Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben

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1 Mathematik. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Raumgeometrie. Punkte einer Geraden Punkte und Geraden Geraden und Punkte Schnittwinkel und Schnittpunkte Windschiefe Geraden Ablesen von Geraden und Lagebeziehungen Lageuntersuchungen bei Geraden Ebenen im Raum 7. Darstellung einer Ebenen durch Punkte Umwandlung in die Normalenform Lagebeziehung unter Ausnutzung der Normalendarstellung Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden. Schnittpunkte von Ebene und Gerade Gegenseitige Lagen Geraden und Ebenen Lagebeziehungen von Ebenen Abituraufgabe Abituraufgabe Schattenwurf eines Hauses Pyramide und Lotfußpunkt Abstände und Winkel 7. Abstand Punkt - Ebene Abstand von Ebenen Abstand Punkt - Gerade Lagebeziehung Gerade und Ebene Schnittwinkel von Ebenen

2 Raumgeometrie. Punkte einer Geraden Punkte erhält man, indem man verschiedene Werte für λ einsetzt. λ = X = 5 λ = X = + = 5 x (7.,-8.,8.) - (.,-.,7.) -8 (5.,-.,.) 5 (.,-.,5.) A (.,.,.) - x (.,.,.)-8 - (.,.,.) - - (.,.,.) (-.,8.,.) x 8. Punkte und Geraden a) Man kann z.b. eine Geradengleichung aufstellen und überprüfen, ob der dritte Punkt Element dieser Menge ist. AB = B A = 5 = 5 7 g : X = + µ 7

3 Mit Hilfe der Probe kann man nun den dritten Punkt überprüfen = + µ µ = = µ µ = 7 µ = 5 Punkt C ist nicht Element der Geraden durch die Punkte A und B. 8 b) Wir berechnen AB = B A = und BC = C B =, 5 und überprüfen, ob dies dieselben Richtungsvektoren bis auf eine multiplikative Konstante sind, sprich ob sie linear unabhängig sind 8 n = = n, 5 n = n = es sind zwei unterschiedliche Richtungsvektoren und damit können die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.. Geraden und Punkte Zuerst muss die Geradengleichung aufgestellt werden. g : X = A + µ AB = + µ 5 a) Man muss einfach alle Punkte überprüfen = + µ A 5 µ = = µ µ = 5 5 µ = C g 8 = + µ 8 5 µ = = µ µ = 5 µ = 5 D g A = + µ 5 µ = = µ µ = 5 µ = 5 E g A Eigentlich bearbeiten wir hier gerade Gleichungssystem I, II, III auf einmal b) wenn möglich bedeutet, nur wenn es eine eindeutige Lösung gibt: f = + µ A f 5 µ = hier legen wir den Parameter µfest f = µ f = = wir berechnen damit die weiteren Koordinaten f + 5 f + = 5 f = =

4 F ( ) Für den Punkt G ergibt sich wegen der.koordinaten µ = und damit G ( ) G ( ) ( und zuletzt H ) c) Ein Gegenbeispiel wäre die x Achse..5 Schnittwinkel und Schnittpunkte a) Schnittpunkt erhält man durch Gleichsetzen + λ = + µ 5 + λ = µ I: 5 λ = µ II: + λ = III: + λ = µ und anschließt löst man dies möglichst geschickt. Hier vielleicht mit II beginnen II folgt λ = einsetzen in I 5 + = µ µ = überprüfen in III + ( ) = und nun entweder λ = oder µ = in die entsprechende Gleichung einsetzen 5 S = = den Schnittwinkel liefert dann das Skalarprodukt cos ϕ = u g u h u g u h u g u h = + + = u g = + + = = u h = + + = cos ϕ = ϕ = damit ist der spitze Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren 8 = 8 b) Die x Achse ist die Gerade mit Aufpunkt ( )und Richtungsvektor ( ) oder ein Vielfaches 5 + λ = µ λ = + = und damit ergibt sich für µ = 5 + = und der Schnittpunkt ist S ( ) (offensichtlich auf der x Achse) cos ϕ = + + = + + = ϕ = 8,

5 d) zuerst setzt man die beiden Geraden gleich 5 + λ = + λ = µ wir verwenden dass Additionsverfahren II + III 5 + µ I : λ = 5µ II : + λ = 5µ III : λ = µ rechte Seite II ls II {}}{{}}{ + λ + } {{ λ } = µ + µ }{{} rechte Seite III ls III = 8µ µ = µ in II + λ = λ = wir überprüfen das Ganze in der noch nicht verwendeten Gleichung I: = 5 Der Winkel ergibt sich über das Skalarprodukt 5 5 cos ϕ = = 5 5 ϕ = cos = und damit der spitze Winkel α =..7 Windschiefe Geraden Zuerst stellen wir fest, dass es keinen Schnittpunkt gibt + λ = + µ 5 + λ = µ = die erste Koordinate liefert keine Lösung für beliebiges λ, µ Wir müssen nun noch die Parallelität überprüfen = n n = n = Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig und somit sind die beiden Geraden windschief.

6 . Ablesen von Geraden und Lagebeziehungen a) Zuerst die Koordinaten ablesen: A(7 7); B ( 5 ) ; C ( ) ; D ( 7 7) 7 7 g : X = A + λab = + λ 5 7 h : X = C + µ DC = + µ 7 anschließend einen Schnittpunkt suchen λ 5 = + µ I: 7λ = µ + λ 5 = µ 7 II: 5λ = 7µ III: λ = µ das GS muss gelöst werden ( ) 7 II in III/: 5 µ = µ µ = 5µ 5µ 5 5 = µ µ = 5 eingesetzt in die verbleibene Gleichung I: - ( 7 7 ) ( = 5 ) in II λ = 7 die Geraden sind windschief. + = 5. Lageuntersuchungen bei Geraden a) man sieht sofort, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, es also keine relle Zahl r R gibt mit = r man sucht also einen Schnittpunkt durch Gleichsetzen + λ = + µ + λ = µ 5 I: + λ = µ II: λ = III: 5 + λ = µ damit ergibt sich nach II λ = und damit nach I µ =, 5. Wir überprüfen alles in III: 5 + =, 5, also sind die Geraden windschief

7 b) die beiden Geraden sind offensichtlich nicht parallel, also linear unabhängig. Wir suchen einen Schnittpunkt + λ = 7 + µ λ = µ 7 I: 5 λ = µ II: 5 + λ = III: = µ also muss nach III µ = sein und λ = 5 nach II. Kontrolle in I liefert 5 5 = = Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt S ( 7 ) (Aufpunkt von Geraden h wegen µ = ) Natürlich interessiert uns der Schnittwinkel cos ϕ = = + + ϕ = cos =, also der Schnittwinkel α = 5, 8 c) die beiden Geraden sind ebenfalls nicht parallel, also wird ein Schnittpunkt gesucht I: = µ + λ = + µ II: λ = III: λ = µ also µ = und λ = und damit passt auch III. Der Schnittpunkt ist S ( ). Es fehlt noch der Schnittwinkel ϕ cos ϕ = = + ϕ = cos = 8, es ergibt sich somit der Schnittwinkel α = 8, Ebenen im Raum. Darstellung einer Ebenen durch Punkte a) Wir benötigen Richtungsvektoren AC = C A = AB = B A = diese sind offensichtlich linear unabhängig. Mit einem beliebigen Aufpunkt, hier A, erhält man E : X = + λ + µ

8 es sind die Normalform, dazu benötigt man das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren n = = ( ) = = und damit die Ebene in Normalendarstellung X = b) siehe a) c) siehe a) AC = C A = AB = B A = E : X = + λ + µ n = = = X = AC = C A = AB = B A = 5 E : X = + λ + µ 5 + n = 5 = + = = X = d) diesmal mit CAS a := [,, ] b := [,, ] c := [,, ] n := crossp ((b a), (c a)) dotp (n, [x, x, x] a) =

9 . Umwandlung in die Normalenform a) Über das Kreuzprodukt erhält man den Normalenvektor und anschließend die Koordinatendarstellung 5 = n = ( ) E : n X A n = = = = = n x x = 8 5 x (7 (x ) + (x + ) + 5 (x )) 8 Falls nicht explizit nach der Hesse-Normalenform gefragt ist, kann das normieren des Vektors auch unterbleiben. = 8 (7x + x + 5x ) b) siehe a) = + = n = + + = x x x = x + x + x }{{} jeweils die entsprechende Koordinate von n ( + ) Nur die Richtung ist interessant, deswegen kann der gemeinsame Faktor vernachläßigt werden. Für die skalare Multiplikation von Vektoren gilt das Distributivgesetz! ( ) a b + c = a b + a c = (x + x + x ) c) siehe a) = n = = = + = + + ( x + x + x (( ) + + )) ( x + x + x ) Beim Kreuzprodukt immer die Differenz notieren, dann findet man anschließend einen möglichen Fehler leichter.

10 .5 Lagebeziehung unter Ausnutzung der Normalendarstellung a) Der Punkt P kann direkt als Aufpunkt genommen werden. Normalenvektor über Kreuzprodukt der gegebenen Ebene, da die Orientierung im Ruam und damit die Richtung des Normalenvektors identisch sein muss n = = + Punkt P { }} { x = x + + x Falls nicht explizit nach der Hesse-Normalenform gefragt ist, kann das normieren des Vektors auch unterbleiben. Aus Übungszwecken machen wir es trotzdem gerne. = E : = (x + x x ( 8 )) (x + x x + 5) b) x x Ebene heißt, dass der Normalenvektor parallel zur x Achse ist, z.b. n = (hier auch gleich normiert, da + + = ) und damit E : = x c) man nimmt die beiden Richtungsvektoren der Geraden zum Bestimmen des Normalenvektors 5 n = 5 = = 5 E : = x + λ 5 = I nicht erfüllbar! = + µ Man kann das leicht nachprüfen, da z.b. der Punkt Q ( ) die Ebenengleichung erfüllt. Nachdem x und x Koordinate bei der Berechnung eines Punktes egal sind, ist die Ebene E parallel zur x x Ebene, bzw. x =. Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden. Schnittpunkte von Ebene und Gerade a) Die Koordinaten der Gerade in die Ebene einsetzen und nach Parameter λ auflösen ( + λ) + ( + λ) + ( λ) 8 = λ 8 = λ = S = + = b) Wichtig auf die Vorzeichen achten, deswegen Klammern ( 8 + 5λ) ( λ) + ( + λ) = λ = = S = + ( ) = +

11 c) hier kann man auch einmal Koordinate für Koordinate berechnen. Koordinate + λ E + µ = + λ G ( ) λ G = + ( ) ( ) damit ergibt sich der Schnittpunkt S = + ( ) = Probe in E.Koordinate µ =.Koordiante λ E = alle Gleichungen erfüllt! d) Hier könnte man ein Gleichungssystem aufstellen für alle drei Koordinaten, oder Standardweg Koordinatendarstellung... n = E : x + x x ( ) = ( λ) + ( + λ) ( + λ) + = λ = λ = 5 S = 8 = λ in der Parameterdarstellung der Ebene und Gerade sind zwei verschiedene Parameter, deswegen λ E und λ G in der Lösung! Die Hesse-Normalform wird hier nicht benötigt!. Gegenseitige Lagen Geraden und Ebenen Das einfachste ist den Winkel zu bestimmen zwischen Geradenrichtungvektor u und Ebenennormalenvektor n. Zum Berechnen ist das Skalarprodukt einfacher, da man nur Parallelität feststellen müsste, also die Berechnung des Nenners ausreicht! n = n n lässt sich n einfach aus der Koordinatendarstellung als Vorfaktor ablesen:n ) x + n x + n x ( n A = a) mit n = ergibt sich der Winkel ϕ zu cos ϕ = n u n u = + = = ϕ = n u n u = g E da Aufpunkt Gerade nicht in E : + + = Zum Überprüfen auf Teilmenge, genügt es einen Punkt zu kontrollieren, am einfachsten den Aufpunkt!

12 b) mit n = ergibt sich der Winkel ϕ zu cos ϕ = n u n u = n u = g schneidet E = + + n u = ϕ = einsetzen: ( + λ) + (, 5 + λ) ( 5 λ) + = λ = 5 S = 5 c) mit n = ergibt sich der Winkel ϕ zu 5 n u cos ϕ = n u = = 5 = ϕ = n u n u = g E da Aufpunkt Gerade in E : 5 + ( ) + = d) mit n = = n u = = + = n u Die Richtungsvektoren der Ebene sind Winkelhalbierende in der x x und x x Ebene. = λ = + λ + µ µ = = = g E da Aufpunkt Gerade nicht in E. Lagebeziehungen von Ebenen Wir eliminieren immer eine Koordinate, oft bietet sich das Additionsverfahren an. a) Wir wollen die x Koordinate eliminieren und multiplizieren Ebene E mit - E : x x + 8x = E : x x x + = E + E : x + x }{{} x x + 8x x + = =,deswegen ( ) 5x + 7x = Nie mit Brüchen multiplizieren, sondern Zahlen möglichst einfach und lieber groß werden lassen. x = 7 5 x in E : x x x + = x = 5 x

13 5 x damit ergibt sich die Gerade 7 5 x x λ g : + λ 7 5 u wegen Bruch x 5 b) Man kann erkennen, dass E = E und damit die Ebenen identisch sind! c) Hier müssen nur beide Gleichungen aufgelöst werden, da immer nur Variablen vorkommen E : x = x E : x = x x x g : + λ x man darf die Ebenengleichungen auch mit Faktoren = durchmultiplizieren, ohne dass sich die Lösung, also die Punkte der Ebene, ändert! d) Zuerst die Normalenform für beide Ebenen über die Normalenvektoren n = = E : x 7 = n = = E : x = E E da identische Normalenvektoren e) wieder zuerst die Normalenform für Ebene E = 8 {}}{ n = = E : x + x + x ( ( 5) + + 7) = E = E identische Ebenen!.7 Abituraufgabe a) allg. Geradenpunkt in Koordinatenform einsetzen (5 + λ) ( + λ) = 7 + λ λ = λ = E = b) in Geradengleichung g : X = A + µ AB Wir starten bei A und gehen Richtung B, wobei für µ = I: = wir exakt bei B landen! = + µ = + µ II: = + µ! Hier sind Richtungen III: = wichtig! es ergibt sich also µ =, so dass E auf der Geraden liegt, aber außerhalb der Strecke [AB] (sonst µ ) und auf der Halbgeraden [AB, da µ >.

14 .5 Abituraufgabe a) Normalenform bedeutet zuerst einmal den Normalenvektor 8 8 = + = 8 vereinfacht n = E : x + x + x ( ( ) ) = E : x + x + x = b) Zuerst einmal die Geradengleichung und anschließend einsetzen g : X = + µ (7 + µ) + ( 8µ) + ( 5µ) = 7µ = 5 µ = S = c) Schnittpunkt einer Geraden mit Aufpunkt A und Richtungsvektor n h : X = + µ 7 (7 µ) + ( + µ) + ( + µ) = µ = 5 µ = 7 F = + + d) Zuerst einmal wieder die Geradengleichung aufstellen 5 8 r : X = F + λfp = + λ λ 8 = + µ µ = λ λ 8 = + µ 8 8λ = 8 (λ ) λ = = Probe 5 = + ( ) ( 5) = T = 5 e) da λ =, 5 ist T der Mittelpunkt der Strecke [FP] und da µ = ebenfalls die Hälfte von µ = (siehe Aufgabe b)), so ist T auch die Mitte der Strecke [AS] und damit ist das Viereck ein Parallelogramm.

15 .7 Schattenwurf eines Hauses Gesucht ist jeweils der Schnittpunkt einer Geraden, welche festgelegt ist durch den Punkt des Gebäudes und der Richtung des Lichts mit der x x Ebene, als dem Untergrund. Zuerst einmal die x x Ebene ist die Gleichung E : x = Wir benötigen nur die Punkte oberhalb der x x Ebene, also S, E, F, G und H. Punkt Geradengleichung Ansatz Schnittpunkt 5 S ( ) g : X = + λ λ = λ = S = 8 5 E ( ) g : X = + λ λ = λ = E = 5 F ( ) g : X = + λ λ = λ = F = 5 8 G ( ) g : X = + λ λ = λ = G = 5 H ( ) g : X = + λ λ = λ = H = x 8 S F G E B H C A 8 8 D x Für die weiteren Aufgaben wäre der Richtungsvektor eben. 8

16 .8 Pyramide und Lotfußpunkt Für den Lofußpunkt konstruieren wir eine Gerade mit Richtungsvektor entspricht dem Normalenvektor und Aufpunkt S. Volumen lässt sich über AB ( ) x AC AS berechnen. Es fehlt noch AS = 7 S und damit = 8 = x C x und damit B 8 8 = = 8 V = A AC = 8 AB 8 Vereinfachung zum Rechnen n = + = = + Damit ergibt sich die Gerade g : X = S + λ n und diese wird mit der Ebene geschnitten Wir suchen nun den Schnittpunkt E : n X n A = x + x + x ( + + ( )) = x + x + x = (5 + λ) + ( + λ) + ( + λ) = 8 + λ = λ = 5 und es ergibt sich der Fußpunkt H zu H = S + ( ) n = + ( ) =. Die Höhe ergibt sich aus der Länge des Vektors ( ) und damit zu + + = = = HS.

17 Abstände und Winkel. Abstand Punkt - Ebene Man kann einerseits die Hesse sche Normalform nehmen, oder den allg. Geradenpunkt in die Koordinatenform einsetzen. a) Erste Aufgabe mit beiden Varianten i) Zuerst mit Hesse Normalform n = n = + + = d (E, P) = = 7 CAS mit norm(..) ii) Diesmal mit Schnittpunkt Gerade - Ebene mit der Lotgerade mit Aufpunkt P und Richtungsvektor n.! Vorzeichen, daher in + λ Klammern allg. Geradenpunkt einsetzen g : X = + λ = λ λ CAS Punkt einsetzen und solve(...), anschließend ( + λ) ( λ) + (5 + λ) 5 = norm(p-s) λ + λ + λ = 7 + λ = λ = 7 S = + 7 = 5 PS = 5 = 7 Punktkoordinaten mit erweitert 5 = 7 = + + = = = 7 b) Diesmal mit Hesse sche Normalform n = = + + = d (P, E) = 5 + ( ) = d (P, E) = =

18 . Abstand von Ebenen 8 a) parallele Ebenen bedeutet parallel Normalenvektoren, n = = 8 und den zweiten erhält man über das Kreuzprodukt 8 = + = = n n 8 da ein Vielfaches. Für Abstand einen beliebigen Punkt der Ebene, hier am Besten den Aufpunkt von Ebene in Hesse sche Normalform von Ebene einsetzen: ) d (E ; A n = + + = 8 und A = = = 7 8 Konstante - auf rechten Gleichungsseite nicht vergessen!.5 Abstand Punkt - Gerade Es gibt die Möglichkeit über den Winkel und damit das Skalarprodukt den Aufpunkt zu bestimmen, oder über den Richtungsvektor als Normalenvektor für eine Ebene und anschließend Schnittpunktbestimmung. a) Wir fällen ein Lot auf die Gerade mit PQ u = mit Q g λ + λ PQ = Q P = λ = λ λ λ + λ λ = ( + λ) ( λ) ( λ) =! λ = + λ 8 + λ + λ Es wird jeweils ein Verfahren gerechnet, dass zweite sollte analoge Lotfußpunkte liefern und natürlich Abstände. = 8λ λ = = 7 b) Diesmal mit der Ebenentechnik Ebenengleichung ( ) n X A = n X n A

19 5 P n = = 5 + E : x + x + x + 8 = Punkt einsetzen ( λ) + (λ) + (λ) + 8 = λ + λ + λ = 8 λ = Punkt berechnen: Q = PQ (7 ) ( = 5 + PQ, 8 ) ( + 7 ) ( ).7 Lagebeziehung Gerade und Ebene a) Wir untersuchen den Winkel zwischen Geradenrichtungsvektor und Normalenvektor der Ebene sin α = = + = g E oder g E Taschenrechner auf D stellen mittels Setup. Aufpunkt einsetzen: 5 ( ) = + = Gerade und Ebene echt parallel: g E b) Rechenweg identisch 8 sin α = = 8 = g E oder g E Aufpunkt einsetzen: 8 5 ( ) ( ) = + + = HNF von E : Gerade und Ebene echt parallel: g E + + (7 ) = Abstand der Gerade von E Erstellt man die HNF, so kann man den Abstand ausrechnen, dazu die Ebenengleichung durch den Betrag (Länge) des Normalenvektors teilen und den Aufpunkt anschließend einsetzen. c) Rechenweg identisch sin α = = + α = sin = 8, (5 + λ) + ( λ) + ( + λ) = λ = λ = Aufpunkt ist Schnittpunkt unter Winkel α = 8, Probe: 5 + =

20 . Schnittwinkel von Ebenen Normalenvektor n ablesen und Winkel der Normalenvektoren berechnen. a) cos ϕ = b) cos ϕ = c) cos ϕ = = = = 5 ϕ = 7, 5 ϕ = 8, 8 Betrag verwenden ϕ = 7, n ist Vorfaktor vor den einzelnen Faktoren;! Vorzeichen beachten! Nimmt man den Betrag des Zahlenverhältnisses, so erhält man sofort den spitzen Winkel!