Kreistreue der Möbius-Transformationen

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1 Kreistreue der Möbiustransformationen Satz Möbius Transformationen sind kreistreu. Beweis Verwende eine geeignete Zerlegung für c 0: a az + b cz + d = c (cz + d) ad c + b cz + d = a c ad bc c cz + d. Wir setzen nun w = cz + d w = w w 3 = a c ad bc c w Die Abbildungen w und w 3 sind linear und daher kreistreu! Kreistreue der Möbius-Transformationen Beweis Es bleibt zu zeigen: Die Inversion w = f (z) = /z ist eine kreistreue Abbildung Gehe den Umweg über die stereographische Projektion, d.h. betrachte statt z /z die Abbildungsfolge z x := P (z) x P( x) = z. Dann gilt sowie x = P (z) = ( z + z z z +, ) z z i(z z + ), z z ) T z z + x = P ( z = ( z + z z z +, i( z z z z + ), z z z z + ) T

2 Kreistreue der Möbius-Transformationen II Beweis Erweitern ergibt: ( z + z x = z z +, z z i(z z + ), z z ) z z + = (x, x, x 3 ) T. Wir erhalten damit eine Abbildung F : S S mit F(x) = (x, x, x 3 ) T. Diese Abbildung ist eine Drehung der Sphäre um die x Achse um π und damit offensichtlich kreistreu. Damit haben wir gezeigt, dass die Abbildungsfolge z x := P (z) x P( x) = z und daher die Inversion z /z eine kreistreue Abbildung ist. Möbius-Transformation als Abbildung Bemerkung Abbildungseigenschaften der Möbius Transformation: ) Kreise, Geraden durch ( d ) c Geraden der w Ebene ) Geraden der z Ebene Kreise, Geraden durch ( ) a c 3) Kreise, die nicht durch ( d ) c gehen Kreise, die nicht durch ( ) a c gehen Satz Gegeben seien je drei (verschiedene) Punkte z, z, z 3 und w, w, w 3. Dann gibt es genau eine Möbius Transformation w = T(z) mit w j = T(z j ), j =,, 3. Diese ist gegeben durch die Dreipunktformel w w : w 3 w = z z : z 3 z. w w w 3 w z z z 3 z

3 Doppelverhältnis Bemerkung Sind vier verschiedene Punkte z 0, z, z und z 3 gegeben, so ist das Doppelverhältnis dieser Punkte gegeben durch D(z 0, z, z, z 3 ) := z 0 z : z 3 z. z 0 z z 3 z Weiter gilt: D(z 0, z, z, z 3 ) R z 0, z, z, z 3 liegen auf einem verallg. Kreis. Beispiel Gesucht ist die Möbius Transformation mit z i i 0 w i i i 0 Dann ist die zugehörige eindeutige Möbius Transformation definiert durch w i : 0 i = z : 0 w + i 0 + i z i 0 i. Doppelverhältnis II Beispiel (Fortsetzung) Umformung ergibt die Darstellung ( + i)z w = ( + i)z i. Definition Gegeben sei ein Kreis C in C mit Mittelpunkt z 0 C und Radius R. Zwei Punkte z, z C liegen symmetrisch zum Kreis C, falls gilt (z z 0 )( z z 0 ) = R. Die Abbildung z z nennt man die Inversion am Kreis C oder auch Spiegelung am Kreis C. Insbsondere gilt: z z 0 z, d.h. z 0 liegt symmetrisch zu.

4 Symmetrie und Spiegelung Definition Zwei Punkte z, z nennt man symmetrisch zu einer Geraden in C, wenn z aus z durch Spiegelung an der Geraden entsteht. Satz Möbius Transformationen erhalten die Symmetrie zu verallgemeinerten Kreisen. Beispiel Gesucht ist eine Möbius Transformation mit z = w + = z = w = 0 z = 0 w = i. Eine Möbius Transformation ist eindeutig bestimmt, falls die Transformation von drei Punkten festgelegt ist. Problem: Uns fehlt ein Punkt! Symmetrie und Spiegelung II Beispiel (Fortsetzung) Nach dem letzten Satz erhalten Möbius Transformationen die Symmetrie zu verallgemeinerten Kreisen: z = 0 z 3 = ist symmetrisch zu z bzgl. des Kreises z =. Daher ist w 3 der zu w = i symmetrische Punkt bezüglich des Kreises w + = und somit gegeben durch w 3 = ( + i). Die Dreipunktformel lautet: ( ) ( ) w 0 ( + i) 0 : w i ( + i) i = ( ) z + z 0 : ( ) z3 +. z 3 0

5 Symmetrie und Spiegelung III Beispiel (Fortsetzung) Was passiert mit dem Term für z 3? Es gilt: Wir erhalten also ( ) w w i z 3 + z 3 0 z 3 + z 3 0 = + z z 3 für z 3. : ( ) ( ) ( + i) z + = ( + i) i z und Auflösung nach w ergibt: z + w = T(z) = ( + i)z + i. Eine spezielle Möbiustransformation Beispiel Für die reellen Zahlen b > a > 0 setzen wir ab + z w = = p + z ab z p z, p = ab. Dann hat die vorliegende Möbius Transformation folgende Abbildungseigenschaften: z, = ± ab w, =, 0 a + b z 3,4 = a, b w 3,4 = ± = ±ρ, ρ > b a b a z 5,6 = a, b w 5,6 = ± = ± a + b ρ z 7 = 0 w 7 = z 8 = w 8 =.

6 Eine spezielle Möbiustransformation Eigenschaften Beispiel (Fortsetzung) die x Achse wird auf die u Achse abgebildet, symmetrisch zur x Achse liegende Punkte werden damit auf symmetrisch zur u Achse liegende Punkte abgebildet, die angegebenen Kreise durch a, b bzw. a, b werden auf die Kreise um 0 mit Radius ρ bzw. /ρ abgebildet. Zentrales Anwendungsbeispiel: Das elektrostatische Feld im Äußeren von zwei parallelen Leitern wird in das Feld eines Zylinderkondensators abgebildet. Komplexe Differenzierbarkeit Definition Sei f : D C, D C eine komplexe Funktion. f (z) heißt in z 0 D 0 komplex differenzierbar mit Ableitung f (z 0 ), falls der folgende Grenzwert existiert: f (z 0 ) := lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Ist f (z) in jedem Punkt eines Gebietes D komplex differenzierbar, so nennt man f (z) holomorph, analytisch oder regulär auf D. Beachte: ) Der Grenzwertprozess z z 0 erfolgt in der komplexen Ebene, d.h. die Richtung der Annäherung z z 0 ist beliebig! ) Die oben stehende Division ist die Division komplexer Zahlen!

7 Reellwertige holomorphe Funktionen Lemma Ist f (z) reellwertig, d.h. f : D R, D C ein Gebiet, und ist f (z) holomorph auf D, dann ist f (z) eine konstante Funktion, d.h. f (z) = const. R z D Beweis ) Wir betrachten die Folge z n z 0 gegeben durch z n = z 0 + n Dann ist der Differenzenquotient für alle n N reell, denn f (z n ) f (z 0 ) z n z 0 = n(f (z n ) f (z 0 )) R Fortsetzung des Beweises Beweis (Fortsetzung) ) Dagegen liefert die Folge z n z 0 mit z n = z 0 + i n den rein imaginären Differenzenquotienten f (z n ) f (z 0 ) z n z 0 = n i (f (z n) f (z 0 )) C Da aber die Funktion auf D holomorph ist, folgt f (z 0 ) = 0 z 0 D d.h. f (z) ist eine konstante Funktion.

8 Kriterien für komplexe Differenzierbarkeit Bemerkung Die Funktion f (z) ist komplex differenzierbar in z 0 f (z) f (z 0 ) f (z 0 )(z z 0 ) lim = 0 z z0 z z 0 f (z) = f (z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 ) Die Funktion f (z) sei im Punkt z 0 komplex differenzierbar. Wir setzen γ = f (z 0 ). Die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen Nach obiger Bemerkung ist eine äquivalente Schreibweise gegeben durch f (z) = f (z 0 ) + γ(z z 0 ) + ε(z) z z 0 mit ε(z) 0 für z z 0. Wir verwenden nun mit z = x + i y die Darstellungen f (z) = u(z) + i v(z) = u(x, y) + i v(x, y) und f (z 0 ) =: γ = α + i β.