Statik. Klausur am Name: Vorname: Matrikelnummer: (bitte deutlich schreiben)

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1 Lösung zur Diplomprüfung Frühjahr 2007 Prüfungsfach Statik Klausur am Name: Vorname: Matrikelnummer: (bitte deutlich schreiben) (9stellig!) Aufgabe Summe mögliche Punkte erreichte Punkte Wichtige Hinweise Dauer der Klausur: 3 Stunden, davon 30 Minuten für Aufgaben ohne Hilfsmittel, 2 Stunden 30 Minuten für Aufgaben mit Hilfsmitteln. Prüfen Sie, ob alle Aufgabenblätter vorhanden sind. Schreiben Sie auf das Deckblatt ihren Namen und ihre Matrikelnummer. Geben Sie bei den Aufgaben, die ohne Hilfsmittel zu bearbeiten sind, Ihre Lösungen auf den Aufgabenblättern an. Bei Bedarf können Sie weiteres farbiges Schreibpapier anfordern. Verwenden Sie hierfür kein eigenes Papier. Die Aufgabenblätter zu den Aufgaben, die mit Hilfsmitteln zu bearbeiten sind, sind zusammen mit den zugehörigen Lösungen abzugeben. Keine grünen Stifte verwenden. Die Lösungen sollen alle Nebenrechnungen und Zwischenergebnisse enthalten. Programmierbare Rechner nur ohne Programmteil benutzen. Die Benutzung Programmgesteuerter Rechner (z.b Notebooks, Laptops) ist nicht zulässig. Mobiltelefone sind während der Klausur abzuschalten und dürfen nicht benutzt werden. Toilettenbesuche sind nur einzeln unter Hinterlegung des Studentenausweises bei den Aufsichtspersonen gestattet. Keine Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten lösen. Klausur Statik - Frühjahr

2 5 / > = 5 % Musterlösung Aufgabe ( 25 Punkte) a) Teilsystem: 5 " =!! $ ' / 0 5 5! / " 0 > ' " / 8 = > / " 8 M2 = = G v 5 G v = 17 kn V = 0 G2v = = 2 kn MG = 0 G 2H 1 = G 2v 1, 5 G 2H = 3 kn Test: MG = 0 G v 3, 5 G H , 5 = 0 G H = 7 kn H = 0 10 G2H G H = = 0 5 Knoten 2:! S 1 cos α = 3 S 1 = 3, 6 kn (S 1 sin α = 2) Knoten : S 2 cos β = 7 S 2 = 7, 28 kn % (S 2 sin β = 15 17) S 3 = 15 kn; S = 10 kn Normalkraft kn! $ % & Q, M 0! Klausur Statik - Frühjahr

3 %! * "! % Auflager: % - 1 " - ) / ) 3 ) 8 ) 0 + B! "! &! " &! MA = , = B 3 B = 5, 83 kn V = 0 Av = B 15 = 30, 83 kn T est : H = 0 AH = = 25 kn MB = , 5 A v = 0 3 & &!! " %! &! " &! b) MA = = B 3 B = 5 3 δ 3 = B c f = 5, 83 kn 3 10 kn/m = 1, 53 mm EIδ = (52, 5 2 3)( 2) , EI c f = 5, , , 3 = 188, 1 knm 3!!! " δ = 3, 76 mm M!! % $ Klausur Statik - Frühjahr

4 ) 1 Musterlösung Aufgabe 5 ( 20 Punkte) Einflusslinie: _ T _!! !! D D! D " D " D! D a) A = = 8, 3 kn b) A = = 6, 25 kn nach rechts verschieben! A = = 12, 5 kn Klausur Statik - Frühjahr 2007

5 Musterlösung Aufgabe 6 ( 30 Punkte) a) Belastung und Systemskizze q = A ρ g = 1 0, , N m A 0 = 1500N A 1 = 1N MX0 A = 7500N M A X1 = 5N MY A 0 = 3750N M A Y 1 = 5N 1-fach statisch unbestimmt q = N / m F = X 1 = ' 1 ' M A Y A M A X b) Kraftgrößenverfahren Q Z 0 N M Y0 Nm , , 5 M X 0 Nm Q Z 1 N -1 M Y1 Nm M X 1 Nm Klausur Statik - Frühjahr

6 EIδ 10 = ( 7500) ( 3750) ( 5) = EIδ 11 = ( 5) = 33, 33 Verträglichkeitsbedingung: δ 11 X 1 + δ10 = 0 X 1 = δ 10 δ 11 = EIδ 10 EIδ 11 = ,33 = 81, 23N Schnittgrößen: A = A 0 + A 1 X 1 = 658, 77 N F = F 0 + F 1 X 1 = 81, 23 N MX A = MX0 A + M A X1 = 3293, 87 Nm MY A = MY A 0 + M A Y 1 = 56, 13 Nm Q Z N -31,22 M Y Nm -3293, , 5 M X Nm , , , 5-56, , 7 7 Klausur Statik - Frühjahr

7 c) Verdrehung '1' Q Zj N 0 M Yj Nm 1 M Xj Nm M A Y j M A Xj 1 A j A ϕ = 0 N M A Xϕ = 1 Nm A A Y ϕ = 0 Nm ϕ = ( 1250) ( 1250) , 5 5 EI ( 3293, ) 5 2 ( 2522, 18)rad = 1 EI Klausur Statik - Frühjahr

8 ! E Musterlösung Aufgabe 7 a) Momentenverlauf mit Drehwinkelverfahren ( 25 Punkte) 1) Festhaltekraftgrößen Stab 1: Mi 10 = P l 8 = 2, 5 Mk 10 = P l 8 = 2, 5 Stab 2: Mi 20 = ql2 12 = 1, 67 Mk 20 = ql2 12 = 1, 67 Stab 5: wird als angehängt betrachtet 2) Steifigkeiten kik 1 = 2EI l = 2000 kik 2 = 2EI l = 2000 kik 3 = 2EI l = 2000 kik = 3EI 2l = ) Gleichgewicht Knoten 2: ΣM 2 = 0? Mk 1 + Mi 2 + Mk 3 + M ϕ = 0 Mk 10 + kik 1 2ϕ 2 + Mi 20 + kik 2 (2ϕ 2 + ϕ 3 ) + kik 3 (2ϕ 2 ) + c M ϕ 2 = 0 0, ϕ ϕ 3 = 0 Knoten 3: ΣM 3 = 0 Klausur Statik - Frühjahr

9 !! " E Mk 2 + Mi = 0 Mk 20 + kik 2 2ϕ 3 + ϕ2 + kik 2ϕ 3 = 0 1, ϕ ϕ 3 = 0 ) Gleichungssystem ϕ2 ϕ 3 = 0, 83 1, 67 ϕ2 ϕ 3 2, = 2, ) Nachlaufrechnung für M Einzelsystem: M 2 0 k N P l 1 5 k N m Klausur Statik - Frühjahr

10 Restsystem: Mi 1 = 2, ϕ 2 = 2, 55 2, 55 Mk 1 = 2, ϕ 2 = 2, 39 Mi 2 = 1, (2 ϕ 2 + ϕ 3 ) = 2, 28 2, 28 Mk 2 = 1, (ϕ ϕ 3 ) = 0, 606 Mi 3 = 2000 ϕ 2 = 0, , 0532 Mk 3 = ϕ 2 = 0, 106 Mi = ϕ 3 = 0, 606 0, 606 Grafik: M - 2, 5 5-2, 3 9-2, 2 8-0, , , b) Moment in der Drehfeder M ϕ = c M ϕ 2 = 0, knm c) Querkraft am rechten Ende des Stabes 2 Q = 0,606+2, ,0 =, 162 kn 5 k N / m 2, 2 8 Q 0, m d) Drehwinkel bei Erhöhung der Drehfedersteifigkeit und Biegesteifigkeit c M = 00 knm/rad EI 1 = 3000 knm 2 Klausur Statik - Frühjahr

11 modifizierte Steifigkeitsbeziehung: ϕ2 ϕ 3 = 0, 83 1, 67 ϕ2 ϕ 3 2, = 2, Klausur Statik - Frühjahr

12 Musterlösung Aufgabe 8 ( 30 Punkte) a) Geometrische Randbedingungen müssen, statische Randbedingungen sollten erfüllt sein. b) Randbedingungen des dargestellten Systems Rand 1 3 : w = 0, m yy = 0, w, y 0 Rand 2 : qx = 0, m xx = 0, w 0 für 0 < y < 3 c) Vernachlässigung von Randstörung unendlicher Plattenstreifen keine Krümmung in x-richtung d) Ermittlung der Konstanten C 1 ( y w(x, y) = C 1 12 y ) y ( y 3 w(x, y), y = C y2 + 9 ) ( w(x, y), yy = C 1 y 2 3y ) w(x, y), x = w(x, y), xx = w(x, y), xy = w(x, y), yx = 0 w(x, 0) = w(x, 3) = 0 geom. Randbedingung erfüllt mittels Ritz-Verfahren w i w e = 0 w i = w e = = k = k Ω m xx κ xx + m yy κ yy + 2m xy κ xy da w yy w yy da Ω = k C 1 C1 0, 5 = Ω q w da 0 = q C 1 81 C 1 C1 ( y 6y 3 + 9y 2) dy dx q C 1 ( y 12 y ) y dy dx w i w e = k C 1 C1 0, 5 q C 81 1 = 0 C 1 = q 2k C 1 = 0, 008 mit k = E t 3 12(1 ν 2 ) = Klausur Statik - Frühjahr

13 = w(x, y) = 0, 008 e) Maximalwerte in Plattenmitte w max = 0, 008 ( 1, 5 12 ( y 12 y ) y 1, , 5 9 ) = 0, 0101 m m xx = k (w, xx +ν w, yy ) = k ν w, yy m(x, 1, 5) xx = 5, 625 knm m m yy = k (ν w, xx +w, yy ) = k w, yy m(x, 1, 5) yy = 28, 125 knm m m xy = k (w, xy +w, yx ) 1 ν = 0 2 f) Für ν = 0 folgt fã 1 r die Momente: m xy = m xx = 0 m yy bleibt unverändert für die Durchbiegung ergibt sich: g) Balkenlösung C 1, ν=0 = 0, 005 w ν=0 = 0, m max M = q l2 8 = 28, 125 knm m identisch zu e) und max w = 5 p l 38 E I = , 3 }{{} I= b t3 12 = 1 0,13 12 = 0, m identisch zu f) h) Die Anteile heben sich gegenseitig auf, da keine Abhängigkeit von x vorhanden ist. Der Ansatz ist ungeeignet für antimetrische Belastung. Klausur Statik - Frühjahr

14 Musterlösung Aufgabe 9 ( 20 Punkte) allgemeine Lösung µ = P E I w(x) = a 0 + a 1 x + a 2 sin (µx) + a 3 cos (µx) w (x) = a 1 + a 2 µ cos (µx) a 3 µ sin (µx) w (x) = a 2 µ 2 sin (µx) a 3 µ 2 cos (µx) w (x) = a 2 µ 3 cos(µx) + a 3 µ 3 sin (µx) a) Randbedingungen w (0) = 0 (1) w (0) = 0 (2) V (l) = 0 V (l) = M (l) + H w (l) = E I w (l) P w (l) = 0 w µ 2 w (l) + P } E{{ I} (l) = 0 M(l) = P e E I w (l) = P e w (l) = P } E{{ I} µ 2 e a 2 sin (µl) a 3 cos (µl) = e (3) () b) Berechnung der Koeffizienten aus (1) a 0 = a 3 aus (2) a 1 = a 2 µ aus (3) a 2 µ 3 cos(µl) + a 3 µ 3 sin(µl) + a 1 µ 2 + a 2 µ 3 cos(µl) a 3 µ 3 sin(µl) = 0 a 1 = 0 in (2) a 2 = 0 aus () a 3 = e cos(µl) w(x) = e P 1 cos(µx), mit µ = cos(µl) E I c) Berechnung der Verschiebung µ = P E I w(l) = e 1 cos(µl) 1 Klausur Statik - Frühjahr

15 P = 0 µ = 0 w(l) = 0 P = 10 µ = 0, 1 w(l) = 0, 5 1 cos 1 1 = 0, 25 m P = 20 µ = 0, 11 w(l) = 2, 7 m P = 2, 5 µ = 0, 157 w(l) = 89, 61 m F M Klausur Statik - Frühjahr

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