Hauptseminar. Monte-Carlo-Methoden, stochastische Schätzungen und deren Unsicherheit. Robert John
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- Hannelore Dresdner
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1 Hauptseminar Monte-Carlo-Methoden, stochastische Schätzungen und deren Unsicherheit Robert John 1
2 Inhalt Herkunft Stochastische Schätzung Monte-Carlo-Methode Varianzreduktion Zufallszahlen Anwendungsgebiete 2
3 Herkunft Stadtteil von Monaco an der Mittelmeerküste Spielkasinos Roulette, Craps(Würfel) Mechanische Zufallszahlgeneratoren Entstanden während des 2. Weltkrieges Atombombe, Simulation der Ausbreitung radioaktiver Teilchen Codewort: Monte Carlo sinnvolle Anwendung erst im Computerzeitalter 3
4 Stochastische Schätzung Wissenschaftliche Methode Parameter der Schätzung Statistische Fehler Systematische Fehler Kriterien der stochastischen Schätzung Konsistenz lim n x = μ 4
5 Stochastische Schätzung Konsistenz für die relative Häufigkeit eine 6 zu würfeln. 5 Quelle:
6 Stochastische Schätzung Wissenschaftliche Methode Parameter der Schätzung Statistische Fehler Systematische Fehler Kriterien der stochastischen Schätzung Konsistenz lim x = μ n Erwartungstreue E x = μ Effektivität Var x minimal Robustheit 6
7 Stochastische Schätzung Auswertung einer Stichprobe x = 1 n n i=1 x n Stichprobenmittelwert s 2 = 1 n 1 Konfidenzintervall n i=1 (x n x ) 2 Stichprobenvarianz 7
8 Monte-Carlo-Methode (MCM) Methode zur Lösung stochastischer und deterministischer Problemstellungen Deterministische Lösungsmethode Stochastische Lösungsmethode 8
9 Vergleich der Lösungsmethoden Anzahl der Dimensionen n Trapezmethode Monte-Carlo- Methode 1 1 N 1N N N N 2 N >4 1 n N 2 N 1 N 1 N Bemerkungen MCM nicht sinnvoll ca. gleich MCM konvergieren schneller 9 Typisches Teilchentransport MC Problem hat 7 Dimensionen x,y,z, p x, p y, p z, t
10 Monte-Carlo-Methode Methode zur Lösung stochastischer und deterministischer Problemstellungen, basierend auf Simulation eines Zufallsexperiments mit Hilfe von Zufallszahlen. Deterministische Lösungsmethode Stochastische Lösungsmethode Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation Erstellung eines Modells Simulation der Zufallsgrößen Statistische Auswertung 10
11 Simulation von Pi Ablauf einer Monte-Carlo- Simulation Erstellung eines Modells Simulation der Zufallsgrößen Statistische Auswertung N K N Q = A K A Q = π 4 r2 r 2 =π 4 N K Anzahl der Treffer im Viertelkreis N Q Anzahl der Treffer im Quadrat 11 Quelle:
12 Vor- und Nachteile der MCM Vorteile Einfachheit und Schnelligkeit bei gegebenem Modell Analytisch lösbare Probleme überprüfen Nachteile Möglicherweise aufwendig Modell zu erstellen Genauigkeit nur mit rechenaufwand verbesserbar 12
13 Varianzreduktion Indirekte Varianzreduktion Erhöhung des Stichprobenumfangs Nachteil: Erhöhung der Rechenzeit Direkte Varianzreduktion Nicht-analoge MCM Einführung eines Teilchengewichtes 13
14 Zufallszahlen Existieren physikalische Prozesse die Zufallszahlen liefern Wirklich zufällig Aber aufwendig Erzeugung mit dem Rechner(deterministische Maschine) Endliche Periode des Algorithmus Pseudozufallszahlen 14
15 Anwendungsgebiete Probleme deterministischer Natur Bestimmte n-dimensionale Integrale Finanzwesen Differential- und Integralgleichungen Probleme stochastischer Natur Untersuchung von Naturphänomenen wie Tornados oder Erdbeben, Hochwasser, Tsunami, Warteschlangen: Stau, Ampelschaltungen, Konsumverhalten Planung für Versorgungsnetze Mobilfunk, Strom, Gas, Strahlungstransport 15
16 Quellen Bücher K. Binder: Monte Carlo Simulation in Statistical Physics V. Blobel/E. Lohrmann: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse C. Konvalinka: Diplomarbeit zur Erweiterung des Strahlungstransportprogramms AMOS zur Berechnung von Strahlungsfeldern um varianzreduzierende Methoden Internet:
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