Normal Programs. Vervollständigung. Steffen Staab ISWeb Vorlesung Datenbanken II

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Kajetan Reuter
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1 Normal Programs Vervollständigung

2 Programmklausel, Normal Programs Eine Programmklausel ist eine Klausel der Form A L 1,,L n wobei A ein Atom ist und L 1,,L n Literale sind. Ein Normal Program besteht aus einer endlichen Menge von Programmklauseln. Ein Normal Goal ist eine Klausel der Form L 1,,L n wobei L 1,,L n Literale sind.

3 Definition eines Prädikatssymbols Die Definition eines Prädikatssymbols p in einem Normal Program P ist die Menge aller Programmklauseln von P, die p in ihrem Kopf haben.

4 Gleichheitstheorie für = 1. c d, für alle Paare c,d unterschiedlicher Konstanten 2. (f(x 1,,x n ) g(y 1,,y m )), für alle Paare f,g unterschiedlicher Funktionssymbole 3. (f(x 1,,x n ) c), für jede Konstante und Funktionssymbol f 4. (t[x] x), für jeden Term t[x], der x enthält und verschieden ist von x 5. ((x 1 y 1 ) (x n y n ) f(x 1,,x n ) f(y 1,,y n )) für jedes Funktionssymbol f 6. (x=x) 7. ((x 1 =y 1 ) (x n =y n ) f(x 1,,x n ) =f(y 1,,y n )) für jedes Funktionssymbol f 8. ((x 1 =y 1 ) (x n =y n ) (p(x 1,,x n ) p(y 1,,y n ))) für jedes Prädikatssymbol f (inklusive = )

5 Vervollständigung Sei p(t 1,,t n ) L 1,,L m eine Programmklausel in einem Normal Program P. Schritt 1: für bisher unbenutzte Variablen x 1,,x n p(x 1,,x n ) (x 1 =t 1 ) (x n =t n ) L 1 L m Schritt 2: seien y 1,,y d alle Variablen der Originalklausel p(x 1,,x n ) y 1,,y d (x 1 =t 1 ) (x n =t n ) L 1 L m Schritt 3: Schritte 1 & 2 für die gesamte Definition von p ergibt neue Klauseln p(x 1,,x n ) E 1 p(x 1,,x n ) E k wobei jedes E i die Form hat: y 1,,y d (x 1 =t 1 ) (x n =t n ) L 1 L m Schritt 4: Die vervollständigte Definition von p ist dann die Formel x 1 x n (p(x 1,,x n ) E 1 E k )

6 Vervollständigung-2 Definition (fortgesetzt): Schritt 5: Für jedes Prädikatssymbol q, das nicht im Kopf einer Klausel auftritt, fügen wir eine neue Klausel hinzu: x 1 x n ~q(x 1,,x n ). Sei P ein Normal Program. Die Vervollständigung von P, notiert als comp(p), ist die Menge aller vervollständigten Definitionen von Prädikatssymbolen aus P zusammen mit der Gleichheitstheorie. Ziel: Spezifiziere Normal Program mit der Absicht des vervollständigten Programms als seiner Semantik.

7 Beispiel Student(Tobias) Student(Tom) Student(Tim) Lehrerin(Anna) Vervollständigung von Student : x(student(x) (x=tobias) (x=tom) (x=tim))

8 Weiteres Beispiel Programm P: 1. verwandtmit(a,b) 2. verwandtmit(c,d) 3. verwandtmit(u,v) verwandtmit(v,u) Vervollständigung: x y verwandtmit(x,y) (x=a y=b) (x=c y=d) (x=u y=v verwandtmit(v,u))

9 (Korrekte) Antwort Sei P ein Normal Program und G ein Normal Goal. Eine Antwort für P {G} ist eine Substitution für Variablen in G. Sei P ein Normal Program und G ein Normal Goal L 1,,L n, und θ eine Antwort für P {G}. Wir sagen, dass θ eine korrekte Antwort ist für comp(p) {G}, wenn ((L 1 L n )θ) eine logische Folgerung von comp(p) ist.

10 Aussage: Sei P ein Normal Program, dann ist P eine logische Folgerung von comp(p). Zeige, dass wenn M ein Modell für comp(p) ist, es auch ein Modell für P ist

11 T PJ (I) Sei J eine Präinterpretation eines Normal Programs P und I eine Interpretation, die auf J basiert. Dann TPJ (I)={ A J,V : A L 1 L n P, V ist eine Variablenzuweisung auf J, und L 1 L n ist wahr in Bezug auf I und V}. Konvention: Wenn J eine Herbrand-Präinterpretation von P ist, schreiben wir T P (I) statt T PJ (I). Beobachtung: T P J ist im Allgemeinen nicht monoton, z.b. nicht für p ~p.

12 Modell für P Sei J eine Präinterpretation eines Normal Programs P und I eine Interpretation, die auf J basiert. Dann ist I ein Modell für P, gdw. T PJ (I) I Beweis fast wie gehabt.

13 Modell für comp(p) Sei J eine Präinterpretation eines Normal Programs P und I eine Interpretation, die auf J basiert. Angenommen I, zusammen mit der Identitätsrelation für = ist ein Modell für die Gleichheitstheorie. Dann ist I zusammen mit der Identitätsrelation für = ein Modell für comp(p), gdw. T PJ (I)=I.

14 Beweis Sei T PJ (I)=I. Für die Gleichheitstheorie ist I gemäß Voraussetzung ein Modell, zeige also, dass es ein Modell ist für comp(p). Fall 1: Betrachte x 1 x n ~q(x 1,,x n ). Fall 2: Betrachte x 1 x n (p(x 1,,x n ) E 1 E k ) Da T PJ (I) I folgt, dass I Modell für x 1 x n (p(x 1,,x n ) E 1 E k ) Da T PJ (I) I folgt, dass I Modell für x 1 x n (p(x 1,,x n ) E 1 E k )

15 Beweis Sei I zusammen mit der Identitätsrelation für = ein Model für die Vervollständigung. Da I Modell für x 1 x n (p(x 1,,x n ) E 1 E k ) folgt T PJ (I) I. Da I Modell für x 1 x n (p(x 1,,x n ) E 1 E k ) folgt T PJ (I) I.

16 Aussage: Sei P ein definites Programm und A B P, dann A gfp(t P ) gdw comp(p) {A} hat ein Herbrand-Modell. Aussage: Sei P ein definites Programm und A 1,,A m seien Atome. Wenn (A 1.. A m ) eine logische Folgerung von comp(p) ist, dann ist es auch eine logische Folgerung von P. Logische Folgerbarkeit von Positiver Information ändert sich nicht durch die Vervollständigung

17 Korrekte Antwort für definite Programme Aussage: Sei P ein definites Programm, G ein definites Ziel und θ eine Antwort für P {G}. Dann ist θ eine korrekte Antwort für comp(p) {G} gdw. θ eine korrekte Antwort ist für P {G}.

18 Konsistenz Beobachtung: Jedes Normal Program P ist konsistent (d.h. besitzt ein Modell), das gilt aber nicht automatisch für comp(p). Beispiel: Programm P: p ~q q ~r r ~p I={p,q,r} ist ein Modell comp(p) p ~q q ~r r ~p p ~q r ~p Wg. Transitivität: p ~p D.h. es gibt kein Modell für comp(p) Beschränke die Benutzung der Negation in der Rekursion!

19 Stufenabbildung Eine Stufenabbildung (level mapping) eines Normal Programs ist eine Abbildung von der Menge der Prädikatssymbole auf die nichtnegativen ganzen Zahlen. Wir bezeichnen den Wert eines Prädikatssymbols unter dieser Abbildung als die Stufe diese Prädikatssymbols.

20 Hierarchisches Normal Program Ein Normal Program ist hierarchisch, wenn es eine solche Stufenabbildung gibt, dass in jeder Klausel A L 1,,L n, die Stufe des Prädikatssymbols jedes Literals kleiner der Stufe von A ist Beobachtung: Nicht hierarchisch: verwandtmit(x,y) verwandtmit(y,x)

21 Stratifizierung Eine Normal Program ist stratifiziert, wenn es eine solche Stufenabbildung gibt, dass in jeder Klausel A L 1,,L n, die Stufe des Prädikatssymbols jedes positiven Literals kleiner oder gleich der Stufe von A ist und die Stufe jedes Prädikatssymbols jedes negativen Literals kleiner der Stufe von A ist.

22 Beispiel für Stratifizierung Stufe 2 Liebt(x,y) Freund(x,y) Liebt(x,y) Feind(x,y) Stufe 1 Feind(x,y) ~Freund(x,y) Stufe 0 Freund(x,z) Freund(x,y),Freund(y,z) Freund(a,b) Freund(b,c)

23 Nicht-stratifizierbar Mann(x) Person(x),~Frau(x) Frau(x) Person(x),~Mann(x) Frau(x) Person(x),~Mann(x) Mann(x) Person(x),~Frau(x)

24 Aussage: Sei P ein Stratifiziertes Normal Programm. Dann hat comp(p) ein minimales normales Herbrand-Modell. Ein normales Herbrand-Modell berücksichtigt die = -Relation wie intendiert. Fixpunkt für Stufe 0 Stufe 0

25 Aussage: Sei P ein Stratifiziertes Normal Programm. Dann hat comp(p) ein minimales normales Herbrand-Modell. Ein normales Herbrand-Modell berücksichtigt die = -Relation wie intendiert. Vorsicht: Zeichnung ist kein Verband! Frage ans Publikum: Wieso nicht? Fixpunkt für Stufe 1 Stufe 1 Stufe 0

26 Aussage: Sei P ein Stratifiziertes Normal Programm. Dann hat comp(p) ein minimales normales Herbrand-Modell. Ein normales Herbrand-Modell berücksichtigt die = -Relation wie intendiert. Fixpunkt für Stufe 2 Vorsicht: Zeichnung ist kein Verband! Frage ans Publikum: Wieso nicht? Stufe 2 Stufe 1 Stufe 0

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