Statistik I (B) Universität Mannheim Lehrstuhl für Statistik Toni Stocker FSS 2007

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1 Statistik I (B) Universität Mannheim Lehrstuhl für Statistik Toni Stocker FSS 2007

2 Foliensymbolik... Beginn eines neuen Kapitels (Folienkopf) Übung... Aufgaben für die Übungen R Programmcode 2

3 Einführung 3

4 Organisatorisches Materialien und Literatur Termine und Zeiten Zur Übungsgruppeneinteilung Prüfungsmodalitäten Organisatorisches 4

5 Materialien und Literatur Lehrmaterialien Folien (integrativ): Vorlesung + Übungen Teilweise zusätzliche Übungsmaterialien in den Übungen Folien i.d.r. wochenweise vor der Vorlesung (Freitag?) Zu finden unter: => => Veranstaltungen => Link unter Statistik I (B) Organisatorisches Materialien und Literatur 5

6 Materialien und Literatur Literaturempfehlungen Fahrmeir, Künstler, Pigeot, Tutz: Statistik Der Weg zur Datenanalyse, 5. Auflage; Berlin, Heidelberg: Springer, Schira: Statistische Methoden in der VWL und BWL; München: Pearson Studium, Weiter(führend)e Literatur: Fahrmeir, u.a. : Arbeitsbuch Statistik, 4. Auflage; Berlin, Heidelberg: Springer, Bamberg, Baur: Statistik, 2 Auflage; München, Wien: Oldenbourg, Bamberg, Baur: Statistik - Arbeitsbuch, 7. Auflage; München, Wien: Oldenbourg, Hartung, Elpelt, Klösener: Statistik Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, 3. Auflage; München, Wien: Oldenbourg, Organisatorisches Materialien und Literatur 6

7 Materialien und Literatur Software Die statistische Software R kann unter frei heruntergeladen werden. Dort findet sich auch ein gutes Benutzerhandbuch. Jegliche Inhalte der Vorlesung mit Bezug auf R sind nicht prüfungsrelevant! Ein kurzes Beispiel: Im folgenden wird die Summe der Zahlen.6, 4.0, 8.2, 2.7 und 6.3 berechnet. Programmcode: x=c(.6,4.0,8.2,2.7,6.3) sum(x) Organisatorisches Materialien und Literatur 7

8 Termine und Zeiten Vorlesung Tag Zeit Raum Dozent Montag 0:5-:45 M 003 Toni Stocker Dienstag 3:45-5:5 M 003 Toni Stocker Kontakt: Sprechstunde: Di, 5:30-7:00 Uhr Raum: L7, 3-5, Zi. 43 Telefon: Organisatorisches Termine und Zeiten 8

9 Termine und Zeiten Tag Zeit Raum Übungsleiter Montag 08:30-0:00 5:30-7:00 7:5-8:45 7:5-8:45 Mittwoch 0:5-:45 2:00-3:30 2:00-3:30 Donnerstag 08:30-0:00 08:30-0:00 2:00-3:30 Freitag 08:30-0:00 0:5-:45 Übungen L9, -2, 003 L9, -2, 009 L9, -2, 009 L9, -2, 003 L9, -2, 003 L7, 3-5, P043 L9, -2, 003 L7, 3-5, P043 L9, -2, 003 L9, -2, 003 L9, -2, 003 L9, -2, 003 Frederic Damköhler Stefanie Hirsch Stefanie Hirsch Alexander Hillert Cornelius Goldkamp Cornelius Goldkamp Alexander Hillert Thomas Fix Frederic Damköhler Thomas Fix Frederic Junker Frederic Junker Organisatorisches Termine und Zeiten 9

10 Termine und Zeiten Kontakt Übungsleiter Frederic Damköhler Stefanie Hirsch Alexander Hillert Cornelius Goldkamp Thomas Fix Frederic Junker Die Abgabe von bearbeiteten Aufgaben erfolgt via an die eweiligen Übungsleiter. Die Lösung sollte als Textdatei (.doc,.txt) im anhang eingereicht werden. Organisatorisches Termine und Zeiten 0

11 Übungsgruppeneinteilung Online: => => Veranstaltungen => Link unter Statistik I (B) Benutzername: statistik0 Passwort: statistik_ss Beachten Sie die Kleinschreibung! Die Freischaltung des Passwortes erfolgt am gegen 8 Uhr. Die Eintragung in eine Übungsgruppe ist absolut notwendig! Organisatorisches - Übungsgruppeneinteilung

12 Prüfungsmodalitäten Prüfungsleistung: 80% Klausur + 20% Übungsaufgaben im Sinne der Gesamtpunktezahl zur Berechnung der Prüfungsnote. Klausur: 3 Stunden, reine MC-Klausur (ohne Taschenrechner) Beispiel: Punktezahl Klausur: 60 (von max. 80) Übungen: 7 (von max. 20) Gesamt: 77 (von max. 00) => Der Prüfungsnote werden 77 Punkte (von 00) zugrunde gelegt. Genauere Hinweise zur Bewertung der Übungsaufgaben erfolgen in den Übungen. Organisatorisches - Prüfungsmodalitäten 2

13 Einführung in die Statistik Was versteht man unter Statistik? Inhaltlicher Überblick Statistische Grundbegriffe Einführung in die Statistik 3

14 Begriff und Definition Was versteht man unter Statistik? Herkunft: neulateinisch status (Staat, Zustand) Lehre von der Zustandsbeschreibung des Staates Brauchbare Definition für unsere Zwecke: Definition: Statistik ist die Wissenschaft von der Erhebung, Aufbereitung, Darstellung, Analyse und Interpretation von Daten. Daten Befragung, Zählung, Experiment,... => Stichprobe Ordnen, tabellieren, Mittelwerte berechnen, grafisch darstellen,... Welche Schlüsse können gezogen werden? Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 4

15 Was versteht man unter Statistik? Stichprobentheorie (Erhebungstechniken) Inhalte von... Beschreibende Statistik (Deskriptive Statistik) Statistik I ein wenig... mittels statistischer Methodik Schließende Statistik (Induktive Statistik) Statistik II Statistische Methodik speziell in... Ökonometrie Das Wesentliche Zeitreihenanalyse der Statistik spielt Multivariate Statistik... sich hier ab.... und allgemeiner im Rahmen vieler Realwissenschaften Biometrie, Psychometrie, Technometrie, Agrarwissenschaften,... Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 5

16 Ein Beispiel (konstruiert) Was versteht man unter Statistik? Ein Marktforschungsinstituts möchte mittels Telefonumfrage (Zufallsauswahl/Stichprobe) untersuchen, wie viel Prozent aller Deutschen mindestens ein Handy besitzen. Einer ein Jahr alten Untersuchung zufolge soll der Anteil bei etwa 67% liegen. Es interessiert nun auch die Frage, ob der Anteil gestiegen ist. Telefonbefragung (Stichprobe) Auswertung der Befragung Beantwortung der beiden Untersuchungsziele aufgrund der vorliegenden Daten Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 6

17 Was versteht man unter Statistik? Wie viele Handys besitzen Sie? Mögliche Probleme: Richtige Erhebung wird vom Untersuchungsziel bestimmt Wie viele Leute sollen befragt (angerufen) werden? Aus welcher Menge und wie soll die Zufallsauswahl erfolgen? Was ist mit Handybesitzern ohne Telefonanschluss? Problem der Nichtbeantwortung Problem unpräziser (nicht verwertbarer) Antworten Präzision der Frage... Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 7

18 Was versteht man unter Statistik? Handy kein Handy Richtige Aufbereitung und Darstellung wird von Erhebung und Untersuchungsziel bestimmt. Handy kein Handy Auszählung: Ermittlung einer Anzahl von Besitzern und Nichtbesitzern Mögliche Probleme: Wahl einer geeigneten (grafischen) Darstellung Nichtbeantwortung (wurden diese erfasst?) Unpräzise (nicht verwertbare) Antworten (falls diese noch ersichtlich sind)... Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 8

19 Was versteht man unter Statistik? Resultat könnte z.b. lauten: Relativer Anteil der Handybesitzer unter 500 Befragten beträgt 69%. Mögliche Probleme: Richtige Analyse und Interpretation setzt Kenntnis des ganzen Prozesses voraus. Stichprobe kann stets zufällig zu falschen Resultaten führen Schätz- bzw. Testproblem War Stichprobe groß genug? Wie groß ist die Aussagekraft (Zuverlässigkeit) der Ergebnisse? Ist die Handyquote nun gestiegen oder nicht? Wie kann das Ergebnis der Untersuchung sachgerecht wiedergegeben werden?... Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 9

20 Statistik als Wissenschaft Was versteht man unter Statistik? Übersichten von Daten Tabellen Grafiken Komprimierung Maßzahlen... Explorative Datenanalyse (=> Data Mining) Schätzen (Punkt- und Konfidenzschätzung) Testen Wichtiges Grundlagenfach: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik) gelegentlich als eigenständiges Gebiet Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 2 von Statistik I Einführung in die Statistik - Was versteht man unter Statistik? 20

21 Statistik im Bachelorstudium Inhaltlicher Überblick Statistik I: Deskriptive Statistik Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik II: Elementare Stichprobentheorie Induktive Statistik (Schätzen und Testen)... Grundlagen der Ökonometrie weiterführend/aufbauend: Ökonometrie Zeitreihenanalyse Multivariate Statistik... Deskriptive Statistik Statistische Grundbegriffe Deskription univariater Daten Deskription multivariater Daten Indizes Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Rechnen mit einfachem Mengenkalkül Eindimensionale Verteilungen Mehrdimensionale Verteilungen Exkurs zur schließenden Statistik Einführung in die Statistik - Inhaltlicher Überblick 2

22 Statistische Einheiten und Gesamtheiten Statistische Grundbegriffe Definition: Obekte, deren Merkmale in einer gegebenen Fragestellung von Interesse sind und im Rahmen einer empirischen Untersuchung erhoben, also beobachtet, erfragt oder gemessen werden sollen, werden als statistische Einheiten (SE) oder Merkmalsträger bezeichnet. Die Menge aller für eine Fragestellung relevanten statistischen Einheiten wird als Grundgesamtheit (GG) bezeichnet. Die möglichen Werte (Kategorien), die ein Merkmal annehmen kann, heißen Merkmalsausprägungen. Notwendig: Definition und Abgrenzung der statistischen Einheiten durch Identifikationskriterien (zeitlich, räumlich, sachlich). Typisch für statistische Untersuchungen: Nicht Untersuchung der ganzen Grundgesamtheit (Totalerhebung), sondern Beschränkung auf eine Teilmenge (Teilgesamtheit) => Teilerhebung, Stichprobe Problem der Repräsentativität i.d.r. Zufallsmechanismus im Spiel Einführung in die Statistik - Statistische Grundbegriffe 22

23 Statistische Grundbegriffe Merkmalstypen Qualitative Merkmale vs. Quantitative Merkmale Merkmalsausprägungen Merkmalsausprägungen sind sind artmäßig Zahlen Geschlecht, Alter, Religionszugehörigkeit, Personen im Haushalt, Status (verheiratet, ledig,...), z.b. Einkommen, Handy (Ja/Nein), Anzahl der Handys, Quantitative Merkmale Diskrete Merkmale vs. Stetige Merkmale Endlich oder abzählbar unendlich viele verschiedene Merkmalsausprägungen Personen im Haushalt, Alter in Jahren, quasistetig Einkommen,... Können in einem Intervall theoretisch eden reellen Wert als Ausprägung annehmen Alter, Körpergröße,... Einführung in die Statistik - Statistische Grundbegriffe 23

24 Statistische Grundbegriffe Skalierungsarten Kardinal skalierte Merkmale (auch metrisch skaliert) => i.d.r. quantitative Merkmale Abstände zwischen Ausprägungen sind sinnvoll interpretierbar Ordinal skalierte Merkmale Unter Merkmalsausprägungen gibt es natürliche Rangordnung, Abstände können nicht sinnvoll interpretiert werden; z.b. Schulnoten, sozialer Status, Tabellenplatz (Bundesliga),... Nominal skalierte Merkmale Ausprägungen sind Namen oder Kategorien, zwischen Ausprägungen kann nur Gleichheit oder Ungleichheit festgestellt werden; z.b. Farbe, Fahrzeugmarke, Studiengang, Geschlecht,... Beachte: Merkmal Geschlecht codiert: männlich =, weiblich = 0 Signierung (weiterhin nominal skaliert) Einführung in die Statistik - Statistische Grundbegriffe 24

25 Statistische Grundbegriffe => Übungen Eine Firma interessiert sich im Rahmen der Planung von Parkplätzen und dem Einsatz von firmeneigenen Bussen dafür, in welcher Entfernung ihre Beschäftigten von der Arbeitsstätte wohnen und mit welchen Beförderungsmitteln die Arbeitsstätte überwiegend erreicht wird. Sie greift dazu auf eine Untersuchung zurück, die zur Erfassung der wirtschaftlichen Lage der Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter durchgeführt wurde. Bei der Untersuchung wurden an einem Stichtag 50 Beschäftigte ausgewählt und zu folgenden Punkten befragt: - Haushaltsgröße (Anzahl der im Haushalt lebenden Personen), - monatliche Miete, - Beförderungsmittel, mit dem die Arbeitsstätte überwiegend erreicht wird, - Entfernung zwischen Wohnung und Arbeitsstätte, - eigene Einschätzung der wirtschaftlichen Lage mit =sehr gut,..., 5=sehr schlecht. a) Geben Sie die Grundgesamtheit und die Untersuchungseinheiten an. b) Welche Ausprägungen besitzen die erhobenen Merkmale, und welches Skalenniveau liegt ihnen zugrunde? Einführung in die Statistik - Statistische Grundbegriffe 25

26 Teil : Deskriptive Statistik 26

27 Univariate Deskription und Exploration von Daten Verteilungen und ihre Darstellungen Maßzahlen zur Beschreibung von Verteilungen Dichtekurven und Normalverteilung* * kann auch entfallen e nach Zeit Univariate Deskription und Exploration von Daten 27

28 Verteilungen und ihre Darstellungen Häufigkeiten Ausgangssituation: Stichprobe aus Grundgesamtheit mit Merkmal X Beispiel : X... Anzahl der Personen in einem Haushalt Grundgesamtheit... 3 Stichprobe vom Umfang n (=8) Beobachtungswerte des Merkmals X x = x = x = 4 x 3 x = 2 x = x =2 x = = Urliste (Rohdaten) Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 28

29 Verteilungen und ihre Darstellungen Absolute und relative Häufigkeiten bei Urliste n a, a 2, K, a k Stichprobenumfang Mögliche Ausprägungen eines Merkmals n ( a ) = n Absolute Häufigkeit der Ausprägung f ( a ) = f Relative Häufigkeit der Ausprägung n, n 2, K, f, f 2, K, n k f k Absolute Häufigkeitsverteilung Relative Häufigkeitsverteilung a a bei mindestens ordinaler Skalierung: i.d.r. geordnet a a p 2 pkp a k Beachte: Im Allgemeinen sollte n > 0 sein. Klar: f n / n. = Beispiel fortgesetzt: Urliste: x =, x =, x =4, x =3, x =2, x =, x =2, x = Ausprägungen: a =, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4 korrespondiert hier nur zufällig! Absolute Häufigkeitsverteilung: Relative Häufigkeitsverteilung: n = 3, n2 = 2, n3 = 2, n4 = f = 0.375, f2 = 0.25, f3 = 0.25, f4 = 0.25 Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 29

30 Beispiel : Tabellarische Aufbereitung Verteilungen und ihre Darstellungen a n f bei dieser Gelegenheit: 4 = n = = n + + n 2 + n3 n = f = = f + + f 2 + f 3 f = 8 = k Allgemein gilt: n = n + K + n n, f = f + K + f = = k = k = k Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 30

31 Verteilungen und ihre Darstellungen Übung: Rechnen mit Häufigkeiten (und Summenzeichen) Ein Schreibwarenhändler verkauft Aktenordner in verschiedenen Farben. In einer Woche führt er eine Strichliste zur Anzahl der verkauften Ordner einer bestimmten Farbe. Tag schwarz rot grün gelb blau verkauft Definiere nun für die Ausprägungen des Merkmals Farbe : a a 4 = = schwarz, a 2 = rot, gelb, a 5 = blau. a = grün, 3 Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: n (i) n, (ii), (iii), f, n (iv) n (v) = 3 5 = = = n n = = 2 Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 3

32 Verteilungen und ihre Darstellungen => Übungen Vervollständigen Sie nachstehende Tabelle und berechnen Sie anschließend die Ausdrücke (i) bis (x). (i) (v) (viii) x = 5 = (ii) x t (iii) x x (iv) ( 2 x + 5) t = ( x + y ) = x (vi) y = = 5 5 = = 5 5 x 2 x (ix) i= = x y = 5 x y (vii) x i x (x ) = x y = 5 x 2 Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 32

33 Verteilungen und ihre Darstellungen Beispiel 2: Nettomieten von n = 26 Wohnungen Daten: 77.3, 04.4, 32.24, 58.9, 63.7, 66.48, 70.04, 8.98, 83.09, , 20.55, 227.9, , , 26.98, 263.2, , , 28.2, 3.87, , 359.7, 36.60, , , Tabellarische Aufbereitung mit Klassenbildung Klasse ( c, c] n ~ (0, 00] (00, 200] (200, 300] (300, 400] (400, 500] (500, 600] sinnvoll ~ f Beachte hier: n ( a ) =, =, K,26 => k = n Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 33

34 Verteilungen und ihre Darstellungen Absolute und relative Häufigkeiten bei Klassenbildung c c n ~ ~ f Linke Klassengrenze der -ten Klasse Rechte Klassengrenze der -ten Klasse Absolute Häufigkeit der Werte in -ter Klasse Relative Häufigkeit der Werte in -ter Klasse Beachte: Im Allgemeinen sollte n ~ > 0 sein. ~ Klar: f n~ / n. = Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 34

35 Wozu Grafiken? 35

36 Grafische Darstellungen Verteilungen und ihre Darstellungen Beispiel : Elementargrafiken für Personenanzahl in Haushalten Stabdiagramm, falls Säule schmal für nominal, ordinal und quantitativ diskrete Merkmale geeignet; auch relative Darstellung möglich. Optimale Darstellung? Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 36

37 Verteilungen und ihre Darstellungen Programmcode: > pie(c(""=3,"2"=2,"3"=2,"4"=),main="kreisdiagramm") > barplot(c(""=3,"2"=2,"3"=2,"4"=),ylab="absolute Häufigkeit",xlab="Anzahl von Personen im Haushalt",main="Säulendiagramm") > barplot(c(""=3,"2"=2,"3"=2,"4"=),horiz=t, xlab="absolute Häufigkeit",ylab="Anzahl von Personen im Haushalt",main="Balkendiagramm") Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 37

38 Verteilungen und ihre Darstellungen Säulen, Balken- und Kreisdiagramm Säulendiagramm: Trage über a,, a k eweils eine zur x-achse senkrechte Säule mit Höhe n,, n oder f,, f ab. K K K k k Balkendiagramm: Wie Säulendiagramm, aber mit horizontal gelegter x-achse. Kreisdiagramm: Flächen der Kreissektoren proportional zu den Häufigkeiten. o Winkel des -ten Kreissektors: α f 360 = Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 38

39 Verteilungen und ihre Darstellungen Beispiel 2: Stamm-Blatt-Diagramm für Nettomieten The decimal point is 2 digit(s) to the right of the (50, 00] (00, 50] (50, 200] 3. Beobachtungswert (350, 400] für metrisch skalierte Merkmale geeignet; Stichprobenumfang sollte nicht zu groß sein. Urliste: 77.3, 04.4, 32.24, 58.9,..., ,..., Beobachtungswert Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 39

40 Verteilungen und ihre Darstellungen... alternativ mit kleinerer Klassenbreite The decimal point is 2 digit(s) to the right of the (0, 00] (00, 200] 3. Beobachtungswert Urliste: 77.3, 04.4, 32.24, 58.9,..., ,..., Beobachtungswert Optimale Darstellung? Optimale Klassenbreite? Denkt Software mit? Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 40

41 Verteilungen und ihre Darstellungen Programmcode: > x=c(77.3,04.4,32.24,58.9,...,243.44,...,533.92) > stem(x) > stem(x,scale=0.5) 2. Darstellung mit kleinerer Klassenbreite Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 4

42 Was ist eine gute grafische Darstellung? 42

43 Stamm-Blatt-Diagramm Verteilungen und ihre Darstellungen. Teile den Datenbereich in Intervalle gleicher Breite ein. Trage die erste(n) Ziffer(n) der Werte im eweiligen Intervall links von einer senkrechten Linie der Größe nach geordnet ein. Dies ergibt den Stamm. 2. Runde die beobachteten Werte auf die Stelle, die nach den Ziffern des Stamms kommt. Die resultierenden Ziffern ergeben die Blätter. Diese werden zeilenweise und der Größe nach geordnet rechts vom Stamm eingetragen. Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 43

44 Verteilungen und ihre Darstellungen Beispiel 2: Histogramm (Häufigkeitsdichte) für Nettomieten mit 6 Klassen 00 (, c] c ~ f (0, 00] (00, 200] (200, 300] /00 = (300, 400] (400, 500] (500, 600] Häufigkeitsdichte : 0.385% pro Einheit Beachte: Gesamtfläche = Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 44

45 Verteilungen und ihre Darstellungen Beispiel 2: Arbeitstabelle für Histogramm mit 6 Klassen ( c, c] ~ d n ~ ~ f / d (0, 00] (00, 200] (200, 300] (300, 400] (400, 500] (500, 600] f Arbeitstabelle für Histogramm mit 3 Klassen (Variante ) ( c, c] d ~ n ~ ~ f / d 2 3 (0, 200] (200, 400] (400, 600] f Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 45

46 Verteilungen und ihre Darstellungen Arbeitstabelle für Histogramm mit 3 Klassen (Variante 2), c ] d ~ n ~ 2 3 ( c (0, 00] (00, 400] (400, 600] f ~ f / d Übung: Ergänzen Sie die folgende Arbeitstabelle Arbeitstabelle für Histogramm mit 2 Klassen 2 (, c] c (0, 300] (300, 600] d n ~ ~ f ~ f / d Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 46

47 Verteilungen und ihre Darstellungen Optimale Darstellung? Optimale Klasseneinteilung? Denkt Software mit? Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 47

48 Verteilungen und ihre Darstellungen Programmcode: > hist(x,prob=t,xlab="nettomiete in Euro", ylab="häufigkeitsdichte",main="histogramm mit 6 Klassen") > hist(x,prob=t,breaks=c(0,200,400,600),xlab="nettomiete in Euro",ylab="Häufigkeitsdichte", main=". Histogramm mit 3 Klassen") > hist(x,prob=t,breaks=c(0,00,400,600),xlab="nettomiete in Euro",ylab="Häufigkeitsdichte", main="2. Histogramm mit 3 Klassen") > hist(x,prob=t,breaks=c(0,300,600),xlab="nettomiete in Euro",ylab="Häufigkeitsdichte", main="histogramm mit 2 Klassen") Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 48

49 Verteilungen und ihre Darstellungen Beachte: Histogramme insbesondere geeignet für metrisch skalierte, stetige Merkmale. Vorteilhaft gegenüber Stamm-Blatt-Darstellung bei sehr vielen Beobachtungswerten. Voreinstellung von R (bevorzugte Variante) Histogramm Zeichne über den Klasssen ( c0, c ], K,( c k, ck ] oder [ c0, c ), K,[ c k, ck ) Rechtecke mit Breite: d = c c ~ Höhe: gleich (oder proportional zu) f / d bzw. ~ Fläche: gleich (oder proportional zu) bzw. f n ~ / d n ~ Bevorzugte Variante: Vorlesungsstandard! Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 49

50 Verteilungen und ihre Darstellungen => Übungen Aufgabe Gegeben seien die folgenden 8 Beobachtungswerte: 4, 3, 2, 5, 0, 7, 5 und 20. Die Verteilung der Werte soll durch ein Histogramm dargestellt werden. R F Die Häufigkeitsdichte eines eden Histogramms an der Stelle 0 ist gleich 0. Falls als Klassengrenzen, 6, und 2 (3 Klassen) gewählt werden ist der Wert der Häufigkeitsdichte an der Stelle 2 gleich Die Fläche der 3. Histogrammsäule ist gleich 20/56. Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 50

51 Verteilungen und ihre Darstellungen Aufgabe 2 Das dargestellte Histogramm Häufigkeitsdichte R F könnte von den Werten -0.5, 0.8,.2 und 2.8 erzeugt sein, x enthält mehr Werte in der 2. Klasse als in der. Klasse, lässt darauf schließen, dass genau die Hälfte aller Beobachtungswerte größer ist. Univariate Deskription und Exploration von Daten - Verteilungen und ihre Darstellungen 5

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