Übersicht. K o m p lex itä t v o n O p tim ierungsp ro b lem en. O p tim ierungsp ro b lem e. Approximationsk lassen

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Ella Fiedler
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1 Übersicht Einführung G rund la gen K o m p lex itä t v o n Entscheid ungsp ro b lem en O p tim ierungsp ro b lem e K o m p lex itä t v o n O p tim ierungsp ro b lem en v on O p- M etho d en zum Entw urf v o n A p p ro x im a tio nsa lgo rithm en A p p ro x im a tio nsk la ssen K o m p lexitä tsk la ssen Entscheid ungsp ro b lem ist gegeb en d urch: M enge v o n Insta nzen I T eilm enge d er p o sitiv en Insta nzen Y I B eisp iel: SA T I SAT = Fo rm eln in K N F Y SAT = erfüllb are Fo rm eln v on O p- Fo rm el in K N F K la usel Litera l F = C 1... C m C = a 1... a k a = x o d er a = x. K o m p lex itä tsk la ssen P NP PSPACE EXP

2 NP a ls V erifi ka tio n vo n L ö su n g en P ro b lem P ist in NP gd w. es gib t M enge W P, P ro b lem Q P und P o ly no m q() m it I Q sind P a are (x, w) m it x I P, w W P und w q( x ) v on O p- x I P : x Y P w W P : (x, w) Y Q B eisp iel: SA T W SAT = B ew ertung d er V aria b len (F, α) Y R gd w. α erfüllt F R ed u k tio n Funk tio n f red uziert P a uf Q, w enn f : I P I Q in p o ly no m ieller Z eit b erechenb ar für a lle x I P ist x Y P f (x) Y Q v on O p- P m Q fa lls es eine R ed uk tio n f v o n P a uf Q gib t. E ig en scha ft: Ist Q P und P m Q, d a nn a uch P P.

3 V o llstä n d ig keit D efi nitio n: P ro b lem P ist NP-schw er, fa lls Q m P für a lle Q NP. P ist NP-v o llstä nd ig, fa lls Q NP und NP-schw er. Q NP-v o llstä nd ig Q P gd w. P = NP v on O p- S a tz (C o o k ) SA T ist NP-vo llständ ig. P ro b lem 3-SA T : J ed e K la usel C = a 1 a 2 a 3 S a tz (C o o k ) 3-SA T ist NP-vo llständ ig. L in eare P ro g ra m m ieru n g P ro b lem Insta nz: Fra ge: IL P (Integer Linear P ro gra m m ing) M enge I v o n linearen U ngleichungen üb er Z in V aria b len z 1,..., z n G ib t es eine Lö sung v o n I in Z d.h., Z uw eisung v o n W erten z 1,..., z n Z so d a ss U ngleichungen I gelten. v on O p- S a tz IL P ist NP-vo llständ ig. P ro b lem L P: W ie ILP, a b er gesucht sind Lö sungen in Q. Im G egensa tz zum o b igen S a tz ist L P in P.

4 G ra p hen p ro blem e in NP P ro b lem VC Insta nz: G ra p h G = (V, E), k N Fra ge: G ib t es v ertex co v er U m it U k? V ertex co v er: U V m it e U für a lle e E. v on O p- P ro b lem Clique Insta nz: G ra p h G = (V, E), k N Fra ge: G ib t es C liq ue U m it U k? C liq ue: U V m it {x, y} E für a lle x, y U. P ro b lem H C Insta nz: G ra p h G = (V, E) Fra ge: G ib t es einen H a m ilto n-k reis in G? H a m ilto n-k reis: K reis, d er jed es v V gena u einm a l b esucht. NP-vo llstä n d ig e G ra p hen p ro blem e O ff ensichtlich: VC, Clique, H C sind in NP. v on O p- R ed u k tio n en (K arp ) 3-SA T m VC VC m Clique VC m H C A lso : VC, Clique, H C sind NP-v o llstä nd ig.

5 O p tim ieru n g sp ro blem e Ein Optimierung spro b lem ist gegeb en d urch: M enge I v o n Insta nzen. Für jed es x I eine M enge S(x) v o n p o tentiellen Lö sungen. Funk tio n m, d ie jed em (x, y) m it x I und y S(x) ein M a ß m(x, y) zuo rd net. Z iel go a l {m in, m a x }. v on O p- Eine Lö sung y S(x) heiß t o p tim a l, w enn m(x, y ) = m (x) := go a l { m(x, y) ; y S(x) } S (x) := { y S(x) ; m(x, y ) = m (x) } B eisp iele M in im um P a t h Insta nz: Lö sung: M a ß : ungerichteter G ra p h G = (V, E), Eck en s, t W eg v o n s na ch t Lä nge d es W eges v on O p- M in im um V er t ex Co v er Insta nz: ungerichteter G ra p h G = (V, E) Lö sung: v ertex co v er U V M a ß : U M a x im um Clique Insta nz: ungerichteter G ra p h G = (V, E) Lö sung: C liq ue U V M a ß : U

6 P ro blem varia n ten Z u einem O p tim ierungsp ro b lem P sind d efi niert: k o nstruk tiv es P ro b lem P C : G egeb en x I, fi nd e y S (x). A usw ertungsp ro b lem P E : G egeb en x I, b erechne m (x). v on O p- Entscheid ungsp ro b lem P D : G egeb en x I und k N, ist go a l(m (x), k) = m (x)? B eisp iele: P = M in im um V er t ex Co v er P D = V C. P = M a x im um Clique P D = Clique D ie K la ssen NPO u n d PO Ein O p tim ierungsp ro b lem ist in d er K la sse NPO, fa lls 1. I ist in P. 2. für x I und y S(x) ist y q( x ) 3. für x, y m it y q( x ) ist d ie Fra ge y S(x)? in P 4. m ist in p o ly no m ieller Z eit b erechenb ar. v on O p- Eigenscha ft: P in NPO = P D in NP P NPO ist in d er K la sse PO, fa lls d a s k o nstruk tiv e P ro b lem P C in p o ly no m ieller Z eit lö sb ar ist. A na lo g: P in PO = P D in P

7 T u rin g -R ed u k tio n Eine T uring-r ed uk tio n v o n P a uf Q ist A lgo rithm us, d er P lö st b enutzt S ub ro utine zur Lö sung v o n Q v on O p- La ufzeit d es A lgo rithm us o hne S ub ro utine ist p o ly no m iell P T Q fa lls eine T uring-r ed uk tio n v o n P a uf Q gib t. E ig en scha ft: Ist Q P und P T Q, d a nn a uch P P. R ela tio n en zw ischen P ro blem varia n ten O ff ensichtlich: P D T P E T P C v on O p- F a k t Für alle Optimierung spro b leme P NPO ist P E T P D. B ew eis: D a m(x, y) p( x ) für a lle y S(x), ist m (x) < 2 p( x ) b inä re S uche fi nd et m (x) in Z eit O(p( x ).

8 R ela tio n en zw ischen P ro blem varia n ten B eisp iel Für P = M a x im um Clique ist P C T P E. Für G = (V, E) d efi niere N(v) := { u V ; {u, v} E } v on O p- G(v): ind uzierter T eilgra p h a uf {v} N(v) G (v): ind uzierter T eilgra p h a uf N(v) A lgo rithm us: M axclique(g) k := M a x im um Clique E (G) if k = 1 then return any v V finde v V mit M a x im um Clique E (G(v)) = k return {v} M axclique(g (v)) R ela tio n en zw ischen P ro blem varia n ten v on O p- O b P C T P D a llgem ein gilt, ist unb ek a nnt. S a tz P C T P D g ilt, falls P D NP-vo llständ ig ist.

9 N P -schw ere O p tim ieru n g sp ro blem e D efi n itio n P ro b lem P in NPO ist NP-schw er, fa lls Q T P C für a lle Q NP. v on O p- Eigenscha ft: P D NP-v o llstä nd ig = P ist NP-schw er. P NP = PO NPO E in NP-schw eres P ro blem M in im um T r a v elin g S a lesp er so n Insta nz: n S tä d te c 1,..., c n, D ista nzm a trix D N n n Lö sung: T o ur: P erm uta tio n c i1,..., c in d er S tä d te M a ß : K o sten n 1 k=1 D(i k, i k+1 ) + D(i n, i 1 ) v on O p- S a tz: M in im um T r a v elin g S a lesp er so n ist NP-schw er.

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