Value at Risk-Konzepte für Marktrisiken

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1 r. 7 Value a isk-kozee für Markrisike Heiz Cremers Augus 999 ISS Auor: Prof. Dr. Heiz Cremers Quaiaive Mehode ud Sezielle Bakberiebslehre Hochschule für Bakwirschaf, Frakfur am Mai Herausgeber: Hochschule für Bakwirschaf Privae Fachhochschule der BAKAKADEMIE Sersraße Frakfur/M. Tel.: 69/ Fax: 69/

2 Ihalsverzeichis Ihalsverzeichis Value a isk Aalyse... Value a isk-kozee Hisorische Simulaio Moe Carlo Simulaio Variaz-Kovariaz-Verfahre... 6 Variazzerlegug... 9 Lieraur... Weierführede Lieraur...

3 Value a isk Aalyse Ziel der Aalyse is, die Quaifizierug möglicher Weräderuge eies Porfolios aufgrud vo Äderuge der Markgröße (isikofakore, z.b. Zise, Kurse, Währuge. Währed die Szeario Aalyse (vgl. Basiswisse, Lekio 8, Abschi vo fese Äderuge der isikofakore ausgeh, versuch die Value a isk Aalyse, das Zufallsgesez der Markäderuge auf das Zufallsgesez der Weräderug des Porfolios zu überrage. Der Value a isk is da als dereige Porfolioverlus defiier, der ierhalb eies besimme Zeiraumes ur mi vorgegebeer Wahrscheilichkei och höher ausfalle ka. Value a isk Aalyse Vorgegebe sid ei Porfolio, ei Zeiraum (Haledauer; ewa = Tag oder Tage ud eie Wahrscheilichkei (Sicherheisiveau; ewa = %, % oder 5%. Wir fasse die Weräderug = V( +, V(, des Porfolios im zuküfige Zeiraum (, + als Zufallsvariable auf. V (, bezeiche de Wer des Porfolios um Zeiuk. Exkurs: -Quail. Gegebe sei eie Zufallsvariable X ud eie Wahrscheilichkei mi < <. Da heiß ede Zahl Q mi der Eigeschaf P( X < Q P( X Q Quail der Ordug (kurz: -Quail. Selbs we X koiuierlich vereil is ud folglich P( X < Q = = P( X Q gil is das -Quail i.a. ich eideuig besimm. Hireiched für die Eideuigkei vo Q is ewa die Bedigug: Die Dichefukio f X vo X is i eier Umgebug vo Q srik osiiv. Da für die Diche f X eier ormalvereile Zufallsvariable f X ( x > für alle x gil, is das -Quail i diesem Fall durch P( X < Q = ses eideuig besimm. Value a isk. Das egaive -Quail -Q der zufällige Weräderug wird Value a isk (des Porfolios bei der Haledauer zur Wahrscheilichkei gea ud mi Va bezeiche. Folglich gil P( V < Va = P( < Q = bzw. P( > Va = Die Größe Va is somi dieeige Verlusgreze des Porfolios, die im Zeiraum ur mi der Wahrscheilichkei och überschrie werde ka (vgl. Bild.

4 Value a isk-kozee Bild Q Sezielle Quaile. Lieg die Meßreihe V, K, emirischer Weräderuge vor, bereche sich das emirische Quail (vgl. Basiswisse, Lekio, Abschi..3 zu Qˆ = + wobei gt( α gazzahliger Teil vo [ gt( ] = α d.h. Qˆ is i der geordee Sichrobe [ ] [] L [ ] der ( gt( + -e Wer. Is die Weräderug V ormalvereil mi de Parameer µ ud, so besimm sich das -Quail aus P( V < Q = µ P Q µ < = Q = µ + wobei das -Quail der (, -Vereilug is. Häufige Were ehäl die folgede Tabelle: % 5%,5% % %,5%,% -,86 -,6449 -,96 -,537 -,363 -,5758-3,9 Beisiel. Ei Ivesor häl ei besimmes Porfolio über lägere Zei. Im Zeiuk besimme wir zu de Vorgabe = Tage (Haledauer ud = 5% (Sicherheisiveau de Value a isk. Die vorliegede Dae ehale 3 hisorische Weräderuge, K, 3 (i Geldeiheie GE des Porfolios i Zeiabsäde vo Tage:

5 Value a isk Aalyse V V e ach Auffassug der Dae köe zwei Verfahre zur Besimmug des Value a isk uerschiede werde. (a Emirische Vereilug. Wir fasse die Daereihe als emirische Vereilug der Zufallsvariable V auf ud besimme das emirische 5%-Quail ˆQ, 5 mi der obe agegebee Schäzfukio Qˆ des emirische Quails. Orde der Sichrobe [ ], K, [3] ergib Qˆ ud dami,5 = [ gt(,5 + ] = [] = 3 Va = Qˆ,5 = 3 GE Das Porfolio wird also ierhalb der ächse Tage mi der Wahrscheilichkei vo 95% keie größere Verlus erleide als 3 GE. (b ormalvereilug. Wir fasse die Dae als Sichrobe eier ( µ, - vereile Zufallsvariable V auf ud besimme aus de Dae ud de esrechede Schäzfukioe des emirische Erwarugsweres wird der emirische Sadardabweichug (vgl. Basiswisse, Lekio, Abschi..3 zuächs die Parameer µ (Erwarugswer ud (Sadardabweichug: 3 3 µ ˆ = 5 ud ˆ 3 ˆ 3 = = µ = 9 = =,94 Mi dem 5%-Quail =, 6449 der Sadardormalvereilug bereche,5 sich das 5%-Quail Q, 5 der ( µ ˆ, ˆ -Vereilug zu ud dami Q,5 = 5,94,6449 = 3,57 Va = Q,5 = 3,57 GE

6 4 Value a isk-kozee Value a isk-kozee Zur Besimmug des Quails ud dami des Value a isk muß die Vereilug der zufällige Weräderug V vorliege. Hierzu sid verschiedee Kozee dekbar ud eilweise i der Praxis auch umgesez. Zur Sysemaisierug dieser Asäze lege wir us die folgede vier Frage vor: ( Auf welcher Ebee wird modellier? ( Was wird modellier? (3 Wie wird modellier? (4 Wie wird die Vereilug der Weräderug V besimm? Die erse Frage ziel auf die Besimmug der isikofakore. Folgede Asäze sid möglich: Porfolioasaz: Eiziger isikofakor is das Porfolio Produkasaz: isikofakore sid die eizele Produke des Porfolios Markasaz: isikofakore sid besimme Markgröße (Zise, Kurse, Devise, die de Wer des Porfolios beeiflusse köe Bemerkug. Währed der Porfolioasaz das Porfolio als Gazes berache, wird im Produkasaz das Porfolio aus de eizele Produke F, K,F mi ihre esrechede Vielfachheie θ, K,θ (liear zusammegesez: = θ F + L + θ F. Im Markasaz geh ma och eie Schri weier hier die Produke zurück ud koel über eie Bewerugsformel das eizele Produk a die Markgröße. So is z.b. bei gegebeer Zissrukur r, K, r (isikofakore der Barwer PV (CB eies Couobods CB mi Couo C ud ewer A eie Fukio der Zise (Zerosäze: PV(CB C r A r = + = ( + ( + Die zweie Frage ziel auf die Quaifizierug der isikofakore. Wir ee eie quaifiziere isikofakor Modellgröße ud habe zur Auswahl: Preis/Wer des isikofakors Äderug des Preises/Weres des isikofakors absolu relaiv (edie liear koiuierlich

7 Value a isk-kozee 5 Bemerkug. Zielgröße der Value a isk-besimmug is die absolue Weräderug V des Porfolios. Im rakische Umgag emfiehl sid edoch meis die Wahl eier adere Modellgröße, die da mi der Beaworug der viere Frage ach V zu rasformiere is. Mi der Beaworug der drie Frage wird die Vereilug der Modellgröße fesgeleg. Dies ka auf zwei Weise erfolge: emirisch: aus hisorische Beobachuge oder subekive Eischäzuge aramerisch: durch die Wahl eier Vereilugsklasse ud Schäzug der erforderliche Parameer Bemerkug. Das Ergebis eier emirische Feslegug is im uivariae Fall (eie eizele Modellgröße eie Meßreihe x, K, x vo Zahle ud im mulivariae Fall (mehrere Modellgröße eie Meßreihe x, K, x vo Vekore. Eie aramerische Feslegug ka sich z.b. für die ormalvereilug escheide, d.h. ( µ, im uivariae Fall ud ( µ, S im mulivariae Fall. Die freie Parameer werde durch geeigee Schäzfukioe besimm. Beide Are der Feslegug der Vereilug köe hisorische Beobachuge eibeziehe. Die Wahl des Beobachugszeiraumes is i bezug auf das Va Koze eie exere Vorgabegröße. Die viere Frage klär, wie die Vereilug der Modellgröße i eie Vereilug der Weräderug V des Porfolios rasformier wird. e ach Feslegug der Vereilug der Modellgröße ud der Vereilug der Porfolioäderug sid verschiedee Kozee möglich: hisorisch/emirisch (Hisorische Simulaio: Zu eder hisorische Beobachug der Modellgröße wird die zugehörige Weräderug des Porfolios bereche. Das Quail wird aus der emirische Vereilug (Meßreihe der Weräderuge emirisch besimm. aramerisch/emirisch (Moe Carlo Simulaio: Auf der Basis der Vereilug der Modellgröße werde zufällig Were erzeug ud die zugehörige Weräderuge des Porfolios bereche. Das Quail wird aus der em i- rische Vereilug (Meßreihe der Weräderuge emirisch besimm. aramerisch/aramerisch (Variaz Kovariaz-Verfahre: Die Vereilug der Modellgröße wird i eie Vereilug der Weräderug V rasformier. Bemerkuge. ( Im eileiede Beisiel obe wird ei Porfolioasaz gewähl. Modellgröße is die Weräderug V des Porfolios. Währed die erse

8 6 Value a isk-kozee Berechug des Value a isk ohe eie Vereilugsaahme der Zufallsvariable V - ur die emirische Dae der Sichrobe eibezieh (emirische Feslegug der Vereilug, geh die zweie Berechug vo der Aahme eier ormalvereile Weräderug V aus (aramerische Feslegug der Vereilug. Da die Modellgröße V bereis die Weräderug des Porfolios darsell, efäll die Trasformaio im viere Schri. Die beide Berechugsverfahre köe deoch als Sezialfälle eier Hisorische Simulaio bzw. eies Variaz-Kovariaz-Verfahres agesehe werde. ( Verläger wir die Haledauer vo auf ud uerselle, daß die Weräderuge V, K, der Teileriode ukorrelier ud ideisch vereil sid, so folg aus = + L + für die Parameer µ ud µ = ud µ = wobei µ E = L = E(, = V( = L = V( ud = ( ( = V(. Is z.b. die Weräderug V µ = E(, mi eier Haledauer vo = Tag ( µ, -vereil, so is die Weräderug ( V auf der Basis eier -ägige Haledauer (µ, -vereil. (3 Währed der Value a isk eier hisorische Simulaio äußers sesibel auf exreme Ausschläge der Modellgröße reagiere ka, is die Moe Carlo Simulaio mi eier Vielzahl vo Simulaioe weiaus robuser. (4 Is bei edem Durchgag das Porfolio eu zu bewere (full valuaio, ka bei große Porfolios die Moe Carlo Simulaio exrem aufwedig werde. (5 Solle im Variaz Kovariaz Verfahre ormalvereile Modellgröße i eie ormalvereile Weräderug V rasformier werde, is zu beache, daß die ormalvereilug ur bei lieare Trasformaioe erhale bleib. Allgemei gil für die lieare Trasformaio eies mulivaria vereile Zufallsvekors X i eie Zufallsvariable Y der Saz (vgl. Basiswisse, Lekio 3, Abschi 3..8, Saz 3.3: Trasformaiossaz. Sei X = ( X L X ei mulivaria ormalvereiler Zufallsvekor mi de Parameer T Erwarugswervekor µ µ = M µ Kovariazmarix S = M L L M kurz: X ~ ( µ, S. Sid a, K,a reelle Zahle, d.h. a = ( a L a T, so is

9 3 Hisorische Simulaio 7 Z = a X = eie ( µ, vereile Zufallsvariable mi de Parameer µ = a µ ud = a S a = a a = T i i= = i Im Markasaz müsse daher ich lieare Bewerugsformel mi der Taylorewicklug (vgl. Basiswisse, Lekio 8, Abschi 8..9 liearisier werde (Dela Asaz. Wird die zweie Ableiug (Kovexiä eibezoge, komme adere Vereiluge für Gamma Asaz. V i Berach (ewa die χ -Vereilug im Dela- Mi de vier Frage is ei Kozerahme gegebe, der i der rakische Umsezug schriweise abzuarbeie is. Ausgehed vo eiem kokree Porfolio führ ede Feslegug möglicher Aleraive des Fragekaaloges auf ei sezielles Value a isk-koze. Wir gebe für edes der drei Grudkozee: Hisorische Simulaio, Moe Carlo Simulaio ud Variaz-Kovariaz- Verfahre ei Beisiel, wobei der Daehaushal aus Grüde der achvollziehbarkei klei gehale wird. 3 Hisorische Simulaio Koze. Eie Bak häl im Zeiuk das folgede Deviseorfolio: = θ L + D + θ D wobei θ D besag, daß de Berag θ der Währug D ehäl. Weier sid vorgegebe: eie Haledauer, eie Wahrscheilichkei ud ei Beobachugszeiraum b. Zur Feslegug eies Value a isk Kozees beawore wir de Fragekaalog (-(4: ( Produkasaz: isikofakore sid die Währuge D, K,D ( Modellgröße sid die absolue Weräderuge der eizele Währuge: S = S( +, D S(, D für =, K, wobei S (, D de Preis eier Geldeihei GE der Währug Geldeiheie GE bezeiche (Preisoierug. D i heimische

10 8 Value a isk-kozee (3 Hisorische Beobachuge: I de vergagee Zeiuke < < L < + = mi + = werde ierhalb des Beobachugszeiraumes b die eweilige Preisäderuge der eizele Währuge gemesse: S = S( +, D S(,D für =, K, ud =, K, (4 Hisorische Simulaio: eder Vekor ( S, K, S führ auf eie Weräderug des Porfolios = θ S + L + θ S für =, K, Orde der Meßwere [ ] [] L [ ] ergib Va ˆ = Q = [ gt ( + ] Beisiel. Zu eiem Kassa Deviseorfolio = 4 65 GE + 3 GE der Währuge D ud D is weier gegebe: die Haledauer = Woche, die Wahrscheilichkei = 5% ud der Beobachugszeiraum b = 6 Woche. Aus de Agabe der Tabelle mi = 4 65 S + 3 S für =, K,6 besimm sich der Value a isk Wer wie folg: Va = [ gt(6, 5 + ] = [ ] = 67,97 GE S S V V [ ] S S V [ ],3,446 54,3-99,84 4,,39 6,83 88,79 -,4 -,9-334,8-67,97 5,7, ,6 365,43 3 -,5 -,39-99,84-334,8 6 -,,69 783,48 5,3 4,39,59 365,43-9, 7,37 -,37-86,99 7,84 5,8,4 53,64-98,58 8, -,33-465,6 783,48 6,84,5 3, -96,7 9, -,34-98,58 84,49 7 -,49,94 65,43-84,55 -,3 -,86-96,7 896,76 8 -,97 -,39-67,97-86,99 -,47 -, -84,55 47,9 9 -, -,5-576,54-876,54 -,44 -,3-9, 6,83 -,8,67 7,84-465,6 3,64,43 896,76 54,3 -,6,7 7,4-98,8 4,6,46 47,9 848,6 -,5, -98,8 65,43 5,5,7 84,49 3, 3 -,,6 88,79 7,4 6 -,55,49 5,3 53,64 Tabelle

11 4 Moe Carlo Simulaio 9 4 Moe Carlo Simulaio Koze. Eie Bak häl im Zeiuk ei Porfolio mi der Zahlugsreihe L L Vorgegebe sid weier: eie Haledauer, eie Wahrscheilichkei ud ei Beobachugszeiraum b. Zur Feslegug eies Value a isk Kozees beawore wir die Frage (-(4 des Kozerahmes: ( Markasaz: isikofakor is die flache Zissrukur des Markes. ( Modellgröße is die absolue Zisäderug r bezoge auf die Haledauer. (3 Wir reffe die aramerische Vereilugsaahme r ~ ( µ,. Die Parameer µ ud werde aus Meßreihe ierhalb des Beobachugszei- raumes b geschäz. (4 Moe Carlo Simulaio (vgl. Basiswisse, Lekio 3, Abschi 3.4. Beisiel. Zu dem Porfolio mi der Zahlugsreihe ahre 5 5 is weier gegebe: = Tag, = %, die flache Zissrukur r = 6,5% des Markes i ud die geschäze ormalvereilugsarameer µ ˆ = ud ˆ =,, also r ~ (;,. Wir führe die Moe Carlo Simulaio i füf Schrie durch (vgl. hierzu Tabelle. Erzeuge auf (, gleichvereile Zufallszahle x K,, x 3 Trasformiere diese i (;, -vereile Zufallszahle r = Φ ;,( x für =, K,3 Bereche die Weräderug des Porfolios

12 Value a isk-kozee = PV( ; 6,5% + r PV( ; 6,5% 5 5 wobei PV(, r = r ( + r (+ r ( + r (+ r Orde die Meßwere [ ] [] L [3] Besimme de Value a isk Wer Va Qˆ = = [ gt(3, + ] = [4] = 7,9 GE x r x r x r,887,873% -7,9,799 -,583% 7,8,64,9% -35,88,849,859% -6,6,68 -,93% 39,95,845 -,375% 7,76,6964,54% -63,57,47 -,5% 4,94,996,35% -89,5,658,95% -36,44,6397,358% -44,5,83 -,9% 6,,77 -,97% 4,98,7646,7% -89,5,464 -,94%,7,943 -,35% 63,,468 -,93%,56,6 -,989%,73,584 -,648% 8,38,5749,89% -3,36,8388,989% -,3,68,55% -3,6,58 -,68%,96,6368,35% -43,3,938,48% -8,87, -,837% 3,83,668,4% -5,97,58,% -4,98,4745 -,64% 7,9,6464,376% -46,47 Tabelle 5 Variaz-Kovariaz-Verfahre Zu diesem Verfahre gebe wir zwei Kozee a. Koze (Produkasaz. Eie Bak häl im Zeiuk das folgede Akieorfolio: = θ L + A + θ A wobei θ die Sückzahl der Akie A bezeiche. Weier sid vorgegebe: eie Haledauer, eie Verraueswahrscheilichkei ud ei Beobachugszeiraum b. Zur Feslegug eies Value a isk-kozees gehe wir u wie folg vor:

13 5 Variaz-Kovariaz-Verfahre ( Produkasaz: isikofakore sid die Akie A, K,A des Porfolios. ( Modellgröße sid die relaive Weräderuge (edie der eizele Akie: S( +,A S(,A = für =, K, S(,A Der Preis S( +, A verseh sich dabei iclusive reivesierer Dividedezahluge des Zeiraumes. (3 Paramerische Vereilugsaahme: Der Vekor = ( L der Akieredie besiz eie gemeisame ormalvereilug ( µ, S mi Erwarugswervekor µ ud Kovariazmarix S, d.h. T µ µ = M µ ud S = M M L L O M L Dabei bezeiche µ = E( die erwaree edie der Akie A ud i = Cov( i, die Kovariaz der edie i ud (beache: i = i ud = = V( = Variaz vo. Die Besimmug der Vereilugsarameer erfolg mi de Schäzfukioe µ ˆ = = i ud ˆ i µ ˆ iµ ˆ = = Die ediehisorie ( Sichrobe (,, K,,(,, K,, K,(, esreche dabei dem Beobachugszeiraum b., K, (4 Die Trasformaio der Vereilug ( µ, S der Akieredie i die Vereilug der Weräderug θ = = S( +, S(, = S mi S = S( +, A S(,A des Porfolios erfolg aramerisch. Zuächs zeig sich mi dem Trasformaiossaz i Abschi obe ud der Aahme ormalvereiler Akieredie, daß die Porfolioredie

14 Value a isk-kozee = = w mi w θ S(,A = S(, ud S(, = = θ S(, A ebefalls ormalvereil is. Für de Erwarugswer der Porfolioredie gil µ ud die Variaz µ = µ ud = = i= = w w w = i i T w Sw Durch Sadardisiere µ S( µ =, erhale wir eie (, -vereile Zufallsvariable Z. Mi dem -Quail der (, -Vereilug d.h. P( Z < = - gil schließlich P( S(, µ Va S(, + µ < Va = P < Va S(, + µ = Va = S(, ( µ + = Beisiel. Zu eiem Kassa-Akieorfolio = A + + A 5A 3 is weier gegebe: die Haledauer = Woche, die Wahrscheilichkei = % ud der Beobachugszeiraum b = 6 Woche. Aus de Preise S = S(,A der leze 6 Woche ( = 6 Woche, = 5 Woche, K, 7 = = heue werde zuächs die lieare Wocheredie bereche (vgl. Tabelle 3: S+ S = für =, K,6 ud =,,3 S

15 5 Variaz-Kovariaz-Verfahre 3 Preise edie S S 3 S 3 6,5,85 85,4 64,75,55 87, 3,6%,57%,87% 3 67,9 4,4 89,85 4,86%,5% 3,8% 4 65,95 9,7 88,65 3 -,87% -3,78% -,34% 5 66,3,8 9,6 4,53%,75% 3,33% 6 68,9,45 94,3 5 3,9%,53%,95% 7 7,95 4,9 9,6 6 4,43%,% -3,9% 8 7,8,9 87,45 7 -,6% -,6% -3,48% 9 69,5 9,3 85,8 8 -,9% -,93% -,89% 68,35 7,95 8, 9 -,3% -,3% -5,36% 68,8 7,5 83,4,66% -,59%,7% 67,5 7,5 8,7 -,89% -,7% -,84% 3 68,3 8,9 85,95,9%,58% 3,93% 4 66,85 6,6 83,6 3 -,% -,93% -,73% 5 69,5, 83, 4 3,9% 3,77% -,48% 6 65,,5 79,4 5-5,58% -,7% -4,57% 7 64,5 8,35 77,3 6 -,6% -,5% -,64% 8 64,55,9 79,85 7,6%,5% 3,3% 9 58,75 5,8 73,9 8-8,99% -4,% -7,45% 6, 9,9 69,35 9,3% 3,54% -6,6% 63,9 4, 7,35 6,5% 3,59%,88% 6,4 3,5 74,5 -,35% -,56% 4,4% 3 64,5 7,75 78,65,96% 3,44% 5,57% 4 64,6 7, 78,95 3,54% -,5%,38% 5 6,55,5 77,85 4-4,7% -3,8% -,39% 6 65,9 5,9 79, 5 7,7%,99%,6% 7 65,3,55 83,8 6 -,9% -,66% 5,94% = Tabelle 3 Mi de Schäzfukioe für Erwarugswer, Variaz ud Kovariaz besimme wir da de Erwarugswervekor µˆ ud die Kovariazmarix Ŝ :,379% µ ˆ =,5%,34% ud Sˆ,43 =,73,67,73,64,3,67,3,43 Aus dem heuige Porfolioreis

16 4 Value a isk-kozee S (, = 65,3 +, ,8 3788,5 GE = bereche sich die Porfolioaeile wie folg: θ S, A ( w 65,3,3447,55, ,8,338 Ud dami weier Erwarugswer ud Sadardabweichug der Porfolioredie µ,974% ud =,784% = Mi dem %-Quail, =, 363 der Sadardormalvereilug ergib sich schließlich der Value a isk zu (,974%,363,784% 4,53 GE Va = 3788,5 = Koiuierlicher Value a isk. ur koiuierliche edie habe die Eigeschaf, daß die edie eies Gesamzeiraumes gleich is der Summe der edie der Eizelzeiräume (vgl. Basiswisse, Lekio 6, Abschi Folglich liefer der Zerale Grezwersaz auch ur für diese ediey eie Begrüdug für die ormalvereilug (vgl. Basiswisse, Lekio 3, Beisiel Wähle wir u aber als Modellgröße die koiuierliche edie S( +,A = l für =, K, S(,A so gil für die Porfolioredie ur aroximaiv S( +, = l S(, = w Uerselle wir Gleichhei, so bereche sich wege = S( +, S(, = S(, (e der koiuierliche Value a isk Vaco wie folg:

17 5 Variaz-Kovariaz-Verfahre 5 P( V < Va co = P = P Va Vaco < l S(, µ Vaco l µ S(, co = S( <, ( e Vaco l µ S(, µ + = = Beisiel (Forsezug. Mi de Were des Beisiels gil Va co = 3788,5,4% +,363,7993% ( e = 37,39 GE Aahme m =. Für kurze Haledauer ka der Erwarugswer µ der Porfolioredie verachlässig werde. Der lieare ud koiuierliche Value a isk bereche sich da ach Va Va li co = S( = S(,, ( e = 45, = 38,85 Uer der Aahme µ = ka der lieare Value a isk Va li des Porfolios auch über die Were GE GE Va li = θ S(,A für =,..., der Porfolioaeile der Eizeliel A bereche werde. Seze dazu Va li = ( Va li LVali für de gesame Value a isk-vekor ud ρ L ρ ρ ρ L C = mi M O M ρ ρ L ρ i i = i. Mi de Bezie- für die Korrelaiosmarix des edievekors = huge ( L T S(, = θ = S(,A ud w θ = S( S(, A,

18 6 Value a isk-kozee gil da für de lieare Value a isk des Gesamorfolios Va li = S( = i= = = ( Va, ( θ T li S( C Va = S(, A i li, i ( θ S( i= =, A w w i i ρ i Aroximaiv gil diese Beziehug auch für de koiuierliche Value a isk: Vaco T ( Vaco C Va co Beisiel (Forsezug. Für die lieare Value a isk-were der Porfolioaeile gil Va Va Va li li 3 li = 65,3,363,784% = 4,9 =,55,363,784% = 7,7 = 5 83,8,363,784% =,6 GE GE GE ud weier für die Korrelaiosmarix C =,7853,4695,7853,3354,4695,3354 Folglich erhale wir mi Va li = T li li ( Va C Va = 45, GE das gleiche esula wie obe. Eie aaloge echug zeig Vaco ( Va T co C Va co = 33,94 GE Koze (Dela Asaz. Eie Bak häl im Zeiuk ei Porfolio mi de Zahluge = CF(, im Zeiuk : L L Vorgegebe sid: eie Haledauer, eie Wahrscheilichkei ud ei Beo-

19 5 Variaz-Kovariaz-Verfahre 7 bachugszeiraum b. Die Feslegug eies Value a isk-kozees erfolg wieder i vier Schrie ( Markasaz. isikofakore sid die Zissäze r, K, r der Laufzeie, K., ( Modellgröße sid die absolue Zisäderuge r, L, r der eizele Laufzeie, eweils bezoge auf die Haledauer. Die Zisäderuge werde i Basis Pois b gemesse; b =,% =,. (3 Paramerische Vereilugsaahme: Der Vekor?r = ( r L r der Zisäderuge besiz eie gemeisame ormalvereilug ( µ, S mi Erwarugswervekor µ ud Kovariazmarix S. (4 Die Trasformaio der Vereilug ( µ, S der Zisäderug?r i die Vereilug der Weräderug V des Porfolios erfolg aramerisch. Da mi dem Trasformaiossaz die ormalvereilug ur bei lieare Trasformaioe erhale bleib ud die Zisäderug ich-liear i die Weräderug eigeh, aroximiere wir V durch das Taylorolyom erser Ordug: T = V( +, V(, = V(,, r, K, r r r Die arielle Ableiuge werde durch die Basis Poi Values (vgl. Basiswisse, Lekio 8, Abschi äherugsweise bereche: V (,, r r, K, r BPV = V(,, r, K, r + b, K, r V(,, r, K, r Dami is aroximaiv ei liearer Zusammehag zwische der Weräderug des Porfolios ud de Zisäderuge hergesell: = BPV r Folglich is V ach dem Trasformaiossaz ormalvereil mi Erwarugswer µ ud Variaz, wobei gil µ = = BPV µ ud = m= = BPV m BPV m = BPV T S BPV Mi dem -Quail da wie folg: der (, -Vereilug bereche sich der Value a isk

20 8 Value a isk-kozee P( µ Va + µ < Va = P < Va + µ = Va = ( µ + = Beisiel. Zu der Fiazosiio 3 4 ahre GE is weier gegebe: die Haledauer = Tage, die Wahrscheilichkei = % ud ei geeigeer Beobachugszeiraum b. Der Mark zeig eie ormale Zissrukur (Zerosäze mi ährliche Zisverrechuge ud Tageoeraor Tg = 3E 36 : Laufzei 3 4 ahre Zissaz 5, 5,5 6, 7, % Der Erwarugswervekor µ ud die Kovariazmarix S der zufällige Zisäderuge ( r, K, r4 werde auf emirischem Wege aus de Dae des Beobachugszeiraums b ermiel. Eie Schäzug ergib (i Basis Pois =,,,8 3 5 µ ˆ,4 ud Sˆ 3,7,4 =,5 6,3,4 7,9 8,8 3,3,5 8,8 5,9 9,9 6,3 3,3 9,9 5,3 Im ächse Schri bereche wir die Basis Poi Values: BPV BPV BPV BPV = =,86,5,5 5 5 =,55,55 =, = 3 3,6,6 =, = 4 4,7,7 =,566 ud dami weier de Erwarugswer ud die Sadardabweichug der Wer-

21 6 Variazzerlegug 9 äderug V : µ =,66 ud = 6,898 Schließlich is da der Value a isk Va = (,66 3,363 6,898 = 6,44 GE 6 Variazzerlegug Koze. Aalog zum erse Koze des Variaz-Kovariaz-Verfahres gehe wir wieder vo eiem Akieorfolio = θ L+ A + θ A aus. Weier sid vorgegebe: eie Haledauer, eie Verraueswahrscheilichkei ud ei Beobachugszeiraum b. Die Feslegug eies Value a isk- Kozees sieh u vor: ( Produkasaz: isikofakore sid die Akie A, K,A des Porfolios. ( Modellgröße sid die relaive Weräderuge (edie der eizele Akie: S( +,A S(,A = für =, K, S(,A (3 Paramerische Vereilugsaahme: Der Vekor = ( L der Akieredie besiz eie gemeisame ormalvereilug ( µ, S mi Erwarugswervekor µ ud Kovariazmarix S. Aselle der Kovariaze i = Cov( i, der Akie uereiader werde im vorliegede Koze die Beafakore β der Eizelwere A zu eiem Markidex M besimm. Grudlage hierzu is das Markmodell T = α + β + ε M das eie lieare Zusammehag der esrechede edie aimm. β gib a, mi welcher Sesiiviä die Akieredie auf Äderuge der M M Markredie M reagier. Zu de emirische Dae (,, K,(, M der edie des Markes ud der Akie A bereche sid β mi der Meho-

22 Value a isk-kozee de der kleise Quadrae aus βˆ = = = M ( M = m = = M β besimm sich da als gewichee Summe der Eizelbe- Das Porfoliobea as, d.h. β = = w β (4 Die Trasformaio der Vereilug ( µ, S der Akieredie i die Vereilug der Weräderug V des Porfolios erfolg aramerisch. Zuächs zeig sich mi dem Trasformaiossaz ud der Aahme ormalvereiler Akieredie, daß die Porfolioredie w = = mi w = Porfolioaeil der Akie A ebefalls ormalvereil is. Für de Erwarugswer der Porfolioredie gil µ ud die Variaz µ = w µ = mi µ = E( = β M = + w ( ε mi ( ε = β M Die Porfoliovariaz (auch: Porfoliorisiko zerleg sich folglich i die beide Komoee sysemaisches isiko = β M usysemaisches isiko = ( ε = w ( ε ε Die esidualvariaz ( des Eizeliels A besimm sich dabei als Differez der Gesamvariaz ud dem sysemaische Eizelrisiko β M. Der Value a isk bereche sich dami wie folg: = S( Va = S(, ( µ, + für für µ µ =

23 6 Variazzerlegug Beisiel. Besimme wir im Zahlebeisiel des Abschies 5, Koze eie Markidex durch das Porfolio M = A + + A A 3 so ergebe sich die folgede Were Posiio Erw. Wer µ A Variaz A Kovariaz AM Bea β A M,7 A,379%,43,87,43 A,5%,64,536,7656 A -,34%,43,7,95 3 Für das Porfolio = A + A + 5A 3 bereche sich der Beafakor zu β =,3447,43 +,335,7655 +,338,95 =,77 Folglich gil sysemaisches isiko =,77,7 =,75 Mi de usysemaische ( ε ( ε ( ε 3 = = = 3 β β β 3 ka das usysemaische ( ε =,3447 M M M isike =,35 =,94 =,689 Porfolior isiko bereche werde:,35 +,335 Dami gil für das Porfoliorisiko,94 +,338,689 =,38 = (,75 +,38 =,94 ud folglich mi µ =,974% für de Value a isk Va = 3788,5 (,974,363,94 = 55,3 GE Gemesse a dem Va-Wer des Variaz-Kovariaz-Verfahres mi Va = 4,53 GE schäz die Variazzerlegug das isiko zu hoch ei.

24 Value a isk-kozee Lieraur Der vorliegede Tex is ehale i Cremers, H.: Basiswisse Mahemaik ud Sochasik für Baker, Bakakademie-Verlag,. Auflage, Frakfur 999 Weierführede Lieraur Arzer, Ph./Delbae, F./Eber,.-M. ud Heah, D.: Cohere Measures of isk, Preri 998. Cremers, H.: Moe Carlo Simulaio bei der Bewerug Exoischer Oioe ud i der isikoaalyse, Arbeisberich r.9 der Hochschule für Bakwirschaf, Frakfur 999 Dowd, K.: Beyod Value a isk, The ew Sciece of isk Maageme, oh Wiley & Sos, Chicheser 998 edruschewiz, B.: Value a isk, Ei Asaz zum Maageme vo Markrisike i Bake, Diskussiosbeiräge zur Bakberiebslehre Bad 7, Bakakademie-Verlag,. Auflage, Frakfur 999

25 Arbeisberiche der Hochschule für Bakwirschaf Bisher sid erschiee: r. Auor/Tiel ahr Moorma, ürge 995 Lea eorig ud Führugsiformaiossyseme bei deusche Fiazdiesleiser Cremers, Heiz; Schwarz, Willi 996 Ierolaio of Discou Facors 3 ahresberich Ecker, Thomas; Moorma, ürge 997 Die Bak als Bereiberi eier elekroische Shoig-Mall 5 ahresberich Heidor, Thomas; Schmid, Wolfgag 998 LIBO i Arrears 7 Moorma, ürge 998 Sad ud Persekive der Iformaiosverarbeiug i Bake 8 Heidor, Thomas; Hud, ürge 998 Die Umsellug auf die Sückakie für deusche Akiegesellschafe 9 Löchel, Hors 998 Die Geldoliik im Währugsraum des Euro Löchel, Hors 998 The EMU ad he Theory of Oimum Currecy Areas Moorma, ürge 999 Termiologie ud Glossar der Bakiformaik Heidor, Thomas 999 Kredirisiko (CrediMerics 3 Heidor, Thomas 999 Krediderivae

26 4 ochum, Eduard 999 Hoshi Kari / Maageme by Policy (MbP 5 Deiser, Daiel; Ehrlicher, Sve; Heidor, Thomas 999 CaBods 6 Pierre Chevalier; Thomas Heidom; Merle üze 999 Grüdug eier deusche Srombörse für Elekriziäsderivae Beselladresse: Hochschule für Bakwirschaf, z. Hd. Frau Elle Glazer Sersraße 8, 638 Frakfur/M. Tel.: 69/ , Fax: 69/ Weiere Iformaioe über die Hochschule für Bakwirschaf erhale Sie im Iere uer

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