Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2012/2013

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/03 Fach Mathematik (B) Prüfungstag 3. Mai 03 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00-3:00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätter Aufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 6 Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Aufgabenvorschlag B /46 Am. Februar 0 wird um 4:00 Uhr ein Erdbeben mit der Anfangsstärke auf der sogenannten Richter-Skala gemessen. Das Beben dauert etwas länger als drei Minuten. Die x-achse gibt die Dauer des Bebens in Minuten, die y-achse die Stärke in Werten von 0 bis 0 an. Die Gleichung der Funktion, die den Erdbebenverlauf annähernd darstellt, lautet: 4 3 f ( x) =,875 x + 0,65 x 0,65 x + 6,875 x +. Auf dem Graphen von f sind sechs charakteristische Punkte zu erkennen. Nennen Sie diese bei ihrem mathematischen Namen und entnehmen Sie der Skizze die ungefähren Koordinaten.. Nach ungefähr einem Drittel der Erdbebendauer erreicht der Anstieg der Bebenstärke den Wert 0 und es scheint so, dass der Höhepunkt des Bebens erreicht sei. Danach nimmt die Stärke des Bebens aber zunächst wieder zu. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes und formulieren Sie einen Antwortsatz, der auf Zeitpunkt (in Sekunden) und Bebenstärke Bezug nimmt..3 Leider nimmt die Stärke des Bebens nach ungefähr einem Drittel der Erdbebendauer erneut zu. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt danach die Zunahme am stärksten ist..4 Weisen Sie nach, dass das Beben nach genau,5 Minuten seine maximale Stärke erreicht hat. Berechnen Sie die Stärke des Erdbebens zu diesem Zeitpunkt..5 Berechnen Sie mit Hilfe eines Näherungsverfahrens, zu welchem Zeitpunkt das Beben vollständig beendet ist. Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma genau. Brechen Sie nach maximal drei Iterationsschritten die Rechnung ab. /6 /3 / /6 /9 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Seite von 4

3 Mathematik B Land Berlin /7 y In der rechten Abbildung sind der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades und die Normale im Wendepunkt des Graphen dargestellt. Die drei fett markierten Punkte haben ganzzahlige Koordinaten. x. Bestimmen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der Funktionsgleichung dieser Funktion. Die Lösung dieses Gleichungssystems ist nicht erforderlich.. Lösen Sie stattdessen das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit 3 die gesuchte Funktionsgleichung f ( x) = ax + bx + cx + d der Funktion f : a + b c + d = 3 8a + 4b c + d = 3a + 3b c + d = 3 b + c = /0 /7 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Seite von 4

4 Mathematik B Land Berlin 3 /7 c Ein Goldschmied entwirft einen Anhänger, der aus drei quadratischen Goldplättchen zusammengesetzt ist, die alle mm dick sind (siehe Abbildung rechts). Die Gesamthöhe beträgt mm, das oberste Quadrat ist halb so breit wie das unterste. Das Schmuckstück soll minimales Volumen haben. b a 3. Zeigen Sie, dass man das Volumen des Anhängers mit der Funktionsgleichung der Zielfunktion V(c) = 8 c² - 5 c + 88 berechnen kann, wobei c die Kantenlänge des obersten Quadrates in mm ist und V(c) das Volumen des Ohranhängers in mm³. /8 3. Geben Sie an, welche Werte für c sinnvoll sind und begründen Sie. / 3.3 Wie sind die Kantenlängen der drei Quadrate zu wählen, damit der Anhänger minimales Volumen hat? /7 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Seite 3 von 4

5 Mathematik B Land Berlin 4 /36 Gegeben sind die beiden reellen Funktionen f und g durch die Funktionsgleichnungen f ( x) = x x + und 4 4 g ( x) = x x g f 4. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der beiden Graphen und begründen Sie Ihre Aussagen. 4. Berechnen Sie das bestimmte Integral 3 3 die äußeren Nullstellen der Funktion f sind. f ( x) dx, wobei x = 3 und x = 3 Erklären Sie, warum Sie nicht den Inhalt der Fläche berechnet haben, die vom Graphen von f und der x-achse vollständig eingeschlossen wird. 4.3 Beschreiben Sie, wie der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-achse vollständig eingeschlossen wird, berechnet werden kann. Die Durchführung der Berechnung ist nicht erforderlich. 4.4 Berechnen Sie, um wie viele Einheiten a der Graph von g nach oben verschoben werden muss, so dass die vom Graphen von g und der x-achse im Intervall [0;] eingeschlossene Fläche FE beträgt. 4.5 Ein Architekt plant für eine Gartenanlage den Bau von drei Wasserbecken in der Form der Fläche, die vollständig von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossen wird. Die Tiefe der Becken beträgt,0 Meter. Für beide Achsen gilt, dass eine Längeneinheit einem Meter entspricht. Berechnen Sie das Gesamtvolumen aller drei Wasserbecken. / /6 /4 /6 /8 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Seite 4 von 4

6 Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Schnittp. mit x-achse (-0, 0); Schnittp.mit y-achse (0 ); Sattelpunkt. ( 7); Wendepunkt ( 8); Hochpunkt (,3 8,5); 6 6 Schnittp. mit x-achse (3, 0). Vermutung: bei x = liegt eine Sattelstelle vor, d.h. es muss gelten: f'() = 0; f"() = 0; und f'"() 0 wäre dann hinreichend. Berechnung der Ableitungsfunktionen 3 f ( x) = 7,5x + 3,875x 4, 5x+ 6,875 f ( x) =,5x + 63, 75x 4, 5 f ( x) = 45x+ 63, 75 Prüfung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen f () = 7, 5 + 3, 875 4, 5 + 6, 875 = 0 f () =, , 75 4, 5 = 0 f () = , 75 0 Bei x = handelt es sich um eine Sattelstelle. Berechnung der Bebenstärke: f() = 7 Nach genau 60 Sekunden hat das Beben die Stärke 7.3 Die Steigung ist am größten im Wendepunkt.4 Notwendige Bedingung: f ( x) = 0 + = = +,5x 63,75x 4, x,83x.83 Lösungen berechnet: x = und x =,83 x ist die Sattelstelle und kommt nicht in Frage f (, 83) > 0 L R WP bei x w =, 83 Nach etwa 0 Sekunden steigt das Edbeben am stärksten an. notwendige Bedingung geprüft: f (, 5) = 0 hinreichende Bedingung geprüft f (, 5), 7 < 0 Max. y-koordinate berechnet f (, 5) 8,53 Nach 35 Sekunden hat das Beben die maximale Stärke 8, Zwischensumme. bis Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite von 5

7 Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B.5 Zwischensumme. bis.4 Lösung mittels Newton-Verfahren: gx ( n) x n x + n Startwert 3 gewählt g ( xn ) n xn f(xn) f'(xn) 3,00000, , , ,586-7, ,0803 Nach ca. 3,08 min 85 s ist das Beben beendet. Summe Ansatz: f(x) = ax³ +bx² +cx +d; f'(x) = 3ax² +bx + c; f"(x) = 6ax +b Punkt (- 3) f(-) = 3 Punkt (- ) f(-) = Wendestelle - f"(-) = 0 Normalensteigung -½ an der Stelle - Tangentensteigung an der Stelle - f'(-) = 0 a + b c + d = 3 Gleichungssystem 8a + 4b c + d = a + b = 0 a 4b + c =. Gleichungssystem lösen: a = -; b = -6; c = -0; d = f(x) = -x³ -6x² -0x - 7 Summe 5 7 Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite von 5

8 0< c < 7 c= a a= c V( c) = ( c) + ( 3c) + c = 8c c+ 8c + c = 8c 5c+ 88 V ( c) = 56c 5 = 0 V ( c) = 56c 5 = 0 c = 4,5 3 3 Vmin = amin + bmin + cmin = 35mm = 0, 35cm Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B 3. HB: V(a,b,c) = a² + b² + c² soll minimal sein NB: c = ½ a a = c NB: a + b + c = b = - a - c b = - 3c Zielfunktion: ( ) ( ) Vc ( ) = c + 3c + c ( ) ( ) = 4c c+ 9c + c = 8c c+ 8c + c = 8c 5c Natürlich muss 0 < c sein und wegen a+b+c = 3c+b = auch 3c < und damit 0 < c < V ( c) = 56c 5 V ( c) = 56 Notw. Bed. für Extremstellen: V ( c) = 0 56c 5 = 0 Lösung: c = 4,5 7 Hinr. Bed. prüfen: V ( c) = 56 V (4,5) = 56 > 0 Max. cmin = 4,5mm amin = 9mm bmin = 7,5mm 8 Summe Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite 3 von 5

9 Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B G f und G g sind achsensymmetrisch zur y-achse, da alle in den Funktionstermen vorkommenden Exponenten von x gerade sind. (oder auch: f(x)=f(-x) bzw. g(x)=g(-x) für alle x D.) 3 3 f ( x) dx = f ( x) dx = ( F(3) F(0)) F( x) = x x + x F(3) = 3, 6; F(0) = 0 Ansatz 3 Stammfunktion 6 f ( x) dx = 7, Berechnungen 3 Mit diesem Integral wurde nicht Inhalt der Fläche berechnet, die vom Graphen von f und der x-achse vollständig eingeschlossen wird, weil f (x ) im Integrationsintervall das Vorzeichen wechselt A = f ( x) dx + f ( x) dx = ( F() F(0) + F(3) F() ) 4 0 F ist Stammfunktion von f 4.4 Ansatz für die gesuchte Funktion 4 5 gx ( ) = x+ x+ a eingeschlossene Fläche: g( x) dx = x + x + ax = + + a Es soll gelten: a = a = Zwischensumme. bis Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite 4 von 5

10 Abschlussprüfung Fachoberschule 03 Mathematik Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Zwischensumme. bis Differenzfunktion: d( x) = x + 5x Ansatz für Nullstellen: 0 = x + 5x 0 = x 0x Substitution x ² = u ergibt 0 = u 0u+ Lösungen berechnet: u 9,53 und u 0,47 Resubstitution: x / ± 3,09 und x 3/4 ± 0,69 Flächenberechnung: 0,69 3,09 A = d( x) dx + d( x) dx = ( D(0,69) D(0) + D(3,09) D(0,69) ) 3,8 0 0, Stammfunktion D( x) = x + x x D(0, 69), 0; D(3, 09) 5, Volumenberechnung: V = 3,8 m², m = 38,6 m³ Das Gesamtvolumen beträgt ca. 38,6 m³ Summe In Aufgabe wurden von 46 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. In Aufgabe wurden von 7 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. In Aufgabe 3 wurden von 7 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. In Aufgabe 4 wurden von 36 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. Insgesamt wurden von 6 möglichen Bewertungseinheiten erreicht. Insgesamt wurden von 00% möglichen Bewertungseinheiten erreicht. Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist nur ein unverbindlicher Vorschlag. Seite 5 von 5