Serie 29. (Zusatzaufgaben ohne Musterlösung) Repetition 2. Semester

Transkript

1 D-MATH Algebra II FS 013 Prof. Richard Pink Serie 9 (Zusatzaufgaben ohne Musterlösung) Repetition. Semester 1. Sei R ein Hauptidealring und sei a R ein Ideal. Zeige, dass jedes Ideal in R/a ein Hauptideal ist.. Seien K(a)/K und K(b)/K einfache algebraische Körpererweiterungen und sei f, bzw. g, das Minimalpolynom von a, bzw. b, über K. Zeige: f ist genau dann irreduzibel über K(b) wenn g irreduzibel über K(a) ist. 3. Sei L/K eine endliche Körpererweiterung und f K[X] irreduzibel. (a) Zeige: Falls deg(f) und [L/K] teilerfremd sind, ist f irreduzibel über L. (b) Gib Beispiele von irreduziblen Polynomen in K[X] an, deren Grad nicht teilerfremd zu [L/K] ist und die über L reduzibel sind. 4. Seien q = p n eine Primpotenz und K ein Körper mit q Elementen. Betrachte die Menge K := {x x K}. (a) Für p = zeige K = K. (b) Für p 3 zeige K = (q +1)/. (c) Folgere aus (a) und (b), dass jedes Element von K sich als Summe zweier Quadrate schreiben lässt. (d) Seien L und M Zwischenkörper einer Körpererweiterung F/K. Zeige: i. Ist L/K algebraisch, bzw. endlich, bzw. endlich erzeugt, bzw. einfach, bzw. separabel, bzw. rein inseparabel, bzw. normal, bzw. galoissch, so hat auch LM/M dieselbe Eigenschaft. ii. Für jede der genannten Eigenschaften gilt die Umkehrung im allgemeinen nicht. Hinweis: Schubfachprinzip. (e) Seien p 3 und a K. Zeige: a ist ein Quadrat in K genau dann, wenn a q 1 = 1 gilt. (f) Folgere daraus, dass der Ring K[X]/(X + 1) genau dann ein Körper ist, wenn q 3mod4 gilt. 1

2 5. Entscheide für jedes n 1, ob die folgenden Polynome in F p [X] separabel sind: (a) X pn X, (b) X pn Sei L/K eine endliche Körpererweiterung. Zu gegebenem a L betrachte den K-Vektorraumhomomorphismus ϕ a : L L,x ax. Zeige: (a) Das Minimalpolynom von a über K ist gleich dem Minimalpolynom von ϕ a. (b) EsgiltL = K(a)genaudann,wenndasMinimalpolynomvonaüberK gleich dem charakteristischen Polynom von ϕ a ist. 7. Sind die folgenden Körper isomorph? (a) Q[X]/(X ) und Q[X]/(X +); (b) Q[X]/(X +1) und Q[X]/(X +); (c) R[X]/(X +1) und R[X]/(X +); (d) Q[X]/(X 3 ) und Q[X]/(X 3 +). 8. Sei f(x) = X 3 +X +X 1 in F 3 [X]. Wir bezeichnen den Faktorring F 3 [X]/(f) mit K und die Restklasse von X modulo (f) mit α. (a) Zeige, dass K ein Körper ist. (b) Bestimme die möglichen Ordnungen der Elemente der multiplikativen Gruppe K, sowie die Anzahl der Erzeugenden von K. (c) Sei x K verschieden von 1. Zeige: x ist ein Erzeugendes von K genau dann, wenn x 13 = 1 gilt. (d) Sei x K verschieden von 1 und 1. Zeige: Entweder x oder x ist ein Erzeugendes von K. (e) Sei β := α(1 α). Zeige, dass α 4 = (1+α) gilt und folgere daraus β = α. (f) Bestimme die Ordnung von α in K und folgere daraus, dass α ein Erzeugendes ist. 9. SeiF/K einekörpererweiterungundseienk 1 /K undk /K inf enthaltene(nicht notwendigerweise algebraische) Erweiterungen, sodass F algebraische Abschlusse K 1 und K von K 1, beziehungsweise K enthält. Zeige oder widerlege: (a) K 1 K ist ein algebraischer Abschluss von K 1 K. (b) K 1 K ist ein algebraischer Abschluss von K 1 K. 10. Seien K ein Körper, F/K eine Erweiterung und seien L/K und M/K endliche in F enthaltene Erweiterungen. Zeige, dass [LM/M] [L/K] gilt, falls L/K galoissch ist, und gib ein Gegenbeispiel an, wenn L/K nicht galoissch ist.

3 11. Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung mit Zwischenkörpern K 1 und K und den entsprechenden Galoisgruppen Γ i := Gal(L/K i ) Γ := Gal(L/K). Zeige: (a) K 1 K = L Γ 1 Γ, (b) K 1 K = L Γ 1,Γ, wobei Γ 1,Γ die von Γ 1 und Γ erzeugte Untergruppe von Γ bezeichnet. (c) Ist K 1 K = K, so ist Gal(K 1 K ) = Γ 1 Γ. 1. Bestimme alle Zwischenkörper von Q(µ 16 )/Q. 13. Zeige oder widerlege: Es existiert eine Körpererweiterung mit genau echten Zwischenkörpern. 14. Bestimme die Galoisgruppe der folgenden Polynome über Q: (a) X 3 X +1, (b) X 3 +X +1, (c) X 3 6X +1, (d) X 3 1X Sei K ein Körper der Charakteristik 0. Ein Polynom f K[X] vom Grad d heisst palindromisch, falls X d f(1/x) = f(x) gilt. (a) Sei f K[X] ein palindromisches Polynom von geradem Grad d = m. Verifiziere, dass es ein Polynom g K[X] gibt mit X m f(x) = g(x +1/X). (b) Zeige, dass jedes palindromische Polynom vom Grad 8 auflösbar durch Radikale ist. 16. Betrachte die reelle Zahl x = Finde ein annullierendes Polynom von x über Q und folgere daraus eine einfachere Darstellung von x. Beantworte dieselbe Frage für y = (a) Zeige,dasszujederPrimzahlpeineGalois-ErweiterungL/QmitGal(L/Q) = C p existiert. (b) Zeige, dass zu jeder positiven ganzen Zahl n eine Galois-Erweiterung L/Q mit Gal(L/Q) = C n existiert. (c) Zeige, dass zu jeder endlichen abelschen Gruppe G eine Galois-Erweiterung L/Q mit Gal(L/Q) = G existiert. Hinweis: Betrachte Kreisteilungskörper Q(ζ) für passende Einheitswurzeln ζ. Für (c) verwende (ohne Beweis) folgenden Satz von Dirichlet: Sind k, m teilerfremd, so existieren unendlich viele Primzahlen, die modulo m kongruent zu k sind. 3

4 **(d) Beweise oder widerlege, dass zu jeder endlichen Gruppe G eine Galois-Erweiterung L/Q mit Gal(L/Q) = G existiert. 18. Sei K ein Körper der Charakteristik 0 und sei X transzendent über K. Zeige, dass K(X ) K(X X) = K ist. 19. Sei k ein endlicher Körper mit q Elementen und L = k(t) der rationale Funktionenkörper über k in einer Variablen t. Von Serie 16, Aufgabe 4 wissen wir, dass Aut(L/k) aus den Abbildungen t at+b besteht mit ( a b ct+d c d ) G := PGL (k). Sei B G die Untergruppe aller oberen Dreiecksmatrizen und N B die Untergruppe aller Elemente der Form ( 1 0 1). Bestimme Elemente x,y,z L so dass L N = k(x),l B = k(y) und L G = k(z) gilt. Hinweis: Betrachte die Funktion (1+(tq t) q 1 ) q+1 (t q t) q q. 0. Seien a,b C verschiedene Nullstellen des Polynoms X 3 5, und sei L := Q(a,b). (a) Zeige, dass L/Q eine Galois-Erweiterung ist. (b) Erstelle eine Liste aller Zwischenkörper von L/Q, und zeige, dass genau ein echter Zwischenkörper von L/Q (nennen wir ihn K) galoissch über Q ist. (c) Zeige, dass Q(a+b) L ist. (d) Zeige, dass L = Q(a b) ist und finde das Minimalpolynom von a b über Q und über K. 1. Beweise folgende Version des Hauptsatzes der Kummertheorie: Sei n eine positive ganze Zahl und sei K ein Körper, dessen Charakteristik n nicht teilt und der alle n-ten Einheitswurzeln enthält. Sei K ein algebraischer Abschluss von K, und sei T die Menge aller in K enthaltenen endlichen abelschen Galoiserweiterungen L/K mit der Eigenschaft σ Gal(L/K) : σ n = id L. Sei (K ) n die Untergruppe aller n-ten Potenzen von K, und sei S die Menge aller Untergruppen von K, welche (K ) n als Untergruppe von endlichem Index enthalten. Für jedes S sei 1/n := {x K x n }. (a) Zeige: Die Abbildungen sind zu einander inverse Bijektionen. S T K( 1/n ) K (L ) n L (b) Wenn S und L T einander entsprechen wie in (a), so gibt es einen natürlichen Isomorphismus Gal(L/K) Hom( /(K ) n,µ n ), σ ( a σ(α) ), α wobei α L eine beliebige n-te Wurzel eines Repräsentanten von a bezeichne. 4

5 . Beweise den zweiten Ergänzungssatz ( ) zum Gauß schen Reziprozitätsgesetz: Für jede ungerade Primzahl p gilt = ( 1) p 1 p Hinweis: Verifiziere zuerst, dass 1±gp Z[ζ p ] ist, wobei ζ p eine primitive p-te Einheitswurzel bezeichne. Zeige dann, dass ( gp 1 ) ( p)g p 1 (mod Z[ζ p ]) und schliesslich p 1 4 ( p) 1 (mod Z) ist. Folgere daraus die Behauptung. 8. 5