6Si 6. Signal-und Bildfilterung sowie. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 1

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1 6Si 6. Signal-und Bildfilterung sowie Korrelation H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I

2 Bildfilterung und Korrelation Die lineare Bildfilterung wird zur Rauschunterdrückung oder zur Verstärkung von Bildmerkmalen eingesetzt, wie z.b. Extraktion von Kanten und dient in erster Linie zur Bildverbesserung oder zum Image Enhancement und damit zur Verbesserung des visuellen subjektiven Eindrucks n s H(f) Störung H y Filter N(f) Signal S(f) F y = h ( s+ n) Y( f) = H( f) ( S( f) + N( f)) Y( f) = H( f) ( S( f) + N( f)) f Die Störungen werden unterdrückt, das Bildsignal bleibt nahezu erhalten (höhere Frequenzen und damit Kanteninformationen werden etwas weggenommen => Unschärfe). Kompromiss zwischen Störunterdrückung und Signalverfälschung (Kanten verschleifen). H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 2

3 H Lineare Bildfilterung mit lokalen Masken (FIR-Filter) X H = 0 0 H = Tiefpaß (Glättung) Hochpaß (Kantenverschärfung) Tiefpaß Bandpaß Hochpaß f f f H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 3

4 Nichtlineare Filter Medianfilter (siehe BV-Praktikum) Rauschunterdrückung bei gleichzeitiger Erhaltung von Kanten Der Medianwert einer Punktfolge ist der in der Mitte der sortierten Folge stehende Wert, also z.b.: x m (6,7,3,2,5)=5 (2,3,5,6,7) Tiefpaß t t Mdi Medianfilter H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 4 t

5 Diskrete Signale und Systeme x(n) n i.a. komplexe Zahlenfolge { x ( n ) } x = < n< δ(n) ( ) δ -Impuls für n = 0 n δ( n) = 0 für n 0 σ(n) Einheitssprung für n 0 n σ( n) = 0 für n < 0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 5

6 i= n i= Es gilt: σ( n) = δ ( i) Summation und: δ( n) = σ( n) σ( n ). Differenz Beschreibung einer beliebigen Folge als δ -Impulsfolge: x( ( n ) = x ( i ) δ ( n i ) (gewichte Summe von verschobenen δ -Impulsen) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 6

7 Übertragungsverhalten g linearer, zeitinvarianter diskreter Systeme { x( n )} { yn ( )} A A : x ( n ) y ( n ) Linearität i (additiv i und homogen) { α ( ) + α ( )} = α { ( )} + α { ( )} A x n x n A x n A x n Zeitinvariantes System: { ν } A x( n ) = y( n ν ) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 7

8 Charakterisierung i von A durch Impulsantwort: { δ } A ( n) = h( n) Damit Reaktion auf beliebige Erregung mit Faltungsoperation: i=+ y( n) = A x( i) δ ( n i) i= i=+ { δ } i=+ = = i= x () i A ( n i ) x () i h ( n i ) i= = x( n) h( n) Faltungssumme Es gilt: x( n) h( n) = h( n) x( n) kommutativ H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 8

9 Beschreibung linearer diskreter Systeme mit linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten a y ( n+ N ) + a y ( n+ N ) + + a y ( n+ ) + a y( n) = N N 0 bxn ( ) + bxn ( + ) + + b xn ( + M) 0 M N M ayn ν ( + ν) = bxn μ ( + μ ) mit: a N = ν= 0 μ= 0 M N kausale Systeme Optische Systeme i.a. nichtkausal! H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 9

10 IIR-Filter (Infinite Impulse Response) yn ( ) x( n) - b N b N- b N-2 b b 0 E - E - E - E - a N- a N-2 a a { } ν E y( n) = y( n+ν ) Verschiebeoperator H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 0

11 Nichtrekursive Systeme (FIR) yn ( ) = f( xn ( ), xn ( ), ) also z.b. a = a = = a = a = 0 0 N 2 N Fkt. der gegenwärtigen und der vergangenen Eingangswerte Beispiel: xn ( ) 2 yn ( ) Transversalfilter h(0) 3 h() yn ( ) = 2 xn ( ) + 3 xn ( ) E - Impulsantwort: x( n) = δ( n) h ( n ) = 2 δ ( n ) + 3 δ ( n ) h(n) FIR: Finite Impulse Response i.a. keine Stabilitätsprobleme 2 3 n H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I

12 Rekursive Systeme yn ( ) = f( yn ( ), yn ( 2),, xn ( ), xn ( ), ) i.a. IIR, infinite impulse response z.b. yn ( ) ayn ( ) = xn ( ) systems (auch FIR, z.b. bei polezero cancellation) xn ( ) + + E - a yn ( ) Impulsantwort: hn ( ) ahn ( ) =δ ( n) hn ( ) = 0 für n< 0 n=0: h (0) = δ (0) = wegen h( ) = 0 h(n) n=: h() - ah(0) = 0 h() = a n=2: h(2) - ah() = 0 h(2) = a n h ( n ) = a σ ( n ) stabil für a < z H( z) = z a a a 2 a 3 a n H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 2

13 Kontinuierliche Fl Faltung und dkorrelation z ( τ ) = ( x y )( τ) z ( τ ) = ( x # y )( τ ) * = x(), t y ( τ t) + = x() t y( τ t) dt = xt (), yt ( τ ) + * x() t y ( t τ ) dt = F ( x y)( τ ) x ( f) y ( f) F F ( x # y)( τ ) x ( f) y ( f) F Fourier- Korrespondenzen Mit y = y( t) gilt: ( x y )( τ ) = x( t), y( t τ) = ( x# y)( τ) ( x y)( τ ) = ( x# y )( τ ) Korrelation Faltung mit konjugiert gespiegeltem Signal Faltung Korrelation mit konjugiert gespiegeltem Signal H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 3

14 Kontinuierliche Faltung und Korrelation Außerdem gilt beim Vertauschen der Signale: Beweis: x y = y x ( x# y)( τ ) = ( y # x )( τ) = (( y# x)( τ)) Wegen Kommutativität im Spektralbereich F F ( x# y)( τ ) x ( f) y ( f) = ( y ( f) x ( f)) (( y# x)( τ )) F F wegen: x ( t) x ( f) F F H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 4

15 Faltung: ( x y)( τ ) Korrelation: ( x# y)( τ ) Innenprodukt in allen translatorischen Positionen Ähnlichkeit in allen translatorischen Positionen H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 5

16 Diskrete Faltung und Korrelation (linear und zyklisch!) z( ν ) = ( xn ( ) yn ( ))( ν ) z( ν ) = ( x( n)# y( n))( ν ) x y = x ( n ), y( n ν ) * = x ( n) ), y ( ν n ) = x( n), y( ν n) = xn ( ), y( n ν ) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 6

17 Faltung: ( x( n) y( n))( r) Korrelation: ( x( n) # y( n))( r) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 7

18 Lineare und zyklische Korrelation <, > Lineare Korrelation <, > Zyklische Korrelation H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 8

19 Lineare und zyklische Fl Faltung <, > Lineare Faltung <, > Zyklische Faltung H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 9

20 Zyklische Faltung und Korrelation für endliche Sequenzen der Dimension 4 T T x = [ 4 2 3] y = [ 3 2 0] [ ] T ( x y ) = [ ] T ( x # y ) = y T T x = [ ] x = [ ] T y = [ 3 2 0] y T = [ ] [ ] [ ] T x = T y ( n) = < >, = 5 T [ ] [ ] T x = ( n ) = < >, = 20 < >, = 2 [ ] [ ] T x = y T ( n ) = < >, = H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 20

21 Faltung und Korrelation Skalarprodukt (Ähnlichkeit) von Originalsignal g oder gespiegeltem Signal in allen translatorischen Positionen!! Demos zur Faltung Eigene Dateien\ppt\Lehre\DBV-I\Faltung\disfaltung.html und convolution_demo.htm disfaltung und Aufruf von convolution.m in Matlab! C:\Dokumente und Einstellungen\burkhard\Eigene Dateien\ppt\Lehre\DBV-I\matlab-convolution.bat H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 2

22 Zyklische Faltung und Korrelation als Matrixprodukt Als lineare Operationen formuliert mit Matrixprodukt mit zyklischen Matrizen: x y = Z ( y ( n )) x x # y = Z ( y ) x x0 x x2 xn xn x0 x x N 2 Zx ( ) = x N 2 xn x0 x N 3 x x2 x3 x 0 Multiplikation mit einer Zirkulanten Z.B. für N=4: * y0 y 3 y 2 y y0 y y2 y3 y y0 y3 y 2 = y3 y0 y y 2 x y x x # y = x y2 y y0 y 3 y2 y3 y0 y y3 y2 y y0 y y2 y3 y0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 22

23 Isomorphie der diskreten Fouriertransformation mit der zyklischen Faltung x y x y -Korrespondenzen mit der zyklischen Faltung: Abbildung auf das direkte Produkt (kommutativ) im Spektralbereich (Beweis einfach mit nachfolgenden Regeln) x, y z = xy ( FFT ) ( FFT ) xy, z = x y H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 23

24 Isomorphie der diskreten Fouriertransformation mit der zyklischen Korrelation x # y x y = x y mit der nichtkommutativen Verknüpfung : a b = a b -Korrespondenzen mit der zyklischen Korrelation: Abbildung auf das nichtkommutative konjugierte Produkt im Spektralbereich (ähnlich wie das Skalarprodukt). xy, # z = x# y ( FFT ) ( FFT ) xy, z = x y = x y H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 24

25 Und daraus für y=x die Wiener-Khintchine-Beziehung x# x x x = x x = x Autokorrelierte Leistungsspektrum 2 bzw: x# x = F ( x ) 2 ( FFT ) xx, # z = x# x FFT ( ) xx, 2 z = x x = x x = x H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 25

26 Eigenschaften der x ( n ) x ( k ) ) N x ( n) x( k) Symmetrie (2 Spiegelung) 2) x( n ν ) x ( k ) wν Verschiebungssatz 3) x= N W x= N ( Wx ) altern. Rücktr. (als Hintr.) 4) x ( n) x ( k) x( n) x ( k) Weitere Eigenschaften in Analogie zur kont. Fouriertransformation (Linearität, ) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 26

27 Signalkorrespondenzen δ(n) n σ(k) k σ(n) δ(k) n k δ(n) ( ) Einselement der Faltung σ(n) Einselement der direkten Multiplikation (für kausale Signale) σ x = δ x = Ix = x H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 27

28 Signalkorrespondenzen Exponentialfolge aus Verschiebungssatz: δ( n ν ) σ w = w w ν ν ν δ ( k ν ) Verschieben einer Folge durch Faltung mit verschobenem δ-impuls: x( n) δ( n ν ) x ( k) w ν x( n ν ) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 28

29 Berechnung der AKF, direkt u. über Beispiel für N=4: 2 a) direkt: x ( n )# x ( n ) = 0 b) über: x# x= ( x x ) j j j j W = W = N j j j j x(n) n x(n) n 2 4 j 2 2 x = W x = x = x x = j j 2j 4 + x( n)# x( n) = 4W x x = 4 = 4 = x 4 2j+ 2j 4 2 x(n)#x(n) n H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 29

30 Beispiel für den Verschiebungssatz mit N=4 x(n) x(n-) n n j x( n ) = x w wobei: w = + j 2 2 j j j x w = = = x ( n ) j + j + j H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 30

31 Zweidimensionale Faltung und Korrelation ( X( kl, ) Y( kl, ))( qr, ) * = X ( kl, ),) Y ( q kr, l ) = X( kl, ) Y( q kr, l) ( X(,)# kl Y(,))(, kl qr) = X ( kl, ), Y( k ql, r) = X * ( kl, ) Y ( k ql, r) X Y X Y X Y = ( X Y ) X# Y= ( X Y ) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 3

32 2D-Faltung und Korrelation 2D-Korrelation gespiegelt! 2D-Faltung Linear oder zyklisch verschieben H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 32

33 2D-Korrelation H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 33

34 2D-Korrelation H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 34

35 2D-Faltung H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 35

36 2D-Faltung H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 38

37 2D-Faltung H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 39

38 Schnelle lineare Faltung und Korrelation für Sequenzen endlicher Länge Prinzip: Formulierung der linearen Faltung und Korrelation als zyklische Operation; dann Anwendung der FFT. Trotz Umweg, wesentlich geringere Komplexität! x(n) y( n) = h( n) x( n) h(n) n n y0 h y h h0 0 0 y0 h h2 h x0 x 0 y h h h 2 x y 2 h 2 h h0 0 x y 2 h2 h h x 2 = = y3 0 h2 h h0 x2 y3 0 h2 h h0 0 0 x3 y h2 h x3 y4 0 0 h2 h h0 0 0 y h 2 y h2 h h0 0 Lineare Faltung durch Multiplikation mit einer Toeplitz-Matrix i Erweiterung mit Nullen, so dass zyklische Matrix u. Faltung entsteht H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 40

39 x y N = 2 n K + L K N L N Bedingung, ohne dass Faltungsfehler entstehen (beide Signale müssen nebeneinander in das Fenster passen!) x y x y = x y = FFT ( ) FFT ( FFT ( ) FFT ( )) x# y x y Trotz Umweg, wesentlich geringere Komplexität! (O(N ld N) anstatt O(N 2 ) bei der direkten Realisierung aller Skalarprodukte) log (Operationen) direkte Faltung schnelle Faltung log N Korrelation zweier reeller Folgen: x,y transformieren, verteilt in Real- und Imaginärteil einer komplexen FFT, dann Rücktransformation. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 4

40 Schnelle Faltung/Korrelation ohne Scrambling z = x y = FFT ( x y ) * Sande-Tukey z = x # y = FFT ( x y ) x0 0 0 x x 2 x 3 y 0 y y 2 y 3 w 0 w w 0 w w w w 0 0 x x x 2 x 3 y 0 y 2 z 0 z 2 z z 3 w w 0 0 Cooley-Tukey y 0 w w /N y 3 j2 π / N = e FFT - w= 0 w w j2 / N e π z 0 z z 2 z 3 FFT H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 42