Mathematischer Vorkurs

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1 Mathematischer Vorkurs Dr Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 17

2 Vektoren Kapitel 15 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 17

3 Vektoren 151 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen, also ein Element aus R n Wir schreiben die Komponenten eines Vektors in eine Spalte: v = v 1 v 2 v n (Manchmal benutzen wir die platzsparende Schreibweise v = (v 1, v 2,, v n ) T, wobei das T andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor meinen) 152 Denition: Rechnen mit Vektoren v 1 w 1 Mit v =, w = und α R ist v n w n v 1 + w 1 αv 1 v + w = und α v = v n + w n αv n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 131 / 17

4 Vektoren Wir beschränken uns in den kommenden Betrachtungen auf R 2 und R 3, obwohl alles auch im Höherdimensionalen und allgemeineren Situationen richtig bleibt v 2 v 1 2 v w v + w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 132 / 17

5 Vektoren 153 Satz: Rechenregeln für Vektoren Es seien u, v und w Vektoren und α und β seien reelle Zahlen, dann gilt: 1 v + w = w + v 2 u + ( v + w) = ( u + v) + w 3 Es gibt einen Nullvektor mit v + = + v = v 4 Zu v gibt es einen Vektor v mit v + ( v) = 5 α (β v) = (αβ) v 6 1 v = v 7 (α + β) v = α v + β v 8 α ( v + w) = α v + α w Bemerkung zu 3: nämlich := (,,, ) T Bemerkung zu 4: nämlich v := ( 1) v = ( v 1,, v n ) T Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 133 / 17

6 Vektoren 154 Denition: Linearkombination Es seien v 1,, v n Elemente des Vektorraums V Eine Summe der Form α 1 v 1 + α 2 v α n v n heiÿt Linearkombination und die Zahlen α j R heiÿen Koezienten der Linearkombination Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 134 / 17

7 Vektoren 155 Denition: Lineare Abhängigkeit Die Vektoren v 1,, v n des Vektorraums V heiÿen linear abhängig, wenn es Zahlen α 1,, α n R gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die Linearkombination α 1 v 1 + α 2 v α n v n = ist Sie heiÿen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind 156 Bemerkung Die Vektoren v 1, v n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung α 1 v 1 + α 2 v α n v n = (als Gleichung für die Zahlen α 1,, α n ) nur die Lösung α 1 = = α n = hat Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 135 / 17

8 Vektoren 157 Beispiele Die Vektoren u = 2, v = 8, w = R 3 sind linear abhängig, denn es gilt 4 u + ( 1) v + ( 2) w = ( ) ( ) Die Vektoren v =, w = R sind linear unabhängig, denn { } α+ 2β = α v + β w = ist gleichbedeutend mit dem LGS und 2α+ β = dies hat die eindeutige Lösung α = β = (vgl das Kapitel über LGS) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 136 / 17

9 Vektoren 158 Bemerkung 1 v V ist genau dann linear abhängig, wenn v = 2 Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren v, w R 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) v und w liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen 3 Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren u, v, w R 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) u, v und w liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der anderen beiden Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 137 / 17

10 Vektoren 159 Weitere wichtige Begrie und Bemerkungen 1 Das Erzeugendensystem der Vektoren v 1,, v k V ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren (Das ist auch für eine beliebige Menge von Vektoren erklärt) 2 Lässt sich jedes Element von V eindeutig(!) als Linearkombination der Vektoren v 1,, v k V darstellen, dann nennt man { v 1,, v k } eine Basis von V 3 Die Elemente einer Basis sind linear unabhängig Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 138 / 17

11 Vektoren Speziell für das Rechnen im R n heiÿt das 4 n Vektoren des R n sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine Basis bilden 5 Die Standardbasis des R n besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren e 1 = 1, e 2 = 1,, e n = 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 139 / 17

12 Skalar- und Vektorprodukt Kapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 14 / 17

13 Skalar- und Vektorprodukt 161 Denition: Skalarprodukt, Norm und Winkel Das Skalarprodukt zweier Vektoren v, w R n ist deniert durch v w := v 1 w 1 + v 2 w v n w n Die Norm (oder der Betrag) eines Vektors ist deniert durch v := v v = v v v2 n Der Winkel ψ [, π] zwischen zwei Vektoren v, w R n, beide nicht der Nullvektor, ist deniert durch cos ψ = v w v w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 141 / 17

14 Skalar- und Vektorprodukt Das Winkel wird über das Skalarprodukt so deniert, dass er mit dem ebenen Winkel im R 2 übereinstimmt Hilfsmittel ist der Kosinussatz: c a α b a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 142 / 17

15 Skalar- und Vektorprodukt 162 Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes und der Norm 1 v w = w v 2 v (α w + β u ) = α( v w) + β( v u ) 3 Für v ist 1 v v = 1 4 v w = genau dann, wenn v und w senkrecht aufeinander stehen ( ) ( ) b a 5 Der Vektor steht senkrecht auf dem Vektor a b 6 v 7 v = genau dann, wenn v = 8 α v = α v Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 143 / 17

16 Skalar- und Vektorprodukt 163 Satz: Dreiecksungleichung Für Vektoren v und w gilt v + w v + w und v w v w, sowie damit dann v w v u + u w 164 Satz: Parallelogrammgleichung Für Vektoren v und w gilt v + w 2 + v w 2 = 2 v w 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 144 / 17

17 Skalar- und Vektorprodukt Im Fall des R 3 gibt es noch ein Produkt zwischen Vektoren, dass als Ergebnis wieder einen Vektor liefert 165 Denition: Kreuzprodukt Es seien v = v 1 v 2 v 3, w = w 1 w 2 w 3 Vektorprodukt) v w deniert durch R 3 Dann ist das Kreuzprodukt (oder v 2 w 3 v 3 w 2 v w := v 3 w 1 v 1 w 3 v 1 w 2 v 2 w 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 145 / 17

18 Skalar- und Vektorprodukt 166 Satz: Eigenschaften des Kreuzproduktes 1 v w = w v 2 v ( α w + β u ) = α( v w) + β( v u ) 3 Ist α der Winkel zwischen v und w so ist v w = v w sin α 5 v w = genau dann, wenn v und w linear abhängig sind 4 ( v w) v = ( v w) w = Dh v w steht sowohl senkrecht auf v als auch auf w 5 v w entspricht dem Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms 6 v, w und v w bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 146 / 17

19 Skalar- und Vektorprodukt v w Mittelnger Rechte-Hand- Regel v Daumen w Zeigenger Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 147 / 17

20 Skalar- und Vektorprodukt Eine Kombination des Skalarproduktes und des Kreuzproduktes im R 3 liefert ein weiteres geometrisch relevantes Produkt: 167 Denition: Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren u, v, w R 3 ist deniert durch s( u, v, w) = u ( v w) Die folgenden Eigenschaften des Spatproduktes sind direkte Konsequenzen aus denen der beiden beteiligten Produkte: 168 Folgerung: Eigenschaften des Spatproduktes 1 Das Spatprodukt ist total schiefsymmetrisch, dh s( u, v, w) = s( w, u, v) = s( v, w, u) = s( v, u, w) = s( u, w, v) = s( w, v, u) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 148 / 17

21 Skalar- und Vektorprodukt Eigenschaften des Spatproduktes [cont] 2 Der Betrag des Spatproduktes s( u, v, w), entspricht dem Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepipeds u v w v u Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 149 / 17

22 Skalar- und Vektorprodukt Bemerkung: Man kann das Spatprodukt der Vektoren u = u 2, u 3 v 1 w 1 v = v 2 und w = w 2 mit Hilfe der Sarrus-Regel berechnen v 3 w 3 u 1 u 1 v 1 w 1 u 1 v 1 u 2 v 2 w 2 u 2 v 2 u 3 v 3 w 3 + u 3 + v 3 + Es ist nämlich s ( u, v, w) = u 1 v 2 w 3 + v 1 w 2 u 3 + w 1 u 2 v 3 u 3 v 2 w 1 v 3 w 2 u 1 w 3 u 2 v 1 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 15 / 17