Entwurf, Aufbau und Kalibrierung eines 3D-Laser-Scanners für medizinische Anwendungen

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1 Universität Karlsruhe (TH) Fakultät für Informatik Institut für Rechnerentwurf und Fehlertoleranz Lehrstuhl IAIM Prof. Dr.-Ing. R. Dillmann Entwurf, Aufbau und Kalibrierung eines 3D-Laser-Scanners für medizinische Anwendungen Studienarbeit von Pedram Azad 15. November Februar 2003 Referent: Betreuer: Prof. Dr.-Ing. R. Dillmann Dipl.-Ing. T. Gockel

2 Ich versichere hiermit, die vorliegende Studienarbeit selbstständig und ohne fremde Hilfe angefertigt zu haben. Die verwendeten Hilfsmittel und Quellen sind im Literaturverzeichnis vollständig angeführt. Karlsruhe, den 14. Februar 2003

3 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis iii iv v 1 Einführung Motivation Ansatz Gliederung Stand der Technik Interferometrie Laufzeitmessung Mehrkamerasysteme Lichtschnittverfahren Streifenprojektion Codierte Streifenprojektion Laser-basierte Verfahren Vergleich Grundlagen Mathematik Lineare Algebra Analytische Geometrie Numerik Photogrammetrie CCD-Chip Koordinatensysteme Lochkamera- und Mattscheibenmodell Verfahren zur Kamera-Kalibrierung Direkte Lineare Transformation Kameramodell nach Hoppe Bildverarbeitung Grauwert-Transformation Region-Growing Schwerpunktbestimmung Laser-Linien-Lokalisation Konstantenbestimmung Systementwurf Hardware-Architektur Kamera Frame-Grabber-Karte Laser Antriebseinheit PC Kalibriervorgang Kamera-Kalibrierung i

4 4.2.2 Laser-Kalibrierung Lineareinheit-Kalibrierung Softwareumgebung Betriebssystem Programmiersprache Bibliotheken Treiber Software-Architektur UML-Klassen-Diagramm des Gesamtsystems Video-Capturing-Modul Bildverarbeitunsmodule Verwaltungs-Module Kalibrier-Modul Schrittmotor-Ansteuerungs-Modul Ergebnisse Exemplarische Scans Auflösung Genauigkeit Geschwindigkeit Diskussion Zusammenfassung Ausblick Steigerung der Genauigkeit Weiterverarbeitung der Daten Anhang A Quellcode-Ausschnitte 53 Anhang B Format der Eingabedatei für die Kamera-Kalibrierung 59 Anhang C Technische Daten und Datenblätter 60 Literaturverzeichnis 67 ii

5 Abbildungsverzeichnis 1 Beispiel zur Codierten Streifenprojektion Skizze zur Anwendung des Kosinussatzes am Standardskalarprodukt Skizze zur Koordinatentransformation Translation Mattscheibenmodell Kameramodell nach Hoppe Zwei Muster zur Testfeld-Kalibrierung Beschriftetes Foto des 3D-Scanners Punkte-Muster mit eingezeichnetem Weltkoordinatensystem Foto und Screenshot zur Kamera-Kalibrierung Foto und Screenshot zur Laser-Kalibrierung Skizze zur Skalierung für die Lineareinheit-Kalibrierung Foto und Screenshot zur Lineareinheit-Kalibrierung UML-Klassen-Diagramm des Gesamtsystems Foto des verwendeten Kiefer-Gipsabdrucks Punktwolke eines Kiefer-Gipsabdruck-Scans Gerenderter Scan eines Kiefer-Gipsabdrucks Foto der verwendeten Engel-Plastik Gerenderter Scan einer Engel-Plastik Registrierung zweier Scans einer Engel-Plastik iii

6 Tabellenverzeichnis 1 Vergleich verschiedener Verfahren zur Oberflächen-Akquisition Zuordnung der Verwaltungs-Module zu den Bildverarbeitungsmodulen Messergebnisse von Scans horizontaler Ebenen ohne Einsatz der Lineareinheit 49 4 Messergebnisse von Scans horizontaler Ebenen mit Einsatz der Lineareinheit 49 5 Messergebnisse von Scans schiefer Ebenen (1) Messergebnisse von Scans schiefer Ebenen (2) iv

7 Algorithmenverzeichnis 1 LöseLGS(A, b) InvertiereMatrix(A) KalibriereKamera( x i, n di, m di ) BerechneRegionUndSchwerpunkt(image, width, height, x, y, id) FindeAllePunkte(image, width, height) LokalisiereLaserLinie(image, width, height) v

8 1 Einführung 1.1 Motivation Für Zwecke der Planung von chirurgischen Eingriffen werden heutzutage zunehmend medizinische Simulationssysteme eingesetzt. Am Anfang der Kette des Informationsflusses in einem solchen Simulationssystem steht stets die Akquisition von Daten über die Anatomie des Patienten. Die meist verwendeten Verfahren zur Daten-Akquisition sind die Computer-Tomographie und die Magnet-Resonanz-Tomographie, die auch unter dem Namen Kernspin-Tomographie bekannt ist. Diese Verfahren bedeuten sowohl eine Strahlenbelastung für den Patienten als auch immense Kosten in der Anschaffung der entsprechenden Apparaturen. Im Bereich der Kieferchirurgie und Kieferorthopädie werden dagegen auch andere Verfahren erfolgreich angewendet. Durch die Vermessung von Kieferabdrücken können hochgenaue Informationen über die räumliche Struktur eines Kiefers gewonnen werden. Diese Vermessung geschieht heutzutage oftmals noch mechanisch und manuell. Ein 3D-Scanner, der sich für die hochgenaue automatische Vermessung eignet, verlangt zu hohe Anschaffungskosten. Ziel dieser Studienarbeit war es, einen 3D-Scanner für medizinische Anwendungen aus Standardkomponenten aufzubauen und zu entwickeln. Dabei war es von besonderem Interesse in Erfahrung zu bringen, welche Auflösung und Genauigkeit sich - trotz der Beschränkung auf Standard-Komponenten - erzielen lässt. 1.2 Ansatz Um dreidimensionale Punkt-Koordinaten eines Objekts zu erfassen, wird eine Laser-Linie auf das zu scannende Objekt projiziert. Diese wird von einer Kamera aufgenommen. Durch die vorangegangene Kalibrierung der Kamera bezüglich eines festgelegten Koordinatensystems und der genauen Kenntnis der vom Linien-Laser aufgespannten Ebene in diesem Koordinatensystem ist es nun möglich, von den durch die Kamera gewonnenen 2D-Punkten auf 3D-Punkte des Objekts zurück zu schließen. Das gesamte Objekt wird erfasst, indem es mit Hilfe einer Lineareinheit durch die Laser-Ebene bewegt wird. 1.3 Gliederung In Kapitel 2 wird zunächst ein Überblick über einige optische Verfahren zur Oberflächen- Akquisition gegeben. Dabei wird insbesondere auf das sogenannte Lichtschnittverfahren eingegangen. In Kapitel 3 werden die für das Verständnis des Systems notwendigen Grundlagen vermittelt, welche die Gebiete Mathematik, insbesondere Vektorrechnung und Numerik, Photogrammetrie und Digitale Bildverarbeitung umfassen. In Kapitel 4 wird der Systementwurf, bestehend aus Hardware-Architektur und Software-Umgebung, vorgestellt. Der gesamte Kalibriervorgang des Systems wird im Detail erläutert. Die Softwarearchitektur wird in Kapitel 5 vorgestellt. In Kapitel 6 werden dann die Ergebnisse dieser Studienarbeit vorgestellt; dies umfasst einige exemplarische Scans und die Evaluierung des Systems in puncto Auflösung, Genauigkeit und Geschwindigkeit. Schließlich wird in Kapitel 7 eine Zusammenfassung und ein Ausblick auf mögliche Verbesserungen des Systems sowie auf Verfahren im Bereich der Weiterverarbeitung der Daten gegeben. 1

9 2 Stand der Technik Im Folgenden soll ein Überblick über die wichtigsten optischen Verfahren zur Oberflächen- Akquisition gegeben werden. Dabei wird das Hauptaugenmerk auf den Lichtschnittverfahren liegen, da nur diese - trotz der Beschränkung auf den Einsatz von Standard-Komponenten - die geforderte Genauigkeit zu erzielen vermögen. Schließlich basiert auch der gewählte Lösungsansatz auf einem Lichtschnittverfahren. 2.1 Interferometrie Auf Interferometrie basierende Verfahren nutzen den Wellencharakter des Lichtes aus. Bei der sogenannten Weißlichtinterferometrie wird ein Lichtstrahl auf die Objektoberfläche und auf eine Referenzfläche aufgeteilt. Das vom Objekt reflektierte Licht gelangt auf die Referenzfläche. Aus dem durch die Phasenverschiebung zwischen den beiden Lichtwellen auf der Referenzfläche entstehenden Interferenzmuster kann die Entfernung zum anvisierten Objektpunkt berechnet werden. 2.2 Laufzeitmessung Die Laufzeitmessung nutzt ebenfalls den Wellencharakter des Lichtes. Sie funktioniert nach demselben Prinzip wie ein Echolot, jedoch ist hier der Informationsträger eine Lichtwelle. Die Puls-Laufzeitmessung arbeitet mit repetierenden Lichtimpulsen. Hier wird das von der Objektoberfläche reflektierte Signal zunächst über einen Breitbandempfänger verstärkt und anschließend mit Hilfe einer elektronischen Messeinheit zeitlich aufgelöst. Eine zeitliche Auflösung von 6,7 ps ist notwendig, um eine Entfernungsauflösung von 1 mm zu erreichen. [Hei01] 2.3 Mehrkamerasysteme Die Gewinnung von dreidimensionalen Objektpunkten geschieht in Mehrkamerasystemen nach demselben Prinzip, nach dem das menschliche Gehirn die Bildinformation beider Augen verarbeitet. Damit ein Computer aus den Momentaufnahmen von zwei oder mehreren Kameras 3D-Punkte berechnen kann, muss ein entsprechender Algorithmus zunächst die Punkte der verschiedenen Bilder in Relation zueinander setzen können. Möchte man den zu einem Bildpunkt entsprechenden Objektpunkt bestimmen, so muss ein Bildpunkt von mindestens einer weiteren Kamera bekannt sein, von dem man weiß, dass er ebenfalls demselben Objektpunkt entspricht. In Mehrkamerasystemen wird oft die Passive Musterprojektion eingesetzt. Die projizierten Muster dienen ausschließlich der Strukturierung der Objektoberfläche für Verfahren der Bildzuordnung. Die Bestimmung der Korrespondenz zwischen den Bildern der einzelnen Kameras durch Verfahren der Bildzuordnung ist ein langsamer Vorgang. Die Hauptschwierigkeit dieser Verfahren ist es, effiziente Lösungen für dieses sogenannte Korrespondenz-Problem zu finden. [Güh] 2

10 2.4 Lichtschnittverfahren Bei Lichtschnittverfahren wird im Allgemeinen für die Bildaufnahme nur eine Kamera verwendet. Die für die Triangulation notwendige Beobachtung aus einem weiteren Winkel wird durch den Einsatz einer gerichteten Lichtquelle ersetzt. Voraussetzung für das Verfahren ist es, Bildpunkte - nach Möglichkeit subpixel-genau - bestimmen zu können, die einem von der Lichtquelle getroffenen Objektpunkt entsprechen. Dies bedeutet in der Praxis zum einen, dass die Lichtquelle Muster projizieren muss, von denen sich algorithmisch Schwerpunkte bestimmen lassen, zum anderen, dass die Lichtintensität der Lichtquelle deutlich höher als die des Umgebungslichtes sein muss. Lichtschnittverfahren bedienen sich der Aktiven Musterprojektion, bei der Kenntnisse über Kalibrierung und Orientierung des Projektors bzw. Lasers, sowie die Geometrie des Musters in den Berechnungsprozess einbezogen werden Streifenprojektion Mit Hilfe eines fest angebrachten Streifengitters lassen sich mit einem Projektor Streifenmuster projizieren. Durch Kenntnis des Winkels zwischen Projektionsrichtung und der optischen Achse der Kamera kann in Abhängigkeit von der Phasendifferenz Höheninformation gewonnen werden. Die Phasendifferenz ist hier der Abstand zwischen dem erwarteten Bildpunkt, der durch Reflexion eines Intensitätsmaximums an einer bekannten Referenzebene entsteht, und dem tatsächlichen Bildpunkt, der durch Reflexion dieses Intensitätsmaximums an der Oberfläche des Objekts entsteht. Die so gewonnene Höheninformation ist gleich dem Abstand zur Referenzebene. Die Höhenauflösung beträgt etwa λ/20, wobei λ die Wellenlänge der Helligkeitsverteilung auf dem Streifengitter, also der Abstand zwischen zwei Helligkeitsextrema ist [Luh00]. Die Zuordnung der Streifen kann durch Abzählen geschehen. Die Voraussetzung hierfür ist jedoch eine stetige Oberfläche, da sonst möglicherweise einige Helligkeitsmaxima durch Abschattungen nicht erkannt würden, was eine falschen Zuordnung und letztlich ein falsches Messergebnis zur Folge hätte. 3

11 2.4.2 Codierte Streifenprojektion Mit der Methode des codierten Lichtansatzes kann das Problem der Streifenzuordnung auch bei unstetigen Objektoberflächen elegant gelöst werden, da sich die Nummer eines Streifens durch die Codierung absolut bestimmen lässt; es muss nicht abgezählt werden. Der Projektor erzeugt nacheinander n schwarz/weiß-codierte Streifenmuster derart, dass sich die Position eines Streifens durch binäre Interpretation der Helligkeitswerte in n aufeinander folgenden Aufnahmen an einem Bildpunkt bestimmten lässt. Es lassen sich somit 2 n Streifen unterscheiden. Projektor und Kamera müssen für dieses Verfahren synchron betrieben werden können, d.h. zu einer konkreten Aufnahme muss bekannt sein, welches der n verschiedenen Streifenmuster projiziert worden ist. In Abbildung 1 ist ein Beispiel mit n = 4 dargestellt. Würde die Bitfolge 1011 als Interpretation der Folge der Helligkeitswerte an einem Bildpunkt erkannt, so wird der rot markierte Streifen identifiziert. Streifenmuster 1 Streifenmuster 2 Streifenmuster 3 Streifenmuster 4 Abbildung 1: Beispiel zur Codierten Streifenprojektion Laser-basierte Verfahren Mit Hilfe von Lasern lassen sich ebenfalls Muster auf eine Objektoberfläche projizieren. Vorteilhaft gegenüber anderen Lichtquellen ist die hohe Lichtleistung auch bei unbedenklichen Laser-Klassen (bis Klasse 2). Laser-Projektoren lassen sich in drei Gruppen einteilen [Luh00]: a) Punktprojektion Der Laser projiziert einen einzelnen Laserpunkt auf die Oberfläche. Das entstehende Punktemuster ist nur näherungsweise kreisförmig. Abweichungen zwischen der Projektionsachse und der Oberflächennormalen führen zu einer elliptischen Struktur. Durch Interferenzen verursachte Speckle-Effekte generieren eine inhomogene Intensitätsverteilung innerhalb des Laser-Punktes, so dass der optische Schwerpunkt nicht mit dem geometrischen Zentrum zusammenfällt. Die Laser-Punktprojektion wird für photogrammetrische Anwendungen nur in Einzelfällen eingesetzt. b) 1D-Linienprojektion Die Projektion von Linien wird mit Hilfe einer vor der Laser-Quelle angebrachten Zylinderlinse realisiert. Die Linienprojektion mit Lasern wird vor allem für die Triangulation nach dem Lichtschnittverfahren verwendet. c) 2D-Flächenprojektion Mit Hilfe von speziellen Vorsatzoptiken, die vor eine Laser-Diode gesetzt werden, lassen sich 4

12 praktisch beliebige zweidimensionale Muster erzeugen. Ein Laserstrahl wird über zwei bewegliche Galvanometerspiegel gelenkt, die mit hohen Taktraten (bis zu 15 MHz) gedreht werden können. Ist die Projektionsfrequenz höher als die Integrationszeit der Kamera, erscheint im Bild ein kontinuierliches zweidimensionales Linienmuster. 2.5 Vergleich In der nachfolgenden Übersicht sollen die vorgestellten Verfahren qualitativ miteinander verglichen werden. Die mit Mehrkamerasystemen erreichbaren Auflösungen sind verhältnismäßig gering. Die Geschwindigkeit eines Scans hängt von der Effizienz des Algorithmus zur Bildzuordnung ab, die Auflösung von der Effektivität. Dagegen wird bei Laser-basierten Systemen die Geschwindigkeit durch die Hardware beschränkt. Die maßgeblichen Faktoren sind dabei die maximale Anzahl der Bilder pro Sekunde, die die Kamera aufnehmen kann und die Geschwindigkeit, mit der die verwendete Apparatur das Objekt respektive die Einheit aus Laser und Kamera präzise bewegen kann. Die auf der Laufzeitmessung und Interferometrie basierenden Verfahren erfordern eine hochgenaue Sensorik, um eine hohe Genauigkeit erzielen zu können. Die dadurch entstehenden Hardware-Kosten bei vergleichbarer Genauigkeit sind deutlich höher als bei den Lichtschnittverfahren. Projektor-basierte Lichtschnittverfahren zeichnen sich durch die hohe erzielbare Geschwindigkeit aus, da mit einer Aufnahme eine Vielzahl von Streifen aufgenommen werden können. Laser-basierte Verfahren erfordern minimale Hardware-Anforderungen, die Beschränkung auf 1D-Linienprojektion vorausgesetzt. Die Linienprojektion hat jedoch den Nachteil, dass je Bild nur eine Linie aufgenommen werden kann und somit die Geschwindigkeit bei vergleichbarer Auflösung deutlich geringer ist als bei Projektor-basierten Lichtschnittverfahren. Schließlich zeichnen sich Laser aber wiederum positiv durch ihre hohe Lichtleistung aus. Laser-Linien können deshalb auch bei sehr starkem Umgebungslicht problemlos lokalisiert werden. Hardware-Kosten Geschwindigkeit Auflösung/Genauigkeit Interferometrie hoch mittel hoch Laufzeitmessung hoch mittel hoch Mehrkamerasysteme gering schnell gering Projektor-basiert mittel schnell hoch Laser-basiert gering mittel hoch Tabelle 1: Vergleich verschiedener Verfahren zur Oberflächen-Akquisition 5

13 3 Grundlagen In diesem Kapitel sollen die für das Verständnis des Systems notwendigen Grundlagen vermittelt werden. Dazu zählen Grundlagen der Mathematik insbesondere der Vektorrechnung und Numerik, der Photogrammetrie sowie der digitalen Bildverarbeitung. Der Schwerpunkt wird auf der Vorstellung verschiedener Techniken zur Kamera-Kalibrierung liegen. 3.1 Mathematik Die Definitionen und Sätze aus der Linearen Algebra sind im Wesentlichen [KAS97] entnommen. Für die Analytische Geometrie wurden hauptsächlich [Koe83] und [Ant91] verwendet, für die Numerik [HS02] und [Sch93] Lineare Algebra Definition 1 Es seien V eine Menge und S ein Körper. Gegeben sei eine innere Verknüpfung ( Addition ) V V V mit (a, b) a+b, so dass (V,+) eine abelsche Gruppe ist. Gegeben sei weiter eine äußere Verknüpfung ( S-Multiplikation ) S V V mit (α, a) αa, so dass für alle α, β S und alle a, b V gilt: 1a = a (1) α(βa) = (αβ)a (2) (α + β)a = αa + βa (3) α(a + b) = αa + αb (4) Dann heißt V ein S-Vektorraum. Die Elemente von V heißen Vektoren, die von S Skalare. Standardvektorraum Wir betrachten nun als Menge V die Menge R n = R R R (n N) der geordneten n-tupel (α 1, α 1,..., α 1 ) mit α i R. Skalarkörper sei R. Seien a, b zwei n-tupel (α 1,..., α n ), (β 1,..., β n ) und λ R. Wir definieren nun die Addition in R n und die S-Multiplikation wie folgt: a + b := (α 1 + β 1,..., α n + β n ) λ a := (λα 1,..., λα n ) Da sich die Gruppeneigenschaften der abelschen Gruppe (R,+) komponentenweise auf die Vektoren aus V übertragen lassen, ist auch (V,+) eine abelsche Gruppe. Das Nullelement ist folglich der Nullvektor (0,..., 0). Weiterhin gelten (1) bis (4): 1 a = (1α 1,..., 1α n ) = a α(β a) = (α(βα 1 ),..., (α(βα n )) = ((αβ)α 1,..., (αβ)α 1 ) = (αβ) a (α + β) a = ((α + β)α 1,..., (α + β)α n ) = (αα 1 + βα 1,..., αα n + βα n ) = α a + β a α( a + b) = (α(α 1 + β 1 ),..., α(α n + β n )) = (αα 1 + αβ 1,..., αα n + αβ n ) = α a + α b Die Menge R n und der Skalarkörper R bilden also zusammen mit der angegebenen Addition und S-Multiplikation einen R-Vektorraum; er heißt der Standardvektorraum über R. 6

14 Definition 2 Die n Vektoren a 1,..., a n eines S-Vektorraums V heißen linear abhängig, wenn eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der a 1,..., a n existiert, d.h. wenn es α 1,..., α n S gibt, die nicht alle Null sind, so dass n α k a k = o k=1 Die Vektoren a 1,..., a n V heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind, d.h. genau dann wenn gilt: n α k a k = o α 1 = α 2 =... = α n = 0 k=1 Definition 3 Es sei V ein reeller Vektorraum. Eine Bilinearform über V ist eine zweifache Multilinearform, d.h. ein Abbildung F : V V R; (a, b) F (a, b) für die für alle a, a 1, a 2, b, b 1, b 2 V und alle α 1, α 2, β 1, β 2 R gilt: F (α 1 a 1 + α 2 a 2, b) = α 1 F (a 1, b) + α 2 F (a 2, b) F (a, β 1 b 1 + β 2 b 2 ) = β 1 F (a, b 1 ) + β 2 F (a, b 2 ) Eine Bilinearform F über V heißt symmetrisch, wenn gilt: a, b V : F (a, b) = F (b, a) Eine Bilinearform F über V heißt positiv definit, wenn gilt: a V \{o} : F (a, a) > 0 Definition 4 Eine positiv definite symmetrische Bilinearform F über einem Vektorraum V heißt Skalarprodukt [Innenprodukt] in V. Ein reeller Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt gegeben ist, heißt euklidischer Vektorraum E. Standardskalarprodukt Im Standardvektorraum R n ist F 0 : R R R; n ((α 1,..., α n ), (β 1,..., β n )) α k β k k=0 ein Skalarprodukt. Definition 5 Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Die reelle Zahl a = a, a heißt Norm [Länge, Betrag] des Vektors a V. Im Standardvektorraum R n mit Standardskalarprodukt ist die Norm gege- a = (α 1,..., α n ) = α α2 n Euklid-Norm ben durch 7

15 Der Vektorraum der (p, n)-matrizen Es seien p, n N und S ein Körper. werden dann n p Elemente α jk S (j = 1,..., p; k = 1,..., n) ausgewählt und zu einem rechteckigen Schema angeordnet, so nennt man α 11 α 1n A = (α jk ) =..... α p1 α pn eine Matrix über S mit p Zeilen und n Spalten, kurz eine (p, n)-matrix. Man nennt die α jk die Komponenten der (p, n)-matrix A. Definition 6 Unter der Summe C = A + B der Matrizen A = (α jk ), B = (β jk ) S (p,n) versteht man die Matrix C = (γ jk ) S (p,n) mit γ jk = α jk + β jk ; j = 1,..., p; k = 1,..., n. Für ein λ S versteht man unter dem λ-fachen F = λa einer Matrix A S (p,n) die Matrix F = (ϕ jk ) S (p,n) mit ϕ jk = λα jk ; j = 1,..., p; k = 1,..., n. Satz 1 Die Menge S (p,n) aller (p, n)-matrizen über S ist bzgl. der gegebenen Addition und S-Multiplikation ein S-Vektorraum. Der Beweis ergibt sich wie bei den Standardvektorräumen S n aus der Tatsache, dass die Addition und S-Multiplikation auf die in S eingeführte Addition der Komponenten bzw. auf das λ-fache der Komponenten zurückgeführt wird. Definition 7 Es sei A = (α jk ) eine (p, n)-matrix über S. Die transponierte Matrix A T wird dadurch gebildet, dass die Zeilen unter Beibehaltung der Reihenfolge in die Spalten (und umgekehrt) übergehen. Man erhält dann eine (n, p)-matrix mit den Komponenten Es gelten folgende Rechenregeln [Koe83]: α jk = α kj; j = 1,..., n; k = 1,..., p. (αa + βb) T = αa T + βb T (A T ) T = A. Definition 8 Es seien A eine (p, n)-matrix und B eine (n, q)-matrix über S. Unter dem Produkt C = AB versteht man die (p, q)-matrix C = (γ jk ) S (p,q) mit γ jk = n α js β sk ; j = 1,..., p; k = 1,..., q. s=1 Es gelten folgende Rechenregeln [Koe83]: A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC (AB)C = A(BC) (AB) T = B T A T. Definition 9 Der Spaltenrang einer Matrix ist die maximale Zahl von linear unabhängigen Spaltenvektoren. Definition 10 Der Zeilenrang einer Matrix ist die maximale Zahl von linear unabhängigen Zeilenvektoren. 8

16 Satz Für jede (p, n)-matrix A über K gilt die Ranggleichung: Spaltenrang A = Zeilenrang A. Diesen gemeinsamen Wert r nennt man den Rang von A. Man schreibt rang(a) = r. Definition 11 Eine (n, n)-matrix A heißt regulär, wenn sie vollen Rang besitzt: rang(a) = n. Definition 12 Eine (n, n)-matrix A heißt invertierbar, wenn es eine eindeutige Matrix A 1 gibt, mit A 1 A = AA 1 = E = A 1 heißt dann die Inverse von A. Satz Eine (n, n)-matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist. Definition 13 Sei A eine (p, n)-matrix und b R p ein Vektor. Gesucht sei der Lösungsvektor x R n, so dass gilt Ax = b. (5) Dann beschreibt (5) ein Lineares Gleichungssystem oder kurz LGS mit p Gleichungen. Die Komponenten der Zeilenvektoren entsprechen den Koeffizienten einer Gleichung. Satz Sei A eine (n, n)-matrix und b, x R n. Das LGS Ax = b besitzt genau dann eine Lösung, wenn A regulär ist. 9

17 3.1.2 Analytische Geometrie Nachdem nun die Begriffe Vektorraum, Vektor, Skalar, Skalarprodukt, Euklidischer Vektorraum, Norm und Matrix grundlegend eingeführt worden sind, betrachten wir im Folgenden weniger formal den euklidischen Standardvektorraum R 3 versehen mit dem Standardskalarprodukt im Hinblick auf Anwendungen in der Photogrammetrie. Die aufgeführten Definitionen und Beziehungen sind im Wesentlichen aus [Koe83] und [Ant91] aus entnommen. Zur Schreibweise: Für die Länge eines Vektors a wird im Folgenden die Schreibweise a verwendet. Für das Skalarprodukt zweier Vektoren a, b schreibt man kurz a b. Definition 14 Drei linear unabhängige Vektoren a, b, c bilden (in dieser Reihenfolge!) genau dann ein Rechtssystem, wenn bei der Drehung von a nach b eine Drehrichtung entsteht, die eine Rechtsschraube in Richtung von c bewegt. Definition 15 Seien a, b zwei Vektoren. Dann ist ω( a, b) definiert als derjenige der beiden Winkel zwischen den Vektoren a und b, der kleiner π im Bogenmaß respektive 180 im Gradmaß ist. Man nennt ω( a, b) das Winkelmaß der Vektoren a, b. Standardskalarprodukt Gegeben seien zwei Vektoren a, b und ϕ := ω( a, b). Es gilt: a b = a b cos ϕ. (6) a b b a ϕ Abbildung 2: Skizze zur Anwendung des Kosinussatzes am Standardskalarprodukt Beweis Nach dem Kosinussatz gilt: a b 2 = a 2 + b 2 2 a b cos ϕ (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2 = a a2 2 + a2 3 + b2 1 + b2 2 + b2 3 2 a b cos ϕ ( 2)(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) = ( 2) a b cos ϕ a b = a b cos ϕ Bemerkung Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind injektiv, d.h. umkehrbar, auf dem Intervall [0, π) respektive [0, 180 ) 10

18 Orthogonalität Seien a, b R 3 \{ 0}. Es gilt: a b a b = 0 Beweis a b ω( a, b) = π 2 cos ω( a, b) = cos π 2 a b a = 0 b a b = 0 Parallelität Seien a, b R 3 \{ 0}. Es gilt: a, b sind linear abhängig a b Beweis a, b sind linear abhängig α, β R : α a + β b = 0 und (α 0 oder β 0) α, β R : a = β α b (o.b.d.a. α 0) r R : a = r b (r := β α ) r R : cos ω( a, b) = a(r a) a r a r R : cos ω( a, b) = r a2 r a 2 cos ω( a, b) = 1 ω( a, b) = 0 a b Definition 16 Seien a, b R 3 und linear unabhängig, so ist das Vektorprodukt a b definiert als der Vektor mit den folgenden Eigenschaften: ˆ ˆ a b steht senkrecht auf a und b a, b, a b bilden in dieser Folge ein Rechtssystem ˆ a b = a b sin ω( a, b) Es kann wie folgt berechnet werden: a b = Es gelten folgende Rechenregeln [Koe83]: a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 (α a + β b) c = α( a c) + β( b c) (7) a b = b a (8) a ( b c) = c ( a b). (9) a ( b c) = b ( a c) c ( a b) (10) 11

19 Geraden im R 3 Eine Gerade g wird im R 3 durch folgende Gleichung beschrieben: g : x = a + r u mit r R und x, a R 3 und u R 3 \{ 0}. Die Gerade wird eindeutig durch den Aufpunktsvektor und den Richtungsvektor beschrieben. a ist der Ortsvektor des Aufpunktes, ein beliebiger Punkt der Geraden. Die Richtung der Geraden wird durch den Richtungsvektor u vorgegeben. Für jedes beliebige r bezeichnet x den Ortsvektor eines Punktes der Geraden. Ebenen im R 3 Es werden drei verschiedene Darstellungsformen einer Ebene im R 3 gegeben: 1. Parameterdarstellung E : x = a + r u + s v mit r, s R und x, a R 3 und u, v R 3 \{ 0}. Die Ebene wird eindeutig durch den Aufpunktsvektor und den beiden Richtungsvektoren beschrieben. a ist der Ortsvektor des Aufpunktes, ein beliebiger Punkt der Ebene. Die Lage der Ebene im Raum wird durch die beiden Richtungsvektoren u, v vorgegeben. Für jedes beliebige Paar (r, s) bezeichnet x den Ortsvektor eines Punktes der Ebene. 2. Normalenform E : [ x a] n = 0 mit x, a R 3 und n R 3 \{ 0}. Die Ebene wird eindeutig durch den Aufpunktsvektor und den Normalenvektor beschrieben. a ist der Ortsvektor des Aufpunktes, ein beliebiger Punkt der Ebene. Die Lage der Ebene im Raum wird durch den Normalenvektor n vorgegeben. Jeder Punkt der Ebene erfüllt die Gleichung. 3. Koordinatendarstellung E : n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = c mit n 1, n 2, n 3, x 1, x 2, x 3, c R, wobei nicht alle n i gleich Null sind. Man erhält die Koordinatendarstellung durch Ausmultiplizieren der Normalenform: die n i sind die Komponenten des Normalenvektors, c ist das Skalarprodukt von Aufpunktsvektor und Normalenvektor. Schnitt einer Geraden mit einer Ebene und eine Gerade g Gegeben seien eine Ebene E in Normalenform E : g : [ x p E ] n = 0 x = p g + r u. Unter der Voraussetzung, dass u n 0, d.h. die Gerade g verläuft nicht parallel zur Ebene E, lässt sich der Ortsvektor s des Schnittpunktes S wie folgt berechnen: s = p g u ( p g p E ) n u n (11) 12

20 Koordinatentransformationen Zum Abschluss sollen noch zwei für die Photogrammetrie grundlegende Koordinatentransformationen im R 3 eingeführt werden. Hierbei sei p der Ortsvektor eines Punktes P im Ausgangskoordinatensystem xyz und P der Ortsvektor desselben Punktes P im Zielkoordinatensystem XYZ. Eine detaillierte und umfassende Beschreibung von Koordinatentransformationen ist in [Luh00] vorhanden. Rotation Die Rotation ist eine besondere lineare Abbildung im R 3, genauer eine Isometrie. Da die Lineare Algebra nicht Hauptaugenmerk dieser Arbeit sein soll, wird hier auf eine grundlegende Einführung von Linearen Abbildungen und Isometrien verzichtet. Der Leser soll lediglich zur Kenntnis nehmen, dass eine Rotation im R 3 durch die linksseitige Multiplikation der folgenden Matrix, der sogenannten Drehmatrix, beschrieben wird [Luh00]: R = cos ϕ cos κ cos ϕ sin κ sin ϕ cos ω sin κ + sin ω sin ϕ cos κ cos ω cos κ sin ω sin ϕ sin κ sin ω cos ϕ sin ω sin κ cos ω sin ϕ cos κ sin ω cos κ + cos ω sin ϕ sin κ cos ω cos ϕ Hierbei ist ω der Drehwinkel um die x-achse, ϕ der Drehwinkel um die y-achse und κ der Drehwinkel um die z-achse. Die Folge der Drehungen ist κϕω. Sei nun das Zielkoordinatensystem gegenüber dem Ausgangskoordinatensystem um R 1 verdreht, d.h.: Trägt man den im Ausgangskoordinatensystem beschriebenen Ortsvektor p eines beliebigen Punktes P im Zielkoordinatensystem ab, so erhält man denjenigen Punkt P, für dessen im Ausgangskoordinatensystem beschriebenen Ortsvektor p gilt: p = R 1 p Da der im Zielkoordinatensystem beschriebene Ortsvektor von P gerade p ist, ist diese Gleichung äquivalent zu: p = R 1 P Multipliziert man nun diese Gleichung mit R, so erhält man die Koordinatentransformation eines beliebigen Punktes P vom Ausgangskoordinatensystem xyz in das Zielkoordinatensystem XYZ: P = R p 13

21 Translation Die Translation, d.h. die konstante Verschiebung, eines Punktes P erfolgt durch das Addieren des sogenannten Translationsvektors t zum Ortsvektor des Punktes P. Sei nun das Zielkoordinatensystem gegenüber dem Ausgangskoordinatensystem um t verschoben, d.h. für den im Ausgangskoordinatensystem beschriebenen Ortsvektor des Ursprungs O des Zielkoordinatensystems gilt: o = t Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung den im Ausgangskoordinatensystem beschriebenen Ortsvektor p eines beliebigen Punktes P und formt anschließend geringfügig um, so erhält man: p + t = p o Da p o gerade der im Zielkoordinatensystem beschriebene Ortsvektor des Punktes P ist, wie auch aus der Abbildung leicht ersichtlich, ist diese Gleichung äquivalent zu der Koordinatentransformation eines beliebigen Punktes P vom Ausgangskoordinatensystem xyz in das Zielkoordinatensystem XYZ: P = p + t y z Y P P O p o Z x X Abbildung 3: Skizze zur Koordinatentransformation Translation 14

22 3.1.3 Numerik Gauß-Elimination Gegeben sei ein LGS Ax = b, mit A R (n,n), x R n und b R n. Weiterhin sei A regulär. Eine Möglichkeit, den Lösungsvektor x zu bestimmen, besteht in der Anwendung der Gauß-Elimination. Im Folgenden wird der entsprechende Algorithmus mit einer Spalten-Pivotsuche in Pseudocode dargestellt. Vgl. hierzu auch [HS02]. Algorithmus 1 LöseLGS(A, b) for k := 1 to n do max := 0 for i := k to n do if ( α ik > max) then {Unter der Voraussetzung, dass A regulär ist, existiert immer ein solches max > 0} max := α ik p := i end if end for if p k then VertauscheZeilen(k, p) s := b k b k := b p b p := s end if pivot := α kk for j := k + 1 to n do faktor := α jk /pivot b j := b j faktor b k α jk := 0 for i := k + 1 to n do α ji := α ji faktor α ki end for end for end for for k := n to 1 do summe := 0 for j := k + 1 to n do summe := summe + α kj x j end for x k := (b k summe)/α kk end for 15

23 Matrixinversion Sei A eine reguläre (n, n)-matrix. Eine Möglichkeit, die Inverse von A zu bestimmen, besteht in der Anwendung des Gauß-Algorithmus. Im Folgenden wird der Algorithmus mit einer Spalten-Pivotsuche in Pseudocode dargestellt. Vgl. hierzu auch [Sch93]. Algorithmus 2 InvertiereMatrix(A) for k := 1 to n do max := 0 for i := k to n do if ( α ik > max) then {Unter der Voraussetzung, dass A regulär ist, existiert immer ein solches max > 0} max := α ik p[k] := i end if end for if p[k] k then VertauscheZeilen(k, p[k]) end if pivot := α kk for j := 1 to n do if (j k) then α kj := α kj /pivot for i := 1 to n do if i k then α ij := α ij + α ik α kj end if end for end if end for for i := 1 to n do α ik := α ik /pivot end for α kk := 1/pivot end for for k := n to 1 do VertauscheSpalten(k, p[k]) end for 16

24 Ausgleichsproblem Gegeben sei ein überbestimmtes LGS der Form Ax = b, d.h. A ist eine (m, n)-matrix mit m > n. Solch ein LGS ist im Allgemeinen nicht lösbar. Es wird jedoch angenommen, dass A vollen Rang besitzt: rang(a) = n = min{n, m}. Mit der Methode der kleinsten Quadrate nach Gauß lässt sich das vorliegende LGS bestmöglich lösen [HS02]: Das Verfahren minimiert den Abstand Ax b bezüglich der euklidischen Norm min x Ax b 2. Die Verwendung der euklidischen Norm führt zu einer Minimierungsaufgabe mit einer differenzierbaren Funktion. Um die anfallenden Rechnungen zu vereinfachen, geht man zu der quadrierten Funktion über und definiert f(x 1,..., x n ) = Ax b 2 2 = ( n α kj x j b k ) m k=1 2 2 j=1 = m ( n α kj x j b k ) 2. k=1 j=1 Diese Summe von quadratischen Termen nimmt ihr Minimum an, wenn alle Ableitungen gleich 0 sind 0 = df dx i m α ki k=1 j=1 = 2 m ( n α kj b k )α ki, k=1 j=1 i = 1,..., n n α kj x j = m α ki b k, i = 1,..., n. k=1 Die Matrixnotation dieser Gleichungen lautet (A T Ax) i = (A T b) i. Fasst man diese n Gleichungen zu einem System zusammen, so erhält man das neue Gleichungssystem A T Ax = A T b, das wegen rang(a T A) = rang(a) = n eindeutig lösbar ist. Man bezeichnet A T Ax = A T b als die Normalgleichung zu A und b. Der Lösungsvektor x liefert den Vektor mit kleinstem Abstand Ax b 2. Man erhält ihn durch Lösung des vorliegenden LGS z.b. mit Hilfe der Gauß-Elimination (Algorithmus 1). 17

25 3.2 Photogrammetrie Unter Photogrammetrie versteht man allgemein Methoden, aus einem oder mehreren Bildern eines Objektes dessen Lage und Form zu berechnen. Primäres Ziel ist dabei die exakte geometrische Rekonstruktion des Objektes. [Luh00] Im Weiteren werden die wichtigsten Begriffe aus dem Bereich der Photogrammetrie eingeführt und erklärt CCD-Chip Die Abkürzung CCD steht für Charged Coupled Devices, übersetzt Ladungsgekoppelte Halbleiterelemente oder Eimerkettenspeicher. Ein CCD-Chip besteht aus einer zweidimensionalen Matrix von lichtempfindlichen Zellen. Diese reagieren auf die Energie des einfallenden Lichtes und produzieren abhängig von der aufgenommenen Helligkeitsintensität einen elektrischen Impuls. Dieser wird von einem Analog-Digital-Wandler (A/D-Wandler) in einen binären Code umgewandelt Koordinatensysteme Es werden grundsätzlich drei Koordinatensysteme unterschieden: 1. Das Weltkoordinatensystem ist ein festes, jedoch frei wählbares dreidimensionales Koordinatensystem. Alle Punkte der realen Welt werden in diesem Koordinatensystem beschrieben. Die Einheit ist üblicherweise [mm]. 2. Das Kamerakoordinatensystem ist ein kamerafestes dreidimensionales Koordinatensystem. Es ist nicht frei wählbar. Der Ursprung liegt im Projektionszentrum der Kamera. Die x- und die y-achse verlaufen parallel zur x- und y-achse des Bildkoordinatensystems, d.h. die xy-ebene ist parallel zur Ebene des CCD-Chip. Die Einheit ist üblicherweise [mm]. 3. Das Bildkoordinatensystem ist ein kamerafestes, zweidimensionales Koordinatensystem. Alle Bildpunkte - wie sie vom CCD-Chip der Kamera erfasst werden - werden in diesem Koordinatensystem beschrieben. Die Einheit ist üblicherweise [Pixel] Lochkamera- und Mattscheibenmodell Das Lochkameramodell ist die Grundlage nahezu aller photogrammetrischen Abbildungen. Ihm liegt das mathematische Modell der zentralperspektiven Abbildung zugrunde. Dabei ist das Projektionszentrum Z der wichtigste Bezugspunkt, durch den alle Bildstrahlen geradlinig verlaufen. Im Lochkameramodell liegt das Projektionszentrum vor der Bildebene E. Beim davon abgeleiteten Mattscheibenmodell liegt das Projektionszentrum dagegen hinter der Bildebene, wodurch Kamerabild und Szene dieselbe Orientierung haben. Wichtigste Kenngröße ist die Kamerakonstante c (Brennweite), die den Abstand zwischen der Bildebene und dem Projektionszentrum definiert. [Luh00] Nach dem Strahlensatz gilt unter der Voraussetzung, dass x, y > c : x x = y y = z c 18

26 Abbildung 4: Mattscheibenmodell 3.3 Verfahren zur Kamera-Kalibrierung Um eine Kamera für photogrammetrische Zwecke einsetzen zu können, muss diese zuerst kalibriert werden. Kalibrieren bedeutet in diesem Sinne die Bestimmung derjenigen Abbildung f, die jeden 3D-Punkt der realen Welt in den entsprechenden 2D-Bildpunkt, den der CCD-Chip der Kamera erfasst, abbildet. Diese Abbildung ist nicht injektiv, also nicht umkehrbar, da die Tiefeninformation bei der Abbildung verloren geht. Der Urbildraum eines 2D-Bildpunktes ist eine Gerade im R 3 durch das Projektionszentrum Z. [Luh00] Je nach zu Grunde liegendem Kameramodell wird die Abbildung f durch eine bestimmte Anzahl von Parametern modelliert. Allgemein unterscheidet man zwischen Parameter der inneren und der äußeren Orientierung der Kamera. Die Parameter der inneren Orientierung sind solche, die unabhängig von der Wahl eines Weltkoordinatensystems zu bestimmen sind. Sie beschreiben die Lage des Projektionszentrums im kamerafesten Bildkoordinatensystem sowie Abweichungen vom mathematischen Modell der Zentralperspektive, in erster Linie den Einfluss radial-symmetrischer Verzeichnung. [Luh00] Die Parameter der äußeren Orientierung bestimmen die Lage des Weltkoordinatensystems relativ zum Kamerakoordinatensystem. Bei der Testfeldkalibrierung werden die Parameter der photogrammetrischen Abbildung über eine Vielzahl von korrespondierenden Punktepaaren (P W elt, P Bild ) berechnet. Die Gewinnung solcher Punktepaare geschieht durch die Aufnahme eines geeigneten Testfeldes, über das a- priori Wissen über die Lage der einzelnen Punkte in einem zu wählenden dreidimensionalen Weltkoordinatensystem vorhanden ist. Werden mehrere Testfelder bzw. wird ein Testfeld in mehreren Positionen aufgenommen - um z.b. auf einen dreidimensionalen Unterraum zu kalibrieren - so müssen die Weltkoordinaten der Punkte aller aufgenommenen Testfelder bezüglich desselben Weltkoordinatensystems bekannt sein. Hierzu muss die relative Position der einzel- 19

27 nen Testfelder zueinander bekannt sein. [Luh00] Im Folgenden werden zwei Verfahren der Testfeldkalibrierung im Detail vorgestellt. Beide Verfahren haben als Eingabe ausschließlich eine Menge von Punktepaaren, wie bereits beschrieben. Auf die Gewinnung solcher Punktepaare wird in Kapitel eingegangen. Für die Koordinaten wird die Schreibweise P W elt (X, Y, Z) und P Bild (x, y) verwendet. Das wohl bekannteste Kalibrierverfahren nach Tsai [Tsa87] benötigt zusätzlich als Eingabe den CCD-Chip betreffende Kamerakonstanten. Im Vergleich erzielt das noch vorzustellende Verfahren nach Hoppe trotz seines deutlich geringeren Implementierungsaufwandes bessere Ergebnisse [HKRW]. Aus diesen Gründen wird auf eine Darstellung des Verfahrens nach Tsai verzichtet Direkte Lineare Transformation Mit dem Ansatz der Direkten Linearen Transformation (DLT) gelingt es, die Parameter der inneren sowie der äußeren Orientierung einer Kamera direkt über die Lösung eines, im Allgemeinen überbestimmten, linearen Gleichungssystems zu bestimmen. Das Verfahren basiert auf den Kollinearitätsgleichungen [Luh00]. Es benötigt keinerlei zusätzliche Information, wie z.b. über das Kamerakoordinatensystem oder initiale Näherungswerte für einzelne Kameraparameter. Im Folgenden wird eine eigene ausführliche Herleitung des Verfahrens, basierend auf dreidimensionalen Koordinaten und den vorgestellten Koordinatentransformationen, vorgestellt. In der Literatur konnten ausschließlich Herleitungen der DLT gefunden werden, die homogene Koordinaten verwenden. Die vorgestellte Herleitung basiert auf der Herleitung der Kollinearitätsgleichungen aus [Luh00]. Sei x der Ortsvektor von P W elt, also: x = X Y Z Sei R die Drehmatrix für die Koordinatentransformation durch eine Rotation, wie oben beschrieben, d.h. das Zielkoordinatensystem ist um R 1 gegenüber dem Ausgangskoordinatensystem verdreht. Weiterhin sei R 1 die entsprechende inverse Drehmatrix: R = R 1 = r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 Schließlich sei t der Translationsvektor für die Koordinatentransformation durch eine Translation, d.h. der Ursprung des Zielkoordinatensystems ist um t gegenüber dem Ausgangskoordinatensystem verschoben: t 1 t = t 2 t 3 20

28 Damit lässt sich das der DLT zu Grunde liegende Kameramodell wie folgt formulieren: x = R m x y c + t Hierbei ist m R ein für jeden Objektpunkt spezifischer Maßtabsfaktor. Mit folgt: Durch Auflösen nach x y c t = x = R erhält man: t 1 t 2 t 3 m := R 1 t x y c + t x y c = 1 m [ R 1 x t ] Also folgendes Gleichungssystem: x = 1 m ( r 11X + r 12Y + r 13Z t 1 ) (12) y = 1 m ( r 21X + r 22Y + r 23Z t 2 ) (13) c = 1 m ( r 31X + r 32Y + r 33Z t 3 ) (14) Durch Division von jeweils (12) und (12) durch (12) erhält man nun: x c y c = r 11 X + r 12 Y + r 13 Z t 1 r 31 X + r 32 Y + r 33 Z t 3 = r 21 X + r 22 Y + r 23 Z t 2 r 31 X + r 32 Y + r 33 Z t 3 Multipliziert man beide Gleichungen jeweils mit c und kürzt die Brüche auf der rechten Seite mit t 3, so erhält man schließlich folgende Darstellung: x = y = c r 11 t 3 c r 21 t 3 X + c r 12 t 3 Y + c r 13 Z + ( c) t t 1 3 t 3 r 31 X + r t 32 Y + r 3 t 33 Z t 3 X + c r 22 t 3 Y + c r 23 Z + ( c) t t 2 3 t 3 r 31 X + r t 32 Y + r 3 t 33 Z t 3 21

29 Die elf sogenannten DLT-Parameter werden nun wie folgt definiert: L 1 := r 11 L 2 := r 12 c t 3 c t 3 L 3 := r 13 c t 3 L 4 := ( t 1) c L 5 := r 21 L 6 := r 22 c t 3 c t 3 t 3 L 7 := r 23 c t 3 L 8 := ( t 2) c L 9 := r 31 L 10 := r 32 L 11 := r 33 1 t 3 1 t 3 1 t 3 t 3 Man erhält so die beiden Grundgleichungen der DLT: x = L 1X + L 2 Y + L 3 Z + L 4 L 9 X + L 10 Y + L 11 Z + 1 y = L 5X + L 6 Y + L 7 Z + L 8 L 9 X + L 10 Y + L 11 Z + 1 Möchte man nun die Bestimmung der elf DLT-Parameter als Ausgleichsproblem formulieren, so müssen die Grundgleichungen geringfügig umformuliert werden: (15) (16) x = L 1 X + L 2 Y + L 3 Z + L 4 L 9 Xx L 10 Y x L 11 Zx (17) y = L 5 X + L 6 Y + L 7 Z + L 8 L 9 Xy L 10 Y y L 11 Zy (18) Ausgehend von n 6 Punktepaaren erhält man so das folgende überstimmte LGS, das sich mit der in vorgestellten Methode der kleinsten Quadrate lösen lässt. L 1 L 2 L 3 X 1 Y 1 Z x 1 X 1 x 1 Y 1 x 1 Z 1 L 4 x X 1 Y 1 Z 1 1 y 1 X 1 y 1 Y 1 y 1 Z 1 L 5 y L 6 =. X n Y n Z n x n X n x n Y n x n Z n L 7 x n X n Y n Z n 1 y n X n y n Y n y n Z n L 8 y n L 9 L 10 L 11 22

30 Möchte man anhand der DLT-Parameter die zu einem Bildpunkt P (x, y) zugehörige Gerade im Weltkoordinatensystem bestimmen, so muss man das folgende, durch Umformung der Gleichungen (17) und (18) entstandene, unterbestimmte LGS lösen: ( xl9 L 1 xl 10 L 2 xl 11 L 3 yl 9 L 5 yl 11 L 6 yl 11 L 7 ) X Y Z = ( L4 x L 8 y Zu den großen Vorteilen der DLT zählt die einfache direkte Bestimmung der Abbildungsparameter mit Hilfe von numerischen Standard-Algorithmen. Es sind keine initialen Näherungswerte der zu bestimmenden Parameter notwendig. Nachteilig ist, dass die DLT überparametrisiert ist; die elf DLT-Parameter beschreiben eine photogrammetrische Abbildung, die sich bereits durch sieben Parameter eindeutig festlegen lässt: durch die drei Winkel für die Rotation, die drei Komponenten des Translationsvektors und die Kamerakonstante. Weiterhin kommt es zu singulären oder schlecht konditionierten Gleichungssystemen, wenn die Punkte P W elt in einer Ebene liegen oder wenn die Aufnahmekonstellation dazu führt, dass der Nenner der Gleichungen (15) und (16) nahe Null wird [Luh00]. Es sei angemerkt, dass sich die Genauigkeit der DLT durch Modellierung radial-symmetrischer Verzerrung deutlich verbessern lässt. Im noch vorzustellenden Kameramodell nach Hoppe, dessen Parameter auf Basis der DLT-Parameter berechnet werden, wird eine solche Modellierung gegeben. ) (19) 23

31 3.3.2 Kameramodell nach Hoppe Das Kameramodell nach Hoppe [HKRW] benutzt in erster Linie die Parallelprojektion des CCD-Chips auf diejenige Ebene E, die durch den Ursprung des Weltkoordinatensystems verläuft. Diese Parallelprojektion vom Bildkoordinatensystem in das Weltkoordinatensystem wird beschrieben durch die Abbildung p(n, m) = a(n n 0 ) + b(m m 0 ), (20) wobei n, m die Koordinaten eines beliebigen Punktes im Bildkoordinatensystem sind und n 0, m 0 die Koordinaten der Parallelprojektion des Projektionszentrums Z auf die Ebene des Bildkoordinatensystems sind. Die Vektoren a, b spannen gerade ein Pixel auf. Man erhält so die Beziehungen f = a(n f n 0 ) + b(m f m 0 ) (21) x d = a(n d n 0 ) + b(m d m 0 ) (22) x u = a(n u n 0 ) + b(m u m 0 ), (23) wobei n f, m f die Bildkoordinaten der Orthogonalprojektion des Projektionszentrums Z auf die Ebene des Bildkoordinatensystems sind. Somit ist f der Ortsvektor der Orthogonalprojektion von Z auf E. Die verzerrten (distorted) Bildkoordinaten eines Punktes (so wie sie auf dem Bildschirm sichtbar sind) werden durch n d, m d gekennzeichnet, die unverzerrten (undistorted) durch n u, m u. Da f z senkrecht auf E steht, gilt: ( a(n f n 0 ) + b(m f m 0 ) z) a = 0 (24) ( a(n f n 0 ) + b(m f m 0 ) z) b = 0. (25) Durch Lösung dieses LGS erhält man die Parameter n f, m f (44), (45). Die Beziehung zwischen x d und x u wird als radiale Linsenverzerrung modelliert: x u = f + (1 + κ 0 r d + κ 1 r 2 d ) r d mit r d = x d f, r d = r d. (26) Setzt man (22) und (23) in (26) ein, so erhält man: ( ) ( ) ( nu nd = + (κ m 0 r d + κ 1 rd 2 ) nd n f u m d m f m d ). (27) Zunächst sollen die Parameter a, b, n 0, m 0 bestimmt werden. Hierzu geht man wiederum von Punktepaaren (P W elt, P Bild ) aus, wobei im Folgenden x den Ortsvektor von P W elt beschreibt und n d, m d die Koordinaten von P Bild sind. Die unverzerrten Bildkoordinaten n u, m u erhält man aus n d, m d mit (27). Initial wird die radiale Verzerrung vernachlässigt und von κ 0 = κ 1 = 0 ausgegangen. Da die Parallelprojektion der unverzerrten Bildkoordinaten n u, m u mittels der Abbildung p denselben Punkt liefern soll, den man durch perspektivische Projektion von x auf E erhält, ergibt sich die Gleichung: a(n u n 0 ) + b(m u m 0 ) = x + s( z x). (28) Die aus (11) folgende Tatsache, dass s = x( a b) ( z x)( a, wird hier nicht benötigt, wie sich b) herausstellen wird. Multipliziert man (28) mit b ( z x) respektive a ( z x), so erhält man: (n u n 0 ) [ a( b z) + a( x b)] = x( b z) (29) (m u m 0 ) [ b( a z) + b( x a)] = x( a z), (30) 24

32 Abbildung 5: Kameramodell nach Hoppe da ( a ( z x)) a, ( a ( z x)) ( z x), ( a x) x respektive ( b ( z x)) b, ( b ( z x)) ( z x), ( b x) x gilt. Durch zyklische Vertauschung (9) folgt: (n u n 0 ) [ z( a b) + x( a b)] = x( b z) (31) (m u m 0 ) [ z( a b) + x( a b)] = x( a z). (32) Es werden nun folgende Abkürzungen eingeführt: γ := z( a b) k := ( a b)/γ c := ( a z)/γ d := ( b z)/γ u := n 0 k + d v := m 0 k c. Teilt man (31) und (32) jeweils durch γ und benutzt die Abkürzungen, so erhält man: (n u n 0 ) ( 1 x k) = x d (33) (m u m 0 ) ( 1 x k) = x c (34) 25

33 und durch Einsetzen der Abkürzungen u und v schließlich: x u + n 0 n u x k = n u (35) x v + m 0 m u x k = m u. (36) Man beachte, dass diese Gleichungen - bis auf die hier verwendete Vektorschreibweise - mit den DLT-Gleichungen (17) und (18) übereinstimmen. Das (19) entsprechende überbestimmte LGS zur Bestimmung von k, u, v, n 0, m 0 lautet: x 1 T 1 o 0 T n u1 x 1 o 0 T x 1 1 T m u1 x o 0 T n un x n o 0 T x n 1 T m un x n x n T u n 0 v m 0 k = n u1 m u1. n un m un Nach Lösung von (37) sind n 0 und m 0 unmittelbar bekannt. Aus der Definition von γ folgt mit den Identitäten (8), (9) und (10): z = z[ z( a b)] γ a = a[ z( a b)] γ = z[ z( a b)] b[ z( a z)] γ = a[ b( z a)] γ = ( z a) ( z b) γ = a[ b( z a)] b[ a( z a)] γ = γ( c d) = ( z a) ( a b) γ (37) = γ( c k) b[ z( a b)] b = = b[ a( b z)] = b[ a( b z)] a[ b( b z)] = ( b z) ( b a) = γ( d γ γ γ γ k) ( γ = z( a b) 1 γ 2 = z a γ γ ) b γ ± 1/ ( c d)[( c γ k) ( d k)]. Die Kamera-Parameter a, b, z können somit durch folgende Berechnungs-Sequenz gewonnen werden: c = m 0 k v (38) d = n 0 k + u (39) γ = ±1/ ( c d)[( c k) ( d k)] (40) z = γ( c d) (41) a = γ( c k) (42) b = γ( d k) (43) n f = n 0 + ( a z) b 2 ( b z)( a b) a 2 b 2 ( a b) 2 (44) m f = m 0 + ( b z) a 2 ( a z)( a b) a 2 b 2 ( a b) 2 (45) f = a(n f n 0 ) + b(m f m 0 ) (46) Liegt das mit (0, 0) indizierte Pixel in der linken oberen oder rechten unteren Ecke des CCD- Chips, muss γ negativ, ansonsten positiv sein. Zur Berechnung der Verzerrungsparameter werden zunächst die gegebenen x i perspektivisch 26

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