein Paar Terry und Geri vor, beide studieren Psychologie und führen eine Untersuchung durch. Sie haben das Grundprinzip ihrer Studie bestimmt, ihre Methode festgelegt, ihre Untersuchungsteilnehmer ausgewählt, das Ganze auf ethische Vertretbarkeit hin untersucht alles ist fertig, außer den statistischen Auswertungen und dem Forschungsbericht. Sie müssen sich jetzt nur noch in zwei Arten von Statistik stürzen, um ihre Studie zu vervollständigen und um ihrem Forschungsbericht den letzten Schliff zu geben. Diese zwei Arten von Statistik haben einen unterschiedlichen Sinn. Sie sehen schon auf dem Papier ganz unterschiedlich aus. Und sie haben unterschiedliche Namen. Eine nennt man deskriptive Statistik, die andere Inferenzstatistik. Dieses Kapitel ist ein Leitfaden für deren Gebrauch. Doch erst wollen wir uns Terrys und Geris Untersuchung näher anschauen: Terrys und Geris Untersuchung ist eine abgeänderte Version von Latané und Darleys kontrolliertem Experiment, das Reaktionen in Notsituationen untersucht. Wie Sie sich erinnern, sollte die Hälfte der Versuchsteilnehmer in Latané und Darleys Experiment einen Fragebogen alleine ausfüllen, während die andere Hälfte den Fragebogen in einer Gruppensituation ausfüllte. D. h., die unabhängige Variable (UV) war andere Menschen. Latané und Darley pumpten Dampf (um Rauch vorzutäuschen) durch ein Gitter in einer Wand des Untersuchungsraums und beobachteten, wie viel Zeit verging, bis die Untersuchungsteilnehmer Alarm schlugen. Somit war die abhängige Variable (AV) Reaktionszeit. Terry und Geri veränderten die Versuchsanordnung von Latané und Darley, indem sie die UV andere Menschen mit der UV Geschlecht ersetzten. Bedingung A enthielt 25 Männer, Bedingung B 25 Frauen. Alle Untersuchungsteilnehmer füllten den Fragebogen selbstständig und allein in einem Raum aus. Aus praktischen Gründen fügten sie eine weitere Änderung hinzu. Anstatt wie Latané und Darleys Rauch als Hinweis auf den Notfall einzusetzen, ließen Terry and Geri den Feueralarm des Instituts auslösen. Ihre Grundüberlegung war es, herauszufinden, ob es einen Unterschied gibt zwischen der durchschnittlichen Reaktionszeit von Männern und Frauen in einer Notsituation. Dies wurde in eine Versuchshypothese umgesetzt, die Folgendes vorhersagte: Es gibt einen Unterschied zwischen der durchschnittlichen Reaktionszeit von Männern und Frauen in einer Notsituation. Die Ergebnisse dieser Studie sind in Kasten 5A dargestellt.

3 5.1 Zwei Arten von Statistik 157 Kasten 5A zeigt Terrys und Geris Rohdaten. Dieser Begriff wird von Psychologen verwendet, um sich auf Forschungsergebnisse zu beziehen, die bisher noch keiner deskriptiven oder Inferenzstatistik unterworfen worden sind. Wenn Sie Rohdaten von einer psychologischen Studie sehen, dann handelt es sich gewöhnlich um jeden einzelnen Messwert eines jeden Untersuchungsteilnehmers, die in einer sogenannten Urliste dargestellt werden. Sie werden bemerken, dass die Messwerte in einer Reihenfolge präsentiert werden, aufsteigend vom kleinsten Wert bis zum größten. Ansonsten jedoch sind diese Rohdaten auf keine Art und Weise zusammengefasst. Von nun an müssen sie den Mühlen unserer beiden Arten von Statistik unterworfen werden. Kasten 5A Reaktionszeiten von Terrys und Geris Untersuchungsteilnehmern, gemessen in Sekunden Bedingung A (Männer) 4, 5, 5, 6, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14 Bedingung B (Frauen) 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 10, 11, 12, 18, 21 Einführung in die deskriptive und Inferenzstatistik Ist es nicht höchste Zeit, zu erklären, was diese beiden Arten von Statistik bedeuten? Deskriptive Statistik dient in der Forschung dazu, Rohwerte leichter zusammenfassen und verdauen zu können. D. h., deskriptive oder beschreibende Statistik wird benutzt, um den Lesern die wichtigsten Ergebnisse einer Studie in überschaubaren Häppchen zu präsentieren als in langen Listen von Rohdaten. Deskriptive Statistik ist sinnvoll für alle, die Untersuchungsberichte lesen, da sie große Mengen von Daten auf kleine Portionen reduziert. Außerdem macht deskriptive Statistik die Daten vorzeigbarer, überschaubarer. Kurzum, deskriptive Statistik fasst zusammen. Eine gebräuchliche Anwendung der deskriptiven Statistik ist die Präsentation von Mittelwerten für eine Gruppe von Untersuchungsteilnehmern statt der individuellen Messwerte. Somit werden Terry und Geri die mittleren Reaktionszeiten für Männer und Frauen in ihren Untersuchungsbericht aufnehmen, statt alle 50 Rohwerte aufzulisten und es dem Leser zuzumuten, die mittlere Reaktionszeit für sich selbst auszurechnen. Inferenzstatistik hingegen kommt weniger aus Gründen der Darstellung zum Einsatz, sondern dient eher der Verlässlichkeit beim Prüfen von Hypothesen. Wenn Forscher eine Hypothese für ein Experiment aufstellen, dann treffen sie eine Vorhersage darüber, wie eine bestimmte Stichprobe von Versuchsteilnehmern in einer bestimmten Situation handeln wird. Stützen die Versuchsergebnisse die Vorhersage, so wird man daraus mit einem gewissen Grad an Verlässlichkeit den Schluss ziehen, dass in einer vergleichbaren Situation auch andere Personen aus derselben Population oder Grundgesamtheit sich ähnlich verhalten werden wie die Versuchsteilnehmer. Mit anderen Worten, die Ergebnisse der untersuchten Stichprobe werden auf die Grundgesamtheit verallgemeinert. In der Forschung geht es also um Vorhersagen über die Auswirkung von unabhängigen Variablen (uvs) auf abhängige Variablen (AVs). Üblicher-

4 158 5 Statistik in der Psychologie weise wird eine Veränderung der AV vorhergesagt, die einer Veränderung der UV zugeschrieben wird unter der Voraussetzung, dass Störvariablen (Umgebungs- und Personenfaktoren) konstant gehalten werden. (Der Abschnitt Laborexperimente in Kapitel 4 gibt eine detaillierte Erklärung dieser Variablen.) Terry und Geri untersuchen die Auswirkung von Geschlecht (UV) auf die Reaktionszeit (AV). Wenn ihre Ergebnisse ihre Hypothese unterstützen, so werden sie den Schluss ziehen, dass jedweder Unterschied der Reaktionszeit unter den beiden Bedingungen auf das Geschlecht zurückzuführen ist. Weiterhin werden sie folgern, dass diese Unterschiede sowohl in der Grundgesamtheit als auch in der Stichprobe vorhanden sind. Aber Moment. Gibt es da gar kein Problem, wenn man solche Schlussfolgerungen zieht? Was, wenn der Unterschied in den Reaktionszeiten von Terrys und Geris Bedingungen nichts mit dem Geschlecht zu tun hat? Was, wenn es auf etwas anderem beruht? Zufall zum Beispiel. Was, wenn nur zufälligerweise die Frauengruppe schneller reagiert hat als die Männergruppe? Schließlich wird auch bei zwei Männergruppen (anstatt einer Gruppe Männer und einer Gruppe Frauen) zweifellos eine gewisse Differenz zwischen den Reaktionszeiten der beiden Gruppen auftreten infolge von Zufall oder zufälliger Abweichung. Also wie können Terry und Geri sich gegen den Einwand verteidigen, dass der Unterschied im Wert ihrer abhängigen Variable unter den beiden Bedingungen nicht auf ihre unabhängige Variable zurückzuführen ist, sondern auf Zufall bzw. zufällige Abweichung? Indem sie Inferenzstatistik anwenden. Die Inferenzstatistik ist ein Hilfsmittel, um zu zeigen, dass eine Veränderung im Wert einer abhängigen Variable mit einem bestimmten Grad an Vertrauen oder Konfidenz auf eine Veränderung des Wertes der unabhängigen Variable zurückgeführt werden kann als auf Zufall bzw. eine zufällige Abweichung. Inferenzstatistik ermöglicht es, die Ergebnisse bei einer Stichprobe verlässlich für eine Grundgesamtheit zu generalisieren. Das klingt nach einem nützlichen Sicherheitsnetz. Also wie funktioniert Inferenzstatistik? Der dritte Abschnitt dieses Kapitels ist ein Leitfaden für die Inferenzstatistik. Zuerst jedoch ein Leitfaden bezüglich der anderen Form von Statistik. 5.2 Deskriptive Statistik in der Psychologie Was Sie in diesem Abschnitt finden Drei Maße der zentralen Tendenz Drei Maße für die Streuung Drei Möglichkeiten, Ergebnisse grafisch darzustellen Die Normalverteilung und z-werte Deskriptive Statistik reduziert große Datenmengen auf kleinere, überschaubarere Portionen. Normalerweise berechnet man den Mittelwert, den Zentralwert oder den am häufigsten auftretenden Wert für eine Gruppe von Untersuchungsteilnehmern. Dies er-

5 5.2 Deskriptive Statistik in der Psychologie 159 möglicht es Ihnen, eine lange Liste von Rohwerten auf einen einzigen Wert zu komprimieren. Die Durchschnitts- oder Mittelwerte, die Zentralwerte und die typischsten Werte für Messreihen oder Datensätze nennt man die Maße der zentralen Tendenz. Drei Maße der zentralen Tendenz Der (arithmetische) Mittelwert ist der Durchschnittswert eines Datensatzes. Um diesen Mittelwert zu berechnen, addieren Sie alle Messwerte, teilen dann die erhaltene Summe durch die Anzahl der Messwerte. Kasten 5B zeigt, wie man den Mittelwert für Terrys und Geris Bedingung Männer berechnet. Kasten 5B Bestimmung des Mittelwertes der Bedingung A (Männer) in Terrys und Geris Studie Schritt 1 Addieren Sie alle n-werte des Datensatzes: = 241 Schritt 2 Teilen Sie den erhaltenen Betrag durch die Anzahl der Werte in der Datenmenge. 241 : 25 = 9,64 Der Mittelwert der Reaktionszeit für Männer in Terrys und Geris Untersuchung beträgt 9,64 Sekunden. Der Median ist der Zentralwert in einem Datensatz. Um den Median zu berechnen, sortieren Sie die Messwerte der Größe nach, aufsteigend vom niedrigsten zum höchsten Wert. Der Median ist derjenige Wert, der (bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen) in der Mitte dieser Folge liegt. Wenn es fünf Werte in einem Datensatz gibt, dann ist der Median die dritte Zahl in dem der Größe nach geordneten Datensatz. Kasten 5C zeigt, wie man den Median für Terrys und Geris Bedingung Männer berechnet. Kasten 5C Bestimmung des Medians der Bedingung A (Männer) in Terrys und Geris Studie Schritt 1 Sortieren Sie die n-werte der Größe nach, vom niedrigsten zum höchsten Wert. 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14 Schritt 2 Finden Sie die Zahl, die die Grenze zwischen den zwei Hälften bezeichnet. 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14 Der Median der Reaktionszeit für Männer in Terrys und Geris Untersuchung beträgt 10 Sekunden. Doch warten Sie einen Moment. Was passiert, wenn Sie einen Datensatz haben, der eine gerade Anzahl von Messwerten enthält? Wie finden Sie den zentralen Wert in einem Datensatz von sagen wir sechs Messwerten? Gute Frage. In diesen Fällen ist der Medianwert sozusagen auf halbem Wege zwischen den beiden Messwerten, die in der Mitte liegen. Also in einem Datensatz von sechs

6 160 5 Statistik in der Psychologie Messwerten wie 3, 4, 6, 7, 8, 9 ist der Median auf halbem Wege zwischen 6 und 7. So ist er 6,5. Der Modalwert (auch Modus genannt) ist der typischste Wert eines Datensatzes. Um den Modalwert in einem Datensatz zu identifizieren, müssen Sie einfach nur schauen, welcher Messwert am häufigsten vorkommt. Kasten 5D zeigt den Modalwert für Terrys und Geris Bedingung Männer. Kasten 5D Bestimmung des Modalwertes der Bedingung A (Männer) in Terrys und Geris Studie Finden Sie einfach den am häufigsten vorkommenden Messwert im Datensatz. 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14 Der Modalwert der Reaktionszeit für Männer in Terrys und Geris Untersuchung beträgt 11 Sekunden. Jetzt warten Sie doch noch einmal: Was, wenn Sie einen Datensatz haben, der zwei Messwerte aufweist, die am häufigsten vorkommen; zum Beispiel 3, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8? Wie bestimmen Sie nun den Modalwert? Solche eher ungewöhnlichen Fälle nennt man bimodal. Ein bimodaler Datensatz hat zwei Modalwerte. Ein anderer unüblicher Fall ist ein Datensatz ohne Modalwert. Zum Beispiel in einem Datensatz wie 4, 5, 6, 7, 8, 9. In einem solchen Fall müssen Sie sagen, dass es keinen Modalwert gibt. Mittelwert, Median und Modalwert ergänzen sich gegenseitig Wenn Sie Ihre Augen offengehalten haben, so haben Sie bemerkt, dass diese drei Maße der zentralen Tendenz in Terrys und Geris Bedingung Männer drei verschiedene Ausprägungen der Messwerte haben. Da alle drei der Mittelwert, der Median und der Modalwert unterschiedlich bestimmt werden, sollte dies nicht überraschen. Und tatsächlich obwohl der Mittelwert, der Median und der Modalwert allesamt Maße der zentralen Tendenz sind, so messen sie jedoch nicht das Gleiche. Alle drei sagen etwas Unterschiedliches über den Datensatz aus. Der Mittelwert legt den Durchschnittswert offen. Der Median sagt etwas über den zentralen Wert aus. Der Modalwert lässt den typischsten Wert erkennen. Und da jeder von ihnen uns etwas deutlich macht, das die anderen beiden nicht kennzeichnen, kann man sagen, dass der Mittelwert, der Median und der Modalwert sich gegenseitig ergänzen. Der Mittelwert ist ein gängiges Maß der zentralen Tendenz, aber der Median und der Modalwert sind ebenso nützlich Mitunter sind Mittelwert, Median und Modalwert gleich. Das kommt vor, wenn ein Datensatz annähernd einer Normalverteilung gleichkommt. Dieser spezielle Fall wird in diesem Abschnitt weiter unten diskutiert, so dass ich mich hier nicht damit aufhalten möchte. Für jetzt reicht es, Ihnen Folgendes zu sagen: Wenn Ihre Untersuchung einen Datensatz liefert, so können Sie aus drei Maßen auswählen, um deren zentrale Tendenz zu bestimmen. Sie mögen ein, zwei oder alle drei auswählen. Ihre Wahl wird davon abhängen, was Sie über Ihre Werte wissen wollen. Üblicherweise gilt der Mittelwert als das

7 5.2 Deskriptive Statistik in der Psychologie 161 nützlichste Maß der zentralen Tendenz. Aber so nützlich der Mittelwert zweifellos ist, auch der Median und der Modalwert sind wichtig. Tatsächlich braucht man in vielen Fällen mehr als nur ein Maß der zentralen Tendenz. Hier sind einige Beispiele: Beispiel 1 Wann der Median eine nützliche Ergänzung zum Mittelwert ist Was ist, wenn Terrys und Geris Bedingung Männer einen Teilnehmer enthielte, der eingenickt wäre und infolgedessen fünf Minuten bräuchte, um auf die Notsituation zu reagieren? Sein extremer Ausreißer verändert dramatisch den Mittelwert dieser Verteilung. Nun ist der Mittelwert 20,8 Sekunden anstatt 9,64 Sekunden. Während der Mittelwert den wahren Durchschnittswert für die Verteilung angibt, ist er als Maß der zentralen Tendenz hier ziemlich irreführend. In solch einer Situation, in der eine Verteilung einen extremen Ausreißer hat, ist der Median eine wertvolle Ergänzung zum Mittelwert. Der Medianwert für diese Verteilung, auch wenn der schlafende Teilnehmer berücksichtigt wird, ist 11. Er bleibt von dem extremen Ausreißer unberührt. Beispiel 2 Wann der Modalwert eine nützliche Ergänzung zum Mittelwert ist Schauen Sie noch einmal auf Terrys und Geris Bedingung Männer. Diese Verteilung hat einen Mittelwert von 9,64. Lassen Sie uns für einen Moment den Mittelwert auf 10 aufrunden. In dieser Verteilung haben vier Männer den Messwert 10. Was wäre, wenn zwei von ihnen nicht 10, sondern 9 als Messwert hätten? Und was, wenn die zwei anderen 11 als Messwert und nicht 10 hätten? Nun haben wir eine Situation, in der der Mittelwert der gleiche bleibt 10, wobei jedoch keiner 10 als Messwert hätte. Obwohl also der Mittelwert den wahren Durchschnittswert angibt, so sagt er nichts darüber aus, welche Messwerte die meisten Versuchsteilnehmer erzielen. In der Tat sagt er nichts darüber aus, welche Messwerte insgesamt erzielt worden sind. Es mag aber sein, dass Terry und Geri gerne wissen möchten, welcher Messwert der gängigste, der typischste in der Verteilung wäre. Wenn ja, so wäre der Modalwert eine nützliche Ergänzung zum Mittelwert. Beispiel 3 Der Mittelwert ist keine Option Werden die Messwerte anhand von Ordinal- oder Nominalskalen dargestellt, d. h. anhand von Rangordnungspositionen oder Ergebnisalternativen, ist es unmöglich, einen Mittelwert zu berechnen, so dass der Median und der Modalwert als Maße der zentralen Tendenz genutzt werden müssen. Nur Messwerte auf Intervallskalenniveau können zur Berechnung eines Mittelwertes genutzt werden (Intervall-, Ordinal-, und Nominalskalenniveaus werden etwas detaillierter in der zweiten Hälfte dieses Kapitels behandelt). Maße der zentralen Tendenz werden oft gemeinsam mit Maßen präsentiert, die angeben, wie sich die Messwerte eines Datensatzes verteilen, wie die Messwerte streuen. Diese Maße werden Maße für die Streuung genannt. Sie zeigen, ob sich die Messwerte in einem Datensatz an einem zentralen Punkt häufen oder sich weiträumiger ausbreiten. Die Kombination aus der zentralen Tendenz und der Streuung gibt ein gut abgerundetes Bild davon, wie die Messwerte in einer Datenmenge verteilt sind. Die Darstellung des einen ohne den anderen gilt unter Fachleuten als unzureichend.

8 162 5 Statistik in der Psychologie Drei Maße für die Streuung Der Variations- oder Streubereich ist der direkteste Anhaltspunkt zur Bestimmung der Messwertabweichungen in einem Datensatz. Der Variationsbereich ergibt sich aus der Abweichung zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Messwert. Sie bestimmen den Streubereich also durch Subtraktion des niedrigsten Messwertes vom höchsten. In Kasten 5E wird das für den Variationsbereich im Experiment von Terry und Geri gezeigt. Kasten 5 E Bestimmung des Variationsbereichs für die Bedingung Männer in der Studie von Terry and Geri Schritt 1 Ordnen Sie die Messwerte vom kleinsten zum größten Messwert 4, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14 Schritt 2 Subtrahieren Sie den kleinsten Messwert vom größten Messwert = 10 Der Variationsbereich der Reaktionszeiten in Terrys und Geris Studie beträgt 10 Sekunden. Die allgemeine Abweichung entspricht dem Mittelwert für die Streuabstände zum Mittelwert. Mit anderen Worten, die mittlere Abweichung misst, wie die Messwerte durchschnittlich vom Durchschnittswert abweichen (wie sie um den Mittelwert streuen). Um die mittlere Abweichung zu bestimmen, müssen Sie zuerst den Mittelwert Ihres Datensatzes berechnen. Dann müssen Sie berechnen, um wie viel jeder einzelne Messwert vom Mittelwert abweicht. Letztendlich berechnen Sie den Mittelwert dieser Abweichungen. Kasten 5F zeigt dies für die Messdaten von Terry und Geri. Beachten Sie, dass die mittlere Abweichung selten als Streumaß verwendet wird. Mathematisch gilt das Vernachlässigen der negativen und positiven Vorzeichen bei der Summierung der Einzelabweichungen als ziemlich heikel, und man weicht deshalb auf die Standardabweichung als ein solideres Maß der Streuung aus. Kasten 5F Bestimmung der allgemeinen Abweichung für die Bedingung Männer in Terrys and Geris Studie Schritt 1 Bestimmen Sie den Mittelwert des Datensatzes: 9,64 Schritt 2 Bestimmen Sie, um wie viel jeder einzelne Messwert vom Mittelwert abweicht. Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem einzelnen Messwert. In der folgenden Liste sind die Beträge in den Klammern die Abweichungen für den jeweiligen Messwert. 4( 5,64), 5( 4,64), 5( 4,64), 6( 3,64), 8( 1,64), 8( 1,64), 8( 1,64), 8( 1,64), 9( 0,64), 9( 0,64), 10(+0,36), 10(+0,36), 10(+0,36), 10(+0,36), 11(+1,36), 11(+1,36) 11(+1,36), 11(+1,36), 11(+1,36), 11(+1,36), 12(+2,36), 12(+2,36), 13(+3,36), 14(+4,36), 14(+4,36) Schritt 3 Berechnen Sie den Mittelwert aller Abweichungen. Addieren Sie alle Abweichungen auf und ignorieren Sie alle positiven und negativen Vorzeichen. Anschließend dividieren Sie die Summe durch die Anzahl der Abweichungen. 5,64 + 4,64 + 4,64 + 3,64 + 1,64 + 1,64 + 1,64 + 1,64 + 0,64 + 0,64 + 0,36 + 0,36 + 0,36 + 0,36 + 1,36 + 1,36 + 1,36 + 1,36 + 1,36 + 1,36 + 2,36 + 2,36 + 3,36 + 4,36 + 4,36 = 52,8 52,8 : 25 = 2,1 Die allgemeine Abweichung der Reaktionszeiten in Terrys und Geris Studie beträgt 2,1 Sekunden.

9 5.2 Deskriptive Statistik in der Psychologie 163 Die Standardabweichung (s, σ) ist ein Maß, das die Streuung mathematisch raffinierter und besser beschreibt als die mittlere Abweichung. Wenn Sie die Standardabweichung für Ihre Untersuchungsstichprobe anwenden, so vermeiden Sie das ziemlich unbeholfene Ignorieren aller negativen und positiven Vorzeichen bei der Summierung der Einzelabweichungen. Die Standardabweichung lässt sich in sieben Schritten berechnen, die im Folgenden aufgezeigt werden: Schritt 1: Bestimmen Sie den Mittelwert des Datensatzes. Schritt 2: Berechnen Sie, um wie viel jeder Messwert vom Mittelwert abweicht, indem Sie den Mittelwert von jedem Messwert subtrahieren. Schritt 3: Quadrieren Sie jede Einzelabweichung aus Schritt 2. Schritt 4: Summieren Sie alle quadrierten Werte aus Schritt 3, um die Summe der Quadrate zu erhalten. Schritt 5: Subtrahieren Sie 1 von der Anzahl N der Messwerte Ihres Datensatzes, und erhalten Sie N 1. Kasten 5G Bestimmung der Standardabweichung für die Bedingung Männer in der Studie von Terry and Geri Schritt 1 Bestimmen Sie den Mittelwert des Datensatzes: 9,64 Schritt 2 Bestimmen Sie, um wie viel jeder einzelne Messwert vom Mittelwert abweicht. Subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem einzelnen Messwert. In der folgenden Liste sind die Beträge in den Klammern die Abweichungen für den jeweiligen Messwert. 4( 5,64), 5( 4,64), 5( 4,64), 6( 3,64), 8( 1,64), 8( 1,64), 8( 1,64), 8( 1,64), 9( 0,64), 9( 0,64), 10(+0,36), 10(+0,36), 10(+0,36), 10(+0,36), 11(+1,36), 11(+1,36) 11(+1,36), 11(+1,36), 11(+1,36), 11(+1,36), 12(+2,36), 12(+2,36), 13(+3,36), 14(+4,36), 14(+4,36) Schritt 3 Quadrieren Sie jede Einzelabweichung aus Schritt 2. In der folgenden Liste sind die Beträge in den Klammern die quadrierten Abweichungen für jeden Messwert. 4(31,8), 5(21,5), 5(21,5), 6(13,2), 8(2,7), 8(2,7), 8(2,7), 8(2,7), 9(0,4), 9(0,4), 10(0,1), 10(0,1), 10(0,1), 10(0,1), 11(1,8), 11(1,8) 11(1,8), 11(1,8), 11(1,8), 11(1,8), 12(5,6), 12(5,6), 13(3,36), 14(19), 14(19) Schritt 4 Summieren Sie alle quadrierten Werte aus Schritt 3, um die Summe der Quadrate zu erhalten. 31,8 + 21,5 + 21,5 + 13,2 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 2,7 + 0,4 + 0,4 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 1,8 + 5,6 + 5,6 + 3, = 171,3 Schritt 5 Subtrahieren Sie 1 von der Anzahl der Messwerte der Datenmenge, so erhalten Sie N = 24 Schritt 6 Dividieren Sie die Summe der Quadrate durch N 1. Somit erhalten Sie die Varianz des Datensatzes. 171,3 : 24 = 7,1 Schritt 7 Berechnen Sie die Quadratwurzel der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten. 2 7,1 = 2,7 Die Standardabweichung der Reaktionszeiten in der Studie von Terry und Geri beträgt 2,7.

10 164 5 Statistik in der Psychologie Schritt 6: Dividieren Sie die Summe der Quadrate durch N 1. Somit erhalten Sie die Varianz der Datenmenge. Schritt 7: Berechnen Sie die Quadratwurzel der Varianz, um die Standardabweichung zu erhalten. Die Standardabweichung wirft einige Fragen auf Bevor Sie dieses Prozedere auf die Daten von Terry und Geri anwenden, vermuten Sie vielleicht, dass die Standardabweichung einige Fragen aufwirft, die es zu beantworten gilt. Zuerst einmal: Was ist Varianz? Nun, das ist der Begriff, der für das Quadrat der Standardabweichung benutzt wird. Das Maß der Varianz wird manchmal auch als ein eigenständiges Maß der Streuung angewendet, während wir es hier nur als Schritt verwenden, um die Standardabweichung zu berechnen. Nächste Frage: Wenn wir die Standardabweichung (s) der Stichprobe berechnen, warum dividieren wir die Summe der quadrierten Abweichungen durch N 1 und nicht durch N (die Anzahl der Abweichungen)? Nun, das Dividieren durch N 1 anstatt durch N bedeutet, dass Varianz und Standardabweichung eines Datensatzes etwas größer sind als es bei Division durch N der Fall wäre es erzeugt ein Maß der Streuung, das ein wenig zur großzügigen Seite tendiert. Der mathematische Grund liegt darin, dass wir die Standardabweichung (s) für einen Datensatz einer Stichprobe und nicht für die gesamte Grundgesamtheit berechnen (siehe Kapitel 4 zur Erläuterung von Stichproben und Grundgesamtheiten). Da die Messwerte einer Stichprobe höchstwahrscheinlich nicht die Grundgesamtheit perfekt darstellen, schätzen wir Varianz und Standardabweichung für Stichproben etwas großzügig nach oben ab, um den sogenannten Stichprobenfehler zu berücksichtigen. Dies macht die Verallgemeinerung unseres Streuungsmaßes für die gesamte Grundgesamtheit vertrauenswürdiger. Nicht alle Maße der Streuung sind gleich nützlich Wie bereits erwähnt, wird die mittlere Abweichung nur selten als Streuungsmaß verwendet. Daraus dürfen Sie zu Recht schließen, dass nicht alle Maße für die Streuung gleich nützlich sind. Der Variationsbereich und die Standardabweichung haben beide ihren Nutzen, je nach dem, was Sie über Ihre Daten wissen möchten. Möchten Sie einen schnellen und einfachen Weg, um die Streubreite Ihrer Daten zu bestimmen, dann ist die Variationsbreite das ideale Maß. Möchten Sie ein Maß, das alle Messwerte in Ihrem Datensatz erfasst, dann ist die Standardabweichung die richtige Wahl. Da diese beiden Maße verschiedene Aspekte über die Streuung der Werte in Ihrem Datensatz wiedergeben, so liegt es nahe, beide zu gebrauchen. Wie der Mittelwert, der Median und der Modalwert ergänzen sie sich gegenseitig. Vielleicht möchten Sie die Leser Ihres Untersuchungsberichts, den Sie jetzt mit den Maßen der zentralen Tendenz und der Streuung ausarbeiten können, auch mit einer augenfreundlichen Darstellung der Messwerte Ihrer Versuchsteilnehmer verwöhnen. Grafische Darstellungen, die Daten zusammenfassen, können zusammen mit den Maßen der zentralen Tendenz und der Streuung eingesetzt werden. Diese Kombination aus Bildern und Zahlen verdichten Ihre Daten auf eine informative und anschauliche Weise. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Messwerte zusammenzufassen, wenn man grafische Darstellungen einsetzt.

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