Analysis 8.

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1 Analysis 8 Aufgaben Gegeben sind die Funktionen f a durch f a (x) = a x x + (x R x ; a R a ) a) Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f a mit den Koordinatenachsen an. Ermitteln Sie je eine Gleichung für die Asymptoten der Graphen der Funktionen f a. Weisen Sie nach, dass die Graphen der Funktionen f a keine Extrem- und Wendepunkte besitzen. Zeichnen Sie die Asymptoten und den Graphen der Funktion f 5 in ein und dasselbe Koordinatensystem im Intervall 8 x 6. b) Der Graph der Funktion f 5 und die Koordinatenachsen begrenzen im ersten Quadranten eine Fläche F vollständig. Berechnen Sie deren Inhalt A. Durch Rotation der Fläche F um die x-achse entsteht ein Rotationskörper. Berechnen Sie dessen Volumen V. c) Im Punkt P ( 2 7) wird an den Graphen der Funktion f 5 die Tangente t 1 gelegt. Zeigen Sie, dass die Tangente t 1 durch den Punkt Q(0 9) verläuft. Weisen nach, dass durch den Punkt Q genau eine weitere Tangente t 2 an den Graphen von f 5 existiert. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes B dieser Tangente t 2 und geben Sie eine Gleichung der Tangente t 2 an. 1

2 Lösungen a) An den Nullstellen ist der Funktionswert f a (x) = 0: 0 = a x x + 0 = a x x = a Im Punkt S x (a 0) schneidet der Graph der Funktionen f a die x-achse. Zur Ermittlung des Schnittpunktes mit der y-achse wird der Funktionswert f a (0) bestimmt: f a (0) = a = 1 a ) Im Punkt S y (0 1 a schneidet der Graph der Funktionen f a die y-achse. Existiert eine Stelle an der der Nenner Null ist, so ist diese eine Polstelle: 0 = x + x = Die Gerade x = ist eine senkrechte Asymptote der Graphen der Funktionen f a. Durch Bestimmung der Grenzwerte lim f a(x) ermittelt man waagerechte Asym- x ± ptoten: a x lim x ± x + = lim x ± x ( a x 1) x ( 1 + ) = = 1 x Die Gerade y = 1 ist eine waagerechte Asymptote der Graphen der Funktionen f a. 2

3 Zur Bestimmung der Extrema werden die Nullstellen der ersten Ableitung f a ermittelt: f a (x) = a x x + f a(x) (x + ) (a x) = (x + ) 2 = a (x + ) 2 0 = a a = Es existiert keine Extremstelle, da a (siehe Definitionsbereich). Zur Bestimmung der Wendestellen wird die zweite Ableitung f a untersucht: auf Nullstellen f a(x) = a (x + ) 2 f a (x) = ( a) 2 (x + ) (x + ) 4 = 6 + a (x + ) 0 = 6 + 2a a = Es existiert keine Wendestelle, da a (siehe Definitionsbereich).

4 b) Der Flächeninhalt A ergibt sich durch Integration der Funktion f 5 in den Grenzen x 1 = 0 (y-achse)und x 2 = 5 (Nullstelle): A = 5 Durch Substitution t = x + ergibt sich: 0 5 x x + dx t = x + dx = 1 dx = x = t Es ergibt sich ein neues Integral mit den neuen Grenzen t 1 t 2 = 5 + = 8: = 0 + = und A = = = 8 5 (t ) t 8 t t 1 t 1 4

5 [ ] 8 = 8 ln t t = 8 ln 8 8 (8 ln ) ( ) 8 = ln Der gesuchte Flächeninhalt beträgt A 2, 85. Für das Volumen des Rotationskörpers gilt: V 5 0 [ f5 (x) ] 2 dx Durch analoge Substitution ergibt sich das Integral: V ( ) 8 t t + t 2 t 2 ( 64 8 t 2 [ [ t 16 t + ) 1 64 ] 8 t 16 ln t + t 8 16 ln ( 64 )] 16 ln + [ ( ) 16 ln + 55 ] 8 Das Volumen des entstehenden Rotationskörpers beträgt V 8, 29. c) Zur Bestimmung des Anstiegs m 1 der Tangente t 1 an den Graph der Funktion f 5 im Punkt P ( 2 7) wird der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle f 5 ( 2) ermittelt: m 1 = f 5( 2) = 5 ( 2 + ) 2 = 8 5

6 Die Tangentengleichung ergibt sich durch Einsetzen des Punktes P und des Anstiegs m 1 in die allgemeine Geradengleichung y = mx + n: 7 = 8 ( 2) + n n = 9 t 1 : y = 8x 9 Um zu zeigen, dass der Punkt Q auf der Tangente t 1 liegt, wird dieser in die Tangentengleichung eingesetzt: 9 = = 9 Der Punkt Q liegt auf der Tangente t 1. Der Anstieg m 2 der zweiten Tangente t 2 entspricht der ersten Ableitung f 5 (x). Da Q der Schnittpunkt der Tangente t 2 mit der y-achse ist, muss das absolute Glied n = 9 sein. Durch Einsetzen des Punktes R(x f 5 (x)) und des Anstiegs m 2 in die allgemeine Geradengleichung ergeben sich die Berührungsstellen: 5 x x + = 8 (x + ) 2 x 9 (5 x)(x + ) = 8x 9(x + ) 2 2x + 15 x 2 = 8x 9x 2 54x 81 0 = 8x 2 64x 96 0 = x 2 + 8x + 12 x 1,2 = 4 ± x 1,2 = 4 ± 4 x 1 = 2 x 2 = 6 Es existieren genau zwei Tangenten an den Graph der Funktion f 5 durch den Punkt Q. Der Berührungspunkt ergibt sich aus dem Funktionswert f 5 ( 6): f 5 ( 6) = = 11 6

7 ( Der Punkt B 6 11 ) ist Berührungspunkt der Tangente t 2 an den Graph der Funktion f 5. Der Anstieg m 2 ergibt sich aus dem Wert ersten Ableitung an der Stelle der Berührung f 5 ( 6): m 2 = f 5 ( 6) = 8 ( 6 + ) 2 = 8 9 t 2 : y = 8 9 x 9 7