Wie liest man Konfidenzintervalle? Teil II. Premiu m

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1 Wie liest man Konfidenzintervalle? Teil II Premiu m

2 - Hintergrund Anderer Wahrscheinlichkeitsbegriff subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff Beispiel: Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient eine Herzkreislauferkrankung hat, wenn er/sie Brustschmerzen hat? In diesem Fall könnte nach einer Voruntersuchung der Arzt annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Herzkreislauferkrankung bei 20 % liegt. Obwohl der Arzt es momentan nicht weiß, ob die Erkrankung vorliegt oder nicht, hat der Patient entweder die Erkrankung oder nicht. In der Frühphase der Untersuchung ist die angegebene Wahrscheinlichkeit eine Aussage über die Stärke des Glaubens (subjektiv) des Arztes. Im Folgendem muss durch weitere Untersuchungen festgestellt werden, ob eine Erkrankung vorliegt oder nicht. Bayessche Interferenzstatisik versucht einen bestimmten Parameter der Populationsverteilung direkt zu schätzen mit Hilfe der beobachteten Daten. Parameter (z.b. Mittelwert) werden nicht als konstant angenommen, sondern als Zufallsvariable. Parameter können in der Bayesschen Statistik durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben werden.

3 - Hintergrund Satz von Bayes Ein Modell M soll mit einem Datensatz D untersucht werden. I steht für Vorwissen. Die Ausgangsfragestellung ist, wie die Wahrscheinlichkeiten für die Modellparameter M { verteilt sind, sofern die Daten gegeben sind (und Vorwissen I). P(M D,I) = P(D M,I) x P(M I)/P(D I) (A-posteriori-Wahrscheinlichkeit) = (Liklihood) x (Apriori-Wahrscheinlichkeit) / (Evidenz) A-priori-Wahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeitsverteilung für M, gegeben das Vorwissen I (ohne die Messdaten D aus dem Versuch einzubeziehen). A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung fürm, gegeben das Vorwissen I und die Messdaten D. Likelihood, auch inverse Wahrscheinlichkeit oder Mutmaßlichkeit, die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Messdaten D, wenn der Modellparameter M gegeben ist. Evidenz, kann als Normierungsfaktor bestimmt werden. Hier: großer Unterschied zu frequentistischen Sichtweise => Es fließt Vorwissen (u.u. subjektive Einschätzungen, Expertenmeinungen, Ergebnisse von vorherigen Experimenten) in die Berechnung der Parameter mit ein. Das Ergebnis einer Bayesschen Schätzung ist die A-posteriori Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese kann nun durch Lageparameter(z.B. Mittelwert) oder Streuungungsparameter (z.b. Varianz) beschrieben werden. Und es kann jetzt auch ein Konfidenzintervall/ Kredibilitätsintervalle gebildet werden.

4 Berechnung der KrI nach Bayes ist sehr komplex und kann in der Praxis (meist) nur mit dem Computer erfolgen. KrI nach Bayes werden auch Kredibilitätsbereich genannt. 2 Arten des KrI nach Bayes: Equal tail interval Highest posterior density (HPD) interval Equal tail interval Wie beim KI nimmt man bestimmte untere (z.b. 2.5%) und obere Grenzen (z.b. 2.5.%) an und kann so ein 95%-KrI bilden. Einfach zu berechnen Bei schiefen Verteilungen kann das equal tail interval widersprüchliche Aussagen liefern. Deshalb wird meist das HPD Interval geschätzt. HPD Interval Schwer zu berechnen. Auch bei schiefen Verteilungen genau. Wird am häufigsten benutzt.

5 Interpretation der Einfachere Interpretation als frequentistische KI, da der KrI den gesuchten Parameter direkt aus der a-priori Wahrscheinlichkeitsverteilung schätzt. Diese repräsentiert alles Wissen und Evidenz über die Population momentan vorhanden ist. Ein 95%-KrI gibt mit 95%Wahrscheinlichkeit, dass der wahre (unbekannte) Wert in diesem Intervall liegt bei gegeben Daten und (apriori Wahrscheinlichkeitsverteilung). Erinnerung: Interpretation des Konfidenzintervall: Das Konfidenzintervall ist ein Wertebereich bei dem man relativ zuversichtlich (confident) sein kann, dass es den unbekannten Schätzwert enthält. Beinhaltet das KrI den Wert 0 (z.b. bei Mittelwertschätzung) oder den Wert 1 (z.b. Odds Ratio), dann gilt das der geschätzte Effekt statistische nicht signifikant ist. (analog zu KI)

6 Vor- und Nachteile der Vorteile: Einfachere Interpretation als KI bei KrI kann man von Wahrscheinlichkeiten sprechen Direkte Schätzung des Populationsparameters durch a-posterior-wahrscheinlichkeitsverteilung Kein Umweg über (hypothetische) Stichprobenverteilung Nachteile: Teilweise schwer zu berechnen Mangelnde Verbreitung in der Forschung Subjektive a-priori Verteilung muss gefunden werden sollen Daten nach subjektiven Kriterien beurteilt werden?

7 Was man behalten sollte! Ein Konfidenzintervall (KI) bzw. KrI ist ein Maß für die Unsicherheit bezüglich einer Schätzung eines Effekts. Die Weite des Intervalls gibt die Präzision der Schätzung des Effekts an. Je kleiner das KI ist, umso präziser und je größer das KI, um so ungenauer ist die Schätzung. Beinhaltet das KI den Wert 0 (z.b. bei Mittelwertschätzung) oder den Wert 1 (z.b. Odds Ratio), dann gilt das der geschätzte Effekt statistische nicht signifikant ist. ( Parallele zu Hypothesen-Tests hier würde ein nicht signifikanter P-Wert beobachtet). Frequentisten Populationsparameter ist eine Konstante. Bayesianer Populationsparameter ist eine Zufallsvariable. Das frequentistische Konzept des Konfidenzintervalls basiert dabei auf der Wiederholung der Studie. Wiederholt man eine Studie 20 mal so erwartet man, dass in 19 (20 * 0.05 = 19) der berechneten Konfidenzintervalle auch das wahre Populationsmittel enthalten ist. Das Konfidenzintervall ist ein Wertebereich bei dem man relativ zuversichtlich (confident) sein kann, dass es den unbekannten Schätzwert enthält. Falsch ist es jedoch zu sagen, der Wert liegt mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit im Intervall! Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert im Intervall tatsächlich liegt, ist entweder 0 oder 1. Das bedeutet jedoch auch, dass bei einem Konfidenzintervall einer bestimmten Studie, das wirkliche Populationsewert im Konfidenzintervall liegen, aber auch nicht liegen, kann!! Ein 95%-Kredibilitätsintervall gibt mit 95%Wahrscheinlichkeit, dass der wahre (unbekannte) Wert in diesem Intervall liegt bei gegeben Daten und (apriori Wahrscheinlichkeitsverteilung). Beinhaltet das KI/KrI den Wert 0 (z.b. bei Mittelwertschätzung) oder den Wert 1 (z.b. Odds Ratio), dann gilt das der geschätzte Effekt statistische nicht signifikant ist. (analog zu KI) KI oder KrI helfen dabei zwischen klinischer und statistischer Signifikanz zu unterscheiden und diese nicht zu verwechseln.

8 Literatur Junior, Luiz Carlos Hespanhol, et al. "Understanding and interpreting confidence and credible intervals around effect estimates." Brazilian journal of physical therapy (2018). Kruschke, John. Doing Bayesian data analysis: A tutorial with R, JAGS, and Stan. Academic Press, Campbell, Michael J., David Machin, and Stephen J. Walters. Medical statistics: a textbook for the health sciences. John Wiley & Sons, Kamper, Steven J. "Showing confidence (intervals)." (2019).