Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern.

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1 Wie hoch ist der - und Luftwiderstand eines Autos? Original s. (Diese Seite bietet außer dieser Aufgabe mehr Interessantes zur Kfz-Technik) Kann man den Luftwiderstand und den widerstand eines Autos (und damit ollmundige Werbeersprechen) ohne Windkanal und ohne aufwendige Technik prüfen? Im Prinzip ja! Sehen wir uns dazu einmal die wirkenden Kräfte im Bild an: Die Theorie Natürlich gibt es noch weitere Kräfte, z.b. die Reibung in den Radlagern und in Getrieben, die beim Auskuppeln nicht on den Rädern getrennt werden, z.b. Gelenkwellen oder Differentialgetriebe. Aber die folgende Rechnung soll ja nur ein Beispiel geben, wie man den Luftwiderstand berechnen kann. Die Genauigkeit hängt u.a. auch on der erwendeten Messtechnik ab. Der Luftwiderstand Glg. Glg. F Luft * c w * A* F Luft Luftwiderstandskraft in [N] ρ Luft Dichte der Luft, etwa, [kg/m³] c w Luftwiderstandsbeiwert, dimensionslos A Projizierte Stirnfläche des Fahrzeugs in [m²] Fahrgeschwindigkeit in [m/s] Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen on der Fahrgeschwindigkeit- nur on Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern. Beim widerstand sieht die Gleichung so aus: Glg. F m * g * k F m FZ g widerstandakraft in [N] Fahrzeugmasse in [kg] Ergbeschleunigung, etwa 9,8 m/s² k widerstandsbeiwert, dimensionslos Für unsere Berechnung wollen wir annehmen, dass nur diese beiden Kräfte das Ausrollen des Fahrzeugs bremsen. Um widerstand und Luftwiderstand zu bestimmen, ist folgender Versuchsablauf orgesehen: Ein Fahrzeug wird auf eine bestimmte Geschwindigkeit 0 beschleunigt. Sobald die Geschwindigkeit erreicht ist, wird ausgekuppelt, die Fahrgeschwindigkeit 0 festgehalten (Tacho) und gleichzeitig eine Stoppuhr gestartet. In dem Augenblick, in dem das Fahrzeug zum Stillstand kommt, wird die Stoppuhr angehalten und die Zeit t R festgehalten. Der Versuch erfolgt bei Windstille und das Fahrzeug rollt in der Ebene aus. Es werden mehrere Versuche mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausgeführt. Unter diesen Randbedingungen lässt sich dann die Differentialgleichung der Bewegung nach Newton (F = m* a) aufstellen: Glg. 3 m * a F F Luft

2 a, die Beschleunigung ist nichts anderes als die Änderung der Fahrgeschwindigkeit durch die Reibungskräfte, also a = d/dt. Damit lassen sich alle Größen in die Differentialgleichung (DGL) einsetzen: Glg. 4 d Luft * cw * A* m * k * m * g dt Durch m diidiert erhält man: Glg. 5 d Luft cw * A * * k dt * m * g Um die Gleichung übersichtlicher zu gestalten, werden die konstanten Anteile der Gleichung ersetzt durch Glg. 6 Luft * cw * A L * m bzw. Glg. 7 Glg. 8 k * g R und es ergibt sich : d L* dt R Das ist eine Differenzialgleichung. In einer solchen Gleichung taucht die Funktion auf (in diesem Fall sogar zum Quadrat ( )) und die Ableitung der Funktion (d/dt)! Das Lösen solcher Gleichungen lernt man in einem entsprechendem Studium. Jedenfalls liefert die Lösung nicht die gesuchten Größen für den Luft- bzw. widerstand, sondern genau die Funktion (t), die diese Differenzialgleichung erfüllt. Diese Lösung wird hier orgegeben: Glg. 9 R ( t) * tan arctan L * o L * R t R L * Ersetzt man auch hier alle konstanten Größen durch : Glg. 0 Glg. R = a, L arctan L R * o = b und Glg. Glg. 3 L * R = c, so wird die Funktion etwas übersichtlicher: ( t) a * tan b c * t Mit dieser Formel und bei gegebenen Werten für ρ Luft, c w, A, 0, m FZ, g und k kann man a, b und c bestimmen und weiterhin mit der Funktion (t) ausrechnen, welche Geschwindigkeit (t) das Fahrzeug nach einer bestimmten Zeit t noch hat, nachdem es auf 0 beschleunigt wurde und dann ausrollt.

3 A B C Einheit rho,9,9,9 kg/m^3 cw 0,3 0,00 0,3 A,,, m^ m kg g 9,8 9,8 9,8 m/s^ k 0,0 0,0 0, m/s Die Simulation A berücksichtigt Luftwiderstand und widerstand. Die Simulation B berücksichtigt nur den widerstand, während der cw-wert nahezu 0 gesetzt wurde. Die Simulation C berücksichtigt nur den Luftwiderstand, während der reibwert mü nahezu 0 gesetzt wurde. Umgekehrt kann man prinzipiell die Gleichung 3 auch nutzen, um bei gegebenen Wertepaaren (t; (t)), sowie 0 die Konstanten a, b und c zu berechnen, um daraus die gesuchten Größen für c w und k zu ermitteln. Mit den Werten A=,, m =00, g= 9,8 und z.b. den 3 Wertepaaren aus einem möglichen Fahrersuch t (s) (m/s) lassen sich die 3 Gl. aufstellen: Glg. 4 b c *0 8 ( 0) a * tan

4 Glg. 5 Glg. 6 b c * 0 9 ( 0) a * tan b c *00 0 ( 00) a * tan Aus Gl 6. folgt, dass Glg. 7 b = 00c sein muss, da aus tan(x) = 0 => x= 0 (oder z * pi), eben immer da, wo sin(x) = 0 ist. Hier interessiert aber nur die erste NST. Damit werden die Gl.4 und 5 zu Glg. 8 Glg c 8 a * tan 80c 9 a * tan, also Gl. mit den beiden Unbekannten a und c. Durch Diision der Glg. 8 durch die Glg. 9 erschwindet der gemeinsame Faktor a und man erhält eine Glg. Mit nur einer Unbekannten, nämlich c: Glg. 0 tan(00 c) tan(80c) 8 9 Für diese Gleichung kenne ich kein Standardlösungserfahren.. Vorschlag: Die Soler-Funktion des Taschenrechners (z.b. Sharp EL-W506) nutzen, um die NST on f(c) zu bestimmen. Dieser Versuch führt aber nur mit iel Glück zum Ergebnis, da es nur relati sehr wenige geeignete Startwerte gibt. (Die Soler-Funktion des TR arbeitet nach dem Newton-Verfahren, um NST zu bestimmen.). Vorschlag : Software Excel nutzen Vorschlag : Software nutzen, die Funktionsgraphen darstellt (z.b. WZGrapher): Arbeitsschritte: * Die Glg. 3. umformen und als Funktion on c auffassen. Glg. f ( c) tan(00c) tan(80c) 8 9 * Den Graphen f(c) anzeigen lassen. * Die NST des Funktionsgraphen ist der gesuchte Wert on c: Die NST liegt bei x = 0, Das ist also der gesuchte Wert c. (Probe mit Taschenrechner)

5 Der ollständige Graph dieser Funktion sieht ganz interessant aus. Außerdem gibt es natürlich unendlich iele NST, da f(c) eine periodische Funktion ist. Die Abbildung zeigt nur einen kleinen Ausschnitt, nämlich den, mit der. positien NST: Diese graphische Lösungsmethode ist offenbar die effektiste. Sie führt zu c = 0, Mit Glg. 8 oder 9 lässt sich dann auch der Wert für a bestimmen: 8 8 a tan00c tan0,953 9, 89 also a = 9,89 Schließlich folgte mit Glg. 4: b = 00c = 0,953, b = 0,953 Nun ist man endlich in der Lage, die konkrete Funktion (t) (s.glg. 3) zu notieren, die den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit beim Ausrollen des Fahrzeugs mit den gegebenen Eigenschaften und den aus dem Ausrollersuch gemessenen Werten beschreibt.: ( t) 9,89 * tan 0,953 0,00953 * t Wie kommt man jetzt noch zu den eigentlich gesuchten Werten für c w und k? Mit den Gleichungen 0 und sowie mit den ermittelten Werten on a und c kann man die Größen R und L jeweils bestimmen. Es ergibt sich : L = 0, und R = 0,896 Mit den Gleichungen 6 und 7 und mit den jetzt bekannten Werten on L und R sowie mit den übrigen gegebenen Größen kann man nun die Größen c w und k jeweils bestimmen. Es ergibt sich : c w = 0,338 und k = 0,093 Damit ist die Aufgabe endlich gelöst.

6 Im Kraftfahrtechnischen Taschenbuch (BOSCH, 3. Aufl. 999, S. 399) wird ein ähnliches Verfahren beschrieben: Bestimmung on Luftwiderstands- und widerstandsbeiwert durch Versuch: Fahrzeug bei Windstille und ausgeschaltetem Gang auf ebener Straße auslaufen lassen. Bei einer großen Geschwindigkeit und einer kleinen Geschwindigkeit werden für ein Geschwindigkeitsinterall die Ausrollzeiten gemessen und die mittleren Verzögerungen a l und a ermittelt. Rechnungsgang und Beispiel siehe untenstehende Tabelle. Das Zahlenbeispiel gilt für ein Fahrzeug mit Gewicht m = 450 kg und Querschnitt A =, m. Diese Methode ist für Fahrgeschwindigkeiten unter 00 km/h anwendbar..versuch (große Geschwindigkeit). Versuch (kleine Geschwindigkeit) Anfangsgeschwindigkeit Endgeschwindigkeit Zeit zwischen a und b mittlere Geschwindigkeit a = 60 km/h a = 55 km/h t = 6,5 s a a b = 5 km/h b = 0 km/h t = 0,5 s b b 57,5km/ h,5km/ h mittlere Verzögerung Vaa km / h a t 0, 77 s Vb Vb km / h a t 0, 48 s Luftwiderstandsbeiwert c w 6m*( a a ) A*( ) 0,36 widerstandsbeiwert k 8,*( a a ) 3 0 *( ) 0,03 Mit den selben Werten wie in der arstechnica Aufgabe m A a a b b t t 00 kg, m^ 00,8 km/h 68,4 km/h 68,4 km/h 0 km/h 0 s 80 s Ergeben sich folgende Zwischenlösungen und Lösungen : 84,6 km/h 34, km/h a,6 Km/h / s a 0,855 Km/h / s cw 0, kroll 0, Ein Vergleich der Lösungen ergibt beim cw-wert immerhin eine relatie Abweichung on ca. 5%. Die on BOSCH angegebene Methode ist ein ereinfachtes Rechenerfahren, dass nach eigenen Angaben zu brauchbaren Ergebnissen führt, wenn die Geschwindigkeit nicht über 00 km/h liegt. Aufgaben: Bestimmen Sie durch Versuche und Rechnungen Den Luftwiderstandbeiwert und den widerstandsbeiwert Ihres Fahrzeugs. Ermitteln Sie den widerstandsbeiwert bei erschiedenen Luftdrücken in den Reifen: Herstellersollwerte / max. zulässiger Reifendruck Beschreiben Sie den grün gezeichneten Graphen im Diagramm oben ohne Berücksichtigung des widerstands durch eine Exponentialfunktion. Warum ergibt sich bei ohne Luftwiderstand ein linearer Verlauf des Graphen (t) beim Ausrollen?

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