2. Einführung in die Geometrische Optik

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1 2. Eiührug i die Geometrische Optik 2. Allgemeie Prizipie 2.. Licht ud Materie Optische Ssteme werde ür de Spektralbereich zwische dem extreme Ultraviolette ( m) ud dem thermische Irarote (Q-Bad bei 2 µm) ach sehr ähliche Prizipie ud Kozepte kostruiert. I diese Bereiche gelte mit geügeder Geauigkeit die Gesetze der geometrische Optik, wobei ma der Ausbreitug des Lichtes Strahle zuordet, dere Weg durch das optische Sstem mit Hile eiiger eiacher Formel beschriebe werde ka. Im sichtbare Spektralbereich beschreibt ma optische Ssteme bei eiige Stadardwelleläge, die de Emissiosliie bestimmter Etladugslampe etspreche (Frauhoer-Liie). Die Eigeschate traspareter optischer Materialie lasse sich durch dere Brechugsidex beschreibe. Dieser gibt das iverse Verhältis der Lichtgeschwidigkeit im Medium c zu der im Vakuum c wieder: c = (.) c Der Brechugsidex ist eie Fuktio der Wellelägeλ, die sich wiederum mit dem Medium ädert, c c λ = λ =. (.2) ν ν Die optische Wegläge ist das Itegral über de Brechugsidex lägs eies gegebee Weges: l = ( λ ) ds (.3) 8

2 Die Variatio des Brechugsidex mit der Welleläge gibt Alass zur Dispersio. Sie lässt sich mit der Abbe- Zahl V agebe: V = F. (.4) d C Dabei ist d der Brechugsidex des Materials bei der Welleläge des eutrale Heliums (He I) bei m, ud C ud F der Brechugsidex bei de Welleläge der erste beide Liie der Balmer-Serie des eutrale Wasserstos bei m ud 486. m. Je größer die Abbe-Zahl, desto geriger ist die Dispersio des Materials. Viele Glasarte habe traditioelle Name (z. B. Kro- ud Flitgläser). I der Kostruktio sid Größe vo Brechugsidex ud der Dispersio wichtig. Daher ka ma aus dem Brechugsidex ud der Abbezahl eie allgemeie Nomeklatur ür Gläser i Form eier sechsstellige Zahl der Form NNNVVV ableite. Die erste drei Zier NNN etspreche dem gazzahlige Teil vo ( d ), die drei Zier VVV etspreche dem gazzahlige Teil vo V. Für ei Kroglas mit d =.532 ud V = 58.7 ist die Kezahl daher Die Kezahl ist u. U. herstellerabhägig Geometrische Optik Geometrische Optik gilt im Grezall verschwided kleier Lichtwelleläge, wo die Eekte der Beugug verachlässigt werde köe. Dies ist isbesodere da der Fall, we die das Lichtbüdel begrezede Aperture sehr groß gege die Lichtwelleläge sid. Im betrachtete Spektralbereich ist diese Näherug i. a. gut erüllt. Die Ausbreitug des Lichts läßt sich mit Hile vo Büdel vo Lichtstrahle darstelle. Ma ka sehr komplexe Ssteme vollstädig ach Prizipie der geometrische Optik etwickel. Eie Würdigug der Qualität der Optik bzw. ihrer Fehler ist aber erst mit der Welleoptik sivoll möglich. 9

3 Drei Gesetze sid ür die geometrische Optik wichtig:. Trasmissiosgesetz: i Medie mit kostatem Brechugsidex breite sich Lichtstrahle geradliig aus. 2. Relexiosgesetz: der Ausallswikel ϑ r relativ zur Flächeormale eies relektierte Lichtstrahls etspricht dem Eiallswikel ϑ i : ϑ = ϑ r i 3. Brechugsgesetz: die Wikel der eiallede ud gebrochee Strahle verhalte sich gemäß dem Sellschem Gesetz: siϑ = siϑ r r i i Hieraus olgt, dass alle Strahle - eialled, relektiert ud gebroche - i eier Ebee mit der Flächeormale liege. Bei dem Übergag vo eiem Medium mit hohem Brechugsidex i zu eiem Medium mit iedrigerem t Brechugsidex r ka es zu Totalrelexio komme, we ϑ i > ϑ c mit si ϑc = ist Strahlekostruktio mit eiache Spiegel ud Lise Der erste Schritt bei der Kostruktio eies optische Sstems ist häuig eie simple Kostruktio mit Bleistit ud Lieal, um sich Klarheit über die wesetliche Eigeschate ud Dimesioe des Sstems zu mache. Das eiachste optische Elemet mit abbildede Eigeschate ist ei sphärischer Spiegel mit Krümmugsradius R. Eie durch de Krümmugsmittelpukt ud de Smmetriepukt der Spiegelläche (Scheitelpukt) deiierte Gerade ist die optische Achse des Spiegels. Ei Büdel zu der optische Achse paralleler Strahle wird vo eiem kovexe, sphärische Spiegel ideal zu eiem gemeisame Pukt au der Achse relektiert (Brepukt). Der Abstad des Brepukts zum Scheitelpukt ist =. Bei eiem kokave, sphärische Spiegel divergiert das Büdel ach der Relexio, der Bre- R 2 i

4 pukt ist virtuell. Allgemei köe Strahle mit sphärische Spiegel ach olgede eiache Regel kostruiert werde:. Die Kostruktio eies Strahls begit ausgehed vo eiem Objektpukt vo liks ach rechts. Bei Autree au eie Spiegelläche kehrt sich die Strahlrichtug um. 2. Ei parallel zur optische Achse verlaueder Strahl verläut ach der Relexio durch de Brepukt. 3. Strahle durch de Brepukt verlaue ach der Relexio parallel zur optische Achse. 4. Ei Strahl durch de Scheitelpukt verläut vor ud ach der Relexio im selbe Wikel zur optische Achse. 5. Ei Strahl durch de Krümmugsmittelpukt verläut ach der Relexio i sich zurück. Eiache Lise lasse sich ählich wie sphärische Spiegel durch ihre Breweite charakterisiere. Diese hägt vom Brechugsidex des Materials ud vo de Radie der Begrezugsläche ab. Regel 2. ud 3. gelte aalog ür die Brechug a der Lise. Astelle vo Regel 4 durchläut ei Strahl durch de Scheitelpukt der Lise selbige ohe Brechug. Der Verlau beliebiger Strahle durch ei optisches Elemet lässt sich durch Hilskostruktioe - parallel verlauede Strahle durch Brepukte ud Scheitelpukte - bestimme. Bei der Kombiatio optischer Elemete bestimmt ma sequetiell die Lage der Bildpukte, die Objektpukt ür das olgede Elemet werde Eiache Strahlerechug Strahle, die i der Nähe der optische Achse verlaue, bilde mit ihr ur kleie Wikel. Hier köe Sius ud Tages gleich de Wikel im Bogemaß gesetzt werde. Näherugsrechuge, die dieses ausutze, sid be-

5 soders eiach. Ma spricht vo der paraxiale Näherug. x z Eiache Rechuge ka ma ot au eie Ebee, welche die optische Achse ethält, beschräke. Traditioell ist die Ausbreitugsrichtug des eiallede Lichtstrahls lägs der optische Achse die positive z-achse. Sekrecht dazu verläut die -Achse. Muss ma die Rechug i die dritte Dimesio erweiter, so wird die x-achse hizugeomme, die mit de adere beide ei rechtshädiges xz-koordiatesstem bildet. Der Ursprug ist au der optische Achse. Im Allgemeie gelte olgede Vorzeicheregel:. Ei i das Sstem eitreteder Strahl verläut i positive z-richtug. Bei Relexioe ädert sich das Vorzeiche der Verlausrichtug. 2. Abstäde werde vo eier Kompoete lägs der z-achse vorzeichebehatet gemesse. 3. Höhe werde lägs der -Achse vorzeichebehatet gemesse. 4. Krümmugsradie werde vom Scheitelpukt zum Krümmugsmittelpukt lägs der z-achse gemesse. 5. Breweite kovergiereder Elemete sid positiv, divergiereder Elemete egativ. 6. Bei Strahle, die i egativer Richtug verlaue, kehre sich die Vorzeiche vo Distaze um, Brechugsidices sid egativ. 7. Wikel werde vo der optische Achse etgegegesetzt des Uhrzeigersis positiv gerechet. Hieraus olgt, dass Spiegel mit egativem Krümmugsradius eie positive Breweite habe. 2

6 2..5 Spiegelgleichug θ α ta u si u u = t ta u si u u = t taα siα α = R Aus de Wikel ergibt sich damit erhält ma u = 2ϑ + u = α + ϑ u + u = 2α, = 2 = oder t t R =. (.5) t t Dies ist die Abbildugsgleichug ür Spiegel. Objekt- ud Bildhöhe, 2 ergebe sich aus de Distaze t, t 2 ach de ähliche Dreiecke =, daraus ergibt sich die Lateralvergrößerug t t M = u u α t t t 2 2 = (.6) t 3

7 2..6 Düe Lise Aus de ähliche Dreiecke ergibt sich 2 2 t = 2 = t Dies lässt sich kombiiere zu der Abbildugsgleichug ür düe Lise, =, (.7) t t welche exakt (.5) etspricht. Für die Lateralvergrößerug gilt auch hier die Gleichug (.6). x x t - 2 t Ebeso gelte die Beziehuge x x 2 = ; =. 2 Daraus olgt die Newtosche Abbildugsgleichug: x = x 2 4