13. Jgst. 2. Kursarbeit Datum:

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Marcus Weber
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1 13. Jgst. 2. Kursarbeit Datum: Klasse: GY LK 2 Fach: Mathematik (Leistungsfach) Thema: edingte W keit & Vierfeldertafel; inomial- & Normalverteilung; Sigma-Intervalle Name: Punkte: Note: Aufgabe 1: inomialverteilung I 28 a) In einer Urne liegen zwei rote, zwei grüne und eine goldene Kugel. eschreiben Sie ein Zufallsexperiment und ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem folgenden Term berechnen lässt: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 5 Versuchen mit Zurücklegen 4 Mal die goldene Kugel zu ziehen. 5;0, b) Ein Schnellrestaurant veranstaltet ein Gewinnspiel und schenkt jedem Kunden ein Los. Die Wahrscheinlichkeit für einen Sofortgewinn liegt bei p = 0,2. Ordnen Sie den folgenden Ereignissen den richtigen Term (P 1 bis P 6 ) der erechnung der Wahrscheinlichkeit zu: (i) (ii) (iii) Unter 10 Losen sind keine Sofortgewinne. Unter 10 Losen sind genau 4 Sofortgewinne. Unter 10 Losen ist mindestens ein Sofortgewinn. (i) P 4 (ii) P 2 (iii) P 5

2 c) Eine Zufallsvariable sei binomialverteilt mit dem Parameter n = 100. habe die Varianz V() = 9. Wie hoch sind p und der Erwartungswert? n p n n p p p p 100p p 100 p p 100 p 9 p 0,1 10 und p 0, p d) eurteilen Sie, welches der folgenden Diagramme zu einer inomialverteilung mit n = 10 Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p = 0,6 gehört. Diagramm (b), da der Erwartungswert bei 6 liegt und die Wahrscheinlichkeiten rechts vom Erwartungswert etwas größer sind als links wegen der p > 0,5

3 e) Die Abbildung zeigt eine inomialverteilung. Versuchen Sie, aus dem Graphen die Werte für n, µ und p zu bestimmen. Zeigen Sie die Korrektheit Ihrer Werte, indem Sie die Wahrscheinlichkeiten für (=1) und (=2) berechnen und erläutern Sie, wo diese Ergebnisse im Graphen enthalten sind. n = 10, µ = 2 und p = 0,2 10;0,2 10;0, , 2 0,8 0, , 2 0,8 0,302 Alternative 1: n = 8, µ = 2 und p = 0,25 8;0,25 8;0, ,25 0,75 0, , 25 0, 75 0,3115 Alternative 2 => nicht möglich wegen (=2) n = 6, µ = 2 und p = 1/3 1 6; 3 1 6; , ,3292

4 Aufgabe 2: Die Schießbude 30 Ein Schießbudenbesitzer hat festgestellt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in den späten Abendstunden p = 0,1 pro Schuss beträgt. Die Gewinne für die Trefferanzahl bei 5 Schüssen sind wie folgt verteilt: 0 2 Treffer: kein Gewinn 3 Treffer: 25,00 4 Treffer: 40,00 5 Treffer: ,00 a) estimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei 5 Schüssen mindestens 2 Treffer zu erzielen. 5;0,1 5 k2 k 5 k 5k 2 0,1 0,9 0, b) Ermitteln Sie die Mindestanzahl der notwendigen Schüsse, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 (i) Mindestens einen Treffer zu erzielen. (ii) Mindestens zwei Treffer zu erzielen. ( i) 1 0, ,95 n;0,1 n;0,1 n 0 n n;0,1 0 0, 05 0,1 0,9 0, 05 0 n ln 0,05 0,9 0, 05 n n 28, ln 0,9 n 1 0,05 ( ii) 2 0, ,95 n;0,1 ;0,1 n;0,1 n n n 1 n 1 0,1 0,9 0,1 0,9 0,05 n n1 0,9 n 0,1 0,9 0, 05 n 45,53 46

5 c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl im doppelten Intervall liegt? 50,1 0,5 und 0,50,9 0, 45 0, 6708 Intervall 0 ; 2 5 5;0,1 k 0 k 2 k 5k 2 0,1 0,9 0, ;0,1 5;0,1 5;0,1 d) Wie hoch darf/muss der Einsatz sein, damit es sich um ein faires Gewinnspiel handelt? Treffer Gewinn 0 25,00 40, ,00 W keit 0, ,0081 0, , ,1 0,9 0, ,1 0,9 0, ,1 0,9 0, , , , , , 2205 E

6 Aufgabe 3: Normalverteilung I 46 Eine Firma produziert Schokoladennikoläuse mit einem Sollgewicht von 200 g. Die Standardabweichung beträgt 10 g. Das Gewicht der Nikoläuse kann als normalverteilt angesehen werden. itte Ihre Ergebnisse in Form von Skizzen darstellen verwenden Sie hierzu die Anlage. a) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nikolaus (i) mehr als 220 g wiegt. (ii) weniger als 185 g wiegt , , P P P ,5 1 0, , ,5 P P

7 b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nikolaus höchstens 208 g und mindestens 192 g wiegt. P P , , ,57628 c) estimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nikolaus nicht ver- kauft werden kann, weil er um mehr als 20 g vom Standardwert (200 g) abweicht. vgl. Ergebnis von Teilaufgabe a) 2 P 180 P 220 0, , 0455 oder : 1 P ,9545 0, 0455

8 d) Welches Mindestgewicht besitzen 80 % der Nikoläuse? P k 0,8 1 P k 0,8 P k 0, 2 Tabelle k 200 z 0, 2 z 0,84 k 191, 6 10 e) Welches Gewicht besitzen die 10 % schwersten Nikoläuse? P k 0,1 1 P k 0,1 P k 0,9 Tabelle k 200 z 0,9 z 1, 28 k 212,8 10 Durch ein neues Herstellungsverfahren gelingt es, die Standardabweichung um 20 % zu verbessern also zu verringern. f) Ermitteln Sie nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nikolaus in den Verkauf gehen kann d.h. dass das Gewicht höchstens um 20 g vom Standardwert (200 g) abweicht.

P P 220 200 180 220 2 1 2 2,5 1 8 180 220 1 0,99379 0,98758 Aufgabe 4: Vierfeldertafel, aumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit 30 Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus langjähriger Erfahrung, dass

9 P P , , ,98758 Aufgabe 4: Vierfeldertafel, aumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit 30 Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus langjähriger Erfahrung, dass bei den in Zahlung genommenen Wagen 50 % Mängel am Motor, 70 % Mängel an der Karosserie und 30 % an Motor und Karosserie aufweisen. a) Vervollständigen Sie hieraus die nachfolgende Vierfeldertafel: M: Motormangel Summe K: Karosseriemangel Summe M: Motormangel M Summe K: Karosseriemangel 0,3 0,4 0,7 K 0,2 0,1 0,3 Summe 0,5 0,5 1,0

10 b) Wie müssten die beiden zugehörigen aumdiagramme aussehen, wenn man einmal mit der Karosserie auf der ersten Stufe beginnt und ein zweites Mal mit dem Motor auf der ersten Stufe startet? Start: Karosserie Start: Motor c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein in Zahlung genommener Wagen (i) (ii) ohne Mängel an Motor und Karosserie ist? einen Mangel am Motor besitzt, wenn bekannt ist, dass bereits die Karosserie schadhaft ist? i PM K 0,1 P M K 0,3 3 ii PK M PK M P K 0,7 7 0, 4286

Zusatzaufgabe: edingte Wahrscheinlichkeit Zeichnen Sie zu folgenden Mengenrelationen die Mengendiagramme und geben Sie zu den Ereignissen A und die bedingte

11 Zusatzaufgabe: edingte Wahrscheinlichkeit Zeichnen Sie zu folgenden Mengenrelationen die Mengendiagramme und geben Sie zu den Ereignissen A und die bedingte Wahrscheinlichkeit P A an, wenn gilt: a) A b) A c) A d) e) A a A P A A A A b A P A P A P A P A A c A P A A A d P A A A P P A P P P P A P P P P A P A P P A A e A P A P P P 0 P P 1 1 0

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