Monte Carlo Simulation und Varianzreduktion in Theorie und Praxis

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1 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Abstract: Es wird die Monte Carlo Silation beschrieben nd an zwei Beispielen veranschalicht. Daran anschlieβend werden Varianzredtionsethoden distiert Kontrollntion Stratiied Sapling Iportance Sapling nd an Beispielen verdetlicht. In der Folge wird dann der VaR eines einachen Portolios it der MC-Silation berechnet. Schlieβlich wird die Güte der MC-Silation rz angesprochen. Das Spreadsheet it den Zahlenbeispielen ann von herntergeladen werden. Während bei der VaR-Besting ittels der Varianz-Kovarianz-Methode vorasgesetzt werden ß daß sich der Wert eines Portolios bei Veränderng seiner Risioatoren nr linear oder qadratisch ändern dar ist diese Annahe bei der Besting von VaR ittels der Monte Carlo-Silation nicht notwendig. In contrast Monte Carlo silation is applicable with virtally any odel o changes in ris actors and any echanis or deterining a portolio s vale in each aret scenario. Als ein Nachteil der MC-Silation ss aber angesehen werden das der Approxiationsehler der Silation nr langsa sint. Haben wir es it einer Stichprobenlänge von z tn geht der Approxiationsehler nr das Silation eine Strategie der Varianzredtion Hand in Hand gehen. -ache zrüc. Dar sollte it der Ipleentierng einer MC- Diese Abhandlng enthält zahlreiche Zahlenbeispiele so de Foraliss Leben einzhachen nd de Leser die Möglicheit z geben die Deinitionen ach pratisch nachzvollziehen. Der Rest dieses Artiels ist olgenderaßen agebat: In Abschnitt wird die MC-Silation deiniert. Dann werden wir i olgenden Abschnitt den gendenen rohen Schätzer drch verschiedene alternative Schätzer ersetzt. Diese neen Schätzer weisen eine leinere Varianz als der rohe Schätzer a. Die Abschnitte nd schließen jeweils it nerischen Beispielen ab. In Abschnitt wenden wir die MC- Silation a ein Portolio-Proble an während wir in Abschnitt 4 eine Einordnng der MC-Silation hinsichtlich seiner Güte vornehen. Glasseran Heidelberger and Shahabddin

2 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis. Die Monte Carlo-Silation Anderson deiniert die MC-Silation olgenderaβen: Monte Carlo is the art o approxiating an expectation by the saple ean o a nction o silated rando variables. Die Monte Carlo-Methode ist also eine Appliation des statistischen Schliessens. Insoern bringt ihre Anwendng ach einen Standardehler it sich den es dann i weiteren Verla der Silation z redzieren gilt. Die MC-Silation geht olgenderaβen vor sich:. Wir haben das Integral d z lösen. Wir setzen d ψ. Falls das Intervall über das integriert wird ngleich de Einheitsintervall ist sind die Intervallgrenzen in nd zrechnen. Es ss also ein sog. Change o Variables drchgeührt werden.. Wir realisieren die Stichprobe {... } n n nd erhalten soit {... }... A diese Realisierng wenden wir nn nsere Fntion an nd erhalten so. 4. Wir berechnen den Mittelwert z E Φ d d ψ. hat also den Mittelwert ψ nd die noch nbeannte Standardabweichng σ. Nn setzen wir H nd erhalten H - Σ als einen nverälschten Schätzer ür ψ. Die Realisierng {... } ührt ns also z Schätzer h ür das geschte Integral. Es gilt nälich E. ist linear E H E E E Der Schätzer h wird der rohe Monte-Carlo-Schätzer genannt. E Anderson 999 Siehe hierz z.b. Holton

3 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Beispiel. Das Integral x dx ist ittels der Monte Carlo-Methode z bestien! Lösng: Wir wählen zerst eine Stichprobenlänge von nd realisieren eine Stichprobe {X X... X } i anliegenden Spreadsheet. Sodann wenden wir a jedes x... die Fntion x x x an. Letztendlich bilden wir das arithetische Mittel der Fntionswerte x... Die analytische Lösng des Integrals x dx ist: 4 x x dx nd der rohe Monte Carlo-Schätzer bewegt sich diesen Pnt it einer Abweichng von ε. Beispiel. Wir wollen das Mehrachintegral bestien! 4 x z * y dxdydz ittels der Monte Carlo-Silation Lösng: Znächst ühren wir ein sog. Change o Variable drch. So erreichen wir das das Integral über lät nd wir nsere obige Theorie verolgen önnen. Wir haben also drei Fntionen so z wählen das wir bei Einsetzen von sich der jeweils ntere Integrand bei Einsatz von sich aber der obere Integrand ergibt. So erhalten wir x y z T T.

4 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Soit erhalten wir das Integral * d d d da sich die Deterinante der Jacobi-Matrix z ergibt. Wir wählen wieder eine Stichprobenlänge von nd realisieren drei Stichproben {... } {... }nd {... } siehe anliegendes Spreadsheet. A jedes Tripel... wenden wir die Fntion * an.... Nn bilden wir das arithetische Mittel der Fntionswerte... Die analytische Lösng des Integrals 4 x z * y dxdydz ist: 4 x z * y dxdydz 9 /.85. Der rohe Monte Carlo-Schätzer bewegt sich diesen Pnt.. Varianzredtion Soweit scheint die MC-Silation ja drchas einach z sein nd an ot leicht z rohen MC- Schätzer. Für verschiedene Problestellngen gibt es aber bessere nd schlechtere MC-Schätzer. Dabei hat der bessere MC-Schätzer die geringere Varianz. Dezolge wollen wir ns nn de Proble der Redzierng der Varianz eines rohen MC-Schätzers zwenden. Es gibt nn zahlreiche Methoden der Varianzredtion. Wir betrachten hier lediglich drei Methoden etwas genaer. Wir betrachten hier zerst die Methode der Kontrollntion die agrnd ihrer einachen Ipleentierng der Einachheit i Ainden von entsprechenden Fntionen nd ihrer intitiven Vorgehensweise vielach angewandt wird 4. 4 Szechtan

5 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis. Kontrollntion Die Idee ist das an vo rohen Monte Carlo-Schätzer eine einach z behandelnde Fntion ζ abzieht nd dann deren Erwartngswert wieder hinzaddiert. So wird der Fehlerter ζ µ ζ bentzt z ontrollieren. n Wir deinieren also ein ξ : R R it beannte µ ξ E Wir deinieren weiter : o o haben wir also so deiniert c daβ bei ξ µ ξ wenn ξ ξ. positive c der rohe MC - Schätzer nach oben orrigiert µ < wenn dagegen ξ µ > wird der Schätzer nach nten orrigiert. o o ist nverälscht da E Ψ. Dieser Schätzer Das erlabt ns nn olgenden Schätzer ür Ψ z deinieren : wird o c ξ Der Standardehler σ o ist nn so leiner je näher cor µ ξ ξ ρ bei liegt.. also je stärer ξ nd orreliert sind. Es gilt : σ o ρ. Die Kontrolltechni ann die Schätzng ehr als das 7ache verbessern 5. Die richtige Kontrollntion z inden ann also viel helen. 5 Diethel Vorlesng: Nerische Methoden der Finanzatheati

6 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Beispiel. i Spreadsheet ein Zahlenbeispiel Man betrachte die Fntion. Ψ d Sei :. ψ hat den MC-Schätzer: Wir deinieren 8 : R R ζ Taylor-Entwiclng.Grades von Es gilt 8 7 E ζ ζ µ. Drch setzen von c erhalten wir: ζ µ ζ 8 8 So oen wir z nsere MC-Schätzer bei Inlsion der Kontrollntion ζ: 8 8.

7 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis. Stratiied Sapling Mit nonditionierter Stichprobenziehng rechtecverteilter ZVen önnen wir Pech haben dass die realisierten Werte alle in einer Ece liegen. Z Beispiel önnte olgendes passieren: Deswegen nterteilen wir die Region in ω disjnte Sbregionen Ω Ω... Ω ω. Wir deinieren nn ω ZVen it X j X n Ω j {eine jede ZV ist also gleichverteilt in seiner Sbregion} it den Wten p j PrX Ω j j.. ω. ω Die ZVen werden nn qasi gezwngen sich gleichässig a die Sbregionen Ω Ω... Ω ω z verteilen. Für nser Asgangsproble haben wir nn Ψ p E X p E X.. p E X E ω ω Mit der Stratiied Sapling-Methode wenden wir nn den rohen MC-Schätzer ür jede Erwartng EX j an nd ntzen dabei die Wten p j als Gewichte. Also haben wir: ω l p X l l l als nverälschten MC-Schätzer bei Anwendng der Stratiied Sapling-Methode l Die j s sind dabei die jeweiligen Stichprobenlängen a den Sbregionen Ω j. Diese j s önnen wir it der Forel p jσ j j bestien wobei ω i p σ i i i ω i vorgegeben sein ss. Die Standardabweichngen σ j werden dabei drch eine vorgeschaltete MC-Silation errechnet.

8 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Beispiel. i Spreadsheet ein Zahlenbeispiel 6 Z lösen sei das olgende Integral x x dxdx exp Als erstes ühren wir ein Change o Variables drch. Mit x x T g g T - - T nd Jg 4 erhalten wir 4 exp Wir erhalten olgenden Graphen dd Drch die Graphi wird anschalich das olgende nterteilng in Sbregionen sinnvoll ist: - Ω {.5 nd.5 } - Ω { >.5 nd.5 } oder {.5 nd >.5 } - Ω { >.5 nd >.5 } da die Fntion in de Qadranten rechts oben also Ω seine grössten Fntionswerte annit. 6 entnoen as Holton

9 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Eine gleichässige Stichprobenziehng a Ω Ω Ω Ω würde daz ühren das viele Realisationen der Stichprobe in die Sbregionen Ω nd Ω allen nd dort nichts oder nr sehr wenig zr Schätzng des Mittelwertes der z integrierenden Fntion beitragen. Die vorgeschaltete MC-Silation erbringt ns olgende j s: Der Stratiied Sapling-Schätzer hat also olgende Strtr: H p p p exp exp exp

10 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis. Iportance Sapling IS Bisher haben wir nr gleichverteilte ZVen betrachtet. Das ann aber z olgenden Szenarien ühren 7 : Abbildng Betrachten wir das Szenario einer verteilten ZVen V. Hier erhalten wir ür das Integral n E V v i. n i den Schätzer: x dx Betrachten wir aber das Szenario der 5-verteilten ZVen W. Hier erhalten wir olgende Schätzng: 5 n x dx 5 * E W w i. Ein äβerst ragwürdiger Schätzer da 8 % der w i i..n n i nichts über das Integral assagen da x ür < x < 5. Wir sollten also zr Schätzng Verteilngen heranziehen bei der verehrt ZVen von wichtigen Regionen der z integrierenden Fntion realisiert werden. 8 7 Beispiel entnoen as Anderson Wichtige Regionen einer Fntion sind in diese Kontext Regionen in denen besonders groβe Fntionswerte annit.

11 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Betrachten wir das Proble das Integral x A xdx z bestien. Sei hx eine Dichtention der ZVen x. Es gilt also h x dx x A x A x dx x x A h h x x. Dann haben wir: hx x A wo x dx x A h x x h x dx E h h x x it E h.. als Erwartngswertoperator basierend a der Verteilng h. Dabei wird h xi x i als Dichteindex engl. lielihood ratio bezeichnet. Betrachten wir das rechte Integral so önnen wir ableiten das ein IS-Schätzer ür nser Asgangsproble gewählt werden ann wenn wir eine Stichprobe von hx-verteilten ZVen X i ziehen nd die x i it de Dichteindices ltiplizieren. Das ührt ns z IS-Schätzer xi x n h n x wo x i hx. n i h i Die Agabe besteht nn darin eine gte Wahrscheinlicheitsdichte h z inden. Anderson gibt wünschenswerte Eigenschaten ür hx an: In sary a good iportance sapling nction hx shold have the ollowing properties:. hx > whenever x. hx shold be close to being proportional to x. It shold be easy to silate vales ro hx 4. It shold be easy to copte the density hx or any vale x that yo ight realize. 9 9 Anderson 999

12 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis. Einsatz der MC-Silation bei der VaR-Besting Nachde wir nn den MC-Schätzer ür den allgeeinen Fall hinreichend distiert haben onzentrieren wir ns nn a den Fall der VaR-Besting ittels der MC-Silation. Dabei werden wir das Qantil welches nser Konidenznivea widerspiegelt approxiativ bestien. Daz schneidern wir nsere Rezeptr. a diese Agabenstellng z. Der Zallsvariablenvetor.. i wo.. it i nd wie oben enthält jetzt nsere i Risioatoren die in verschiedenen Szenarien beobachtet werden. Das bedetet also das wir -al nser Portolio ne bewerten üssen Beispiel. nser Portolio besteht as 5 Tonnen Alini nd Tonnen Blei. Eine Tonne Alini ostet SD.5 eine Tonne Blei SD 45. Der atelle Wert des Portolios ist also p at SD 75. SD 45. SD.. 49 Die Kovarianzatrix sei gegeben drch: Σ nd der Mittelwert drch µ p at. Berechne den orgigen 95% SD VaR-Wert! Lösng: Wir realisieren eine gleichverteilte Stichprobe der Länge. As der so gewonnenen Realisierng {... } wo i i i T siehe Spreadsheet wird nn ein Vetor { x x... x } N I errechnet wo x i x i x i T nd I die Einheitsatrix darstellen. As de N I-verteilten Zallsvetor onstrieren wir nn ittels der Forel y i * x i µ einen N µ Σ-verteilten Zallsvetor sei dabei die z Σ gehörige Cholesy-Matrix

13 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Wir onstrieren einen neen Zallsvetor Y Y Y it seinen Realisationen y y y. So önnen wir nn die Stichprobenverteilng astellen nd erhalten: 98 Das.5-Qantil der Stichprobenverteilng ist Diesen Wert nehen wir als Approxiation der wahren Portolio-Verteilng nd erhalten das.95-qantil der Portolio- Verteilng Φ - 95 p at - Φ Der orgige 95% - SD VaR ist also SD 7. Bei Ipleentierng der in Kapitel distierten Varianzredtionsethoden oen wir de wahren VaR näher wobei wir den gewünschte Präzisionsgrad it weniger Drchläen also leinere erreichen. Holton nit eine technische Analyse der Güte der Varianzredtionsethoden vor.

14 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis 4. Einordnng der MC-Silation den VaR z berechnen önnen wir ns drei verschiedener Methoden bedienen:. der paraetrischen Methode. der historischen Silation nd der. Monte Carlo Silation Zwar sieht Die/Pan die Anwendng der Monte Carlo Silation agrnd ihrer Koplexität als einen letzten Asweg last resort an trotzde ss sich aber die MC-Silation eineswegs hinter den anderen zwei genannten Methoden verstecen. Eine seiner Stären liegt sicherlich in ihrer Anwendbareit bei sowohl linearen als ach nichtlinearen Derivativen. Fro an end-ser perspective the iportrant point to reeber is that i yo have signiicant nonlinear exposres in yor portolio a silation approach with ll position re-pricing will generally be ore accrate than a paraetric approxiation or estiating VaR however at the cost o greater coplexity. Die/Pan 997 RisMetric Grop 999

15 Monte Carlo Silation nd Varianzredtion in Theorie nd Praxis Literatrverzeichnis Anderson Eric C. 999 Vorlesng Monte Carlo Methods and Iportance Sapling Lectre Notes or Stat 587C Statistical Genetics Diethel Vorlesng Nerische Methoden in der Finanzatheati T Carolo- Wilhelina z Branschweig Pro. Dt. Kai Diethel Abteilng ür Nerische Matheati Die Darrel and Pan Jn 997 An overview o Vale at Ris Jornal o Derivatives 997 p Glasseran Pal Heidelberger Philip nd Shahabddin Eicient Monte Carlo Methods or Vale-at-Ris In: Mastering Ris Band Financial Ties Prentice Hall ach nter: pglasseran/other/asteringris.pd Holton Vale-at-Ris Theory and Practice San Diego Caliornia: Acadeic Press RisMetric Grop 999 RISK MANAGEMENT: A Practical Gide nter: Szechtan Control Variates Techniqes or Monte Carlo Silation. Proceedings o the Winter Silation Conerence Hrsg. S. Chic P.J. Sánchez D. Ferrin and D.J. Morris.