7 Das Riemann-Integral

Transkript

1 7 Ds Riemnn-Integrl Im Folgenden sei K = R oder C, [, b] einintervllinr, <bnd f :[, b] K beschränkt, (d.h. C >0: f(x) C x [, b]). 7.1 Definition. Für eine Zerlegng ( Prtition ) Z = {t 0 =... t N = b} von [, b] heißt Z =mx{t j t j 1 : j =1,...,N} die Feinheit von Z. Wähle s j [t j 1,t j ],j =1,...,N,setzes = {s 1,...,s N }. Die Riemnnsche Zwischensmme zr Zerlegng Z nd Zwischenpnkten s 1,...,s N ist σ(f,z,s)= N f(s j )(t j t j 1 ). (1) j=1 Wir nennen f (Riemnn-) integrierbr, flls f beschränkt ist nd ein Element I K existiert, für ds gilt ε >0 δ>0so,dssgilt Z <δ I σ(f,z,s) <ε nbhängig von der Whl der s j.indiesemfllnennenwiri ds Integrl von f nd schreiben I = f(t). Offensichtlich spielt es keine Rolle, wenn mn f in endlich vielen Pnkten bändert: Der Beitrg z (1) geht bei hoher Feinheit gegen Stz. f :[, b] C ist Riemnn-integrierbr, gen dnn wenn Re f,im f :[, b] R Riemnn-integrierbr sind; dnn ist f(t) = Re f(t) + i Im f(t). Mn knn sich lso f die Integrtion reeller Fktionen beschränken. Beweis. f beschränkt Re f nd Im f beschränkt. Ferner: Re σ(f,z,s)=σ(re f,z,s)nd Im σ(f,z,s)=σ(im f,z,s). Nn gilt: lim σ(f,z,s)=i lim σ(re f,z,s)=rei nd lim Z 0 Z 0 σ(im f,z,s)=imi. Z Stz. Es seien f,g :[, b] K Riemnn-integrierbr, c K. () f + g :[, b] K ist Riemnn-integrierbr, (f(t)+g(t)) = f(t) + g(t). 38

2 (b) cf :[, b] K ist Riemnn-integrierbr, (c) Ist K = R nd f g, soist cf(t) = c f(t) f(t). g(t). Beweis. FolgtsofortsderDefinitionüber Zwischensmmen. 7.4 Stz. Es sei f :[, b] K stetig. Dnn ist f Riemnn-integrierbr. Beweis. Lssenwirweg. 7.5 Stz. Es sei <b<c,f 1 :[, b] K Riemnn-integrierbr, f 2 :[b, c] K Riemnnintegrierbr. Definiere f :[, c] K drch { f1 (t) t b f(t) = f 2 (t) b<t c. Dnn ist f :[, c] K Riemnn-integrierbr nd Beweis. Weglssen c f(t) = f 1 (t) + c b f 2 (t). 7.6 Definition nd Folgerng. Wir nennen eine Fnktion f :[, b] K stückweise stetig, flls es eine Zerlegng = t 0 < <...<t N = b gibt mit der Eigenschft, dss für j =0,...,N 1dieEinschränkng f ]tj,t j+1 [ stetig ist nd die Grenzwerte lim t t + f(t) nd j lim t t f(t) existieren. j+1 Der obige Stz zeigt, dss stückweise stetige Fnktionen Riemnn-integrierbr sind. 7.7 Stz. Es sei f :[, b] K stückweise stetig. Dnn ist f(t) Insbesondere f(t) (b )mx t [,b] f(t). f(t). Beweis. Bechte: f ist stückweise stetig, lso ch Riemnn-integrierbr. Die Ungleichng folgt s der Ttsche, dss σ(f, Z, s) σ( f, Z, s) für beliebige Z,s. 39

3 7.8 Definition. Ist f :[, b] K Riemnn-integrierbr, <b,sosetze b f(t) = f(t). 7.9 Stz. Es sei f :[, b] K stetig, t 0 [, b]. DefiniereF :[, b] K drch F (t) = Dnn ist F differenzierbr f [, b] nd t 0 F (t) =f(t). Beweis. Sei [, b] fest.dnnistfür t F (t) F ( ) t f( ) = Wegen der Stetigkeit von f in existiert z ε>0einδ>0mit = f(s) f( ) <ε, flls s <δ. f(s) ds f( )(t ) t (f(s) f( )) ds. (1) t Nch 7.7 ist f(s) f( ) ds f(s) f( ) ds < ε t. Also ist die rechte Seite von (1) ε Definition. Eine differenzierbre Fnktion F : [, b] K heißt Stmmfnktion von f :[, b] K, fllsf = f Stz. Es sei F :[, b] K eine Stmmfnktion von f :[, b] K nd G :[, b] K eine weitere Fnktion. Dnn gilt: G ist ebenflls Stmmfnktion F G konstnt. Beweis. IstF G konstnt, so ist G =(F + C) = F = f. IstG = F = f, soist(f G) =0,lsoF G konstnt nch Hptstz der Differentil- nd Integrlrechnng. Sei f :[, b] K stetig nd F eine Stmmfnktion von f. Dnn gilt f(t) = F (b) F () =:F (t) b. Mn schreibt diese Identität oft in der Form f(t) = F (oder gener f(t) = F + c für eine beliebige Konstnte c) ndnennt f(t) ds nbestimmte Integrl. 40

4 Beweis. DefiniereF 0 (t) = DnnistF 0 Stmmfnktion von f nd F 0 () =0, F 0 (b) = Ist F beliebige Stmmfnktion, so ist F (t) =F 0 (t)+c für ein festes c K. Esfolgt F (b) F () =F 0 (b) F 0 () = 7.13 Beispiele. () (b) (c) Sei s R,s 1. Wegen (t s+1 ) =(s +1)t s gilt t s = ts+1 s +1 Für s = 2, 3,... soll 0 nicht im Integrtionsintervll liegen. Für s R \ Z soll Integrtionsintervll in R + liegen, nsonsten ist t s nicht definiert. Für, b > 0gilt d ln t Stmmfnktion z 1/t f R + ist. Für, b < 0gilt d ln( t) Stmmfnktionz1/t f R ist. t =lnt b, b t =ln( t) b,, 1 t 2 = rcsint b, d rcsin (t) = 1+t 2 = rctnt b, d rctn (t) = 1 1+t 2 cos 2 t = tnt b, d tn (t) = 1 cos 2 t ; hier setzen wir vors, dss cos 2 t 0imIntegrtionsintervll Beispiel. Speziell = 0 für k Z \{0}. 2π Beweis. Gilt,weil(e ikt ) = ike ikt. 0 { 2π k =0 e ikt = e 2πki 1 ik k R \{0}. 1 1 t 2, 1 b 1 41

5 7.15 Stz. (Sbstittionsregel). Sei f :[, b] K stetig, ϕ :[c, d] [, b] stetig differenzierbr. Dnn gilt d c f(ϕ(t))ϕ (t) = ϕ(d) ϕ(c) Beweis. SeiF Stmmfnktion z f. Für F ϕ gilt nch der Kettenregel: Also: d c (F ϕ) (t) =F (ϕ(t))ϕ (t) =f(ϕ(t))ϕ (t). f(ϕ(t))ϕ (t) = (F ϕ) d c = F (ϕ(d)) F (ϕ(c)) = ϕ(d) ϕ(c) 7.16 Beispiel: Hlbkreisfläche. Sei 1 v < 1, t = sinx = ϕ(x), = rcsin, b =rcsinv. Wegen folgt v 1 t 2 = = rcsin v rcsin rcsin v rcsin 1 sin 2 x cos xdx (mit cos 0!) cos 2 xdx. (1) ( e cos 2 ix + e ix ) 2 x = = (e2ix + e 2ix )+ 1 2 = 1 2 cos 2x v 1 t 2 = ( 1 4 sin 2x + 1 ) rcsin v 2 x. rcsin Nn ist sin 2x =2sinx cos x =2sinx 1 sin 2 x.esfolgt Für = 1,v =+1folgt v 1 t 2 = 1 ( 1 2 t 1 t rcsin t 1 t 2 = π 2. ) v. 1 Dies ist die Fläche des Hlbkreises vom Rdis 1. Bild! 7.17 Stz. (Prtielle Integrtion). Es seien f, g :[, b] C stetig differenzierbr. Dnn gilt f(t)g (t) = f(t)g(t) b f (t)g(t). 42

6 Beweis. SetzeF = fg.dnnistf = f g + fg,lso (f g + fg ) = F b = fg b Beispiel., b > 0 ln t=lnt t b 1 t t= t(ln t 1) b Integrtion rtionler Fnktionen mittels Prtilbrchzerlegng. Es sei f(t) = p(t) q(t) eine rtionle Fnktion. Wir können nnehmen, dss grd q>grd p ist; sonst knn mn ein Polynom bdividieren, nd Polynome können wir bereits integrieren. Nch dem Fndmentlstz der Algebr ht q(t) die Drstellng q(t) =c(t ) ρ 1...(t t r ) ρr (t 2 + A 1 t + B 1 ) σ 1...(t 2 + A s t + B s ) σs mit c R,ρ j N,σ j N,t j R,A j,b j R. DbeisollendieqdrtischenFktorenkeine reellen Nllstellen hben. Dnn findet mn ij,α ij,β ij R mit p(t) q(t) = ρ 1 t (t ) ρ r rρ r t t r (t t r ) ρr + α 11t + β 11 t A 1 t + B α s1t + β s1 t 2 + A s t + B s α 1σ 1 t + β 1σ1 (t 2 + A 1 t + B 1 ) σ 1 α sσ s t + β sσs (t 2 + A s t + B s ) σs Mn brcht lso nr noch die Fnktionen f der rechten Seite integrieren z können; diese sind tbelliert Uneigentliche Integrle. () f :[, [ K sei Riemnn-integrierbr f llen bgeschlossenen Intervllen [, R],R R. Mn nennt ds Integrl f(t) konvergent nd setzt f(t) =lim R R f(t), flls der Limes existiert. Anlog f(t) für f :],] K. (b) f :], b] K sei Riemnn-integrierbr f llen bgeschlossenen Intervllen [+ε, b],ε >0. Mn nennt ds Integrl f(t) konvergent nd setzt f(t) =lim ε 0 +ε f(t), flls der Limes existiert. Anlog f(t) für f :[, b[ K nd schließlich f(t) für f :], b[ K, R { },b R { }. 43