I. Defintionsmenge - Nullstellen ======================================================================

Transkript

1 I. Defintionsmenge - Nullstellen Gleichungstyp Lösung = a x = lna e bx = a x = b lna a e 2x + b + c = 0 Überführung durch Substitution u = in die quadratische Gleichung au 2 + bu + c = 0 Aufgaben. Bestimme die Nullstellen von a) f : x 2e x b) f : x e 2x 3e x + 2 b) Bestimme die maximale Definitionsmenge e a) f : x b) c) e 2x 2 f : x x f : x 2 2 II. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs Typ Methoden zur Grenzwertbestimmung u(x) a) Geeignete Umformung b).l'hospital : lim für bzw. v(x) u'(x) a R a = ± v'(x) x x 0 x x u(x) a)) Geeignete Umformung b).l'hospital lim für bzw. v(x) u'(x) a R a = ± v'(x) x x 0 x x 0 0 Geeigete Umformung (Umwandlung des Funktionsterms in einen Bruchterm) Geeignete Umformung (Umwandlung des Funktionsterms durch Ausklammern) Ist f(x) = g[h(x)] die Vernüpfung zweier Funktionen, dann untersucht man zur Bestimmung von lim f(x) zuerst lim h(x). x x 0 x x 0 Hat man lim h(x) = u 0 bestimmt, dann untersucht man lim g(u). x x 0 u u 0

2 Beispiele :. a) lim e 2x + H H 2x = + = 0 2 = b) lim x 2 lim 2. a) lim e 2x x H = lim ( + ) ( ) = ( + ) = 2 b) lim H 3. lim x x x x e = lim x x e = 0 0 x 4. lim (x ) [ ( x x )] = da lim x e = 0 5. lim e x = weil lim und x = lim e u = u e lim x = weil lim und x = lim e u = x 0 0 x 0 0 u

3 III. Ableitung - Monotonie - Extrema Grundtyp Ableitung f(x) = g(x) f '(x) = g'(x) + g(x) e f(x) = f '(x) = g(x) ex g'(x) g(x) [g(x)] 2 f(x) = g[ ] f '(x) = g'[ ] Aufgaben. Bestimme den Term der Ableitungsfunktion e 2x a) f : x x b) f : x c) d) f : x (x 2 + ) e x f a : x x + a eax Die Monotonie einer Funktion kann sich an Nullstellen der. Ableitung, Definitionslücken oder Unstetigkeitsstellen ändern. x < x 0 x = x 0 x > x 0 Punkt (x 0 ; f(x 0 )) f '(x) + 0 Hochpunkt f '(x) 0 + Tiefpunkt f '(x) Terrassenpunkt f '(x) 0 Terrassenpunkt Bei Funktionenscharen unbedingt das Vorzeichen des Parametrers beachten! Gegebenfalls eine Fallunterscheidung treffen. Manchmal ist es günstig, die Art des Extremums mit Hilfe der 2. Ableitung zu bestimmen f '(x 0 ) f ''(x 0 ) Punkt (x 0 ; f(x 0 )) 0 + Tiefpunkt 0 Hochpunkt IV. Krümmungsverhalten - Wendepunkt Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann sich an Nullstellen der 2. Ableitung, Definitionslücken oder Unstetigkeitsstellen ändern. x < x 0 x = x 0 x > x 0 Punkt (x 0 ; f(x 0 )) f ''(x) + 0 Wendpunkt LK RK

4 x < x 0 x = x 0 x > x 0 Punkt (x 0 ; f(x 0 )) f ''(x) 0 + Wendepunkt LK RK Es gilt auch f ''(x 0 ) f '''(x 0 ) Punkt (x 0 ; f(x 0 )) 0 Wendepunkt Im Wendepunkt steigt bzw. fällt der Graph einer Funktion lokal am stärksten. Wendetangente und -nomale : y = f '(x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) y = falls f '(x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) f '(x 0 ) 0 Gegeben ist die Funktionenschar f a : x (x 2 + 2x mit und,. a ) eax x R a R a > 0 a) Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Schar durch. Charakterisieren Sie die Schar insgesamt. b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktionenschar für a = in einem sinnvollen Bereich. c) Sei nun p a eine Parabelschar mit der Gleichung : p a : y = a (x 2 + 2x a ) Zeigen Sie, dass f a und g a im Normalfall drei Schnittpunkte haben. Rechnen Sie die drei Schnitt- punkte für a = 5 aus. Berechnen Sie diejenigen Werte von a, für die sich die Graphen von f a und g a nur in zwei Punkten schneiden. Erläutern bzw. interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Lösung : a) Nullstellen : f a (x) = (x 2 + 2x a ) eax = 0 (x 2 + 2x a ) = 0 x = 0 x = 2 a Grenzverhalten : lim f a (x) (x 2 + 2x a ) eax = lim (x 2 + 2x a ) = und lim e ax = weil x 2 + 2x a lim f a (x) x x e ax 2x + 2 a x ae ax x 2 a 2 e = 0 ax

5 Extrema : f a '(x) = (2x + 2 a ) eax + (x 2 + 2x a ) eax a = (ax 2 + 2x + 2x a + 2 a ) eax = 0 x = a x = x = 2 2 a H a a 2 e 2 2 ist HP T a a 2 e 2 2 ist TP c) a (x 2 + 2x a ) = (x2 + 2x a ) eax (x 2 + 2x a ) = 0 a = eax x = 0 x = 2 a x = a lna Es gibt nur zwei Schnittpunkte, wenn a lna = 0 a = 0 Die Graphen berühren sich dann.

6 V. Integration Typ Methode e ax dx = a a eax dx = a eax + C Substitution xe ax2 dx = 2a 2axeax2 dx = 2a eax2 + C Substitution dx = ln + a + C + a Substitution xe ax dx = x a eax a eax dx = a x eax a 2 eax + C partielle Integration x 2 e ax dx = x 2 a eax 2x a eax dx = a x2 e ax 2 a xeax dx = = a x2 e ax 2 a a x eax a 2 eax + C = a x2 e ax 2 a 2 x eax + 2 a 3 eax + C partielle Integration (2mal) Aufgaben. Berechne a) (x + ) e x dx b) (e 2x 2 )dx c) ( + )( )dx d) e x + dx Hinweis zu d) : e x + dx = e 2x + dx und Ansatz : e 2x + = a + b + (Partialbruchzerlegung)

7 2. Das Bild zeigt den Graphen der Funktion f : x (e x + ) 2. Berechne den Inhalt der unendlich ausgedehnten Fläche, den der Graph von f im. Quadranten mit der y-achse und der Asymptote y = einschließt.