Lösungen Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Lösungen Wahrscheinlichkeitstheorie Serie 3 Aufgabe (Differenz der Augenzahlen. Es werden zwei sechsseitige Spielwürfel geworfen und die (nichtnegative Differenz Z der beiden Augenzahlen notiert. Stellen Sie die Zufallsgröße Z als Abbildung auf einem geeigneten W-Raum dar. Bestimmen Sie anschließend die Gewichtsfunktion von Z. Lösung: Wir wählen den Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P (Ω, P, mit Ω :,,..., 6. Dann kann Z : Ω 0,,..., 5 gemäß (ω, ω ω ω definiert werden. Wir erhalten daher Z (0 (ω, ω Ω ω ω 0 (ω, ω Ω ω ω (ω, ω ω,,..., 6, und somit Z (0 6. Nun sei k,,..., 5 gegeben. Dann gilt Z (k (ω, ω Ω ω ω k (ω, ω Ω ω ω + k ω ω + k (ω, ω Ω ω ω + k (ω, ω Ω ω ω + k (ω + k, ω Ω ω,..., 6 k (ω, ω + k Ω ω,..., 6 k. Damit folgt (aufgrund der Disjunktheit der Mengen und des ähnlichen Baus der Mengen Z (k (ω, ω + k Ω ω,..., 6 k (6 k. Wegen p Z (k Z (k Z (k 36 erhalten wir somit als Gewichtsfunktion, falls k 0, 6 p Z (k, falls k,..., 5, für die Zufallsgröße Z. 6 k 8

2 Aufgabe (WT Prüfung. In einer Prüfung im Fach Wahrscheinlichkeitstheorie wählt der zu prüfende Student blind 0 von 50 Prüfungsfragen aus. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn von den 0 Fragen mindestens vier richtig beantwortet werden. Herr Schulz kann 0%, Frau Müller 60% aller Fragen richtig beantworten. (a Bezeichne X die Anzahl der Fragen, die Herr Schulz in der Prüfung korrekt beantwortet. Stellen Sie die Zufallsvariable X formal dar. (b Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Schulz besteht? (c Bezeichne Y die Anzahl der Fragen, die Frau Müller in der Prüfung richtig beantwortet. Geben Sie die Verteilung P Y der Zufallsgröße Y an. (d Wie wahrscheinlich ist, dass Frau Müller nicht besteht? Lösung: Die Konstruktion basiert auf dem Skript. Als Modell wählen wir einen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum. Dabei beschreibe,,..., 50 die gegebenen Prüfungsfragen, etwa die erste bis zur fünfzigsten Prüfungsfrage. Wir setzen Ω : (ω,..., ω 0,,..., 50 0 ω < ω <... < ω 0, womit die Menge aller möglichen Auswahlen von 0 aus 50 Prüfungsfragen ohne Beachtung der Reihenfolge beschrieben wird. Zu (a: Sei R,,..., 50 die Menge der Prüfungsfragen mit R 0, die Herr Schulz richtig beantworten kann. Dann ist X : Ω 0,,,..., 0 gemäß (ω, ω,..., ω 0 0 k R (ω k, wobei R die Indikatorfunktion zu der Menge R bezeichnet. Zu (b: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit mittels des Gegenereignisses. Das Gegenereignis A c lautet: Herr Schulz besteht nicht die Prüfung, das bedeutet, er beantwortet höchstens 3 Fragen richtig. Daher gilt Nun haben wir für k 0,,, 3 dann 3 A c X 0,,, 3 X k X k X (k (ω,..., ω 0 Ω X (ω,..., ω 0 k 0 (ω,..., ω 0 Ω R (ω k k k S R T,,..., 50 : S T S k T \ S R c T \ S 0 k

3 Damit folgt ( ( X k X k k 0 k und wir haben daher P (A P (A c X 0,,, 3 ( ( k 0 k ( 50 0 Zu (c: Sei R,,..., 50 die Menge der Prüfungsfragen mit R 30, die Frau Müller richtig beantworten kann. Dann gilt Y : Ω 0,,,..., 0 gemäß (ω, ω,..., ω 0 Nun haben wir für k 0,,..., 0 dann 0 k R (ω k. Y k Y (k (ω,..., ω 0 Ω Y (ω,..., ω 0 k 0 (ω,..., ω 0 Ω R (ω k k k S R T,,..., 50 : S T S k T \ S R c T \ S 0 k Damit folgt nun P (Y k P ( Y (k Y (k ( ( 30 0 k 0 k ( 50, 0 also ist Y eine zu den Parametern 0, 30, 0 hypergeometrisch-verteilte Zufallsgröße. Zu (d: Wegen (c (siehe auch die Lösung zu (b gilt P (Y 0,,, 3 P ( 3 ( 50 0 Y k P (Y k ( ( 30 0 k 0 k ( ( 30 0 k 0 k Aufgabe 3 (wandernder Käfer. Ein Käfer beginnt zum Zeitpunkt 0 im Ursprung eines zweidimensionalen Koordinatensystems eine Wanderung, bei der er in jeder Minute seine Position um eine Einheit nach rechts oder oben zufällig ändert. (

4 (a Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich der Käfer nach Minuten im Punkt (7, 5? (b Bezeichne Y die Länge der Strecke, die der Käfer nach n Minuten in y-richtung zurücklegt. Wie ist die Zufallsvariable Y verteilt? (c Welche Strecke wird der Käfer im Mittel nach Minuten in y-richtung zurückgelegt haben? Lösung: Wir konstruieren zunächst ein adäquates Modell für die Wanderung des Käfers in n Minuten. Wir wählen dazu Ω n : (, 0, (0, n und betrachten den zugehörigen Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω n, P (Ω n, P n. Die Position des Käfers nach n Minuten wird dann durch die Zufallsgröße beschrieben. X n : Ω n,..., n gemäß n (ω,..., ω n ω k k Zu (a: Hier ist n. Das gesuchte Ereignis ist X (7, 5. Es gilt X (7, 5 (ω,..., ω Ω ω k (7, 5 Nun ist n k ω k (7, 5 genau dann, wenn genau 5 der ω,..., ω von der Form (0, und die restlichen 7 von der Form (, 0 sind. Das bedeutet, wir erhalten X (7, 5 (ω,..., ω Ω ω k (7, 5 k k (ω,..., ω Ω T,..., : T 5 und j T : ω j (0,. Damit erhalten wir P (X (7, 5 X (7, 5 Ω ( 5 ( ( Zu (b: Sei π y : N N definiert gemäß (x, y y. Dann kann die Zufallsgröße Y : Ω n 0,,..., dargestellt werden als Y π y X n. Sei k 0,,..., n beliebig vorgegeben. Dann gilt Y k π y X n k (π y X n (k X n ( π y (k. Es handelt sich hierbei um die Hintereinanderausführung von X n und π y, das heißt, für ω Ω n erhalten wir beispielsweise X n (ω (m, k mit m + k n, was die Position von dem Käfer nach n Minuten angibt. Ferner ist π y ((m, k k, also haben wir (π y X n (ω π y (X n (ω π y ((m, k k, das bedeutet, π y X n gibt tatsächlich die y-position des Käfers nach n Minuten an. 4

5 Es gilt πy (k (m, k m N. Aufgrund der Konstruktion von X n gilt (vergleiche auch (a allerdings X n ((ω,..., ω (m, k nur für m n k, da m + k n ergeben muss. Daher gilt Xn ((m, k m N \ n k, also haben wir X n ((m, k m N Xn ((m, k m N \ n k (n k, k Schließlich gilt noch X n ((n k, k X n ((m, k m N \ n k Xn ((n k, k X n ((n k, k. n (ω,..., ω n Ω n ω k (n k, k k (ω,..., ω n Ω n T,..., n : T k und j T : ω j (0,. Zusammenfassend gilt somit Y k (ω,..., ω n Ω n T,..., n : T k und j T : ω j (0,. Damit erhalten wir P (Y k Y k Ω n ( n k n ( ( n n k ( ( n k ( n k, k das bedeutet, Y ist eine zu den Parametern n und p Zufallsgröße, in Zeichen Y B n,. Zu (c: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass für Y B n, n erhalten wir also Binomial-verteilte dann E (Y n gilt. Für E (Y 6, das heißt, der Käfer wird sich im Mittel in Minuten 6 Einheiten in Richtung der y-richtung bewegt haben. Aufgabe 4 (Mensch ärger dich nicht. Bei Spielbeginn befinden sich alle Spielfiguren in der Startposition. Wenn ein Spieler, der an der Reihe ist, eine Sechs würfelt, setzt er eine seiner Spielfiguren auf sein Startfeld. Dazu hat er in der ersten sowie in jeder weiteren Spielrunde, in der keine seiner Spielfiguren auf dem Spielfeld steht, bis zu drei Versuche. Jeder der Spieler ist einmal pro Spielrunde an der Reihe. Der Käfer wandert schließlich entweder eine Einheit nach oben oder eine Einheit nach rechts. Ist der Käfer k Einheiten nach oben gewandert, so muss er die restlichen n k Einheiten nach rechts gewandert sein. 5

6 (a Mit welcher Wahrscheinlichkeit setzt Spieler A bereits in der ersten Runde eine Spielfigur auf sein Startfeld? (b Mit welcher Wahrscheinlichkeit setzt Spieler A erst in der vierten Runde seine erste Spielfigur auf das Startfeld? (c Bezeichne X die Spielrunde, in der Spieler A seine erste Spielfigur auf das Startfeld setzt. Geben Sie die Verteilung P X der Zufallsvariablen X an. Lösung: Zu (a: Wir konstruieren zunächst ein geeignetes Modell. Dazu wählen wir als Grundmenge Ω :,,..., 6 3, was dem dreimaligen Werfen eines Würfels entspricht, und betrachten den Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P (Ω, P. Es beschreibe A das Ereignis, für das im ersten, zweiten oder dritten Wurf eine Sechs fällt, also der Spieler eine Spielfigur auf sein Startfeld stellen darf. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses berechnen wir allerdings über das Gegenereignis A c. Dieses ist in keinem der drei Würfe erscheint eine Sechs, das heißt also haben wir Damit erhalten wir A c (ω, ω, ω 3 Ω ω 6 ω 6 ω 3 6, P (A P (A c Ac A c Zu (b: Wir wählen als Grundmenge Ω :,..., 6 und betrachten den Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P (Ω, P. Dies beschreibt das zwölfmalige Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels. Das zu untersuchende Ereignis C ist dann C (ω,..., ω Ω ω,..., ω 9,..., 5 (ω 0 6 ω 6 ω 6. Wir setzen C : (ω,..., ω Ω ω,..., ω 9,..., 5 ω 0 6, C : (ω,..., ω Ω ω,..., ω 9,..., 5 ω 0 6 ω 6, C 3 : (ω,..., ω Ω ω,..., ω 9,..., 5 ω 0 6 ω 6 ω 6. In Worten: C beschreibt das Ereignis, dass in den ersten drei Spielrunden (also bei den ersten neun Würfen des Würfels keine Sechs fällt und im zehnten Wurf dann die Sechs erscheint, C bzw. C 3 analog nur, dass da jeweils die Sechs erst im elften bzw. zwölften Wurf das erste Mal geworfen wird. Die Ereignisse C, C, C 3 sind paarweise disjunkt und es gilt C C C C 3. Wir erhalten C , C 5 0 6, C 3 5 6

7 und damit folgt aufgrund der paarweisen Disjunktheit P (C C Ω C + C + C ( ( 5 9 ( ( Zu (c: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler A zu Beginn der Runde keine Sechs würfelt beträgt nach (a P (A Beschreibt nun X die Runde, in der der Spieler A seine erste Spielfigur auf das Spielfeld setzt, so gilt für k N dann P (X k ( 5 k 6 ( k 6 9 6, denn X k bedeutet, dass der Spieler die ersten k Spielrunden keine Sechs würfelt und schließlich in der k-ten Spielrunde eine Sechs würfelt. Somit ist X eine zum Parameter p 9 geometrisch-verteilte Zufallsgröße, in Zeichen X G Aufgabe 5 (Poisson-Verteilung. Zu einem Bäckerstand am Hauptbahnhof einer Großstadt kommen durchschnittlich zwei Kunden pro Minute. Die Anzahl der Kunden pro Minute ist Poisson-verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute maximal 5 Kunden vorbeikommen? Lösung: Es beschreibe X die Anzahl der Kunden pro Minute. Der Parameter λ kann als λ abgelesen werden, das heißt, es gilt X P. Damit folgt ( 5 P (X 5 P X k e P (X k e k k! e 5 λ k k! 7