Einige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.)

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1 ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 1/6 h. Lettner / physik Statistische Testverfahren Einige Statistische Tests für den Ein- Zwei- und k-stichprobenfall (Nach Sachs, Stat. Meth.) Test p µ 1 Stichprobe Meßwerte: t-test np ~ µ Meßwerte bzw. Ränge Wilcoxon-Test np σ² Meßwerte 2 χ Test Meßwerte bzw. Häufigkeiten: np F Kolmogoroff-Smirnoff-Test bzw. χ²-anpassungstest Un bzw. H 0 χ²-unabhängigkeitstest 2 Stichproben 3 und mehr Stichproben unabhängig verbunden unabhängig verbunden Varianzanalyse Varianzanalyse Blockt-Test t-test Wilcoxon- U-Test H-Test Friedman-Test Test F-Test t-test Bartlett-Test Shukla-Test unabhängige Stichproben: Kolmogoroff-Smirnoff-Test unabhängige Stichproben von Häufigkeitsdaten: χ²-homogenitätstest (betrifft F) µ = arithmetisches Mittel, µ ~ = Median, σ² = Varianz, F = Verteilungsfunktion p = parametrisch (z.b. µ 1 = µ 2 ), np = nicht parametrisch (z.b. F 1 (x) = F 2 (x)) Nicht parametrische Verfahren: Grundlegendes Problem: Wie werden Unterschiede in Stichproben ermittelt, deren Verteilungen nicht bekannt sind? Für den 2-Stichprobenfall werden dafür der U-Test nach Mann Whitney für unabhängige Stichproben und der Wilcoxon-Test für abhängige, oder verbundene Stichproben verwendet. In der U-Test Statistik und Wilcoxon Statistik wird auf die Reihung der Beobachtungswerte zurückgegriffen und nicht auf die tatsächlichen Werte! Mann Whitney U-Test Beispiel: Es werden 2 verschiedene Verfahren zur Entwicklung von Filmen verglichen; Insgesamt werden 22 belichtete Filme untersucht, von denen 10 mit dem Verfahren A und 12 mit dem Verfahren B entwickelt werden. Der Vergleich erfolgt durch Bewertung durch 15 erfahrene Beobachter, die Punkte zwischen 0 und 10 für die technische Qualität der Fotos vergeben. 0 bedeutet sehr schlechte Qualität, 10 heißt exzellente Qualität. Für jeden Film wird die Summe der Noten der 15 Bewerter ermittelt, die als Datengrundlage zur Verfügung stehen. Ziel dieser doch relativ aufwendigen Untersuchungen ist die Ermittlung des qualitativ besseren Verfahrens. Dazu werden wieder Hypothesen aufgestellt: H 0 : Es ist kein Unterschied in den beiden Entwicklungsverfahren H 1 : Die beiden Verfahren sind unterschiedlich bezüglich ihrer Qualität. In statistischer Notation heißt das, die totale Punkteanzahl X für das Verfahren A und die Punkteanzahl Y für das Verfahren B haben nach der Hypothese H 0 die gleiche Verteilung.

2 ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 2/6 h. Lettner / physik Bewertungen: Verfahren A: Verfahren B: Nehmen wir an, die Hypothese H 0 trifft zu, das heißt, die beiden Verfahren sind gleichwertig. Dann ist für jedes Paar von 2 zufällig entnommen Filmen, die Wahrscheinlichkeit eine höhere Bewertung zu erhalten, für jeden Film gleich groß. Sind die Verfahren ungleich, dann wird ein tendenzieller Unterschied in der Bewertung zu beobachten sein! Der U-Test baut genau auf dieser Idee auf: Liegen nun 2 unabhängige Stichproben vor, dann wird jeder Wert in Probe A mit jedem Wert in Probe B verglichen und die Unterschiede in den Bewertungen (oder Rängen) werden registriert. Bei einem Stichprobenumfang von n A und n B ergeben sich daraus insgesamt n A.n B mögliche Vergleiche. Diese Vorgangsweise ist naheliegenderweise etwas unhandlich, daher werden die Meßwerte in aufsteigender Reihenfolge gereiht und beide Reihen separat gelistet. A B Avor B B vor A Rang A Rang B 1 95 B B B B B A B B A A B B A B B A A A A B A A Summe der Ränge U A = n A.n B +[n A.(n A +1)/2]-Σ R A U A = 24 U 2 = n A.n B +[n B.(n B +1)/2]-Σ R B U B = 96 Reihenfolge: BBBBBABBAA BBABBAAAAB AA Anzahl A vor B Summe: 24

3 ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 3/6 h. Lettner / physik Jede dieser Zahlen 0..8 ist das Ergebnis von 10 Vergleichen eines B-Wertes mit der Datenreihe A. Von den insgesamt 120 Vergleichen sind in 24 Fällen die B-Werte größer als die A-Werte, bzw. in (120-24) = 96 Fällen sind die A-Werte größer als die B-Werte. Die U-Werte können natürlich auch über die Ränge berechnet werden, wie in den beiden rechten Spalten angeführt. Sind zwei oder mehrere Werte in beiden Datensätzen gleich, dann müssen in beiden Rangspalten jeweils die Mediane eingetragen werden. 24 ist nun der Wert der Teststatistik: Der Vergleich mit der Tabelle zeigt: 24 ist gleich dem Wert für (zweiseitig) α 2 = 2%, 24 ist aber größer als 21, für 21 ist α 2 = 1%. Das Signifikanzniveau liegt daher zwischen 1% und 2%. 1% < SN 2%. Die beiden Verfahren sind daher unterschiedlich auf dem Niveau von α 2 = 2%. Nachdem die Bewertungen für Verfahren B tendenziell niedriger als für Verfahren A sind, kann A als das bessere Verfahren bewertet werden. Wilcoxon-Signed-rank Test Für verbundene Stichproben, d.h. wenn Abhängigkeiten zwischen den Stichproben vorhanden sind, wird der Wilcoxon-Signed Rank (W. Vorzeichen Test) verwendet. Beispiel: Bekanntlich sollen Raucher, die mit dem Rauchen aufhören, dazu tendieren an Gewicht zuzunehmen. Durch Verabreichen von Appetitzüglern kann dieser Tendenz entgegengewirkt werden. Die Wirksamkeit dieser Gegenmaßnahme soll nun überprüft werden. Die Nullhypothese ist nun: Bei Einnahme des Appetitzüglers ist keine Erhöhung des Gewichtes festzustellen. Gibt es im Durchschnitt eine Gewichtszunahme, dann ist das Mittel nicht wirkungsvoll, ist eine Gewichtsabnahme zu beobachten, dann ist die Dosis zu hoch. Folgende Daten stehen für die Analyse zur Verfügung: Patient Nr Gewicht vor Ende der Raucherkarriere [kg] Gewicht 1 Monat nach Ende der Raucherkarriere [kg] Der Mann-Whitney U-Test kann hier nicht angewendet werden, weil die Voraussetzung der Unabhängigkeit der Beobachtungen nicht gegeben ist. Die Daten in dieser Untersuchung sind aber jeweils paarweise abhängig! Diese Anordnung wird häufig auch als geblockte Daten bezeichnet, jedes Paar ist demnach ein Block. Nachdem in diesem Fall die Frage lautet, wie die Änderungen der Gewichte verteilt sind, sind diese als erstes zu berechnen. Patient Nr Gewichtsänderung [kg] Wenn kein Einfluss auf die Gewichtsänderung vorhanden ist, dann sind die Änderungen zufällig um 0 verteilt, also symmetrisch. Dabei ist gleichgültig, ob die Änderung definiert ist als: (Gewicht nachher Gewicht vorher) oder (Gewicht vorher Gewicht nachher). Es ist daher naheliegend, die Abweichungen ihrem Betrag nach zu reihen.

4 ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 4/6 h. Lettner / physik Patient Nr Gewichtsänderung [kg] +1, Rang Vorzeichen Die Wilcoxon signed-rank Teststatistik T ist definiert als das Minimum der Summe der Ränge der positiven oder negativen Änderungen. Z.B. wird die Summe der Ränge der positiven Änderungen groß sein, wenn Gewichtszunahmen häufiger auftreten als gleichbleibendes Gewicht oder Gewichtsverlust. Das Maximum der Summe der Ränge ist definiert als die Summe einer Reihe von 1,..,n. (n ist Anzahl der Paare) = n.(n+1)/2 = 12 x 13/2 = 78. Die Summe der positiven Ränge kann daher maximal 78 betragen, die Summe der negativen Ränge muß dann 0 sein und umgekehrt. Wenn also die Summe der positiven Ränge nahe bei 78 oder bei 0 ist, dann spricht dieser Umstand gegen die Nullhypothese. Der Wilcoxon Test verwendet aber nur die kleinere der beiden Summen, um die beiden Extreme nicht separat behandeln zu müssen. Zu beachten: * Sind beim Ranking zwei Werte gleich, so wird das arithmetische Mittel (Mean) genommen, * Ist ein Meßwert vorher und nachher gleich, dann wird dieser Wert aus der Rangliste genommen, n muß in diesem Fall um 1 verkleinert werden Ergebnis: Vorzeichen Rang Rang Summe Interpretation: Nach der Tabelle der kritischen Werte für den Wilcoxon signed-rank Test liegt der Wert T = 16 zwischen 17 für α 2 = 10% und 13 für α 2 = 5%. Das Signifikanzniveau SN bzw. Irrtumswahrscheinlichkeit ist daher 5 % < SN < 10%

5 ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 5/6 h. Lettner / physik Kritische Werte für den Mann-Whitney U-Test α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 1 5% 2,5% 1% 1% α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n

6 ue biostatistik: nichtparametrische testverfahren / ergänzung 6/6 h. Lettner / physik Zu beachten: Vorzeichen-, Wilcoxon- und U-Test haben diskrete Statistiken, so daß die nominellen α-werte (10,%, 5%,..) damit meist nicht genau übereinstimmen. Die kritischen Werte in der Tabelle für die zugehörigen α-werte sind daher als die beste kritische Region zu verstehen, d.h. als die größte kritische Region mit einem Signifikanzlevel kleiner oder gleich α (konserative Annahme). Kritische Werte für den Vorzeichentest (Sign Test) α 1 5,0% 2,5% 1,0% 0,5% α 1 5,0% 2,5% 1,0% 0,5% α 1 5,0% 2,5% 1,0% 0,5% α 1 5,0% 2,5% 1,0% 0,5% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% n n n n _ _ Kritische Werte für den Wilcoxon signed-rank Test α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 1 5% 2,5% 1% 0,5% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% α 2 10% 5% 2% 1% n n n n

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