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1 Computational Finance Kapitel 2.2: Monte Carlo Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude Bremen 1

2 Gliederung: 2.2. Monte Carlo Simulation Grundlegender Ansatz Fallstudie: Simulation einer Stop-Loss-Strategie Fallstudie: Simulation zum Cost-Average Effekt 2

3 Grundlegender Ansatz Simulation von Modellen mit Zufallsvariablen Monte Carlo in Anlehnung an weltbekannte Spielcasino Ursprünglich entwickelt in Los Alamos (1940er Jahre, amerikanische Forschungsprogramm zur Entwicklung der Atombombe) Idee: Approximative, simulationsbasierte Lösung von Problemen, bei denen analytische Lösungen fehlen oder zu zeitaufwändig sind 3

4 Prinzipielle Vorgehensweise Ziehung von Zufallszahlen Konstruktion der Realisation eines stochastischen Pfades Modellauswertung Verteilungseigenschaften der Zielgröße 4

5 Beispiel: Test einer Kapitalanlagestrategie Problem: Zentrale Zielgrößen, z.b. Rendite Risiko sind abhängig von der Wertentwicklung der benutzten Anlageinstrumente! Lösung des Problems: Analytische Approximation Monte Carlo Simulation 5

6 Lösung mittels Monte Carlo Simulation 1. Formulierung der Kapitalanlagestrategie 2. Formulierung des stochastischen Modells der Wertentwicklungen (Spezifikation von Modell und Parameter) 3. Ziehung von Zufallszahlen 4. Berechnung des stochastischen Pfades gemäß Auswertung der Strategie nach Ermittlung der Verteilung der Zielgröße(n) 6

7 Fallstudie: Simulation einer Stop-Loss-Strategie Problem: Stop-Loss-Strategie ist eine einfache Wertsicherungsstrategie. Vorgegeben ist ein am Ende des Anlagezeitraums zu erreichender Vermögensendwert. Der abdiskontierte Wert ist der sog. Floor. Sobald der Wert des Portfolios unter den Floor fällt, wird in vollständig in die risikofreie Anlage umgeschichtet. Welche Eigenschaften besitzt diese Strategie? 7

8 Beispielhafte Lösung: 1. Formulierung der Kapitalanlagestrategie Angenommen wird: a) Ein Anfangsvermögen von 1000 (Indexwert). b) Ein Anlagezeitraum von 10 Jahren. c) Eine garantierte Mindestverzinsung von 2% p.a. d) Eine sichere Anlagemöglichkeit zu 5% p.a. e) Eine 50:50 Aufteilung zwischen risikofreier und risikobehafteter Anlage f) Ein Handeln nach der beschriebenen Stop-Loss- Strategie. 8

9 2. Formulierung des stochastischen Modells: Random-Walk-Modell a) Random-Walk ohne Drift y 1 t y t t mit t standardnormalverteilte Zufallsvariable b) Random-Walk mit Drift mit y t y t 1 Driftkomponente t 9

10 Annahme der Verteilung und der Verteilungsparameter Stetige Renditen Normalverteilungsannahme Erwartungswert 8% p.a. Standardabweichung 20% p.a. Stochastische Modell der Wertentwicklung: P r t t exp(ln( P 1) ~ t N(0.08,0.2) r t ) 10

11 Wert Monte Carlo Simulation Kapitel 2.2 Schritte 3, 4 und 5: Pfad 1 Wertentwicklungen Zeit Floor Risikoanlage Portfolio 11

12 Häufigkeit Monte Carlo Simulation Kapitel Ermittlung der Verteilung der Zielgrößen Klasse Häufigkeit 1255, , , , , , , , , , , , , , und größer , Histogramm 2006, , , , , Klasse 5764, und größer Häufigkeit 12

13 Aufgaben: 1. Umsetzung des Beispiels mit Excel und den PopTools 2. Umsetzung des Beispiels mit Matlab 13

14 Mit Excel und den PopTools 14

15 Mit Matlab: Histogramm der Verteilung des Endvermögens bei 1000 Durchläufen

16 Fallstudie: Simulation zum Cost-Average-Effekt Aufgabe: Modifikation der Musterlösung aus Kap. 2.1 Erweiterung auf beliebig viele Simulationsdurchläufe Simulation mit 5000 Durchläufen Beantwortung der gestellten Frage (vgl. Kap. 2.1) 16

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