Transkript

1 TechnischeUniversitatMunchen ZentrumMathematik Uberlebenszeitanalyse Anwendungender inderpegeversicherung Diplomarbeit FlorianRudolph von Abgabetermin: Betreuerin: Themenstellerin:ProfDrCzado 25Januar2000

2 Quellenverwendethabe Hiermiterklareich,daichdieDiplomarbeitselbstandigangefertigtundnurdieangegebenen Munchen,25Januar2000

3 Danksagung AndieserStellemochteichallenmeinenDankaussprechen,dieihrenTeilzurEntstehungdieser DesweiterengebuhrtmeinDankHerrnGerdHolznerfurdieDurchsichtderArbeit,HerrnZachariasunddenKollegenausderAbteilungLeben-MathematischerServiceZuletztmochteich undtatzurseitestanden,danken diekonstruktivekritikunddiegeduld,mitdersiemirubermanchehurdehinweghalf Arbeitbeigetragenhaben,inersterLinieFrauProfessorCzadofurdiehervorragendeBetreuung, nochbeiallenanderenmitarbeiternamlehrstuhlfurmathematischestatistik,diemirmitrat

4

5 Inhaltsverzeichnis 2TheoretischeGrundlagen 1Einleitung 21StochastischeProzesse 1 22Martingaltheorie 5 24Grenzwerttheorie22 23Zahlprozetheorie179 3MathematischeGrundlagenderVerweildaueranalyse 25Markovketten24 31DieUberlebensfunktion27 32DieHazardfunktion28 34AufbaueinerStudie31 33FunktionaleDarstellungderHazardfunktion29 35Likelihood-TechnikenfurUberlebenszeitmodelle32 36SchatzenderUberlebensfunktion36 352PartialLikelihood34 351Likelihood-KonstruktionfurModellemitunabhangigerZensierung32 37DasProportional-Hazard-Modell45 362DerNelson-Aalen-Schatzer39 361DerProdukt-Limit-Schatzer(KaplanundMeier)36 371Modellierung45 374AsymptotischeEigenschaften48 373SchatzungdesBasis-Hazards(Breslow)48 372PartialLikelihoodmit\ties"47 375HypothesentestsimProportional-Hazard-Modell59 378Residuenanalyse62 377ModellbildungmitdemAIC62 376LokaleTests60 38ParametrischeModelle67 379GraphischeMethodenzurUberprufungdesProportional-Hazard66 5

6 64DatenanalysezurgesetzlichenPegeversicherung 42BeschreibungderDaten71 41UberblickuberdiegesetzlichePegeversicherung69 43Proportional-Hazard-Modell73 44TestaufProportionalHazard80 432ProportionalHazard(mitDiagnosen)79 431Modellbildung(ohneDiagnosen)73 45ModellierungderZustandsubergange94 441Residuenanalyse80 451ModellierungderZustandsubergangezwischenambulanterundstationarer 442GraphischeTestsdesPropotionalHazard85 452ModellierungderZustandsubergangezwischendenverschiedenenPegestufen99 Pege94 5EntwicklungeinesVersicherungsmodells 51VersicherungalsMarkov-Proze Zahlungsfunktionen AktuarielleWerte BeitrageundReserven BerechnungvonBarwertenundErwartungswerten105 52BerechnungvonBeitragenfurPegeversicherungs-Modelle VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenambulanterund 53BeschreibungdesProgrammszurBeitragsberechnung VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenPegestufen115 stationarerpege109 6ZusammenfassungundAusblicke 531BeschreibungdesTarifsPET BeschreibungdesProgrammesundErgebnisderBeitragsberechnung119 ARoutinenzurgraphischenAnalyse CTabellen BFunktionenzurMaximierungdesLog-Likelihood C1PegefalleintrittswahrscheinlichkeitenderCustodial 126 C2EinjahrigeSterbewahrscheinlichkeitenBayernfurx-jahrigeFrauenundManner Insurance,Japan128 (1986bis1988)130

7 Kapitel1 Einleitung indermedizinmithilfeverweildaueranalytischermethodenaussagenuberdiewirksamkeit Statistik,dasinvielenGebietenderWissenschaftaufgroesInteressestotZumBeispielkonnen DieUberlebenszeit-,oderVerweildaueranalyse(engl:SurvivalAnalysis)isteinTeilgebietder neuermedikamente,bzwbehandlungsmethodengetroenwerdenindergeologoiewerden anhandderzerfallseigenschaften(\uberleben")bestimmtermolekulediealtervongesteinsschichtenbestimmt AuchinderPersonenversicherungistdieVerweildaueranlyseeinwichtigerBestandteilDie andereversuchten,eineanalytischeapproximationfurdieuberlebensfunktioneinesmenschen StadtBreslau)entwickeltwurdeDeMoivre(1724),Gompertz(1827)undWeibull(1936)und AnfangegehenzuruckaufdasJahr1693,indemdieersteSterbetafel(Absterbeordnungder rendestebetafelninkombinationmitmedizinischemknow-howbildendabeidiebasisfureine werden,risikenabgeschatztundneueprodukteentwickeltwerdenaufvolkszahlungenbasie- zugebenheutekonnenmithilfeverweildaueranalytischermethodensicherebeitragekalkuliert sonen,dieaufgrundvonkrankheiten,bzwinfolgeihrerkrankenhistorieeinemhoherenster- berisikoausgesetztsind)lebensversicherungspolicenanzubietendiemathematischegrundlage Kalkulation,dieesheuteermoglicht,sogarfursogenanntemedizinischeRisikogruppen(dhPer- zurbestimmungeineslebensversicherungsbeitragessindeinjahrigeuberlebenswahrscheinlichkeitenqx wobeihiermitxdaslebensalterinjahrenundmittdiezufallsvariablelebenszeitbezeichnet istmitqxistalsodiewahrscheinlichkeitbezeichnet,daeinepersondaslebensalterx+1 qx=p(xt<x+1jtx); wirdentypischenverlaufdiesereinjahrigensterbewahrscheinlichkeitenambeispielbayerischer MannerundFrauen(ermitteltimZeitraumzwischen1986und1988)HierfalleneinigeBesonderheitenauf:Zunachsterkenntman,dafurMannerdieSterbewahrscheinlichkeitinallen AltersbereichenhoheristalsfurFrauenZudembemerktmanbeiMannernimAlterumca 20Jahreeine\Uberhohung"derSterblichkeit,dieausMotorrad-undAutounfallenresultiert nichterreicht,unterdervoraussetzung,dadasalterxerreichtwurdeinabbildung11sehen 1

8 2 KAPITEL1EINLEITUNG qx Sauglingssterblichkeit Maenner Frauen \Motorradbuckel" # Lebensalterx ern Abbildung11:EinjahrigeSterbewahrscheinlichkeitenfurx-jahrigeFrauenundMannerinBay lichkeitbeineugeborenen(q010q1),sowiedasleichte(inderabbildungkaumerkennbare) unddaherauch\motorradbuckel"genanntwirddieauergewohnlichhohesterbewahrschein- einemeekt,derinenglischsprachigerliteraturoftmit\bathtub-shape"(badewannen-form) AbnehmendereinjahrigenSterbewahrlichkeitenbiszueinemAltervonca10Jahren,fuhrtzu deskurvenverlaufsbezeichnetwird EinrelativjungesProduktinderPersonenversicherungistdiePegeversicherung,diedemVersichertenLeistungenbietet,fallsdiesernichtmehrinderLageistdiegrundliegendenVerrichtungendestaglichenLebens,wiezBKorperwasche,Nahrungsaufnahme,etcselbstandigzu bewerkstelligendieseartderversicherungistimvergangenenjahrzehnteinimmeraktuelleres rektnachdemkrieg,sowieeineniedrigegeburtenrateindenletztenjahren)zueinemanstieg dessogenanntenabhangigkeitskoezienten(imwesentlichendasverhaltnisvonarbeitenderzu ThemagewordenZumeinenfuhrtederWandelinderSozialstruktur(hoheGeburtenratedi- immermehrpegebedurftigegibt,furderenpegeteurefachkrafteengagiertwerdenmussen, LebenserwartungunddieAnderungfamiliarerStrukturenindenIndustrielanderndazu,daes nicht-arbeitenderbevolkerung,sieheabbildung12),zumanderenfuhrtauchdiewachsende SohatsichdieseArbeitzumZielgesetzt,mitHilfevonDatenausdergesetzlichenPegeversicherung,dieseit141995inKraftist,mittelsmodernerverweildaueranalytischerMethodendas fehltdasnanziellerisikodafurtragtindiesemfalldiepegeversicherung dainimmermehrfamiliendiemoglichkeitoderbereitschaftfureinepegedurchangehorige

9 3 1910und1989 Abbildung12:VerteilungderBevolkerunginDeutschlandaufAltersgruppenindenJahren anzuwenden EinenzentralenPunktderArbeitstelltdasvonDavidCox1972[9]vorgeschlagenesemiparametrischeRegressionsmodellzurBestimmungderAbhangigkeitderUberlebensfunktionvon UberlebenvonPegebedurftigenzuuntersuchenunddieErgebnisseaufeinVersicherungsmodell verschiedenenkovariablen(dasuberlebenbeeinussendefaktoren,inunserembeispielwaren dasalter,geschlecht,pegeverursachendekrankheiten,pegeart)diegrundideediesesverfahrensist,dasichdiesogenanntehazardfunktion(sterbeintensitat),diefurdiezufallsvariable LebenszeitTfolgendermaenalsDichtevonT,gegebenUberlebenbist,deniertist (t)=p(tt<t+dtjtt) undeinemfurjedekovariablezunterschiedlichenmultiplikator formulierenlatalsproduktauseiner,furallebeobachtungengleichen,\basis-hazardfunktion" ; Verfahrenheitsemiparametrisch,dadieresultierendeUberlebensfunktion wobeieinendlich-dimensionalerregressionskoezientundzderkovariablenvektoristdieses (tjz)=0(t)exp(tz); einerseitsvondemendlichenparameter,zumanderenaberauchvoneiner\basis-uberlebensfuntion"s0(t)abhangt,dieineinemunendlich-dimensionalenraumgeschatztwird S(t)=P(T>t)

10 4DieArbeitistwiefolgtuntergliedert:InKapitel2werdenwesentlicheResultateausderTheorie stochastischerprozessedargestellt,diezumeinendazubenotigtwerden,asymptotischekon- KAPITEL1EINLEITUNG zeptlokalersubmartingaleundderenkompensatoren,insbesonderederenanwendungaufzahl- vergenzaussagenfurdascox-regressions-modellzutreen,zumanderen,umeinaufmarkov- prozesse,vorgestelltwerdeneinwichtigesresultatisthierderzentralegrenzwertsatzfurmar- tingalevonrebolledo[33],dereinhilfsmittelfurdenbeweisderasymptotischennormalitat desproportional-hazard-modellaufzahlproze-basisist EineDarstellungwichtigerKonzeptederUberlebenszeitanalyseistdieZielsetzungvonKapitel ProzessenbasiertesVersicherungsmodellzuentwickelnIndiesemZusammenhangsolldasKon- AnalysediesesModellsdetailliertherausgearbeitetwerdenAnderewichtigeResultatederUberlebenszeitanalyse,wiezumBeispieldasnicht-parametrischeSchatzverfahrenvonKaplanund furdieuberlebensfunktion,dasregressionsmodellvoncox,sowieverschiedeneverfahrenzur 3DabeisollenderspaterinderArbeitbenotigtenicht-parametrischeNelson-Aalen-Schatzer Meier(1958)[22],sowieparametrischeRegressionsansatzewerdeninknapperFormdargestellt schlecht,alter,schwereundartderpege,sowiediagnostiziertepegeverursachendekrankhei- ten)vonpegebedurftigenindergesetzlichenpegeversicherung,dieimzeitraumvom anwendenderdatensatzbeinhaltetuberlebensdaten,sowiezusatzlicheinformationen(ge- InKapitel4werdenwirdievorhererarbeitetenKonzeptesystematischaufeinenDatensatz biszum beobachtetwurdenhieranalysierenwirzumeinennaturlichdasuberleben vonpegebedurftigen,untersuchenaberauchveranderungen(bzglpegeartundpegestufe) modellsanwendendietheoretischebasishierfurbildenmarkov-prozessemitendlichemzu- SchlielichwerdenwirinKapitel5dieResultateausKapitel4imRahmeneinesVersicherungs- impegeverlaufundderenauswirkungenaufdasuberlebenvonpegebedurftigen tembeschreibenmodellierenwirdanndasversicherungsprinzipdiesesbesagtimwesentlichen, standsraum,diedieentwicklungeinesversichertenrisikosbeschreibenmithilfevonzustands- dajederversichertefurseinenerwartetenschadenselbstaufkommtschlielichwerdenwirfur abhangigen(zufalligen)funktionen,diedenzahlungsstromzwischenversichererundversicher- vonbeitragsberechnungenschaen zweiverschiedeneversicherungsmodellediebasisfureinepraktischeanwendunginderform

11 Kapitel2 TheoretischeGrundlagen UmAussagenuberasymptotischeKonvergenzvonSchatzerninderVerweildaueranalysetreen MartingalenundZahlprozessengegebenNahereshierzundetsichinAndersenua(1993)[1] zukonnen,bedientmansichhaugmittelnausdertheoriederzahlprozesseindiesemabschnittwirdeinknapperabriuberstochastischeprozesseunddiewesentlichenkonzeptevon (1979und1987)[34],[35]EinengutenUberblickuberZahlprozessegibtBremaud(1981)[7] LetztendlichbenotigenwirnocheinigeelementareAussagenuberzeitstetigeMarkov-Prozesse DiewesentlichenKonzeptederstochastischenIntegrationsindorientiertanRogersundWilliams SatzundDenition21(bedingteErwartung)Sei(;F;P)einWahrscheinlichkeitsraum StochastischeProzesse gibteseinezufallsvariableymit undxeinezufallsvariablemite(jxj)<1seinungfeinesub--algebravonfdann (ii)e(jyj)<1, (i)yistg-mebar, fastsicherdiesodeniertezufallsvariabley=e(xjg)heitbedingteerwartungvonx, Falls~YeineweitereZufallsvariableist,diedieEigenschaften(i)-(iii)erfullt,sogilt:~Y=Y (iii)8g2ggilte(yi(g))=e(xi(g)),(i(g)(x)=1,fallsx2gund0sonst) gegebeng Beweis: DerBeweisndetsichzumBeispielinRogersundWilliams(1979)[34] DerfolgendeSatzenthalteineAuistungeinigerfundamentalerEigenschaftenbedingterErwartungen 5

12 6Satz22(EigenschaftenderbedingtenErwartung)Seien(;F;P)einWahrscheinlich- keitsraum,gundhsub--algebrenvonfzudemseifuralleauf(;f;p)deniertenzu- fallsvariablenxdererwartungswerte(jxj)<1danngeltenfolgendeaussagen AFallsXG-mebarist,danngilt:E(XjG)=Xfastsicher KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN CFallsHGF,danngilt: B(Linearitat)E(aX1+bX2jG)=aE(X1jG):+bE(X2jG) DFallsZG-mebarundbeschranktist,danngilt: E[E(XjG)jH]=E[XjH]fastsicher: ZumBeweissiehezumBeispielStirzaker(1994)[38]Seite143 E[ZXjG]=ZE[XjG]fastsicher: Denition23(Filtration)SeiTeinzeitstetigesIntervall Filtrationwennfurallestgilt: und(;f;p)einwahrscheinlichkeitsraumdannheiteinefamilievon-algebrenft:t2t T=[0;)oderT=[0;]mit0<1 EineFiltrationheitrechtsstetigwennfurallet2Tgilt: FsFt: (21) undvollstandigfalls AB2F;P(B)=0;)A2F0: lim s#tfs=ft (22) Bemerkung:DieBedingungen(21)-(23)heienauchdie\gewohnlichenBedingungen" (23) MitX(t;!)!2wirddieRealisierungeinesstochastischenProzesseszumZeitpunkttbezeichnet DieAbbildungt7!X(t;!)!2heitPfadeinesstochastischenProzesses MengevonZufallsvariablen(X(t):t2T) Denition24(stochastischerProze)EinstochastischerProzeisteinezeitindizierte EinstochastischerProzeheitadaptiert(gegenuberderFiltrationFt),wennX(t)Ftmebar EinstochastischerProzeheitcadlag(continuadroite,limiteagauche),wennfurfastalle istfurallet2t:!2diepfadex(t;!):t2trechtsstetigsindundderlinksseitigegrenzwertlims"tx(s;!) existiert

13 21STOCHASTISCHEPROZESSE Bemerkungen: 7 NormalerweisewirdbeiderDenitioneinesstochastischenProzesseszwischenzeitstetigen DenitioneineszeitstetigenstochastischenProzesses,dahierderIndext2IRunddamit undzeitdiskretenstochastischenprozessenunterschiedendiedenition24entsprichtder DieFiltrationFtwirdauchHistoriegenanntMankannFtalsInformationsstandzum mitabzahlbarerindizierung(zbxnn2in) uberabzahlbaristimzeitdiskretenfallbetrachtetmaneinefolgevonzufallsvariablen HaugwirdFt:=fX(s):stggesetzt,mansprichtdannvondernaturlichenFiltrationMitFt :=fx(s):s<tgwirddiehistorievordemzeitpunkttbezeichnet ZeitpunkttbetrachtenDie-AlgebraFwirdmitwachsendemtimmerfeiner Denition25(Version,Ununterscheidbarkeit)SeienXundYzweistochastischeProzesseauf(;F;P)YnenntmaneineVersionvonXfalls XundYheienununterscheidbarfalls P(f!jX(t;!)6=Y(t;!)g)=08t: wasbedeutet,dadiebeidenprozessefastsicher(bisaufp-nullmengen)dieselbenpfadehaben P(f!jX(t;!)6=Y(t;!)8tg)=0; soda Denition26(Stopzeit)EineStopzeitTisteineZufallsvariable,dieWerteinTannimmt, fttg2ft furallet2t: Beispiel27WennXcadlagundadaptiertist,dannistinfft:jX(t)jcgeineStopzeit interpretiertwerdendabeikannzujedemzeitpunkttfestgestelltwerden,obdasereignisschon eingetretenistodernochnicht Bemerkung:IntuitivkanndieStopzeitalsdiezufalligeZeitbiszueinembestimmtenEreignis zeittdannistdergestoppteprozextdeniertdurch: Denition28(gestoppterProze)GegebenisteinstochastischerProzeXundeineStop- XT(t):=X(t^T)mitt^T=min(t;T):

14 heitlokalisierend,wenngilt:p(tnt)!1furn!1: 8Denition29(lokaleEigenschaften)EinemonotonwachsendeFolgevonStopzeitenTn KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN EinstochastischerProzebesitzteinebestimmteEigenschaftlokal,wenneinelokalisierende FolgevonStopzeitenTnexistiert,sodaderProze dieentsprechendeeigenschaftbesitzteinprozeheitlokalbeschrankt,wenneinelokalisierendefolgevonstopzeitentn,sowiekonstantencnexistieren,sodafurallengilt: I(Tn>0)XTn ttnjx(t)jcnfastsicherfurtn>0: sup Denition210(Variation)Istf:[a;b]7!IReineFunktion,soheit dietotalvariationvonfuber[a;b]fallsgilt V(f;[a;b])=supfnXk=1jf(xk) f(xk 1)j:a=x0<x1<<xn=b;n2INg dannnenntmanfvonbeschranktervariationeinefunktionf:t7!ir(mitt=[0;), odert2[0;],0<1),heitvonlokalbeschranktervariation,wennffurallet2t V(f;[a;b])<1; AnforderungenderArbeitgenugt vonbeschranktervariationist Denition211(stochastischeIntegration)Fur2stochastischeProzesseX;Ydenieren MitdiesenDenitionenkonnenwirnuneinstochastischesIntegraleinfuhren,dasdenspateren dieabbildung deniertfuralle(t;!)2(t;),furdiegilt0x(s)dy(s); wirstochastischeintegrationalspfadweiseslebesgue-stiltjes-integralrxdystehthierfur Zt t7!zt furdiealsodaspfadweiselebesgue-stiltjes-integralexisistiert 0jX(s)jjdY(s)j<1; VariationalsIntegratorenbeschranken,konnenwirYalsmaerzeugendeFunktionverwenden, Bemerkung:DawirunsimfolgendenTextaufstochastischeProzesseYmitlokalbeschrankter meinertenstochastischenintegrationsbegrivon^ito(siehezumbeispielinrogersundwilliams [35](Kapitel4))angewiesensind sodadieexistenzdeslebesgue-stiltjes-integralsgesichertistundwirnichtaufdenverallg-

15 Denition212(gleichmaigeIntegrierbarkeit)EinaufdemWahrscheinlichkeitsraum 22MARTINGALTHEORIE (;F;P)denierterstochastischerProzeX(t)heitgleichmaigintegrierbar,fallsder 9 Grenzwert EinKriteriumfurgleichmaigeIntegrierbarkeitliefertfolgenderSatz c!1zjx(t)>cjjx(t)jdp=0gleichmaigint2t: lim Satz213DeraufdemWahrscheinlichkeitsraum(;F;P)deniertestochastischeProzeX(t) t2tmite(jx(t)j)<18t2tistgenaudanngleichmaigintegrierbar,wenngilt undesfuralle>0ein">0gibt,soda sup t2te(jx(t)j)<1 DenBeweisdiesesSatzeskannmaninBauer[4]Seite106nachlesen A2F;P[A])ZAjX(t)jdP<"8t2T: zexistdielinksstetigemodikationx deniertdurch Denition214(LinksstetigeModikationundSprungproze)FureinencadlagPro- undseinsprungprozex(t)durch X (t)=lim s"t=x(s) Bemerkung:DielinksstetigeModikationX (t)wirdimtextauchmitx(t )bezeichnet X(t)=X(t) X (t): 22 Denition215(Martingal)Einadaptiertercadlag-ProzeheitMartingal,wennerfolgendeEigenschaftenerfullt: Martingaltheorie (ii)e(m(t)jfs)=m(s)furallest(martingaleigenschaft), (i)e(jm(t)j)<1furallet2t, Giltin(ii)""anstatt"=",sosprichtmanvoneinemSupermartingal,gilt"",sohandelt EinMartingalheitquadratintegrierbar,fallsfurallet2T essichumeinsubmartingal E(M(t)2)<1:

16 10 DaderfurquadratintegierbareMartingaleMderGrenzwert KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN existiert,konnendiesedurchgrenzwertbildungaufterweitertwerden t!m(t) lim Beispiel216(StandardBrownscheBewegung)DieStandardBrown'scheBewegungist einstochastischerprozexmitstetigenpfadenundx(0)=0furalle!2diezuwachse sindunabhangignormalverteilt,dh DersodeniertestochastischeProzeisteinMartingal(Abbildung21) X(s) X(t)N(0;s t)ts: Beweis: Zunachstmumanzeigen,daderErwartungswertE(jX(t)j)<18texistiertX(t)istjedoch verteiltnachn(0;t),sodagilt: E(jX(t)j)=2Z1 = 2t 0s1 p2te s2 p2te s2 2t10=2t 2tds= Nunmumannochzeigen,da8stgilt: p2t<18t: DajedochX(t) X(s)normalverteiltmitErwartungswert0sind,erhaltman,da E[X(t)jFs]=Xs()E[X(t)jFs] X(s)Satz2:2A,B = E[X(t) X(s)jFs]: SomitistdieAussagegezeigt E[X(t) X(s)jFs]=0: predictable),fallsh(!;t)hinsichtlichderdurchdieklassederlinksstetigen,adaptiertenprozesseerzeuten AlgebraaufTmebarist Denition217(Vorhersehbarkeit)EinstochastischerProzeHheitvorhersehbar(engl: 2 Bemerkung:NachdieserDenitionsindallelinksstetigen,adaptiertenProzessevorhersehbar JedemebareFunktionaufTist,alsstochastischerProzebetrachtet,naturlichauchvorhersehbar ZufallvariablenX(T)(TbeliebigeStopzeit)gleichmaigintegrierbarsind Denition218(KlasseD)EinSubmartingalXheitvonderKlasseD(Doob),wenndie

17 22MARTINGALTHEORIE Satz219(Doob-Meyer-Zerlegung)SeiXeinSubmartingalderKlasseDDannexistiert Abbildung21:SimuliertePfadeeinerBrown'schenBewegung ein(bisaufununterscheidbarkeit)eindeutigervorhersehbarercadlagproze~x,soda eingleichmaigintegrierbaresmartingalmitm(0)=0ist M:=X ~X Bemerkung:DerProze~XheitKompensator-Proze Beweis:EinenBeweisdesSatzesndetmaninRogersundWilliams[34]Seiten annehmen,dh Beispiel220(Poisson-Proze)SeiNeinstochastischerProze,dessenPfadeWerteinIN0 FtdievonNerzeugte Algebraund>0FurdenProzeNgeltenfolgendeEigenschaften (i) N:T7!IN0; P(N(t)=k)=8<:e t(t)k 0k! furt<1 sonst ;

18 12(ii)DieZuwachsesindunabhangigPoisson-verteiltaufT,dhfurs<t<1gilt KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN dannnenntmanneinenhomogenenpoissonprozefur=1heitnstandardpoissonprozederhomogenepoissonprozebesitztfolgendenerwartungswert E(N(t))=1Xk=0ke t(t)k k! =te t1xk=1(t)k 1 P(N(t) N(s)=k)=e (t s)((t s))k k! ; AnaloggiltfurdenerwartetenZuwachsfurs<t<1(k 1)!=te tet=t: MitdiesenVorbereitungenkonnenwirnunzeigen,datdervorhersehbareKompensatorproze deshomogenenpoissonprozeistdievorhersehbarkeitistklar,dateinedeterministische E(N(t) N(s))=(t s): FunktionistJetztbleibtnochzuzeigen,daderProzeM(t)=N(t) teinmartingalist bereitsgezeigt)furs<t<1gilt: DazumussenwirdieMartingaleigenschaftzeigen(dieExistenzdesErwartungswerteshabenwir E(M(t)jFs)=E(N(t) tjfs)=e(n(t)jfs) E(tjFs)Satz2:2 =N(s)+(t s) t=m(s): KommenwirnunzumKonzeptderoptionalenundvorhersehbarenVariation,letzterestelltein MafurdassystematischeWachsendesProzessesM2(MlokalquadratintegrierbaresMartingal) 2 Denition221(vorhersehbareundoptionaleVariation)SeienMundM0lokalequadratintegrierbareMartingale,dannistM2einlokalesSubmartingalundMM0dieDierenz dar(sieheauchrogersundwilliams[35]seiten42-51) zweiersubmartingale,dennmm0=14(m+m0)2 14(M M0)2: prozefalls werden,heienvorhersehbarervariationsproze,bzwvorhersehbarerkovariations- DiezugehorigenKompensatorenfurM2undMM0,diemithM;MibzwhM;M0ibezeichnet heienmundm0orthogonaldenvorhersehbarenvariationsprozehm;mi(t)erhaltman, indemmandengrenzwert hm;m0i=0; hmi=hm;mi(t)=lim n!1nxi=1var(m(ti) M(ti 1)jFti 1)

19 uberdiepartitionen0=t1<t2<<tn=tbildetdieprozesse[m;m]und[m;m0],die 22MARTINGALTHEORIE durch 13 [M](t)=[M;M](t)=XstM(s)2bzw [M;M0](t)=XstM(s)M0(s) (24) deniertsind,heienoptionaler(ko)variationsproze (25) tegrandenundlokalen(bzwlokalquadratintegrierbaren)martingalenalsintegratorenverwen- dungnden,werdenimfolgendenabschnitteinigeergebnissezurstochastischenintegration solcherprozessesowiederenvorhersehbareundoptionale(ko)variationsprozesssebehandelt, DainderspaterenAnwendungoftstochastischeIntegralemitvorhersehbarenProzessenalsIn- mitsemimartingalbezeichnet)werfen zunachstwollenwirabernocheinenkurzenblickaufdiestochastischeintegrationvorhersehbarerprozessehinsichtlichzeitdiskreterbzwzeitstetigersub-bzwsupermartingale(imfolgenden Denition222(stochastischeIntegrationbzglzeitdiskretemSemimartingal) SeiMnn2INeinadaptierterProze,derdiedie(Sub-,oderSuper-)MartingalEigenschaf- tenerfullt,sowiehneinvorhersehbarerproze(imdiskretenfallbedeutetdieshnistfn 1- BetrachtenwirdenmiteinerFiltrationFnn2INversehenenWahrscheinlichkeitsraum(;F;P) mebar)dannistdasstochastischeintegral(rhdm)ndeniertals UmeineanalogeDenitiondesstochastischenIntegralsbezuglichzeitstetigeSemimartingalezu ZHdMn=nXk=1Hk(Mk Mk 1): einltrierterwahrscheinlichkeitsraumseiena;b2t,c2fadannnenntmandenstochastischenproze Denition223(elementarervorhersehbarerProze)Sei(;F;P)mitderFiltrationFt erhalten,mussenwirzunachstdenbegrideselementarenvorhersehbarenprozessesdenieren einenelementarenvorhersehbarenproze FurelementareProzesseistdasstochastischeIntegralwiefolgtdeniert H(s;!):=I(a<sb)C(w) sodenierenwirmit I(a<sb)C(!)einelementarerstochastischerProzeundMeinlokalescadlagMartingal, Denition224(IntegrationeineselementarenvorhersehbarenProzesses)SeiH(s;!)= sowiemit Zt ZH(s)dM(s)=C(!)(M(b;!) M(a;!)); dasstochastischeintegraldeselementarenprozesseshinsichtlichdesmartingals 0H(s)dM(s)=Zt 0H(s)I(0st)dM(s)

20 14 DasfolgendeKorollarzeigt,dabeiderIntegrationbeschrankterelementarerProzessehinsichtlichlokalerMartingaledieMartingaleigenschafterhaltenbleibt KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN Korollar225SeiH(s;!)=C(!)I(a<sb)einelementarerstochastischerProzemit undmeinmartingal,dannist supjh(s;!)j<1 ebenfallseinmartingal Zt Beweis: 0H(s)dM(s) Zt 0H(s)dM(s)=8><>:0 C(M(t) M(a))at<b C(M(b) M(a))bt<1: 0t<a NachdemM(t)2FtistundC2Fa,siehtmansofort,daRt0H(s)dM(s)2FtAusder BeschranktheitvonHfolgt,daEZt BetrachtenwirzunachstdendenFallas<tb NunmussenwirnurnochdieMartingal-EigenschaftE(M(t)jFs) M(s)=0zubeweisen 0H(s)dM(s)<1: Satz2:2A EZt 0H(u)dM(u) Zs 0H(u)dM(u)Fs Zs E(C(M(t) M(s))jFs)0H(u)dM(u)Fs Satz2:2C einltrierterwahrscheinlichkeitsraum,dannnennenwirdieendlichesummeelementarerprozesse H(s;!)=nXi=1Hi(s;!)n2IN Denition226(einfachervorhersehbarerProze)Sei(;F;P)mitderFiltrationFt = CE(M(t) M(s)jFs)=0: eineneinfachenvorhersehbarenprozess sodenierenwirmit Denition227(IntegrationeineseinfachenvorhersehbarenProzesse) FurH=H1++HneineinfacherstochastischerProzessundMeinlokalescadlagMartingal, sowiemit Zt ZH(s)dM(s)=nXi=1ZHi(s)dM(s); dasstochastischeintegralfurdenprozessh 0H(s)dM(s)=nXi=1Zt 0Hi(s)dM(s)

21 Bemerkung:AlsendlichSummelokalerMartingaleistdasstochastischeIntegral 22MARTINGALTHEORIEZH(s)dM(s)=nXi=1ZHi(s)dM(s); 15 Prozesse,dhjedervorhersehbareProzessHistdurch wiedereinmartingal DieKlassedervorhersehbarenProzesseerhaltmannunalsGrenzwerte(furn!1)einfacher darstellbar(siehedurrett[11]seiten57-58) H=lim n!1nxi=1hi FallswirandieserStellezusatzlichvoraussetzen,daderIntegratorMvonlokalbeschrankterVariationist,konnenwirdasstochastischeIntegral,analogzumLebesgue-Stiltjes-Integral erweitern (vergleicheelstrodt[13]),durchgrenzwertbildungaufdieklassedervorhersehbarenprozesse arbeiten MitHilfederstochastischenIntegrationkonnenwirnuneinigewichtigenZusammenhangezwi- Korollar228Furdenoptionalen(Ko)variationsprozegilt: schensemimartingalenundderenoptionalen-,bzwvorhersehbarenvariationsprozessenheraus- (ii) (i) [M;M0](t)=M(t)M0(t) Zt [M](t)=M(t)2 2Zt 0M(s )dm0(s) Zt 0M(s )dm(s); 0M0(s )dm(s): (27) (26) DenBeweishierzundetmaninRogersundWilliams[35]Seite59 Satz229(Fundamentaltheorem)WennHeinlokalbeschrankter,vorhersehbarerProze istundmeinlokalesmartingal,dannexistiertrhdmundisteinlokalesmartingal Beweis: Sei(;Fn;P)einltrierterWahrscheinlichkeitsraumundHeinbeschrankter,vorhersehbarer ndetsichderbeweisinrogersundwilliams(1987)[35] DerfolgendeBeweisistfurdaszeitdiskreteAnalogondurchgefuhrt,furdenzeitstetigenFall Proze(Hn2Fn 1furn2IN)Dannist: ZHdMn=nXk=1Hk(Mk Mk 1)

22 16 mit(rhdm)0=0einlokalesmartingaldazumumanzeigen,da KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN DaaberHnFn 1mebaristgilt: EZHdMnjFn 1=ZHdMn 1()E"ZHdMn ZHdMn 1jFn 1#=0: E"ZHdMn ZHdMn 1jFn 1#=E[Hn(Mn Mn 1)jFn 1] unddamitistdieaussagegezeigt =HnE[Mn Mn 1jFn 1]=0; MitHilfevonKorollar228undSatz229sehenwir,daderstochastischeProze 2 einlokalesmartingalist,dennesgiltfuralles<t M2 [M] (28) E[M2(t) [M](t)jFs] Kor2:28 E[M2(t) (M2(t) 2Zt E[M2(t) XstM(s)2jFs] E[M2(t) M2(t)jFs] {z 0 } +2E[Zt 0M(u )dm(u))jfs] Satz2:29 2Zs 0M(u )dm(u) vorhersehbdm(u)jfs] {z} Kor2:28 nalen(ko)variationsprozessesbeistochastischerintegration DerfolgendeSatzenthalteinwichtigesResultatzumVerhaltendesvorhersehbaren,bzwoptio- = M2(s) [M](s): rerprozeundrh2d[m]lokalintegrierbar,oderrh2dhmilokalendlich(automatischgegeben, wennhlokalbeschrankt)dannistrhdmeinquadratintegrierbaresmartingalund Satz230SeiMeinlokalintegrierbaresMartingalvonendlicherVariation,Heinvorhersehba- ZHdM=ZH2dhMi: ZHdM=ZH2d[M] DieserSatzwirdzumBeispielinDurett(1984)[11]Seiten57-59bewiesen

23 23ZAHLPROZESSTHEORIE Zahlprozetheorie 17 IndiesemKapitelwerdendiewesentlichenEigenschaftenvonZahlprozessenundderenKompensatorenbeschriebenDieDarstellungistanBremaud(1981)[7]Seite18-48orientiert gewohnlichenbedingungenbisauf(23)(ftmunichtunbedingtvollstandigsein)versehener Denition231(univariaterZahlproze)GegebenseieinmiteinerFiltrationFt,diedie Wahrscheinlichkeitraum(;F;P)EinaufdiesemltriertenWahrscheinlichkeitsraumdenierterstachastischerProzeNheitunivariaterZahlproze,fallserfolgendeEigenschaftenbesitzt (ii)nistcadlagundadaptiertbezuglichderfiltrationft, (i)n(0)=0, (iii)niststuckweisekonstantundandensprungengilt Denition232(multivariaterZahlproze)Sei(;F;P)einWahrscheinlichkeitsraumund FteineFiltrationdie(21)und(22)erfulltDannheitderVektorvonadaptiertercadlag N(t)=+1: ProzessenN=(N1;;Nk)k-variaterZahlproze,fallsjedeKompenentevonNkeinunivariaterZahlprozeist,wobeikeine2KomponentenzurgleichenZeitspringen,dh mit P(NiNj(1 ij)=1)=0i;j2f1;;kg; ij=(1fallsi=j AufgrundderTatsache,daeskeinegleichzeitigenSprungegibt,istderProze 0sonst : aucheinzahlprozenunkannmanfurneinefolgevonzufallsvariablen N=kXi=1Ni mitwertenaust,sowie 0<T1T2T3 diewerteaus1;2;;k[0annehmenkann,sodafurnn()gilt: J1;J2;; Tn2T=[0;); Tn>Tn 1; Jn6=0;

24 18 sowie N(Tn)=nundNJn(Tn)=1: KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN derzahlprozenaufdenwertnspringtunddiezufallsvariablejnalsindexderzumzeitpunkt StopzeitenAuchJnistFTn-mebarMankanndieZufallsvariablenTnalsZeitpunkt,zudem Furn>N()seiTn=undJn=0DafTntgFTn-mebarist,istTneineFolgevon nspringendenkomponenteinterpretierendafurjedekomponentenh,h2f1;;kgdes ZahlprozessesNgilt:0NTn allepfadevonnhmonotonwachsendsindgilt E(Nh(s)jFt)=E(Nh(t)+Nh(s) Nh(t)jFt) hn,isttneinelokalisierendefolgevonstopzeitenfurnhda NhistalsoeinlokalesSubmartingalundfuralleStopzeitenTgleichmaigintegrierbar,dhNh =Nh(t)+E(Nh(s) Nh(t) 0 {z } jft)nh(t)8ts: eindeutigenvorhersehbarenkompensatorprozeh,sodaderproze einsubmartingalderklassednachsatz219besitztnheinen(bisaufununterscheidbarkeit) einlokalesmartingalist Mh=Nh h EinigewichtigeEigenschaftendiesesKompensatorprozessesh,wollenwirnungenauerbetrachtenDazusindjedochnocheinigevorbereitendeDenitionennotwendig SatzundDenition233(IntensitateinesZahlprozesses)SeiN(t)einZahlprozeEin vorhersehbarernichtnegativerproze(t),furdengilt (i) Zt (ii)furallevorhersehbarenprozesseh(t)istdiegleichung 0(s)ds<18tP-fastsicher: erfullt EZ1 0H(s)dN(s)=EZ1 0H(s)(s)ds Bemerkungen: heitintensitatsprozeundist,bisaufununterscheidbarkeit,eindeutigdeniert BremaudverzichtetinseinerDenitionfurdenIntensitatsprozeaufdieVorhersehbarkeitundzeigtdann,damanzujedemsodeniertenIntensitatsproze(t)einebisauf UnunterscheidbarkeiteindeutigevorhersehbareVersion~(t)ndenkann

25 ZAHLPROZESSTHEORIE EineaquivalenteDenitionkanngegebenwerdendurch 19 Aven(1982)[3]beweist,daunterbestimmtenVoraussetzungenmitdiesemsodenierten (t)=lim dt!0e[n(t+dt) N(t)jFt] (t)derprozessn(t) Rt0(s)dseinMartingalist,dhwirkonnendenvorhersehbaren : KompensatorprozeeinesZahlprozessesangebendurch AusderExistenzeinesIntensitatsprozessesfolgt,dadieZuwachseineinemZahlproze (t)=zt unabhangigsind,derbeweisndetsichinbremaud[7](seite25)imfolgendentextwerdenwirimmerzahlprozessemitexistierendemvorhersehbaremintensitatsproze,dhmit 0(s)ds: unabhangigenzuwachsenbetrachten ZensierungsintensitatZ(t)=0:15t,sowiezugehorigerMartingalpfad Abbildung22:SimulierterPfadfurZahlprozevon50ObjektenmitHazard(t)=tund Beispiel234(simulierterZahlproze)IndiesemBeispielsollderZusammenhangzwischen dannausderrisikomenger(t)(=anzahlderpersonenunterbeobachtung)ausscheidenzudemseiindembestandeinezensierungsintensitatvonz(t)=0:15tgegeben,dasbedeutet,da ZahlprozessenundderenKompensatorenveranschaulichtwerdenIneinerSimulationbetrachten wir50individuen,diemiteinerintensitatvon(t)=teinterminierendesereigniserlebenund

26 20 miteinerintensitatvon0:15tindividuenausdembestandausscheiden,ohnedaeinereignis stattndetderzahlprozen(t)istnunfolgendermaendeniert KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN DersodenierteProzehatfolgendenKompensatorproze(t): (t)=ezt N(t)=AnzahlderEreignissebiszumZeitpunktt: 0(s)E[R(s)]ds 0(s)R(s)ds 0(s)50exp Zs =50Zt =Zt 050sexp Zs 01:15ududs 0((u)+Z(u))duds = 1:151 e 1:15 0sexp( 1:15 2t2: 2s2)ds werte[r(t)]gilt Bemerkung:IndiesemBeispielwirdeinErgebnisausKapitel3verwendet,furdenErwartungs- E[R(t)] Satz3:3 = 50P(PersonzumZeitpunkttunterBeobachtung) 50S(t) Da(t)derKompensatorprozevonN(t)ist,istM(t)=N(t) (t)einmartingalinabbildung 50exp Zs 22isteinsimulierterPfadvonN(t)unddessenKompensatorproze(t)(links),sowiedas 0((u)+Z(u))du: zugehorigemartingalm(t)(rechts)dargestellt tensitatsprozessen Satz235GegebenseiderZahlprozeN(t)mitIntensitatsproze(t)SeiM(t)=N(t) DerfolgendeSatzzeigteinenwichtigenZusammenhangzwischenZahlprozessenundderenIn- Rt0(s)dsundHlokalbeschranktundvorhersehbarDanngilt: ZHdM(t)=Zt hmi(t)=zt [M](t)=N(t); 0(s)ds; 0H2(s)(s)ds; (211) (210) (29) ZHdM(t)=Zt 0H2(s)dN(s): (212)

27 23ZAHLPROZESSTHEORIE Beweis: 21 UmdieAussagezubeweisen,zeigenwirzuachstdieGultigkeitvon(210)Esgilt: Da(t)=Rt0(s)dseinstetigerProzessist,hatM(t)SprungederHohe+1andenStellen,an [M(t)]=X 0<st(M(t))2=X 0<st(N(s) Zs 0(u)du)2: denenn(t)springtausdiesemzusammenhangerhaltenwir [M(t)]=X 0<st(N(s) Zs 0<st(N(s))20(u)du)2 UmdieGultigkeitvon(210)zuzeigen,benutzenwirdieTatsache,da =X 0<stN(s)=N(t): einmartingalist(siehe(28))dervorhersehbarekompensatorprozevon[m](t)=n(t)ist gegebendurch(t)=rt0(s)ds,sodam2(t) [M](t) alssummezweiermartingalewiederumeinmartingalistundesgilt M2(t) [M](t)+N(t) Zt M2(t) [M](t)+N(t) Zt 0(s)ds =M2(t) [M](t)+[M](t) Zt =M2(t) Zt 0(s)ds 0(s)ds: 0(s)ds DaRt0(s)dsvorhersehbarist,istdiessomitder(bisaufUnunterscheidbarkeit)eindeutigevorhersehbareKompensatorprozevonM2unddamitgilt (211)und(212)erhaltenwirnundirektausSatz230Danachgilt: hmi=zt ZH2dM(t)=Zt 0(s)ds: =Zt 0H2(s)dhMi(s) 0H2(s)d(Zs 0H2(s)(s)ds; 0(u)du)

28 22 sowie ZH2dM(t)=Zt KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN =Zt 0H2(s)d[M(s)] DamitistderSatzbewiesen 0H2(s)dN(s): Bemerkung:Fureinenk-variatenZahlprozeN=(N1;;Nk)mitIntensitatsproze= (1;;k)undeinepk-MatrixlokalbeschranktervorhersehbarerProzesseHgeltenanalogzu29bis212dieentsprechendenZusammenhangefurdievorhersehbarebzwoptionale 2 Kovariationsmatrix ZHdM(t)=Zt hmi(t)=diagzt [M](t)=diag(N(t)); 0H(s)diag((s))Ht(s)ds; 0(s)ds; ZHdM(t)=Zt aufderdiagonalen,dhvij=ijvidervorhersehbare,bzwoptionalekovarationsprozeeines wobeimitdiag(v),v2irpeinematrixv2irppdeniertistmitdemvektorvalseintrag 0H(s)H(s)td(diagN(s)); k-variatenzahlprozessesistalsoeinekk-matrixmitfolgendeneintragen *XhZHjhdMh;XlZHj0ldMl+(t)=XhZt hmh;mli(t)=hlzt [M]hl(t)=ijNh(t); 0h(s)ds; "XhZHjhdMh;XlZHj0ldMl#(t)=XhZt 0Hjh(s)Hj0h(s)h(s)ds; 24 Grenzwerttheorie 0Hjh(s)Hj0h(s)dNh(s): (213) gale(mitjeweilskkomponenten)undm(n) ErklarungennotigSeiM(n)=(M(n) galenundderenkompensatorenvorgestelltdazusindaberzunachstnocheinigevorbereitende ImdiesemAbschnittwerden2wichtigeResultateuberasymptotischeEigenschaftenvonMartin- 1;;M(n) "=(M(n) k)n2ineinefolgequadratintegrierbarermartin- "1;;M(n) derdenitionvonm(n) Martingale,diealleSprungevonM(n)enhalt,derenAbsolutbetraggroerals"istMitM(n) "istauchdiedierenzm(n) M(n) "gilt,dajm(n) h M(n) "einlokalquadratintegrierbaresmartingalundnach "k)einefolgequadratintegrierbarer SeinunM(1)einMartingalmitvorhersehbaremundoptionalem(Ko)variationsproze[M(1)]= hm1i=v(v:t7!irpp),zudemseiendiezuwachsevonmp-variatnormalverteiltdh "hj"8h2f1;;kg

29 M(1)(t) M(1)(s)Np(0;V(t) V(s))Wirbezeichnenmit!PdieKonvergenzinWahrscheinlichkeit,sowiemit!DdieKonvergenzinVerteilungMitdiesemVorbereitungenkann 23 24GRENZWERTTHEORIE gen: Satz236(SatzvonRebolledo)SeiT0TundgelteeinederbeidenfolgendenBedingun- mannuneinengrenzwertsatzfurmartingaleformulieren sowie hm(n)i(t)!pv(t)furallet2t0furn!1; hm(n) "hi(t)!p0furallet2t0;hund">0furn!1: [M(n)](t)!PV(t)furallet2T0furn!1; (214) Danngilt: (M(n)(t1);;M(n)(tl))!D(M(1)(t1);;M(1)(tl)): (215) FallszusatzlichT0dichtinTliegtundenthaltfalls2T,sogiltmitdenselbenVoraussetzungen: undhm(n)isowie[m(n)]konvergierengleichmaigaufkompaktenteilmengenvontgegenv DieserSatzwurdevonRebolledo(1980)[33]bewiesen M(n)!DM(1)furn!1 (n)seih(n)einekknmatrixlokalbeschranktervorhersehbarerprozesse,denierenwirnun toreinzahlprozeistfurjedesn2insein(n)einkn-variaterzahlprozemitintensitatsproze FormulierenwirnundieBedingungen(214)und(215)furstochastischeIntegrale,derenIntegra- furj=f1;;kgdielokalenmartingale sowiemit M(n) j(t)=knxh=1zt 0H(n) jh(s)(dn(n) h(s) (n) M(n) j"(t)=knxh=1zt 0H(n) jh(s)i(jh(n) jh(s)j>")(dn(n) h (n) h(s)ds); einlokalesmartingal,dasallesprungevonmjenthaltmitjmjj>"dannerhaltenwirmit HilfevonSatz235furdieBedingungen(214)und(215)ausSatz236 h(s)ds) (216) hm(n) [M(n) j;m(n) j;m(n) j0i(t)=knxh=1zt j0](t)=knxh=1zt 0H(n) jh(s)h(n) j0h(s)(n) j0h(s)dn(n) h(s)ds; sowie hm(n) j";m(n) j"i(t)=knxh=1zt 0(H(n) jh(s))2i(jh(n) jh(s)j>")(n) h(s); (217) EineweiterewichtigeAussageistdieUngleichungvonLenglartMitihrerHilfeistesmoglich, einenstochastischenprozemithilfeseineskompensatorprozessesabzuschatzen h(s)ds: (218)

30 [0;]und~XderzugehorigeKompensatorprozenachSatz219Danngilt8;>0 24 Satz237(UngleichungvonLenglart)SeiXeinlokalesMartingalaufT=[0;]oderT= KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN leichtmodizierteversionvon(219)anwendungfureinlokalquadratintegrierbaresmartingal DerSatzwurdevonLenglart(1977)[27]bewiesenImfolgendenTextndetjedochmeisteine P(sup TX>)+P(~X()>): (219) M(dhM2hatdenKompensatorhMi)giltnamlichnachSatz237fur;2>0 waswiederumaquivalentistzutm2>2)2+p(hm()i>); P(sup 25 MarkovkettenP(sup TjMj>)2+P(hM()i>): (220) standsraumsheitzeitstetigemarkovkette,wennfurallenundjedeendlichemengevon Denition238(Markov-Kette)EinzeitstetigerProzeX(t);t0mitabzahlbaremZu- Zeitpunkten0t0<<tn<umit diefolgendeeigenschaft(markov-eigenschaft) P(X(t0)=i0^^X(tn)=in^X(u)=j)>0; erfulltist P(X(u)=jjX(t0)=i0^^X(tn)=in)=P(X(u)=jjX(tn)=in) (221) Denition239(Ubergangswahrscheinlichkeit)DiebedingtenWahrscheinlichkeiten heienubergangswahrscheinlichkeiten,mit Pij(t;u):=P(X(u)=jjX(t)=i) DieZustandekannmaninfolgende3Gruppenunterteilen: istdiewahrscheinlichkeitbezeichnetimgesamtenintervall[t,u]imzustandizuverbleiben Pii(t;u):=P(X(z)=ifurallez2[t;u]) EinZustandiheitabsorbierend,falls Pii(t;u)=1(0tu):

31 25MARKOVKETTEN EinZustandiheittransient,falls 25 EinZustandheitstrikttransient,falls Pii(t;1)=0(t0): EinabsorbierenderZustandistalsoeinZustand,dernichtmehrverlassenwird,fallsereinmal Pii(t;u)=Pii(t;u)<1(0tu): heit,nachdemderzustandeinmalverlassenwurde,istesunmoglichwiedereinzutreten) undeinstrikttransienterzustandisteinzustand,dergenaueinmalerreichtwerdenkann(das eingetretenist,eintransienterzustandisteinzustand,derauchwiederverlassenwerdenkann Denition240(Ubergangsintensitaten)DieUbergangsintensitatensinddeniertals: ZudemdenierenalsGesamtintensitatfurdasVerlassendesZustandsi ij(t)=lim dt!0pij(t;t+dt) i(t)=x : j:j6=ij(t): Lemma241(Chapman-Kolmogorov)FurzeitstetigeMarkovkettenerfullendieUbergangswahrscheinlichkeitendiesogenanntenChapman-Kolmogorov-Gleichungen: Beweis: Pij(t;u)=Xk2SPik(t;w)Pkj(w;u)(twu): (222) Pij(t;u) P(X(u)=jjX(t)=i) Xk2SP(X(u)=jjX(t)=i^X(w)=k)P(X(w)=kjX(t)=i)(twu) Xk2SP(X(u)=j^X(w)=kjX(t)=i)(twu) (2:21) = Xk2SP(X(u)=jjX(w)=k)P(X(w)=kjX(t)=i)(twu) Xk2SPik(t;w)Pkj(w;u)(twu): DamitistdasLemmagezeigt DieGleichungenvonChapman-KolmogrovsindeinwichtigesHilfsmittelbeiderHerleitungder Kolomogorov-Dierentialgleichungen 2

32 26 Satz242(Kolmogrov-Dierentialgleichungen)FurzeitstetigeMarkovkettengilt: KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN (i) (ii) ddtpij(z;t)=x ddzpij(z;t)=pij(z;t)i(z) X k:k6=jpik(z;t)kj(t) Pij(z;t)j(t); (223) Beweis: k:k6=ipkj(z;t)ik(z): (224) (i)nach(222)gilt: Damiterhaltman: Pij(z;t+dt)=X k:k6=jpik(z;t)pkj(t+dt)+pij(z;t)pjj(t+dt): AusdemZusammenhang,da: Pij(z;t+dt) Pij(z;t) =X k:k6=jpik(z;t)pkj(t+dt) +Pij(z;t)Pjj(t;t+dt) 1 : folgtda: Pjj(t;t+dt)=1 Xk6=jPjk(t;t+dt) DurchGrenzwertbildungdt!0folgtschlielichdieAussage Pij(z;t+dt) Pij(z;t) =X k:k6=jpik(z;t)pkj(t+dt) +Pij(z;t)X k:k6=jpjk(t+dt) : (ii)analog 2

33 Kapitel3 Verweildaueranalyse MathematischeGrundlagender IndiesemKapitelwerdendiegrundlegendenKonzeptederVerweildaueranalysevorgestelltDies Likelihood-MethodenfurUberlebensdatenWichtigeStandardwerkehierzusinddieBuchervon rametrische,semiparametrischeundparametrischemethoden),diemodellierungvonmaximum- beinhaltetunteranderemverschiedeneansatzezurschatzungderuberlebensfunktion(nichtpa- KalbeischundPrentice(1980)[21],sowievonKleinundMoeschberger(1997)[25]Einesehr detaillierteredarstellungmitausfuhrlichenbeweisenvonkonvergenzaussagenaufbasisvon ZahlprozessenndetmaninAndersenua(1993)[1]EineanwenderorientierteBeschreibung verweildaueranalytischermethodenistindembuchvonle(1997)[26]enthalten DiederUberlebenszeitzugrundeliegendeGroeistdiezufalligeLebensdauer,oderdiezufallige 31 DauerbiszueinemgenauspeziziertenterminierendenEreignis DieUberlebensfunktion Beispiele: DauervonBeginneinerKrankheitbiszurGenesung, DauerdesZeitraumsvonGeburtbiszumTod, Denition31(Uberlebensfunktion)GegebenseidieZufallsvariableTmitmitVerteilungsfunktionF(t)undDichtef(t)DannistdieUberlebensfunktion(engl:SurvivalFunction) S(t):=P(T>t): 27 deniertals (31)

34 28 Bemerkung:DieUberlebensfunktionkannalsAnteilderUberlebendenzumZeitpunkttgedeutetwerdenDieUberlebensfunktionS(t)latsichwiefolgtalsFunktionderDichteund KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE VerteilungsfunktionvonTdarstellen: S(t)=P(T>t)=1 P(Tt)=1 F(t)=1 Zt f(t)= ds(t) dt: 0f(x)dx; (32) 32 DieHazardfunktion (33) lebenszeitanalysediehazardfunktion,indeutschsprachigerliteraturoftalssterbeintensitat bezeichnet,istdiebedingtedichtevont,gegebenuberlebenbist NebenderUberlebensfunktionS(t)istdieHazardfunktion(t)einewichtigeGroeinderUber- Denition32DieHazard-,oderIntensitatsfunktionistdeniertals DiekumulativeHazardfunktiondeniertmanals (t)=lim dt!0p(tt<t+dtjtt) (t)=zt : (34) ZwischenUberlebens-undHazardfunktionbestehtfolgenderZusammenhang: 0(x)dx: (35) Satz33SeienS(t)Uberlebensfunktionund(t)HazardfunktionzuLebensdauerTDanngilt (ii) (i) S(t)=exp( Zt :=E(T)=Z1 0(x)dx); 0S(t)dt: (36) Beweis: (37) (i) (t)=lim dt!0p(tt<t+dtjtt) =f(t) dt!0p(tt<t+dt) S(t)= dts(t) dtp(tt) S(t)= ddtlog(s(t)):

35 33FUNKTIONALEDARSTELLUNGDERHAZARDFUNKTION MittelsIntegrationerhaltman: 29 (ii) ln(s(t))= Zt 0(x)dx()S(t)= exp(zt 0(x)dx): =E(T)=Z1 0tdF(t)=Z1 0Zt 0dxdF(t)=Z1 0Z1 xdf(t)dx=z1 Bemerkung:NachSatz33istalsodieVerteilungderZufallsvariableTeindeutigdurch(t) 0S(x)dx:2 bestimmtfallsteinediskretezufallsvariableistmitwertenx1<x2<und DannistdieUberlebensfunktioneineStufenfunktionmit f(xi)=p(t=xi): Miti:=f(xi)=S(xi)erhaltmaneinfacheAusdruckefurf(xi) S(t)=1 Xxi<tf(xi)=Xxitf(xi): f(xi)=ii 1 S(xi)=i 1 Yj=1(1 j): Yj=1(1 j); (38) 33 FunktionaleDarstellungderHazardfunktion (39) wichtigefunktionalemodelleinderuberlebenszeitanalysevorgestelltwerden ExponentiellesModell ObwohlinderArbeitsemiparametrischeModelleimVordergrundstehen,sollenhiereinige furdasexponentiellemodellistkonstantfurallet DasexponentielleModellistwohldasbekannntesteUberlebenszeitmodellDieHazardfunktion DiezugehorigeUberlebensfunktionS(t)istdemnach S(t)=exp Zt (t)=>0: DasbedeutetfurdieVerteilungsfunktionF(t)derZufallsvariableT 0ds=1 e t: F(t)=1 S(t)=e t:

36 folgtsofortfolgendewichtigeeigenschaft 30 DieUberlebenszeitTistalsoexponentialverteiltmitParameterAusdemkonstantenHazard KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Weibull-Modelle P(Tt+sjTt)=S(t+s) S(t)=exp((t+s t)=p(ts): EineVerallgemeinerungderexponentiellenModellesindWeibull-verteilteLebensdauernTmit Hazardfunktion notonfallende(1)hazardfunktionenmodelliertwerdenfurdieuberlebensfunktions(t) MitdieserfunktionalenDarstellungkonnensowohlmonotonwachsende(1)alsauchmo- (t)=t 1;>0: gilt S(t)=exp Zt sinddemnachgegebendurchf(t)=1 S(t)=1 exp[ t]; DieVerteilungsfunktionF(t)unddieDichtefunktionf(t)furWeibull-verteilteLebensdauern 0(u)du=exp[ t]: f(t)=ddtf(t)=t 1exp( t): DieZufallsvariableLebensdauerTheitlog-logistischverteilt,fallsdieTransformation: Log-LogistischeModelle logistischverteiltistmitdichtefunktiony=log(t) fy(y)= h1+expy exp y undverteilungsfunktionfy(y)= i2 DieUberlebens-undHazardfunktionlog-logistischverteilterUberlebenszeitenhabendieForm 1+exp y 1 fur2ir;>0: sowie S(t)=1 FY(log(t))= (t)=t 11+t; 1 1+t;

37 mit=1=>0und=exp( =)Mitlog-logistischerVerteilungkannmanmit1 monotonfallendehazardfunktionenmodellieren,fur>1erhaltmanhazardfunktionen,die 34AUFBAUEINERSTUDIE 31 biszumzeitpunktt=[( 1)=()]1=monotonwachsenunddannmonotonfallenmitGrenzwert in0 ProbandenubereinenlangerenZeitraumDazuwerdenimwesentlichen2TypenvonStudien UmdasUberlebensverhalteneinesBestandeszuuntersuchen,betrachtetmaneineGruppevon 34 AufbaueinerStudie unterschieden RetrospektiveStudien RetrospektiveStudienbetrachtenDatenausderVergangenheiteinerKohorte(MengebeobachteterObjekte)undversuchenanhanddieserDatenAussagenuberdasUberlebensverhalten ProspektiveStudien Volkszahlungresultieren,benutzt,umAussagenuberdieSterblichkeitdieserPopulationtreen SterbetafelfureinebestimmtePopulationzunennenHierwerdenDaten,diemeistauseiner derentsprechendenkohortezutreenalsbeispielwarehierzumbeispieldieerstellungeiner zukonneneinvorteildieserretrospektivenstudienist,dasierelativkostengunstigsind,die stimmtenzeitraum(0;1)rekrutiertunddannubereinenweiterenzeitraum(1;2)weiter ImGegensatzdazuwirdfurprospektiveStudieneineKohortevonProbandenubereinenbe- Datensindjabereitserhoben,undzuschnellenResultatenfuhren prospektivestudiensindtestreihenfureinneuesmedikament,indenenpatientenubereinen beobachtet(sieheabbildung)naturlichistauch1=2moglich(wasbedeutet,dauber bestimmtenzeitraumeinneuentwickeltesmedikament,bzweinplazeboeinnehmenindiesem diegesamtestudiendauerneueprobandenrekrutiertwerdenkonneneintypischesbeispielfur benszeitanzusetzen EinbesonderesProbleminderVerweildaueranalysestellensogenanntezensierteBeobachtungendarEinezensierteBeobachtungisteinObjekt,dasdasterminierendeEreignisnichterlebt, FallwarezBderZeitraumvonBeginnderMedikationbiszurGenesungalszufalligeUberle- BeobachtungentziehtInAbbildung31sinddierechtszensiertenBeobachtungendurchden daesdengesamtenbeobachtungszeitraum(0;2)uberlebt,odersichausanderengrundender MankannverschiedeneArtenderZensierungundTrunkierungunterscheiden: nichtausgefulltenpunktangedeutet Rechtszensierung:EineBeobachtungheitrechtszensiert,wennaufgrundBeendigungdes Zensierung BeobachtungszeitraumskeineAussagedarubergemachtwerdenkann,obdasinteressierendeEreignisbereitsstattgefundenhatodernichtDiesistwohldiebekanntesteArtder

38 32 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Abbildung31:SchematischeDarstellungeinerUberlebensstudie 0 Studienbeginn 1 Studienende 2 t Linkszensierung:EinelinkszensierteBeobachtungisteineBeobachtung,derenBeginnzeit- untersuchenmochteindenwenigstenfallenwerdenhierdieprobandendengenauen nischestudieanfuhren,diedenzeitraumvonhiv-infektionbiszumausbruchvonaids punktunbekanntistalstypischesbeispielhierfurkonntemanzumbeispieleinemedizi- Linkstrunkierung:EinelinkstrunkierteBeochtungisteineBeobachtung,derenBeginnzeitpunktvorStudienbeginn1liegt,aber,imGegensatzzulinkszensiertenBeobachtungen, Infektionszeitpunktwissen einervolkszahlunghieristderbeginnzeitpunkt(geburt)inallenfallenbekannt,aber bekanntisteinbeispielfurlinkstrunkierungistdieerstellungeinersterbetafelaufbasis 35derStudienbeginnistderBeginnderVolkszahlung tungvonlikelihood-schatzerninuberlebenszeitmodellendargestelltwerden(siehekalbeisch IndiesemAbschnittsolleneinigeimmerwiederinderArbeitverwendeteTechnikenzurHerlei- Likelihood-TechnikenfurUberlebenszeitmodelle BestimmungderUberlebensfunktion,sowiedersogenanntePartial-LikelihoodimZentrumder undprentice(1980)[21]seiten119bis142)dabeistehenmaximum-likelihood-ansatzezur Betrachtung werdenundderenuberlebendurchdiehazardfunktion(t;z;)bzwdurchdiedichtefunktionf(t;z;)beschriebenwird,wobeihierz2irpeindasuberlebengenauerspezizierender WirgehenausvoneinerStudiemitinsgesamtnIndividuen,dievomZeitpunkt0anbeobachtet 351Likelihood-KonstruktionfurModellemitunabhangigerZensierung

39 Kovariablenvektoristund2IRpeinParametervektorDiebeobachtetenDatenfurdasi-te 35LIKELIHOOD-TECHNIKENFURUBERLEBENSZEITMODELLE Individuumsindti;i;Zi,hieristtiderZeitpunktdesBeobachtungsendes,idersogenannte 33 Zensierungsindikator,dh undziderbeobachtetekovariablenvektorimfolgendenwerdenwirimmerdavonausgehen, i=(1ereigniszumzeitpunktti daeinunabhangigerzensierungsmechanismusvorliegt(nachdenitionvonkalbeischund 0ZensieruungzumZeitpunktti als festenzeitpunkt(zbstudienende)stattndetwirerhaltendielikelihoodfunktionallgemein Prentice[21]Seite120),derinsbesonderedanngegebenist,wenndieZensierungzueinem (T=ti),dieDichtefunktiondafuristf(ti;Zi;),fallsi=0erhaltenwirdieInformation, (310)kannmanfolgendermaenerklaren:Fallsi=1wissenwir,daeinEreignispassiert L=nYi=1[f(ti;Zi;)iS(ti;Zi;)1 i]: dadasbeobachteteindividuummindestensbiszumzeitpunkttigelebthat(dhtti), zuerhalten,stellenwirdieuberlebensfunktioninabhangigkeitvonderhazardfunktiondar derhazardfunktion(t;z;)(beigegebenem),bzwfurdenparameter(beigegebenem) diewahrscheinlichkeitdafurists(ti;zi;)umnunlikelihood-technikenfurdieschatzung ZunachsthabenwirinSatz(33)gezeigt,dafurdieUberlebensfunktionderZusammenhang giltzumanderenkannmaneineabsolutstetigeuberlebensfunktions(t)inabhangigkeitvon S(t)=exp Zt 0(s;Z;)ds (t)durchfolgendengrenzwertdarstellen: S(t)=lim r!1r 1 Yk=0(1 (ur)ur); mitur=ur+1 urund(ur)ur=p(urt<ur+urjtur) wobeihierdergrenzwertuberallepartitionen0=u0<u1<<ur=tzubildenistund (311) [1]Seiten91-92(311)nenntmanauchProdukt-Integral-DarstellungderUberlebensfunktion gegebenuberlebenbisurderbeweisdergleichung(311)ndetsichinandersenua(1993) diewahrscheinlichkeit,daimintervallvonurbisur+1dasterminierendeereignisstattndet, Dementsprechenderhaltman2verschiedeneDarstellungenfurdieLikelihood-Funktion L f(t)=(t)s(t) = nyi=1[(ti;zi;)is(ti;zi;)is(ti;zi;)1 i] nyi=1[f(ti;zi;)is(ti;zi;)1 i]

40 34 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE nyi=1(ti;zi;)iexp Zti 0(u;Zi;)du = "nyi=1(ti;zi;)i#exp0@ Z1 HieristR(t)diesogenannteRisikomengezumZeitpunktt 0k2R(u)(u;Zk;)du1A: X InderRisikomengeR(t)sindalsoauchalleObjekteenthalten,diezumZeitpunktteinEreignis erlebendiesefeststellungistsehrwichtig,dadierisikomengesoalslinksstetigerstochastischer R(t)=fBeobachtungenmittitg: ProzemitrechtsseitigemGrenzwertbetrachtetwerdenkann(Ristalsovorhersehbar)Analog giltfurdieprodukt-integral-darstellung ImAbschnitt36werdenwirjeeinennichtparametrischenSchatzeraufBasiseinerDarstellung L=nYi=1[(ti;Zi;)ilim r!1r 1 Xk=1(1 (ur)ur)]: Aalen-Schatzer)herleiten deruberlebensfunktionwiein(311)(kaplan-meier-schatzer)sowienachsatz33(nelson- AndieserStellewollenwirdasPrinzipdesPartialLikelihooderlautern,dasspaterbeider SchatzungvonKoezientenimRahmendesProportional-Hazard-ModellseinewesentlicheRollespielenwird Nehmenwiran,dieVerteilungsdichteeinerZufallsvariableXseigegebendurchf(x;;),wobei meistsehrhoch,odersogar,wiespaterimproportional-hazard-modell,unendlichistaufbasis hierderinteressierendeparameterundeinunbekannterstorparameter,dessendimension 352PartialLikelihood A1;B1;A2;B2;;Am;BmundseiA(j)=(A1;;Aj),sowieB(j)=(B1;;Bj) menwirnunan,diebeobachtetendatenywerdennuntransformiertinzweivariablenmengen einerbeobachtungywollenwirnunaussagenuberdieverteilungdesparameterstreenneh- Angenommen,diegemeinsameDichtevonA(m)undB(m)latsichdarstellenals myj=1f(bjjb(j 1);a(j 1);;)mYj=1f(ajjb(j);a(j 1);): Dannnenntmanden(vonunabhangigen)zweitenTermPartialLikelihoodbasierendauf alswahrscheinlichkeitinterpretiertwerdendiefunktionsweisedespartiallikelihoodsollmit ADieserTermistkeineLikelihoodfunktionimherkommlichenSinn,dherkannnichtdirekt HilfedesfolgendenBeispielserlautertwerden

41 undjsp2j=melementenwirbeobachten(nachstichprobenunterteilt)wievieleereignissein Beispiel34IndiesemBeispielbetrachtenwir2Stichproben,SP1undSP2,mitjSP1j=n 35LIKELIHOOD-TECHNIKENFURUBERLEBENSZEITMODELLE 35 sierendiesebeobachtungenkonnenwirmitdemdatensatza1;b1;a2;b2;a3;b3beschreiben (sieheabbildung31),wobei jeeinemder3disjunktenintervalleni1=[c0=0;c1),i2=[c1;c2),sowiei3=[c2;c3=1)pas- Gehenwirdavonaus,dafurinSP1furdieWahrscheinlichkeit,dainIntervallIkk= Bk=#EreignisseinIntervallIkgesamt Ak=#EreignisseinIntervallIkStichprobe1 f1;2;3gdasereignispassiert,gegebenuberlebenbisck, gilt p1=p(ckt<ck+1jtck;sp1);k2f1;2;3g; undinsp2fur p2=p(ckt<ck+1jtck;sp2)k=f1;2;3g 1 p1=ke gilt derzusammenhang 1 p2=k StichprobeGesEreigUberlbisc1GesEreigUberlbisc2 1 I1 I2 Ges I3 2 mn a1 r1 n-a1 n-a2 a2 n-a1-a2 n-a1-a2ereig b1 m-r1 m-r1 r2 b2 m-r1-r2 m-r1-r2 a3 r3 Tabelle31:BeobachteteUberlebenszeiteninBeispiel34 b3 despartial-likelihooderhaltmandannalsbedingtewahrscheinlichkeit,daimintervalli1a1 EreignisseinSP1beobachtetwerdenkonnen,unterderBedingung,dainsgesamtb1Ereignisse HieristderinteressierendeParameterundkk=1;2;3derStorparameterDenerstenFaktor passieren P(A1=a1jB1=b1)=P(A1=a1;B1=b1) = na1pa1 P(B1=b1) = na1p11 Pl nlpl11(1 p11)n l m 11(1 p11)n a1 m 1 p11a1(1 p11)n m b1 a1pb1 a1 b1 lpb1 l b1 a1p (1 p12)m (b1 l) (1 p12)m (b1 a1) Pl nlp11 1 p11l(1 p11)n m b1 lp12 1 p12b1 a1(1 p12)m 1 p12b1 l(1 p12)m

42 36 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE = na1a1 = na1 m Pl nllkel m 1ea1 m b1 a1b1 a1 P nl m b1 a1ea1 b1 lel: b1 lb1 l 1k Mansieht,daderStorparameter1indiesemTermgekurztwerdenkannFurdenzweiten FaktorerhaltenwirP(A2=a2jB1=b1;A1=a1;B2=b2)= n a1 undschlielichp(a3=n a1 a2jb1=b1;a1=a1;b2=b2;a2=a2;b3=b3)=1: P n a1b2 a2ea2 a2 m r1 l m r1 b2 lel Proportional-Hazard-ModellRegressionskoezientenfurdieHazardfunktionschatzen MiteinerahnlichenKonstruktionwieinBeispiel34werdenwirspaterimsemiparametrischen SchatzungderUberlebensfunktionDieSchatzmethodenleitenwirmitdenimvorherigenAb- IndiesemAbschnittbetrachtenwir2unterschiedliche,nichtparametrischeAnsatzefurdie 36 SchatzenderUberlebensfunktion tentodeszeitpunkte,sowiediemengedergeordnetenendzeitpunktederbeobachtungen(mit moglichenzensierungen)benotigen,treenwirnunfolgendekonvention:mitt1<t2<<tk schnittdargestelltenlikelihood-technikenherdawirimfolgendenoftdiemengedergeordne- bezeichnenwirdiemengedergeordnetenzeitpunkte,andeneneinereignispassiert,mitt1 tndiemengederendzeitpunktederbeobachtungenineinergeordnetenstichprobeder 361DerProdukt-Limit-Schatzer(KaplanundMeier) Indexn Langen,dhimerstenFallindizierenwirdieZeitpunktebiszumIndexk,imzweitenbiszum DerProdukt-Limit-Schatzer(KaplanundMeier,1958)[22]istwohlderbekanntesteundam haugsteneingesetzteschatzerfurdieuberlebensfunktionmitdiesemschatzerwerdenan denzeitpunktenti,i=1;;k,andeneneinereignisstattndet,diezugehorigenhazards i=(ti);i=1;;k,geschatztausderdiskretenapproximation desprodukt-integrals(311)resultiertdanndieprodukt-limit-schatzungfurdieuberlebensfunktionnunmussenwirnochi;i=1;;k,schatzen tit(1 i) S(t)=lim r!1r 1 Yk=0(1 (ur)ur)y Seiennunt1<t2<<tkdieZeitpunkte,andeneneinterminierendesEreignisstattndet und Ri:=fbeobachteteObjektemitTtigi=1;;k;

43 36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION sowie Di:=fbeobachteteObjektemitT=tigi=1;;k; 37 Wahrscheinlichkeit,dadivonniObjektendasterminierendeEreignisamZeitpunkttierleben, AlsLikelihoodfunktion(inAbhangigkeitvondemdiskretenHazardizumZeitpunktti)furdie mitdi=jdijundni=jrij erhaltman Seinun Li(i)=[f(ti)]di[S(ti)]ni di L()=kYi=1Li(i)=kYi=1di [S(ti)]ni =di i(1 i)ni di i(1 i)ni di: derzugehorigelog-likelihoodmitableitungnachi und LL()=log(L())=kXi=1(dilog(i)+(ni di)log(1 i)) DieserTermwird0fur^i=di=ni,sodadieProdukt-Limit-SchatzungfurdieUberlebensfunktiongegebenistdurch i+di ni Varianzvon^SKMkannmanmitderFormelvonGreenwood(1926)[18] ImfolgendenbetrachtenwirnochkurzeinigeEigenschaftendesKaplan-Meier-SchatzerDie ^SKM(tk)=kYi=1(1 ^i) (312) bestimmenaufbasisasymptotischernormalitat,diewirabschnitt362furdennelson-aalen- dvar[^s(t)km]=^skm(t)xtitri(ri di) zintervallefur^s(t)angebendazubenotigenwirnochfolgendenotation Schatzernochgenaueruntersuchenwerden,kannmannunpunktweise100(1 )%-Konden- Damiterhaltenwirals100(1 )%KondenzintervallzumZeitpunktt0 2s(t)=dVar[^S(t)] ^S2(t): wobeic1 =2das1-=2-QuantilderStandardnormalverteilungist [untereschranke;obereschranke]=[^s(t0) c1 =2S(t0)^S(t0)+c1 =2S(t0)^S(t0)];(313) (313)deniertezufalligeIntervallzujedemZeitpunktt0mit(1 =)100%-igerWahrscheinlichkeitden(wahren)WertderUberlebensfunktionSanderStellet0beinhaltet Bemerkung:PunktweisesKondenzintervallbedeutetimdiesemZusammenhang,dadasin

44 38 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Anteil Ueberlebende Abbildung32:Kaplan-Meier-Schatzermitzugehorigen95%-Kondenzintervallen Schatzerserlautertwerden(+stehtfurZensierung) Beispiel35MitfolgendemktivenZahlenbeispielsolldieFunktionsweisedesKaplan-Meier- Tage BeobachteteLebensdauern:2,2,3,5+,6,6,7+,7+,8,9,10,10,10+,10+,10+(Anzahlder aufgefuhrt InTabelle32sinddiegeschatztenKoezenten,sowiediegeschatzten95%Kondenzintervalle Beobachtungenn=15) ṫ inidi 2 15=0:867 ^SKM(ti)untSchr(95%)obSchr(95%) (1 215)(1 113)=0: (1 2 15)(1 211)=0:655 15)(1 17)=0: (1 2 2(1 2 15)(1 16)=0:468 15)(1 25)=0: Tabelle32:GeschatzteWertederUberlebensfunktion(Kaplan-Meier-Schatzer) 0714

45 36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION InAbbildung32erkenntman,daderKaplan-Meier-SchatzereineStufenfunktionmitSprungen andenbeobachtetentodeszeitpunktenistderkaplan-meier-schatzeristnachuntenverzerrt 39 S(t)EsgibtverschiedeneMoglichkeiten,diesenSchatzerherzuleiten,imfolgendensollhier, DerNelson-Aalen-SchatzeristeinalternativerAnsatzfurdieSchatzungderUberlebensfunktion 362DerNelson-Aalen-Schatzer vorgestelltwerdennelson(1972)[31]schlugdiesenschatzerimrahmeneinesartikelsuber graphischemethodenzurdarstellungderhazardfunktionvorseient1tndiegeordneten analogzumprodukt-limit-schatzer,dienichtparametrischemaximum-likelihood-herleitung DieWahrscheinlichkeitdafur,daeinIndividuumzumZeitpunkttidasterminierendeEreignis fallsbeobachtungzensiert,i=1sonst) EndzeitpunktederBeobachtungenundidiezugehorigenZensierungsindikatoren(dhi=0 erlebt,ist DamiterhaltmanalsLikelihoodfunktion f(ti)=(ti)s(ti)=(ti)exp[ (ti)]: UmdiesenLikelihoodzumaximieren,betrachtenwirdiediskretenHazardratenii=1;;k zudenzeitpunktent1<<tk,andeneneinereignispassiertseimitriwiederumdie L((t))=nYi=1(ti)iexp( (ti)): RisikomengezumZeitpunkttibezeichnetundseijRij=niDannreduziertsichderLikelihood mitzugehorigemlog-likelihood L((t))=kYi=1iexp( (ti))=kyi=1[iexp( X tjtij)]=kyi=1iexp( X j2rij); undableitung LL()= kxi=1log(i) j2rij ni: sodadernelson-aalen-schatzerfurdieuberlebensfunktiondeniertistals Bemerkung:FallsaneinemZeitpunktmehrereEreignissestattnden,wirdderSchatzerfurdie ^SNA(t)=exp( Xtit^i): (314) Hazardfunktionmodiziertzu:^i=di=ni,wobeididieAnzahlderEreignissezumZeitpunktti

46 40 zahlt KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE AsymptotischeEigenschaftendesNelson-Aalen-Schatzers UmasymptotischeEigenschaftendesNelson-AalenSchatzerszubeweisen,bedientmansich eineranderenherleitungbetrachtetmannamlichdenzahlproze (SummederTotenzumZeitpunktt),wobeijedesObjektmitderIntensitat(s)ausscheidet SeinunR(s)dieAnzahlderbebachtetenObjektezumZeitpunkts,soist N(t)=nXi=1I(Tit) M(t)=N(t) Zt sofort,damann(t)alssummenunivariaterzahlprozessedarstellenkann einmartingalbzglderkanonischen,dhdervonm(t)erzeugtenfiltrationftdiessiehtman 0(s)R(s)ds (315) mit Yi(t)=(1fallsObjektzumZeitpunkttunterBeobachtung N(t)=nXi=1Yi(t)Ni(t); und 0sonst NinimmtalsodieWerte0oder1anNachderDenitiondesvorhersehbarenIntensitatsprozesses furzahlprozesseist EZ1 Ni(t)=#EreignissedesObjektesi: furallevorhersehbarenprozessehundallei21;nerfulltinsbesonderealsoauchfurden 0H(u)(u)du=EZ1 0H(u)dNi(u) vorhersehbarenprozei(sut)nxi=1yi(u)=r(u)i(sut) undwirerhaltenfurs<t EN(t) Zt 0(u)R(u)dujFs (316) Satz2:2 EN(t) N(s)+N(s) Zs EN(t) N(s) Zt s(u)r(u)dujfs+n(s) Zs 0(u)R(u)du+Zt s(u)r(u)dujfs E"nXi=1Zt syi(u)dni(u) Zt syi(u)(u)dujfs#+n(s) Zs 0R(u)(u)du (3:16) = N(s) Zs 0R(u)(u)du; 0R(u)(u)du

47 36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION womitdiemartingaleigenschaftgezeigtware 41 Mit wobeidm(t)alszufalligesrauschenzubetrachtenist,erhaltmanalsschatzerfur(t) dm(t)=dn(t) (s)r(s); sodamanfurdenkumulativenhazard(t)denschatzer ^(t)=dn(t) R(t); angebenkannseiennunwiederumt1<<tkdiegeordnetentodeszeitpunkte,danngilt ^(t)=zt 0R(s)dN(s) 1 (317) sodasich(317)reduziertzu dn(t)=(1furt=tii=1;;k 0sonst ^(t)=x i:tit1 ; SchlielichseinochdieZufallsvariableJ(t)=I(R(t)>0)eingefuhrt,sowie R(ti): (318) (t)=zt lentenotationbenutzen: DaderZahlprozeN(t)nurdannspringt,wennR(t)>0kannmanfur(317)folgendeaquiva- 0(s)J(s)ds: AusderTatsache,daR(t)einvorhersehbarerProzeist,folgtmitSatz229,da ^(t)=zt 0J(s) R(s)dN(s): ^(t) (t)=zt 0J(s) R(s)dN(s) Zt R(s)d(N(s) Zs 0(s)J(s)ds einlokalesmartingalistnachsatz235hat^ denvorhersehbarenvariationsproze 0(u)R(u)du)=Zt 0J(s) R(s)dM(s) DadervorhersehbareKompensatorprozevon^ist,giltfurdenErwartungswert h^(t) (t)i=zt 0J(s) R(s)2(s)R(s)dsJ2(s)=J(s) = Zt 0J(s) R(s)(s)ds: E(^(t))=E((t))=Zt 0(s)P(R(s)>0)ds:

48 42 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Anteil Ueberlebende Kaplan-Meier Nelson-Aalen Darausfolgt,dadieVerzerrungb(^(t))desSchatzergegebenistdurch Abbildung33:VergleichvonKaplan-MeierundNelson-Aalen-Schatzer b(^(t))=e(^(t)) (t)=zt 0(s)P(R(s)>0)ds Zt Tage =Zt 0(s)[P(R(s)>0) 1] = P(R(s)=0) {z } ds= Zt 0(s)P(R(s)=0)ds0 0(s)ds= Meier-Schatzer^SKM(t)(312)nachobenverzerrtistundesgilt dadernelson-aalen-schatzer^sna(t)furdieuberlebensfunktionimgegensatzzumkaplan- DadieUberlebensfunktioneinemonotonfallendeFunktioninAbhangigkeitvon(t)ist,folgt denn ^SNA(t)=exp( Xtit^i)=Y ^SKM^SNAfurallet =Y tit(1 ^i+^2i ^3i+ tite ^i Y tit(1 ^i)=^skm(t): 0 {z }) InderPraxiserweistsichjedochfurgroeDatensatzedieVerzerrungalsvernachlassigbargering, inabbildung33wirderkenntlich,daschonfurdasktivebeispielzumkaplan-meier-schatzer

49 36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION dieabweichungenrelativgeringsind 43 onsprozevon^ MitHilfevonSatz235erhaltman: AlsSchatzerfurdieVarianzderkumulativenHazardfunktion(t)dientderoptionaleVariati- mit ^2(t)=[^(t) (t)]=zt M(s)=N(s) Zs 0J(s) R(s)dM(s)=Zt 0J(s) 0(u)R(u)du: (R(s))2dN(s); (319) R(n)diezugehorigeFolgederRisikomengen,mitJ(n)(t)dieFolgederProzesseI(R(n)(t)>0) zeigendazubetrachtenwireinefolgevonzahlprozessenn(n)desweiterenbezeichnenwirmit MitHilfedieserVorbereitungenkannmannundieKonvergenzdesNelson-AalenSchatzers undmit^(n)und(n)dieprozesse (n)(t)=zt ^(n)(t)=zt 0(s)J(n)(s)ds: R(n)(s)dN(n)(s); 1 Satz36(Konsistenzvon^)Seit2Tundgeltefurn!1 sowie Zt Zt 0J(n)(s) 0(1 J(s)(n))(s)ds!P0furn!1 R(n)(s)(s)ds!P0furn!1 (320) danngiltfurn!1 s2[0;t]j^(n)(s) (s)j!p0: sup (321) Beweis: MitHilfederZerlegungvonsups2[0;t]j^(n)(s) (s)jin s2[0;t]j^(n)(s) (s)j=sup sup s2[0;t]j^(n)(s) (n)(s)+(n)(s) (s)j zeigtmanzunachstmithilfederungleichungvonlenglart,dagilt s2[0;t]j^(n)(s) (n)(s)j+sup s2[0;t]j(n)(s) (s)j; P(sup s2[0;t]j^(s)(n) (n)(s)j>)2+p 8 ><>: Z!0nachVor(320)> 0J(n)(s) tr(n)(s)(s)ds {z } 9 >=>; =)sup s2[0;t]j^(n)(s) (n)(s)j!p0:

50 44 Mit(321)erhaltmandirekt KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE sodadieaussagegezeigtist s2[0;t]j(n)(s) (s)j=zt sup 0(1 J(n)(s))(s)ds!P0; furn!1 Bemerkung:DieBedingungen(320)und(321)sindoensichtlicherfullt,wennR(n)(t)!12 MitfolgendemSatzwirddieasymptotischeNormalitatdesNelson-Aalen-Schatzersgezeigt neny(),soda() Satz37(AsymptotischeNormalitat)Seit2Tundangenommen,esgibteinemonoton wachsendefolgepositiverkonstantenan,mitan!1furn!1undnicht-negativefunktio- y()inganz[0,t]integrierbaristsei undseienfolgendebedingungenerfullt 2(s)=Zs 0(u) y(u)du AFurjedess2[0;t]gilt BFuralle">0gilt a 2nZs 0J(n)(u) a2nzt 0J(n)(u) R(n)(u)(u)du!P2(s)furn!1: C anztr(n)(u)(u)du!p0furn!1: Danngilt 0(1 J(n)(u))(u)du!P0furn!1: Zudemgilt wobeiueinmartingalist,dessenzuwachseunabhangign(0;2(t s))verteiltsindfurs<t an(^(n) )!DUfurn!1; 192 Beweis:DieasymptotischeNormalitatwirdbewieseninAndersenua(1993)[1]Seiten191und s2[0;t]ja2n^2(s) 2(s)j!P0furn!1: sup intervallefurdiekumulativehazardfunktionangeben(bieundborgan(1987)[5])zunachst AusderasymptotischenNormalitatdesNelson-Aalen-Schatzers^(t)kannmannunKondenz- KondenzintervallefurdenNelson-Aalen-Schatzer

51 solleinpunktweiseskondenzintervallfurzueinemfestenzeitpunktt0bestimmtwerden 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 45 vallfurdenkumulativenhazard(t0)^(t0)c=2^(t0); AusderasymptotischenNormalitatdesNelson-Aalen-SchatzerserhaltmanalsKondenzinter- wobeihierc=2das1-=2-quantilderstandardnormalverteilungund^(t0)dienach(319) geschatztevarianzdesnelson-aalen-schatzerseszeigtsichjedoch,dafurkleinestichprobengrossendersodenierteschatzereinerelativungenaueapproximationdeskondenzintervallesliefertdaherwurdenmithilfederfunktionalen-methode(siehezbgill(1989)[17]tenfurkleinestichprobengroenhabennachderfunktionalen-methodegiltfureineineiner TranformationenfurdesKondenzintervallentwickelt,diebessereasymptotischeEigenschaf- Umgebungvon(t0)dierenzierbareFunktiong(x)mitg(x)6=0furx=(t0)da Als100(1 )%KondenzintervallfurdietransformierteHazardfunktiong((t0))erhaltman g(^(t0)) g((t0)) jg0(^(t0))j^(t0)!dn(0;1): daher FurdielogarithmischeTransformationmitg(x)=log(x)erhaltmanalsKondenzintervallfur dentransformiertenkumulativenhazardlog((t0)) g(^(t0))c=2jg0(^(t0))j(t0): sodadaskodenzintervallfurdiekumulativehazardfunktion(t0)gegebenistdurch log(^(t0))c=2^(t0) ^(t0); EineweiterewichtigeTransformationistdiearcsin-TransformationGenauereshierzukannman ^(t0)exp c=2^(t0) ^(t0)!: in[5]nachlesensimulationenhabengezeigt,dasowohldielogarithmische,alsauchdiearcsin- TransformationdeutlichbessereEigenschaftenfurkleineStichprobengroenhaben(Borganund Liestl(1990)[6]) 371Modellierung DasProportional-Hazard-Modell BisjetztwurdennurnichtparametrischeSchatzerderUberlebensfunktionbetrachtetImfolgendensolleinsemiparametrischesRegressionsmodellvorgestelltwerden,dassogenannteProportional-Hazard-ModellDasProportional-Hazard-Modellgehtdavonaus,dadieHazardfunktion

52 46 einesindividuumsabhangigistvoneinerallenindivuduenzugrundeliegendenbasis-hazard- Funktion0(t)undeinemeventuellzeitabhangigenKovariablenvektor KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE DasProportional-Hazard-Modellistdanngegebendurch: Z(t)=(Z1(t);;Zp(t))t2IRp: wobei=(1;;p)2irpdenvektorderzuschatzendenregressionskoezientendarstellt (tjz(t))=0(t)exp(pxi=1izi(t)); DieSchatzungderKoezientenerfolgtdurchdensogenanntenPartial-LikelihoodDieseTechnik wurdevoncox(1975)[10]furdasproportional-hazard-modellvorgeschlagenundermoglichtes deliegendenbasis-hazardbenotigt denregressionskoezientenzuschatzen,ohnedamandazuinformationenuberdenzugrun- beobachtetepersonstirbtunterderbedingung,daeinereignisandiesemzeitpunktpassiert wiranjedemzeitpunkt,andemeinereignispassiert,diebedingtewahrscheinlichkeit,dadie DieHerleitungdesPartial-LikelihooderfolgtnunahnlichwieinBeispiel34Dazubetrachten Seient1<<tkdiegeordnetenTodeszeitpunkteundRidieRisikomengezumZeitpunktti, FurjedenbeobachtetenTodeszeitpunktistdieWahrscheinlichkeit,dadieausgeschiedenePersonzumZeitpunkttistirbt,gegebeneinToterzumZeitpunktti: P(PersonstirbtzumZeitpunkttijeinToterzumZeitpunktti)= P(PersonstirbtzumZeitpunkttijuberlebtbisti ) P(EinToterzumZeitpunkttijuberlebtbisti )= ModellierungbeobachtenwirfastsichergenaueinEreignisproZeitpunkttii=1;;k sowiezi(ti)=(zi1(ti);;zip(ti))derzugehorigekovariablenvektoraufgrundderzeitstetigen DerPartialLikelihoodistnunalsProduktdieserWahrscheinlichkeitendeniert: Pj2Ri0(ti)exp[tZj(ti)]= 0(ti)exp[tZi(ti)] Pj2Riexp[tZj(ti)]: exp[tzi(ti)] und L()=kYi=1Pj2Riexp[tZj(ti)] exp[tzi(ti)] LL()=log(L())=kXi=1tZi(ti) kxi=1[log(x densogenanntenscore-vektor: derzugehorigelog-likelihoodumdielikelihood-funktionzumaximierenbenotigtmannoch j2r(ti)tzj(ti))] (323)

53 sowiediematrixderzweitenableitungen: 1 CA2IRpp: NunkannmittelsnumerischerVerfahren(zumBeispielVerfahrenvonNewton-Raphson)die EigenschaftendesSchatzerseingehenwerdenwirgenauerinAbschnitt374eingehen schreibungdiesesverfahrenskannmaninklein(1997)[25]anhanganachlesenaufwichtige NullstellevonU()bestimmtwerden,dhderPartial-LikelihoodmaximiertwerdenEineBe- 372PartialLikelihoodmit\ties" ObwohldieWahrscheinlichkeitdafur,dazweiodermehrEreignisse(\ties")zumselbenZeitpunktpassieren,Nullist,wirdmaninderPraxis,aufgrundbegrenzterGenauigkeitinderZeitmessung,oftmitDatensatzenkonfrontiert,indenenmehrereEreignisseaneinunddemselben Fall,dagenaueinEreignisproZeitpunktpassiert,vorgenommenwurde,beschaftigtsichdieser ZeitpunktpassierenWahrendinKapitel371dieHerleitungdesPartialLikelihoodfurden prozeitpunkt Seiennunwiederumt1;;tkdiegeordnetenZeitpunkte,andeneneinEreignispassiert,Didie TeilmitverschiedenenTechnikenzurBestimmungdesPartialLikelihoodfurmehrereEreignisse MengederTotenzumZeitpunkttimitdi=jDijundRidieRisikomengezumZeitpunkttiSei nunzusatzlich: (q1;;qdi)tausqiseinun diemengeallerteilmengenderrisikomengemitgenaudielementenfurjedeselementq= Qi=fMRijjMj=dig diesummederkovariablenvektorenuberalleelementeausqfurdiemengedidenierenwir sq(ti):=di Xj=1Zqj(ti) mit diezugehorigesummederkovariablenallerobjekte(insgesamtdi),diezumzeitpunkttisterbenmankannanalogzu(322)dendiskretenpartial-likelihood,dhdiewahrscheinlichkeit, sterben,herleiten L1()=kYi=1Pq2Qiexp(tsq(ti)): exp(ts(ti)) s(ti):=x j2dizj(ti) dazujedemzeitpunkttigenaudiebeobachtetenpersonensterben,gegebendadipersonen (324)

54 48 Furgroe\ties"erweistsichdieMaximierungvon324alsnumerischzuaufwendig,daQi jrij KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE wurdenverschiedeneapproximationenentwickeltdieerste,hiermitl2()bezeichnet,wurde ElementeenthaltUmdenPartialLikelihoodzumindestnaherungsweisebestimmenzukonnen, jdij vonbreslow(1974)[8]vorgeschlagen DieApproximationvonEfron(1977)[12]furdendiskretenPartialLikelihood(L3())istgegeben L2()=kYi=1[Pj2Riexp(tZj(ti))]di: exp(ts(ti)) (325) durch 373SchatzungdesBasis-Hazards(Breslow) L3()=kYi=1Qdi j=1[pr2riexp(tzr(ti)) j 1 exp(ts(ti)) dipr2diexp(tzr(ti))]: (326) KoezientenschatztNunsolldiezugrundeliegendeHazard-FunktiongeschatztwerdenDie GrundlagehierfuristeinLog-Likelihood-Ansatz,ahnlichdemzurBestimmungdesNelson- InAbschnitt371wurdenTechnikengezeigt,wiemanohneKenntnisdesBasis-Hazardsden bachtetendaten(t1;1);;(tn;n),wobeihierwiederumtidasbeobachtungsendeundider Aalen-Schatzers(314) UmdenSchatzerzuerhalten,maximiertmandenLikelihoodinAbhangigkeitvondenbe- Zensierungsindikatorist Gehenwirnundavonaus,dadieSchatzung^desKoezientenvektorsbereitsmitdem L(0(t))=nYi=1[0(ti)exptZi(ti))]iexp[ 0(ti)exp(tZi)]: Partial-Likelihood-AnsatzdurchgefuhrtwurdeAnalogzurHerleitungvon(314)erhaltman durchmaximierungdeslog-likelihood(unterverwendungdesschongeschatztenparameters ^)densogenanntenbreslow-schatzerfurdenkumulativenbasis-hazard0(t)=rt00(s)ds Hiersindt1<<tkdiegeordnetenZeitpunkte,andeneneinEreignispassiert,didieAnzahl ^0(t)=XtitPj2Riexp(^tZj(ti)): di (327) 374AsymptotischeEigenschaften derereignissezumzeitpunktti,sowieridierisikomengezumzeitpunktti denwahrenwert0,sowieasymptotischeaussagenuberdieverteilungvon^schlielichzeigen wirnochdiekonvergenzdesbreslow-schatzersfurdenbasis-hazardderbeweisfolgtder IndiesemAbschnittbeweisenwirdieKonvergenzdesgeschatztenRegressionsparameter^gegen ausdermartingaltheorie,wobeiwiederumdergrenzwertsatzfurmartingalevonrebolledo(satz DarstellungvonAndersenundGill(1982)[2]DabeibedientmansicherneuteinigerAussagen

55 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL )unddieUngleichungvonLenglart(Satz237)einezentraleRollespielenUmasymptotische Eigenschaftenzubeweisen,betrachtenwireineFolgemultivariaterZahlprozesseN(n) i(t)der ZeitparametertnimmtWerteauseinemkompaktenIntervallan,dhoEt2T=[0;1],wobei N(n) i(t)diebeobachtetenereignissefurindividuumizumzeitpunkttzahltjedekomponente dessodeniertenzahlprozesseshatdenintensitatsproze(n)(t)=((n) 1(t);(n) 2(t);;(n) n(t)), mit (n) i(t)=y(n) i(t)0(t)exp(t0z(n) i(t)); (328) wobeiz(n) i(t)derkovariablenvektorfurindividuumiist,02irpderzuschatzenderegressionskoezientundy(n) i(t)einvorhersehbarerindikatorprozemit Y(n) i(t)=(1i-tesobjektzumzeipunkttunterbeobachtung 0sonst : InsbesonderespringtderZahlprozeN(n) i(t)nurdann,wenny(n) i(t)=1dieseformulierung isteineerweiterungdesursprunglichenmodellsvoncox,dahiermehrereereignisseproobjektbeobachtetwerdenkonnenfurdiemodellierungdesubergangs\lebendig-tot"nimmtder ZahlprozenurWerteausf0;1gan DaRt0(n) i(s)dsdervorhersehbarekompensatordeszahlprozessesn(n) i(t)ist,kannmannun einefolgelokalquadratintegrierbarermartingalem(n)(t)=(m(n) 1(t);M(n) 2(t);;M(n) n(t))auf demintervall[0;1]denierenm(n) i(t)=n(n) i(t) Zt 0(n) i(u)du; (329) dienachsatz235dievorhersehbaren(ko)variationsprozesse hm(n) i;m(n) ji(t)=ijzt 0(n) i(u)du besitzen,dhdiemartingalem(n) i(t)undm(n) j(t)sindorthogonalfuri6=j ImFolgendenwerdendiehochgestelltenIndizes(n)weggelassenMitdiesemZahlprozemodell latsichjetztderpartial-likelihood(322)verallgemeinern LL(;t)=nXi=1Zt 0tZi(s)dNi(s) Zt 0logfnXi=1Yi(s)exp(tZi(s))gdN(s); (330) wobei N(s)=nXi=1Ni(s): Manerkennt,dadasModell(322)LL(;1)nachdemZahlprozemodellentsprichtDergeschatzteParameter^istdanndieLosungderGleichungU(;1)=(@=@)LL(;1)=0,wobei U(;t)=nXi=1Zt 0Zi(s)dNi(s) Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(tZi(s))dN(s):

56 unterzuhilfenahmedernegativsemidenitenmatrixderzweitenableitungen 50 Pni=1Yi(s)Zi(s)Zi(s)texp(tZi(s)) =Zt 024 Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(tZi(s))! Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(tZi(s))!t Pni=1Yi(s)exp(tZi(s)) #dn(s) numerischlosenkann (331) Korollar38FurdenwahrenRegressionskoezienten0hat(@=@)LL(;t)folgendeDarstellung: MartingalalsIntegratorhergeleitet ImfolgendenKorollarwirdfurdenParameter0U(0;1)alsstochastischesIntegralmitlokalem mit U(0;t)=nXi=1Zt 0Zi(s)dMi(s) Zt Mi(t)=Ni(t) Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(t0Zi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s))dM(s); (332) und M(t)=nXi=1Mi(t): 0i(s)ds Beweis: Umzuzeigen,da(332)gilt,mumanU(0;t)folgendermaendarstellenkonnen: U(0;t)=nXi=1Zt Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(t0Zi(s)) 0Zi(s)d(Ni(s) Zs Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s))d(N(s) nxi=1zs 0i(u)du) MitdenZusammenhangaus(328)zeigtmannun,da 0i(u)du): nxi=1zt 0Zi(s)di(s)=Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s))d(nXi=1Zs Zt 0nXi=10(s)Yi(s)exp(t0Zi(s))ds=Zt () 0i(u)du) 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s)) nxi=10(s)exp(t0zi(s))yi(s)ds:

57 DieIntegraleaufderrechtenundlinkenSeitesindgenaudanngleich,wennderIntegrandfur alletgleichist,sodazuzeigenbleibt,da 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 51 DiesistoensichtlichderFall,sodadieAussagegezeigtist nxi=10(s)yi(s)zi(s)exp(t0zi(s))=pni=1yi(s)zi(s)exp(tzi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s)) nxi=10(s)exp(t0zi(s))yi(s): HerleitungderasymptotischenAussagenoftbenotigtwerden ImfolgendenseiennunnocheinigewichtigeDenitionenundBedingungendeniert,diebeider 2 sinddienormenkak=supi;jjai;jj,kak=supijaij,sowiejaj=patadeniertweiterewichtige Denition39FureineMatrixAmitElementenai;jsowiefureinenVektora=a1;;an Denitionensind: S(0)(;t)=1nnXi=1Yi(t)exp(tZi(t))2T7!IR; S(1)(;t)=1nnXi=1Zi(t)Yi(t)exp(tZi(t))2T7!IRp; S(2)(;t)=1nnXi=1Zi(t)Zi(t)tYi(t)exp(tZi(t))2T7!IRpp; V(;t)=S(2)(;t) E(;t)=S(1)(;t) S(0)(;t) E(;t)E(;t)t 2T7!IRp; Bemerkung:S(0)istalsoeinstochastischerProze,der,daYi(t)undZi(t)vorhersehbarsind, 2T7!IRpp: Bedingungen: MatrixmitvorhersehbarenProzessenalsEintragen ebenfallsvorhersehbarists(1)isteinp-variatervorhersehbarerprozeunds(2)einepp- A(EndlichesIntervall)R100(t)dt<1 B(AsymptotischeStabilitat)EsgibteineNachbarschaftBvon0undFolgenskalar-, matrix-undvektorwertigerfunktionens(0);s(1);s(2),deniertaufb[0;1],sodafur j=0;1;2gilt C(Lindeberg-Bedingung)Esgibtein>0,soda t2[0;1];2bks(j)(;t) s(j)(;t)k!p0: sup pnsup 1i;tjZi(t)jYi(t)Ift0Zi(t)> jzi(t)jg!p0:

58 52D(AsymptotischeRegularitats-Bedingungen)SeienB,s(0),s(1)unds(2)gegebenwiein KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE BedingungBunde=s(1)=s(0),sowiee=s(1)=s(0)undv=s(2)=s(0) eetfuralle2b s(0);s(1);s(2)seienbeschranktinb[0;1];s(0)6=0aufb[0;1]unddiematrix seipositivdenit =Z1 0v(0;t)s(0)(0;t)0(t)dt konkaverfunktionenaufb,soda8x2b;fn(x)!pf(x)furn!1,wobeif(x)einebeliebige Korollar310SeiBeineoenekonvexeMengeimIRpandF1;F2;;eineFolgezufalliger ZuletztwirdnocheinKorollarausderkonvexenAnalysisbenotigt: reellwertigefunktionist,dannistfauchkonkavundfurallekompaktenmengenabgilt: FallsfgenaueinMaximumin^x2BhatunddieZufallsvariable^XndieFunktionFnmaximiert, x2ajfn(x) f(x)j!p0furn!1: sup Beweis: danngilt: ^Xn!P^xfurn!1: Satz311(Konsistenzvon^)FallsdieBedingungenA,BundDgelten,dannkonvergiert^ inwahrscheinlichkeitgegen0furn!1 DerBeweisndetsichzumBeispielinAndersenundGill(1982)[2]Seite Beweis: BetrachtediefolgendermaendeniertenProzesseXundA: X(;t):=1n(LL(;t) LL(0;t)) =1n"nXi=1Zt 0( 0)tZi(s)dNi(s) Zt 0log S(0)(0;u)!dN(s)#; S(0)(;u) A(;t):=1n"nXi=1Zt =Zt 0"( 0)tS(1)(0;u) log(s(0)(;u) 0( 0)tZi(u)i(u)du Zt 0log(S(0)(;u) S(0)(0;u))(u)du# S(0)(0;u))S(0)(0;u)#0(u)du;

59 mit 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 53 (u)=nxi=1i(u)=0(u)nxi=1yi(u)exp(t0zi(t)) FurjedesistnachDenition=0(u)nS(0)(0;u): X(;t) A(;t)=1nnXi=1"Zt 0"( 0)tZi(u) log(s(0)(;u) S(0)(0;u))#d(Ni(u) Zu 0i(s)ds)# einstochastischesintegralmitvorhersehbaremprozealsintegrandunddemlokalenmartingal undhatnachsatz235folgendenvorhersehbarenvariationsproze: Ni() R0i(s)dsalsIntegratorNachSatz229istX AdemnachselbsteinlokalesMartingal hx(;t) A(;t)i=1n2nXi=1Zt =1nZt 0[( 0)tZi(u) log(s(0)(;u) S(0)(0;u))]2d(Zu 0( 0)tS(2)(0;u)( 0) 0i(s)ds) i(u) {z } du 2( 0)tS(1)(0;u)log +"log S(0)(0;u)!#S(0)(0;u)0(u)du S(0)(;u) S(0)(;u) NachdenVoraussetzungenA,BundDgiltfuralle2B,da (333) Auerdemgilt,daderProzenhX AiaufBgegeneinevonabhangigeKonstantec() A(;1)!PZt 0"( 0)ts(1)(0;u) log(s(0)(;u) s(0)(0;u))s(0)(0;u)#0(u)du konvergiert VoraussetzungBgegens(0)(;u),s(1)(;u),sowies(2)(;u)ZudemistderWerts(0)(0;u)6=0 Diessiehtmanaus(333),dennS(0)(;u),S(1)(;u)undS(2)(;u)konvergierenfur2Bnach nhx Ai!Pc()<18t2[0;1];2B: genwertnachdemdasintegralr10(t)dt<1konvergiertdergesamteterm AusVersion(220)derUngleichungvonLenglartundnhX Ai!Pc()folgt: nachbedingungddemzufolgekonvergiertderintegrandvon(333)gegeneinenvonabhangi- P(sup t2[0;1]jx(t;) A(t;)j>)2+P(hX Ai(1;)!P0furn!1>)8;>0; {z }

60 54 worausmit=!0folgt,da KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE dhxundakonvergiereninwahrscheinlichkeitgegendenselbengrenzwertnachvoraussetzungdkannmannundieersteundzweiteableitungdesprozessesaberechnenunderhalt: kx(;t) @2A(;1)= 0"s(1)(0;u) s(1)(;u)s(0)(0;u) s(0)(;u)#0(u)du; DieersteAbleitungwird0in0unddiezweiteistkleiner0fur0DaherkonvergiertX(;1) negdenitfur0nachvord: 0v(;u)s(0)(;u)0(u)du inwahrscheinlichkeit82bgegeneinekonkavezufallsfunktionmitgenaueinemmaximum {z } in=0da^diekonkavezufallsfunktionx(;1)maximiert,folgtauskorollar310,da KommenwirnunzurasymptotischenNormalverteilungvon0SiebildetdieGrundlagezur HerleitungasymptotischerTestsundzurBestimmungvonKondenzintervallen ^!P0 2 sind,giltfurdiefolge^(n)(mit^(n)!p0furn!1) Satz312(AsymptotischeNormalitatvon^)FallsdieVoraussetzungenAbisDerfullt Bemerkung:DanachdemvorhergehendenSatzderSchatzer^furkonsistentist,istdemnach pn(^ 0)!DN(0; 1): Beweis: ^asymptotischnormalverteilt Zunachststellenwirfest,dawirineinerUmgebungum0,inderd U(0;1)folgendeTaylor-Entwicklungerhalten U(0;1)=U(;1) d du(;1)( 0)+TermehohererOrdnung; du(;1)existiertfur wasaquivalentistzu Ableitungen(hinsichtlich)desLog-LikelihoodanderStellet=1und=einsetzenvon wobeiaufdemliniensegmentzwischenund0liegtund I(;1)dieMatrixderzweiten U(;1) U(0;1)= I(;1)( 0); (334) ^in(334)ergibt pnu(0;1)=1ni(;1)pn(^ 0): 1

61 UmnundieasymptotischeNormalitatvonpn(^ 0)zubeweisen,reichteszuzeigen,da derproze(1=pn)u(0;)inverteilunggegeneinenstochastischenprozekonvergiert,dessen 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 55 DasweitereVorgehenistdemnachin2AbschnitteuntergliedertZunachstzeigenwir,da Wahrscheinlichkeitgegenkonvergiert Zuwachsep-variatnormalverteiltsindmitKovarianzmatrix 1unddann,da(1=n)I(^;1)in unddann,da pnu(0;1)!dn(0;) 1 Furirgendeinezufalliges=(n)mit(n)!P1furn!1 1nI;1)!P FurdenerstenTeilnutzenwirdieTatsache,dawirnach(332)gilt pnu(0;t)= 1 =nxi=1zt pnnxi=1zt 1 01 pn[zi(u) E(0;u)] 0Zi(u)dMi(u) 1 pnzt 0E(0;u)dM(u) Hi(u) {z } dmi(u): MartingalenMi(t);i2f1;;ngalsIntegratorenSomithat(1=pn)U(0;1)einenvorhersehbarenVariationsproze,aufdenwirnundenSatzvonRebolledo(Satz236)anwendensehbarenProzessenHi(t);i2f1;;ngalsIntegrandenunddenlokalquadratintegrierbaren (1=pn)U(0;t)latsichalsodarstellenalsSummestochastischerIntegralemitdenvorherhersehbareVariationsprozeh(1=pn)U(0;t)inachSatz235folgendeDarstellungbesitzt: UmdieBedingung(214)desSatzes236zuverizieren,stellenwirzunachstfest,dadervor- Bemerkung:h1 pnu(0;t)iistalsoeinepp-matrixmitlokalessubmartingalenalseintragen h1 pnu(0;t)i=nxi=1zt 0Hi(u)Hi(u)tdhMi(u)i: hmi(u)iistnachsatz235gegebendurch sodawir i(u)=zu 00(s)Yi(s)exp(t0Zi(s))ds; h1 pnu(0;1)i=z1=z1 0nXi=11n[Zi(u) E(0)][Zi(u) E(0)]texp(tZi(u))0(u)du 0"S(2)(0;u) S(1)(0;u)S(1)(0;u)t S(0)(0;u) #0(u)du

62 56 erhaltennachbedingungena,bunddkonvergiertdieserterminwahrscheinlichkeit KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Z1 0"S(2)(0;u) S(1)(0;u)S(1)(0;u)t S(0)(0;u) #0(u)du!PZt UmdieBedingung(215)zuverizieren,zeigenwirzunachstdieGultigkeitderfolgendenUngleichung,diefurzweireelleZahlena,bgilt 0v(0;u)s(0)(0;u)0(u)du: Denndamitja bj>"muentwederjaj>"2oderjbj>"2seinwarennamlichsowohljaj"2, alsauchjbj"2,dannware ja bj2i(ja bj>")4jaj2i(jaj>"2)+4jbj2i(jbj>"2) (335) waseinenwiderspruchzuja bj>"darstelltdasfuhrtdannzu ja bjjaj+jbj2"2="; ja bj2i(ja bj>")ja bj2max[i(jaj>"2);i(jbj>"2)] ja bj2[i(jaj>"2+i(jbj>"2)] jaj2[i(jaj>"2)+i(jbj>"2)]+jbj2[i(jaj>"2)+i(jbj>"2)] vonh UmdieBedingung(218)zuzeigen,bildenwirmitHilfederkomponentenweisenDarstellung 4jaj2I(jaj>"2)+4jbj2I(jbj>"2): Hjh=1 (1=pn)U(0;t)enthalt,derenAbsolutbetraggroeristals": Analogzu(216)konstruierenwirunsnuneinlokalesMartingalMj",dasalleSprungevon pn(zh(t) Eh(0;t))jj2f1;;pgh2f1;;ng: DieZuhilfenahmevon(335)fuhrtzufolgenderAbschatzungdesvorhersehbarenKompensatorprozesseshMj";Mj"ianderStelle1: hmj";mj"i(1) = Z1 0nXh=1[Hjh(s)]2I(jHjh(s)j>")h(s)ds Mj"(t)=nXh=1Zt 0Hjh(s)I(jHjh(s)j>")(dNh h(s)ds): (3:35) 4(Z1 0nXh=11n[(Zh(s) E(0;s))j]2I(n 1=2j(Zh(s) E(0;s))jj>")h(s)ds +Z1 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2)h(s)ds) 0nXh=11n[(E(0;s))j]2I(n 1=2j(E(0;s))jj>"2)h(s)ds

63 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL = 4(Z1 0nXh=11n[(E(s))j]2I(n 1=2j(E(s))jj>"2)exp(t0Zh(s))0(s)ds(336) 57 t0zl(s) j(zh(s))jj)exp(t0zh(s))0(s)ds +Z1 +Z1 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2; 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2; (337) DieKonvergenzvon(336)siehtmansofort,dennmitdenBedingungenA,BundDgilt Z1 t0zh(s)> j(zh(s))jj)exp(t0zh(s))0(s)ds): (338) =Z1 0nXh=11n[(E(0;s))j]2I(jn 1=2(E(0;s))jj>"2)h(s)ds nxh=1n 1Yh(s)exp(t0Zh(s)) 0[(E(0;s))j!(e(0;s))2j<1]2I( {z }!0furn!1dae(0;s)beschrankt) n 1=2j(E(0;s))jj>"2 {z }!s(0)(;s) {z } 0(s)ds!P0furn!1: NachBedingungCgiltfurIfn 1=2j(Zh(s))jj>"2;t0Zh(s) j(zh(s))jjgin(338),da sowienachbedingungenbunddda 1n1Xl=1[(Zh(s))j]2Yl(s)exp(t0Zh(s))=S(2) P[n 1=2j(Zh(s))jj>"2;t0Zl(s) j(zh(s))jj]!p0furn!1; sodazusammenmitr10(s)ds<1nachbedingungaauchterm(338)gegen0konvergiert j(0;s)!ps(2) j(0;s)<1furn!1; SchlielichkonnenwirTerm(337)abschatzenmit Z1 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2;t0Zh(s) j(zh(s))jj)exp(t0zh(s))0(s)ds Z1 Dalimx!1x2e x=0folgt,da[(zh(s))j]2exp( jzhj)beschranktdurcheinenwert,soda 01nnXh=1[(Zh(s))j]2exp( j(zh(s))jj) <1 {z } 0(s)I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2!0fur!1 {z })ds: auchdieserterminwahrscheinlichkeitgegen0konvergiertfurn!1damitistderersteteil bewiesen FurdenzweitenTeildesBeweisesI(;1) n!pfurirgendeinzufalligesmitbildenwirmit

64 58 Hilfevon KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE und 1nI(;1)=1nZ1 =Z1 0v(0;t)s(0)(0;t)0(t)dt 0V(~;t)dN(t)(vergl(3:31)) folgendeabschatzung k1ni(;1) kz1 +Z1 01n[v(;t) v(0;t)]dn(t)+z1 01n[V(;t) v(;t)]dn(t) 0v(0;t)[S(0)(0;t) s(0)(0;t)]0(t)dt: 01nv(0;t)(dN(t) (t)dt) Zunachstzeigenwir,da!1lim n!1p"n(1) n>#=0: (340) (339) DaN(t)denvorhersehbarenKompensatorproze hat,giltnachsatz237(ungleichungvonlenglart) Zt 0nXk=1Yi(s)0(s)exp(t0Zi(s))ds=nZt 0S(0;t)0(s)ds P"sup t2[0;1]n(t) n>#=p"n(1) n>#+p264z1 Mit!1und=p,sowieR100(t)<1erhaltmanschlielich(340)AusderBedingung 0S(0)(0;t) {z}!s(0)(0;t)0(t)dt>375: BundderBeschranktheitvons(0),s(1)unds(2)ineinerUmgebungBvon0,sowieauss(0)6=0 inbfolgt,da 0DendrittenTermaus(339)konnenwirdirektmitderUngleichung(220)abschatzen Da!P0,konvergiertderersteTermderAbschatzung(339)inWahrscheinlichkeitgegen t2[0;1];2bkv(;t) v(;t)k!p0: sup P"Z1 0vij(0;t)dMn(t)>#=2+P2641nZ1 DieBedingungB,sowieR100(t)dt<1(ausBedingungA),sowiedieBeschrankungsbedingungenausDhabenzurFolge,daderrechteTermaus(341)gegen0konvergiertfurn!1Damit 0[vij(0;t)]2S(0)(0;t)0(t) <1nachBedA,B,D {z } dt>375:(341) derviertetermgegen0konvergiertdiesistjedocheindirektesresultatausbedingungena,b istgezeigt,daauchderdrittesummandaus(339)gegen0lauftesbleibtnochzuzeigen,da istdieasymptotischenormalitatvon^bewiesen undd(vistbeschrankt,r100(t)dtistbeschranktundks(0)(0;t) s(0)(0;t)k!p0)damit 2

65 375HypothesentestsimProportional-Hazard-Modell 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 59 manverschiedenestatistikenanfuhrenimfolgendensollen3verschiedeneteststatistikenfur HypotthesentestsfurdieNullhypothese:H0:=0 FurdenTest,obderKovariablenvektor2IRpeinenbestimmtenWert02IRpannimmt,kann gegen vorgestelltwerdenzumbeispielistmanoftinteressiertanderfrage,obeinproportional- Hazard-Modellvorliegt,dieNullhypothesewareindiesemFallH0:0=0Eineausfuhrlichere H1:6=0 DarstellungdieserThematikndetmaninFahrmeier(1994)[15]Seiten45bis48 LikelihoodderQuotientL(^)=L(0)verhaltIndiesemFalllehntmandieNullhypothesefur groewerteab,dhwennderzahlerwesentlichgroeristalsdernennerdielikelihood- DerLikelihood-Ratio-TeststatistikistimwesentlicheneinMadafur,wiesichfurdenpartiellen Ratio-StatistikbetrachtetdielogarithmischeTransformationdiesesQuotienten: Mankannzeigen,da(342)asymptotisch2verteiltistmitpFreiheitsgraden 2LR=2[logL(^) L(0]=2[LL(^) LL(0)]: (342) gilt,da: DerWald-TestbasiertaufderasymptotischenNormalverteilungdesParameters^Furgroen i()istdiefisher-informations-matrix: ^Np(;i @2 1 CA]: InformationsmatrixI(^)alsSchatzungDamitkannmanzeigen,dadiequadratischeForm: asymptotisch2verteiltmitpfreiheitsgraden(343)heitwald-test 2W=(^ 0)tI(^)(^ 0) (343) Score-Test

66 60 DerScore-oderRao-TestbasiertaufderezientenScore-StatistikFurdenFall,da=0ist derscore-vektoru(0)asymptotischverteiltnachnp(0;i(0))mitdernaherungi 1furi 1 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE DerScore-Testistauchasymptotisch2-verteiltmitnFreiheitsgraden erhaltmandenscore-test 2S=U(0)tI 1(0)U(0): (344) InRao(1965)[32]ndensichinKapitel6dieBeweisederasymptotischenNormalitatder Teststatistiken(342)-(344)InAbbildung34istderZusammenhangzwischenLikelihood- 122LR122W Abbildung34:ZusammenhangzwischenLikelihood-Ratio-undWald-Test( Likelihood- 0 ^ FunktionanderStelle^mitHilfederMatrixderzweitenAbleitungenquadratischapproximiert RatioundWald-StatistikerlautertUmdieWald-StatistikzuerhaltenwirddieLikelihood- Funktion,---quadratischeApproximation) ImeindimensionalenFallerhaltmanalsApproximationeineParabel,dieimBildmiteiner gestricheltenliniedargestelltist OftistmannichtnuranHypothesentestsfurallei;i=1;;psondernanTeilmengen(man 376LokaleTests NullhypotheseistindiesemFall: Dasheit:WirunterteilendenVektorint=(t1;t2)mit12IRqund22IRp qdie istzumbeispieloftinteressiertdaran,obeineeinzelnekovariableeinuaufdenhazardhat) womit2nurnochalsstorparameterindasmodelleingehtdieimkapitel375beschriebenen TestslassensichwiefolgtfurlokaleTestsmodizieren: H0:1=10;

67 Bestimme^2(10),sodaderpartielleLog-LikelihoodinAbhangigkeitvon10 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 61 fur^2(10)maximalwirdzerlegedieinformationsmatrixunddereninversein LL(10;2) I= I21I22!undI 1= I11I12 ~I21~I22!; ~I11~I12 miti112irqq,i222ir(p q)(p q)dieteststatistikenaus375furdienullhypothese (345) H0:1=10sinddann: Wald-Test: Likelihood-Ratio: 2W(10)=(^1 0)t[~I11(^)] 1(^1 0): 2LR(10)=2(LL(^) LL(10;^2(10)): (347) (346) Score-Test: spieltvorallemderwald-testeinerolle,dafurdieseteststatistikkeinneuesproportional SamtlicheTeststatistikensindasyptotisch2-verteiltmitqFreiheitsgradenInderAnwendung 2S(10)=U(10;^2(10))t~I11(10;^2(10))U(10;^2(10)): (348) HazardModellgettetwerdenmu Diez-Statistik MitHilfederz-StatistikkannmandieProportional-Hazard-AnnahmefureineneinzelnenParametertestenDieNullhypotheselautethierfureinenKoezientenkk21;;p: DieseTeststatistikistfurkwiefolgtdeniert H0:k=0: wobei2kdask-tediagonalelementdermatrixiistwiemanleichtsieht,ist z=^k p^2; einspezialfalldeswald-testsfurdienullhypotheseh0:k=0undsomit2verteiltmiteinem Freiheitsgrad z2=2w(k0)k0=0

68 62 377ModellbildungmitdemAIC KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE sollhiernuneinemethodegezeigtwerden,wiemandiekovariablenimproportional-hazard NachdemimvorherigenAbschnittVerfahrenzumTestenvonHypothesenvorgestelltwurden, modelliertundwiemanentscheidet,obeinekovariablestarkeneinuaufdenbetrachteten istdassogenannteaic(akaike'sinformationcriterion) EineMoglichkeitzurExaminierung,welcheKovariablenwesentlichenEinuimModellhaben Uberlebensprozehatodernicht HieristLL(^)derPartialLikelihoodfurdengeschatztenKoezienten^,pdieAnzahlder FreiheitsgradeimModellundneineKonstante,aufdiespaternochnahereingegangenwird AIC= 2LL(^)+np: DerGrundgedankeistnunFolgender:FallseineKovariablewesentlichenEinuaufdasModell hat,wirdsichdiesimlikelihoodausdrucken(derlikelihoodwirdgrosser,damitderneuen AIC-WertfureinengroenLikelihoodsinktImGegensatzdazunimmtderSummand2npzu, wachst)daderlog-likelihoodstetsnegativewerteannimmtbedeutetdasjedoch,dader KovariablendieWahrscheinlichkeitdafur,dadasgewahlteModellderRealitatentspricht, umdasoptimalemodellzuerhaltendiekonstantenistdemzufolgedafurverantwortlich,wie BestrafungfurjedeneuhinzugefugteKovariableistDasZielistnundieMinimierungdesAIC furjedekovariabledieneuhinzugefugtwirddasbedeutet,daderzweitetermeineart KovariablenbeinhaltenwirdalseinModell,dasmithohemngewahltwurde HinzunahmevonneuenVariablenweniger,sodadasendgultigeModellindiesemFallmehr starkdieneuehinzunahmevonkovariablenbestraftwerdensolleinniedrigesnbestraftdie 378Residuenanalyse MitHilfevonResiduenkanndieProportional-Harzard-Annahmeuberpruftwerden,bzwdie funktionaleformeinerkovariablenbestimmtwerdendiehiervorgestelltenresiduenwerdenmithilfederzahlprozetheoriehergeleiteteineherleitungverschiedenerresiduenauf Martingal-BasiskannmanindemArtikelvonTherneauua(1990)[39]nachlesen fallspersonigestorben,ni(t)=0sonst)und^0(t)dermitdemschatzervonbreslowbestimmte Martingal-Residuen SeiNi(t)i=1;;nderZahlprozederbeobachtetenEreignissefurPersoni(dhNi(t)=1 kumulativebasishazard,sowieyi(t)dieindikatorfunktion: DannsinddieMartingal-Residuen^M(t)wiefolgtdeniert: Yi(t)=(1PersoniwirdzumZeitpunkttbeobachtet ^Mi(t):=Ni(t) Zt 0sonst : 0Yi(s)exp(^tZi(s))d^0(s)und^Mi=^Mi(1): (349)

69 Bemerkungen: 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 63 DieMartingal-ResiduenlassensichalsDierenzausbeobachtetenTotenunddennach DerNamederMartingal-ResiduenbasiertaufderTatsache,daderProzeN(t) (t) demproportionalhazard-modellerwartetentoteninterpretieren dhgenaudannistderproze: einmartingalistfurdenfall,dadasproportional-hazard-modellgilt,ist Mi(t):=Ni(t) Zt (t)=zt 0exp(tZi(s))d0(s); DurchPlottenderMartingalresiduengegeneinequalitativeKovariablelatsichdieProportional- einmartingal 0Yi(s)exp(tZi(s))d0(s) Hazard-AnnahmeuberprufenFallsnamlichdieProportional-Hazard-Annahmegilt,istfurjeden WertderKovariablenderErwartungswertE(^MjF0)=0,dhfallsmaneinenSchatzungdes ErwartungswertesE(^MjF0)(zBdurchGlattung)durchdenPlotlegt,solltedieseungefahr gleich0sein EinweitererwichtigerAnwendungsbereichvonMartingal-ResiduenistdieBestimmungder bestimmtenfunktionalenform(zbz21,log(z1))indasproportional-hazard-modelleingeht funktionalenformeinerkovariablenfurdenkovariablenvektorz=(z1;z 1)2IRp(mit Z 1=(Z2;;Zp))istmandaraninteressiert,obdie(quantitative)KomponenteZ1ineiner wobeihierh(z1)diegesuchtefunktionaleformistund DhmanmochtedieHazardfunktionfolgendermaendarstellen (tjz)=h(z1)exp(tz 1)0(t)=exp(f(Z1)+tZ 1)0(t); Therneau,GrambschundFleming(1990)[39]zeigenfurh,einerFunktion,diemitHilfegewichteterMitteluberZeitunderwarteteteZusammensetzungderRisikomengedeniertwird(siehe f(z1)=log(h(z1)): [39])undfurunabhangigeZ1;Z 1ungefahrkonstantist,da undmanfurt!1folgendeapproximationenannehmenkann E[^ M(t)jZ1] 1 h E(^MjZ1)c(h(Z1) h) h(z1)!e[n(t)jz1] mitf=log(h)durchdenplotderkovariablengegendiegeglattetenmartingalresiduenerhalt oder mandiefunktionaledarstellungderkovariablen E(^MjZ1)c(f(Z1) f)

70 64DevianzResiduen KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE EineSchwachederMartingal-ResiduenistdieweiteStreuung(dieResiduenkonnenWerte Martingal-Residuenfolgendermaen: zwischen[1; 1)annehmen)DahersindsienichtdazugeeigneteinzelneBeobachtungen,die nichtindasmodellpassen,herauszulternumsolcheausreierfestzustellen,skaliertmandie zbmccullaghundnelder(1983)[28])diedevianzeinesmodellsisthiernachdeniertals DieDevianz-ResiduenstammenausderTheoriedergeneralisiertenlinearenModelle(siehe ^di=sign(^mi)[ 2f^Mi+Ni(1)log(Ni(1) ^Mi)g]1=2: (350) (1990)[39]istdieHerleitungdieserResiduenausfuhrlichbeschrieben dell,indenfurjedebeobachtungeineinzelnerparametergeschatztwirdintherneauua 2[LL(gesattigtesModell) LL(berechnetesModell)]Hieristdas\gesattigteModell"einMotungmoglichist),erhaltmanfurdieDevianz-Residuen FurUberlebenszeitmodelle(dhfurZahlprozesse,indenenmaximaleinSprungproBeobach- dieskalierung:furpositivemartingalresiduengilti=1furmartingalresiduen,dieinder HieristiwieublichderZensierungsindikatoristWerfenwirnunnocheinmaleinenBlickauf ^di=sign(^mi)[ 2f^Mi+ilog(i ^Mi)g]1=2: Nahevon1liegen,bewirktderLogarithmus eineweiterestreuung,zumanderensorgtdiewurzeldafur,dastarknegativemartingal- log(i ^Mi {z} nahe0) Residuen\gestaucht"werden tativen)kovariablenfallsallebeobachtungendurchdasmodellerklarbarsind,solltederplot hergesagtendateneinsetzenmanplottetdiedevianz-residuengegendenwerteiner(quanti- DieDevianz-ResiduenlassensichnunfolgendermaenfurdieHerauslterungvonschlechtvor- aussehen,wiediezufalligerealisationeinern(0;1)verteiltenzufallsvariable entnichtfuralletkonstantist,sondernsichmitzunehmenderlebensdauerverandertim OftkannmanineinemProportional-Hazard-Modellerkennen,daderRegressionskoezi- Partielle-oderSchoenfeldResiduen sionskoezientenerhalten Regressions-Modellbedeutetdas,dawirfurdieHazardfunktioneinenzeitabhangigenRegres- wobei (tjz(t))=0(t)exp((t)z(t)); :T7!IR

71 genannt)latsichzeitlichevariationimkoezientenfeststellenschoenfeld(1982)[37]schlug nuneinereelwertigefunktionistmithilfevonpartiellenresiduen(auchschoenfeld-residuen 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 65 dieseresiduenvor,diefolgendermaendeniertsind: BetrachtenwireinenachEndzeitpunktengeordneteBeobachtungderGroenmitt1tn undzugehorigenzensierungsindikatorenii2f1;;ng,sowie ^rij=i24zij(ti) Pk2R(ti)exp(^tZk(ti))Zkj(ti) 35i2f1;;ng;j2f1;;pg: (351) umfurdiekomponentejdurch^rijgegebenmitfolgendemvorgehenkonnenwirnunaussagen zurfunktionalenformtreenwiederumschatzenwirmiteinemglattungsschatzerdenerwartungswertderpartiellenresiduen(prokomponentej)inabhangigkeitvonderzeit,dhwir DannistfuralleBeobachtungeni,andeneneinEreignispassiert(i=1),daspartielleResidu- gegendiezeiterhaltenwireinenindikatorfurdiezeitlicheabhangigkeitdesjeweiligenkoezienten(prokomponente)siert,diedierenzausderbebachtetenkompenentejdeskovariablenvektorundeinerarsemzeitpunktunterrisikobenden gewichtetemmitteluberdiej-tekomponenteallerkovariablenvonindividuen,diesichzudie- glattenfti;^rijg,i=1;;n,j=1;;pdurcheinenplotdergeglattetenpartiellenresiduen Bemerkung:DiepartiellenResiduenbildenalsofurjedeBeobachtung,andereinEreignispas- DiesogenannenScoreResiduenwerdenverwendet,umdenEinueinereinzelnenBeobachtungiaufdengeschatztenKoezienten^zuermittelnEineoptimaleMethodedieszu BeobachtungnurgeringenEinuhat,ist^ ^(i)0: erreichen,warediebeobachtungiausdemdatensatzzuentfernenundfurdieverbeibenden BeobachtungendenKoezienten^(i)miteinemCox-RegressionsmodellzuschatzenFallsdie praktizierbarist tional-hazard-modelleberechnetwerden,einvorgehen,dasfurgroewertevonnnichtmehr UmdieszurealisierenmussenalsofureinModellmitnBeobachtungeningesamtn+1Propor- Score-Residuen^Sij,diefurdieBeobachtungi2f1;;ngunddieKomponentej2f1;;pg deskovariablenvektorswiefolgtdeniertwerden AlsNaherungvon^ ^(i)(siehezbkleinundmoeschberger(1997)[25])benutztmanhierdie ^Sij(t)=Zt 0[Zij(s) Zj(s)]d^Mi(s);

72 66 mitkapitel3mathematischegrundlagenderverweildaueranalyse und ^Mj(s)=MartingalresiduumfurBeobachtungjzumZeitpunkts Zj(s)=Pnk=1Yk(s)exp(^tZk(s))Zkj(s) steht,odernichtmanerkennt,dazujedemzeitpunkt,andemeinereignisstattndet,der Yj(s)isthierwiederumderIndikator,obsicheinObjektzumZeitpunktsunterBeobachtung Pnk=1Yk(s)exp(^tZj(s)) 2IR: istschlielichdeniertals^sij=sij(1)=z1 Integratorvon^Sij(t)denWertdespartiellenResiduums^rijannimmtDasScore-Residuum^Sij variablenvektorfeststellenjenaher^sijan0,destogeringeristdereinuderbeobachtungi HiermitkannmannundirektdenEinueinerBeobachtungiaufdieKomponentejdesKo- 0[Zij(s) Zj(s)]d^Mj(s): 379GraphischeMethodenzurUberprufungdesProportional-Hazard aufdiekomponentej AnnahmevorgestelltDabeiistmanzunachstdaraninteressiert,obmanfureinebestimmteKompenontedesKovariablenvektorsvoneinemProportional-Hazard-Modellausgehenkann IndiesemTeilwerdeneinigeTechnikenzurgraphischenUberprufungderProportional-Hazard- (Z1;Zt2)t,wobeihierZ2derVektorderverbleibendenp 1KompentenistAuerdemgeht SeinunohneEinschrankungZ1dieinteressierendeKomponentedesKovariablenvektorsZ= mandavonaus,dadiekovariablez1nurendlichvielewerteannimmt(diewerteseienohne Einschrankungf0;1;;Kg) UmnundieProportional-Hazard-AnnahmezutestenberechnetmaneinnachderKovariablen Z1stratiziertesModellundschatztmitHilfedesBreslow-Schatzersdenzugrundeliegendenku- Modellvorliegt,giltfurjedesi6=j: mulativenbasis-hazardfurjedesstratum0i(t);i=1;;kfallseinproportional-hazard- ()0i(t) exp(i1)= 0j(t)=exp((i j)1); exp(j1) 0j(t) dasbedeutet,dalog(0i(t)) log(0j(t))=1(i j)=konstantubert lelezurzeitachsedarstellenfurbinarekovariablen,wiezbgeschlecht,wurdendieplotsin Umnunzuuberprufen,obProportional-Hazardvorliegtplottetmantgegenlog(^0i(t)) log(^0j(t))diesergraphsolltefurdenfall,daproportionalhazardgiltungefahreineparal-

73 ders-plus-routinecumloghazard(sieheanhanga1)realisiert 38PARAMETRISCHEMODELLE 67 EinetwasmodizierterAnsatzsinddiesogenannten\Andersen-Plots"(1982)MitdenBezeichnungenwievorherplottetmanhierzujedemZeitpunktt1<<tk,andemeinEreignis mitsteigung ProportionalHazardausgehenkann,solltederPlotungefahreinerGeradedurchdenUrsprung passiert,diehazardraten0i(t)(x-wert)und0j(t)(y-wert)gegeneinanderfallsmanvon entsprechenfurbinarekovariablenwurdediesesgraphischehilfsmittelinderroutineandplot exp(1j)0(t) exp(1i)0(t)=exp(1j) (sieheanhang)programmiert metrischenmodelleneingeheneineausfuhrlichebeschreibungparametrischerschatzmethoden AmBeispielWeibull-verteilterZufallsvariablen,wollenwirhieraufSchatzmethodeninpara- 38 ParametrischeModelle enthaltdasbuchvonkalbeischundprentice[21] DieZufallsvariableUberlebenszeitseiimfolgendennachdemWeibull-Modellverteilt,dh mit;>0undzugehorigerhazardfunktion ST(t)=exp( t); unddichte T(t)=t 1 dermaen: UmnunSchatzerfurdieParameterundzuerhalten,transformierenwirdasModellfolgen- ft(t)=t 1exp( t): und W=Y+ Y=logT mit=1=und=exp(=) ; DieZufallsvariableWistverteiltnach mitdichte FW(w)=1 exp( ew); fw(w)=exp(w ew); (352) (353)

74 68 dennkapitel3mathematischegrundlagenderverweildaueranalyse FW(w)=P(Ww)=PY =1 ST e+w=1 exp e(+w) w=p Te+w =1 exp exp exp+w =1 exp( ew): Ybeschreibtdemnacheinlog-linearesModell (354) DieUberlebensfunktionvonYerhaltmanmitHilfevon(352) Y=logT=+W: SY(y)=1 FY(y)=1 P(Yy) DieDichtefunktionvonYistdemnach =1 P(Wx )=exp expx : Seiennunwiederumt1;;tndieBeobachtungszeitpunkteund fy(y)=1expy expy : j=(1fallstj=tj Funktion derzugehorigezensierungsindikator,danndenierenwirfury=log(ti)diefolgendelikelihood- 0sonst diemithilfenumerischermethodenmaximiertwerdenkann(siehekleinundmoeschberger[25] L(;)=nYi=1[fY(yi)]i[SY(yi)](1 i); Seiten )

75 Kapitel4 Datenanalysezurgesetzlichen Pegeversicherung IndiesemKapitelwerdenmitHilfedervorherbeschriebenenverweildaueranalytischenMethodenUberlebensdatenfurLeistungsempfangerausdergesetzlichenPegeversicherunganalysiert AlleBerechnungenundgraphischenAnalysenwurdenmitdemProgrammS-Plusrealisiert(eine detaillierteeinfuhrungins-plusgebenvenablesundripley(1994)[40])insbesonderefanden wendung,furschatzungenderuberlebensfunktionwurdendiefunktionsurvfitverwendet,zur Residuen-AnalysebesitztdieS-Plus-FunktionresidualseigeneStandardmethodefurcoxph- furschatzungendesproportionalhazarddies-plus-funktionencoxphundcoxphdetailan- ObjekteFureinigegraphischeAnalysenmutennocheigeneS-Plus-Routinenentwickeltwerden MitdiesemPaketkonneninKapitel3vorgestelltenTechnikeninS-Plusangewendetwerden 41 PegeversicherunginderSozialversicherungAlsTragerwurdendiegesetzlichenKrankenversichererbestimmtDieKrankenversichererwurdenverpichtet,samtlicheKrankenversicherte Am26Mai1994beschloderdeutscheBundestagdieEinfuhrungeinerallgemeinengesetzlichen UberblickuberdiegesetzlichePegeversicherung Am01April1995tratdiePegeversicherunginKraft,aberzunachstwurdennurLeistungen ohneerneutegesundheitsuberprufungindergesetzlichenpegeversicherungzuubernehmen stationarepegeausgedehnt DiePegebedurftigenwerdennachSchweredesPegefallsin3Kategorien(sogenanntePegestufen)unterteiltDieStufenunterteilungwirdnachfolgenderDenitionunternommen: imfallstationarerpegegewahrt,ab1juli1996wurdedasleistungsspektrumdannauchauf Stufe1:DerPegebedurftigebenotigtmindestens90MinutenHilfeproTagbeiVerrichtungendestaglichenLebens(erheblichPegebedurftig) 69

76 70Stufe2:DerPegebedurftigebenotigtmindestens180MinutenHilfeproTagbeiVerrich- tungendestaglichenlebens(schwerpegebedurftig) KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Stufe3:DerPegebedurftigebenotigtmindestens300MinutenHilfeproTagbeiVerrichtungendestaglichenLebens(schwerstpegebedurftig) An-undAuskleiden,Waschen,Kammen,Rasieren,uswZubeachtenisthierbei,daHilfebei DieseVerrichtungendestaglichenLebensbeinhaltenzumBeispielAufstehen/Zubettgehen, wirdvoneinemunabhangigenmedizinischengutachtervorgenommenleistungshoheund-art hauswirtschaftlicherversorgungindieserdenitionnichtenthaltenistdiestufeneinteilung sindabhangigvonderjeweiligenpegestufeundartderpegeindergesetzlichenpegeversicherungwerdendempegebedurftigekostenfurhauslichepegehilfe,teil-undvollstationare ZusatzlichzurgesetzlichenPegeversicherungwirdinDeutschlandvonLebens-undKranken- Pege,technischeHilfsmittel,wiezumBeispielRollstuhl,sowieKostenzurVerbesserungdes Wohnumfeldes(EinbaueinesTreppenlifts,VerbreiterungdesWohnungseingangs,etc)erstattet Pflegeversicherung gesetzliche Pflegeversicherung Zusatzversicherung privat öffentlich Krankenversicherer Lebensversicherer Tagegeld Kostenerstattung rente Pflegeindividuelle Leistungen versichererneineprivatepegeversicherungangebotendabeiunterscheidensichdietarifeder gesetzliche Krankenversicherervondenen,dievonLebensversicherernangebotenwerdeninderArtder Abbildung41:UbersichtuberprivateundgesetzlichePegeversicherunginDeutschland Leistungen LeistungWahrendKrankenversicherermeistErganzungsproduktezurgesetzlichenPegeversicherunganbieten,diemeistdasLeistungsspektrumdergesetzlichenVersicherungerweiternund somitauchdiedenitiondespegefallsausdergesetzlichenversicherungubernehmen,bietenlebensversicherermeistmonatlichepegerentenanauchfurdiedenitiondespegefalls

77 42BESCHREIBUNGDERDATEN 71 benutzenlebensversicherereinanderessystem,dassogenanntadl-system(adl=activities ofdailyliving)hierwirdanhandeinesfunfbissechspunktebeinhaltendenadl-katalogs bestimmt,wievieledieserverrichtungendestaglichenlebens,derpegebedurftigenichtmehr selbstandigverrichtenkanninabbildung41istdieuntergliederungderprivatenundgesetzlichenpegeversicherungschematischdargestellt 42 BeschreibungderDaten DieDatenwurdenzwischendem1April1995unddem beiinsgesamt5603LeistungsempfangernausderprivatengesetzlichenPegeversicherungerhobenDieseunterteilten sichin3511frauenund2092mannerinabbildung42solldiestrukturderbeobachteten Datenanhandvon2BeobachtungenverdeutlichtwerdenMitdensenkrechtenLinienistder Zeitraummarkiert,indemwirdiePegefallebeobachtenkonntenBetrachtenwirnundenmit derdurchgezogenenliniedargestelltenpegefallgenauerderpegebeginnfalltindenbeobachtungszeitraum,zunachstbendetsichderpegebedurtigeinambulanterpegederstufe1 VondortwechselteerinambulantePegederStufe2,dhderZustandverschlechtertesichDer nachstezubeobachtendewechselwarvonambulanterzustationarerpege(jeweilsstufe2) HierwechseltederPegefallvonStufe2zuStufe3,woersichamEndedesBeobachtungszeitraumsbefandEshandeltsichhierbeialsooenbarumeinezensierteBeobachtung,dawirdas terminierendeereignis(\tododergenesungdespegebedurftigen")nichtobservierenkonnten DermitdergestricheltenLiniedargestelltePegefallstellteinelinkstrunkierteBeobachtung t 1:4: :12:1998unbekannt Pegeart ambulant,stufe1 ambulant,stufe2 ambulant,stufe3 stationar,stufe1 stationar,stufe2 stationar,stufe3 & & Zensierung Tod Pegebeginn1 Pegebeginn2 Abbildung42:ZustandsubergangeimPegeprozeamBeispielvon2Pegefallen dardasbedeutet,derbeginnderpegebedurftigkeitistbekannt(immedizinischengutachten wirdnachdempegebeginngefragt),falltaberindenzeitraumvorbeginndergesetzlichen Pegeversicherungundkonntedemzufolgenichtbeobachtetwerden

78 72 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Amb2 Amb1zensierttotreaktAmb1Amb2Amb3Stat1Stat2Stat3 Amb { 444{ Stat { Stat { Stat { Tabelle41:AnzahlderZustandsubergangeimDatensatz { Insgesamtwurden7372Stufenubergangebeobachtet,derenempirischeHaugkeitinTabelle41 dargestelltist Hierbeistehen"Ambi"und"Stati"jeweilsfurambulante,bzwstationarePegeinStufei DerUbergengzu"zensiert"bedeutet,daderjeweiligevorherigeZustandderletztebeobachtete Nicht-Pegebedurftig(=reaktiviert)werdenDieAbkurzung"gek"stehtfurPegebedurftige Zustandam31Dezember1998warDieAbkurzung\reakt"stehtfurPfegebedurftige,diewieder AufdenerstenBlickerkenntmanindenDatensofort,daUbergangezueiner\schlechteren" DieseUbergangewerdentechnischwiezensierteBeobachtungengehandhabt derenvertragegekundigtwurden(vonseitendesversicherersodervonseitendesversicherten) bedurftigevonambulanterpege,stufe1,inambulantepegestufe2,wahrendnur47pe- gebedurftigevonstufe2instufe1wechseltenauchdieniedrigeanzahlvonreaktivierungen PegestufeweitaushaugersindalszueinerbesserenSowechseltenzumBeispiel444Pegescheinlichsind (insgesamt36)isteinanzeichendafur,daverbesserungenimpegestatusrelativunwahr- stationarerpegegezahltdaeinindividuumaufgrundwechselderpegestufe,beziehungsweisederpegeartinmehrerenkategoriengezahltwerdenkann,entsprichtdiesummeuberdie getrennt,dieanzahlderpersonenindenverschiedenenpegestufenbzwinambulanteroder UmeinengenauerenUberblickuberdenDatensatzzubekommen,wurdennachGeschlechtern KategoriennichtderGesamtanzahlderIndividuenDieZahlensindinTabelle42dargestellt Wirsehenhier,da40:6%allerbeobachtetenFrauensichimLaufeihrerPegehistorieeinmal summierensichzumehrals100%,dasicheinigebeobachtetepersonensowohlinstationarer,als instationarerpegebefundenhatten,abernur22:2%allerbeobachtetenmannerdiewerte einzelnendiagnosensindintabelle43zusammengefat 3176Frauenund1868Manner)diepegeauslosendenDiagnosenerfatDieHaugkeitender auchinambulanterpegebefundenhattenzudemwurdennochbei5044pegefallen(davon

79 43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL FrauenMannerFrauenin%Mannerin% 73 Ambulant Stationar Stufe Stufe Stufe Tabelle42:HaugkeitenfurPegeartundPegestufe,unterteiltnachGeschlecht 344 Demenzerkrankungen Schlaganfalle Diagnose FrauenMannerFrauenin%Mannerin% Psychosen Tumore Knochenkrankheiten Blindheit Arthrosen Lungenerkrankungen Herzerkrankungen Nierenerkrankungen Geburtsschaden Tabelle43:HaugkeitenderverschiedenenDiagnosenimDatensatz 11 KovariablenAlter,Geschlecht,ArtderPegeundPegestufeschatztDiepegeverursachenden 43 ZunachstsollhiereinModellentwickeltwerden,dasdieUberlebenszeitinAbhangigkeitvonden Proportional-Hazard-Modell Diagnosensindhiernochnichtberucksichtigt,dadashierermittelteModellspaterauchbeider EntwicklungeinesVersicherungsmodellsAnwendungndensoll Hazard-Modellgettet,beidemfolgendeKovariablenberucksichtigtwurden: UmeinenerstenUberblickuberdieStrukturderDatenzuerhaltenwurdeeinerstesProportional- 431Modellbildung(ohneDiagnosen) ZAlter(t)alszeitabhangigeKovariable,diedasAltereinesPegebedurftigenbeiEintrittineine anallenstufenubergangeninterpretiertwerden)zgeschlecht,zstufe2(t)undzstufe3(t)sindals neuepegestufeenthalt(dhzalterkannalssprungfunktionmitwerteninirundsprungen und0sonst,zstufe2(t)=1bzwzstufe3(t)=1fallssichdiepegebedurftigepersonzumzeit- binarekovariablendeniert,wobeizgeschlecht=1fallsdiepegebedurftigepersonweiblichist

80 74 punkttinderpegestufe1bzw2bendetundzstat(t)=1fallssichdiebeobachteteperson zumzeitpunkttinstationarerpegebendet KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG FurdieHazardfunktionwurdeeinadditivesModellgewahlt: lieren,daesuberhauptkeineinteraktionenzwischenkovariablenberucksichtigt,essollandie- DassogewahlteModellistsicherlichnochnichtgeeignet,dieRealitatausreichendzumodel- Z(t)=0(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht+3ZStat(t)+4ZStufe2(t)+5ZStufe3(t)]:(41) ApproximationfurdenpartiellenLikelihoodfuhrtdasModell41zudeninTabelle44dargestelltenResultatenserStelletrotzdemerwahntwerden,daesrelativeinfachzuinterpretierenistMitderEfron- ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik : <10 15 p-wert ZStufe2 ZStufe3 ZArt < :96 uderkovariablenaufdenhazardfestgestelltdiewertekonnenfolgendermaeninterpretiert ImerstenFitwirdfurdieKovariablenZAlter,ZStufe2,ZStufe3undZGeschlechteinsignikaterEin- Tabelle44:GeschatzteKoezientenimModell41 HazardsvomGeschlechtuberraschthiernichtsonderlich,dennnichtnurinderGesamtbevolkerung,sondernauchinderPegeversicherungkannmaneinehohereSterblichkeitvonMannern auchdiesterbeintensitatzunimmt,waszuerwartenwarauchdiesignikanteabhangigkeitdes werden:derpositivekoezientfurdiekovariablealterbelegt,damitzunehmendemalter furmanner)diekovariablenfurstufe2undstufe3stelleneinerstesmadafurdar,inwieweit beobachten(dererstenschatzungzufolgeliegtderhazardfurfrauenbeica70%deshazards bei96%),dasheitdadienullhypothese\diekovariablehatkeineneinuaufdenhazard" furstationarepegekeinensignikanteneinuaufdiepegebedurftigkeit(derp-wertliegt sichdieschwerederpegeaufdiesterbeintensitatauswirktinteressanterweisehatkovariable VariablentrotzdemeinenEinuaufdasModellhabenkann Kovariable\Pegeart"nichteinfachunberucksichtigtlassen,dasieinInteraktionmitanderen nichtabgelehntwerdenkanndadiesesmodelljedochnochsehrgrobgewahltist,kannmandie UmdenZusammenhangzwischenstationarerundambulanterPegebedurftigkeitgenauerzu obz(t)=0(t)exp(tz(t))furallet)mudurchweiteretestsbegrundetwerden InwieweitmanwirklichvoneinemporportionalenEinuaufdenHazardausgehenkann(dh SchatzersfurdenBasis-HazardberechnetenKurvengegeneinandergeplottetInAbbildung43 untersuchen,wurdeeinnachstationarerpegestratiziertes(dhfurstationareundambulante Pegeseparatberechnetes)Proportional-Hazard-ModellgettetunddiemittelsdesBreslow-

81 43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 75 Anteil Ueberlebende ambulant stationaer Abbildung43:MitBreslow-SchatzergeschatzteUberlebensfunktionenfurambulanteundstationarePege PegeineinemPegeheimdeutlichunterderentsprechendenFunktionfurambulantePege liegt,wasdafurspricht,dainteraktionenzwischendenkovariablenbestehen,diebislangnoch nichtberucksichtigtwurden ModellierungderInteraktionen DieErkennungundModellierungeventuellbestehenderInteraktionensollnunmitHilfedesAIC durchgefuhrtwerdendasvorgehenwirddabeiin2schritteunterteilt: BestimmungzwischenwievielenFaktorenInteraktionmodelliertwerdenkann(2-Faktor, Bestimmung,welcheInteraktionenschlielichsignikantenEinuaufdasModellhaben 3-Faktor,4Faktor-Interaktion,oderuberhauptkeine) erkenntman,dabeilangenpegedauern(groerals3000tage),dieuberlebensfunktionfur mitalleninteraktionen,diebiszu3faktorenenthaltenundletztendlicheinmodellmitsamtlicheninteraktionensolangeinteraktioneneinuaufdasmodellhaben,wirdsichdiesereinudenemodellegettetundzwarjeweilseinesohneinteraktion,mitallen2-faktor-interaktionen, FurdenerstenSchrittwirdfolgendesVorgehengewahlt:FurdenDatensatzwerden4verschie- durcheinwachsenderlikelihoodfunktionunddamitauchdeslog-likelihoodbemerkbarmachenfallsinteraktionenhinzugefugtwerden,diekeinen,oderkaumeinuhaben,sowirdsich

82 76 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ohneinteraktion 2Faktoren Modell Log-LikelihooddfAIC(n=2) alleinteraktionen 3Faktoren Tabelle45:AIC-KriteriumfurModellemitInteraktionen derlog-likelihoodnurunwesentlichandern,derwertdesaicwirdjedochgroer,dadasneue einenrelativhohenlikelihoodhat,dersichauchiminformations-kriteriumbemerkbarmacht kennt,dadasmodellohneinteraktionen(imvergleichzummodellmit2-faktor-interaktionen) ModellmehrFreiheitsgradebeinhaltetDieErgebnissesindinTabelle431dargestelltManer- Auerdemerkenntman,dasichderLog-Likelihoodnurunwesentlichandert,wennman3- (23-14)Freiheitsgrademehr!) scheidetsichvomlikelihoodfuralleinteraktionennurum36,dasvollemodellenthaltaber9 Faktor-,bzwalleInteraktionenbetrachtet(DerLikelihoodfur2-Faktor-Interaktionenunter- ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik : :410 1 p-wert ZStufe2 ZStat :510 1 ZAlterZGeschlecht ZStufe : :010 5 ZAlterZStufe2 ZAlterZStat :710 2 ZAlterZStufe : :710 1 ZGeschlechtZStufe2 ZGeschlechtZStat :110 1 ZGeschlechtZStufe :710 6 ZStatZStufe :510 2 ZStatZStufe : :910 2 Tabelle46:GeschatzteKoezientenimModellmitallen2-Faktor-Interaktionen 2:010 6 Daherdeutetallesdaraufhin,daim\optimalen"Modellnur2-Faktor-InteraktionenvorkommenDahersollnunineinemzweitenSchrittdasModellmitallenInteraktionenzwischen2 FaktorengenauerbetrachtetwerdenunddurchEntfernenvoneventuellnichtsignikantenInteraktionennochverbessertwerdenDasModellmitallen2-Faktor-InteraktionenistinTabelle 46dargestellt

83 kanteneinuaufdasmodellhaben,vorhandensindimfallederinteraktionzwischenalter Tabelle46legtdieVermutungnahe,daimmernochzuvieleKovariablen,diekeinensigni- 43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 77 dieinteraktionzalterzstufe3dafur,danochzuvielekovariablenberucksichtigtwerdender undstufe,sprechenderp-wertvon037furdieinteraktionzalterzstufe2,bzwvon061fur immodellhatumdiesevermutungzubelegensollnundurchiterativesentfernenvoninteraktioneneineweitereverbesserungdesaicerzieltwerdenintabelle47sinddieergebnissefur dasentfernenvonjeweilseinerinteraktion(ausdemmodellmitalleninteraktionen)dargestellt lokalelikelihood-ratio-testfureineinteraktionzwischenalterundpegestufeergibteinenp- Wertvon085,dhmankannnichtdavonausgehen,dadieseInteraktionsignikantenEinu AlterGeschlecht Entfernenvon Log-LikelihooddfAIC(n=2) AlterPegestufe AlterPegeart GeschlechtPegestufe GeschlechtPegeart PegeartPegestufe Tabelle47:EntwicklungdesAICbeiEntfernenvonInteraktionen InTabelle47ndetsichdieVermutungbestatigt,dasichdurchEntfernenderInteraktion jedochauch,damanfurdasmodellohneinteraktiongeschlechtpegestufeeineleichte Wertbetragt317814imVergleichzu317844furModellmitallenInteraktionen)Manerkennt zwischenalterundpegestufeeineverbesserungdesinformationskriteriumserreichenlat(der ErklarungdesModellsbeitragen,bestehen(Tabelle48) aktionzwischenalterundpegestufegetestetwerden,obweitereinteraktionen,dienichtzur VerbesserungdesAICerzieltDahersollendurchanalogesVorgehenfurdasModellohneInter- NachdiesemSchrittsiehtmaneineVerbesserungdesAICbeiHerausnahmederInteraktion AlterGeschlecht AlterPegeart Entfernenvon Log-LikelihooddfAIC(n=2) GeschlechtPegestufe GeschlechtPegeart PegeartPegestufe Tabelle48:EntwicklungdesAICbeiEnfernenweitererInteraktionen(ausgehendvonModell ohneinteraktionzwischenalterundpegestufe)

84 78 zwischenalterundpegestufefallsmandiesevorgehensweisenunnochmalsanwendet,ndet keineverbesserungmehrstatt(siehetabelle49),sodadasoptimalemodellalleinteraktionen KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG bisalterpegestufeundgeschlechtpegeartbeinhaltet AlterGeschlecht Entfernenvon Log-LikelihooddfAIC(n=2) GeschlechtPegeart AlterPegeart Tabelle49:EntwicklungdesAICbeiEnfernenweitererInteraktionen(ausgehendvonModell PegeartPegestufe DieHazardfunktionbesitztnachdiesemModellfolgendeDarstellung: ohneinteraktionen:alterpegestufe,geschlechtpegestufe) (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t) MitderEfron-ApproximationfurdenPartial-LikelihooderhaltmanfurdasModell42diein +10ZStat(t)ZStufe3(t)]: +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) Tabelle410dargestelltenKoezientenDurchdievielenInteraktionenisteineInterpretation (42) ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik :510 1 <10 15 p-wert ZStufe2 ZStat :410 1 ZAlterZGeschlecht ZStufe ZAlterZStat : :710 4 <10 15 ZGeschlechtZStat ZStatZStufe2 ZStatZStufe : :210 2 Tabelle410:GeschatzteKoezientenimModell(42) 1:210 6 derkoezientenkaummehrmoglichzumbeispielerstaunt,derpositivekoezientfurdie geradefurhohealterwiederkompensiertintabelle411istdaherfurdasdurchschnittliche KoezientenfurdieInteraktionzwischenAlterundGeschlechtnegativsind,wirddieserEekt KovariableZGeschlecht(inModell(41)hattederKoezientdenWert-03495)Dajedochdie

85 exp(tz)furverschiedenekovariablenwertezentwickelt AlterimDatensatzvon7872Jahrendargestellt,wiesichderMultiplikatorfurdenBasis-Hazard 43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 79 ambulant,stufe1 ambulant,stufe FrauenManner ambulant,stufe stationar,stufe stationar,stufe stationar,stufe Tabelle411:Multiplikatorexp(tZ)furverschiedeneKovariablenkombinationen(beixiertem Alterv7872Jahren) Proportional-Hazard-ModelleventuellnochzuverbessernNaturlichliegtdieVermutungnahe, IndiesemAbschnittsollversuchtwerden,mitHilfederpegeverursachendenDiagnosendas 432ProportionalHazard(mitDiagnosen) signikanteneinuaufdasmodellhaben,herausgeltertwerdendanichtfurallepegefalle funktionhabenauchhiersollenmitinformationskriteriumvonakaikediagnosen,dieeinen dadiefestgestelltenpegeauslosendenkrankheiteneinenmassiveneinuaufdieuberlebens- Diagnosenerfatwurden,berechnenwirzunachstnochdasInformationskriteriumfurModell (42)aufBasisallerDaten,furdieDiagnosenerfatwurden,umsoeinVergleichskriteriumzu speziziertenkovariablenfurjedediagnoseeineweiterekovariableberucksichtigtineinzelnen bedeutetdies erhaltenineinemzweitenfitbetrachtenwirdanneinmodell,daszusatzlichzudenin(42) DerLog-LikelihoodunddasAICfurdieseModellesindinTabelle412dargestelltWieerwartet ZDiagnose=(1entsprechendeDiagnosewurdebeiderPersonfestgestellt 0sonst : mitallendiagnosen ohnediagnosen Log-LikelihooddfAIC(n=2) chendendiagnosen habenalsodiepegeverursachendenkrankheiteneinenentscheidendeneinuaufdasuberlebenindergesetzlichenpegeversicherungintabelle413sinddiemitderefron-approximation Tabelle412:AIC-KriteriumfurModellemit,bzwohneBerucksichtigungderpegeverursa- furdenproportionalenhazardgeschatztenkoezientendargestellt

86 80 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ZDemenz Variable ZSchlag Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik : :110 4 p-wert ZPsychose ZTumore :810 4 ZKnochenk ZBlindheit : :610 1 <10 15 ZArthrosen ZLungen ZHerz : :810 2 ZGeburt ZNieren : :510 1 Tabelle413:GeschatzteKoezientenimModell(42) 3:010 1 BeigenaurerBetrachtungdergeschatztenKoezientenfalltvorallemderhoheWertdesKoef- zientenunddiehohesignikanz(p-wert<10 15)derKovariableZTumoreaufHierhandeltes Nieren),alleweiterenKoezientensindnegativAufeinedetailliertereBetrachtungderDiagnosenhinsichtlichInteraktionmitanderenKovariablen,bzwInteraktionmitanderenDiagnosen nurdiekovariablenfuralter,geschlecht,pegeartundpegestufeeingehendergrunddafur liegtdarin,daindenmeistenversicherungsvertragenartundhohederleistungenabhangig vonderschwerederpege,nichtabervonpegeverursachendendiagnosensind 441Residuenanalyse TestaufProportionalHazard erkenntmanpositivekoezientenbeierkrankungenlebenswichtigerorgane(herz,lungeund sichwohlmeistumkrebspatientenimendstadium,derenheilungschancengeringsindzudem mochteichinderarbeitverzichten,daindasspaterimtextformulierteversicherungsmodell ZunachstwirdhiernunmitHilfederMartingal-Residuenuntersucht,obimModell(42)die undinteraktionenaus(42),dienichtvomalterabhangen quantitativekovariablealterbereitsgutmodelliertist,oderobeventuelleineanderefunktionale FormfurdieKovariablegefundenwerdenkannDazuttenwireinModell,mitdenKovariablen (t)=0(t)exp[1zgeschlecht+2zstat(t)+3zstufe2(t)+4zstufe3(t) +7ZStat(t)ZStufe3(t)]: +5ZGeschlechtZStat(t)+6ZStat(t)ZStufe2(t) (43)

87 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 81 Furdasnach(43)berechneteModellplottetmandanndieMartingal-ResiduengegendieKovariableAlterundschatztmiteinemGlattungsoperatordenErwartungswertdieserResiduen E(^MjZAlter)(Abbildung44,linkeSeite)DerPlotsolltedannungefahrdiefunktionaleForm darstellen,inderdiekovariableindasmodelleingeht(sieheabschnitt378) Alter Martingal-Residuen Alter Martingal-Residuen Abbildung44:Martingal-ResiduenzurBestimmungderfunktionalenFormderKovariablen ZAlterinModell(42) Manerkennthier,dasichdieFunktionstuckweiselinearverhalt,miteinemKnickimAltersbereichvonca80JahrenUmdiesenKnickgenauerzulokalisierenwurdedieResiduennochmals furdenalterbereichzwischen60und100geplottet(abbildung44,rechteseite),indieser Graphiksehenwir,dasichfureinAltervonca85JahrendieSteigungderKurveerhoht DerPloterlaubtnunfolgendeInterpretation:DieKovariableAltergehtlinearindasModell ein,abeinembestimmtenalter(imbereichvonca85)andertsichjedochderregressionskoezientfurdiekovariablealter UmdiesesAlterzundenkannmannunfolgendermaenvorgehen(vglKleinundMoeschberger[25],Seiten ):ManerweitertdasModell(42)umeineweitereKovariable Z(t)=(1fallsZAlter(t) 0sonst ; sowieumdieinteraktionzalter(t)z(t)zu (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t)

88 82 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ZielistnundieMaximierungdesPartial-LikelihoodfurverschiedeneAlterDafurwurden +10ZStat(t)ZStufe3(t)]+11Z(t)+12ZAlter(t)Z(t): +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) furdenaltersbereich[80,925]furdiewerte=80+0:5ii2f1;;25gmitderefron- (44) ApproximationfurdenPartial-Likelihoodnach(44)berechnetunddieAuswirkungenaufden Log-Likelihoodbetrachtet(Abbildung45) Log-Likelihood Abbildung45:EntwicklungdesLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevoninModell(44) auchfur=91:5verbessertsichdasaicimvergleichzumodell(42)(317786bzw Hierkonnenwirfolgendeserkennen:DieFunktionhateinglobalesMaximumfur=91;5, zudemfalltauf,daanderstelle825einlokalesmaximumliegtsowohlfur=82:5,als Alter wirklichsignikantistdas095-quantilder2-verteilungmit2freiheitsgradenliegtbei599, lokalenlikelihood-ratio-test(346)siehtman,dadieseanderungimpartiellenlog-likelihood imvergleichzu317798)derpartiellelog-likelihoodverbessertsichumca38mitdem diedoppeltedierenzimpartiellenlog-likelihoodliegtbeica23:8=7:6 Die2Maxima,diesichimPlotbeobachtenlassen,legendieVermutungnahe,dader\Knick" furmannerundfrauenzuverschiedenenzeitpunktenvorliegtumdieszuuntersuchenwurde jeweilseinmodellfurfrauenundeinmodellfurmannerberechnet,dessenhazardfunktionnach folgendemproportional-hazard-modellkonstruiertwurde unddiekorrespondierendenmartingal-residuenfurmannerundfrauengetrenntgegendie (t)=0(t)exp[1zstat(t)+2zstufe2(t)+3zstufe3(t) KovariableAltergeplottet(Abbildung46)WirerkennenhierfurFraueneinenrelativstark +4ZStat(t)ZStufe2(t)5ZStat(t)ZStufe3(t)] (45)

89 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 83 Alter Martingal-Residuen Frauen Alter Martingal-Residuen Maenner Abbildung46:Martingal-Residuen(nachGeschlechtgetrennt)zurBestimmungderfunktionalen FormderKovariablenZAlterinModell(42) ausgepragtenknickimaltervonca90jahrenundfurmannereinenleichtenknickimaltersbereichzwischen70und80jahrendaherbetrachtenwirnuneinmodellmitfolgenden zusatzlichenkovariablen: Zw=(1fallsZAlterwundZGeschlecht=1 0sonst ; sowie Zm=(1fallsZAltermundZGeschlecht=0 0sonst undmaximierendenlog-likelihoodfurfolgendesproportional-hazard-modell (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t) +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) +10ZStat(t)ZStufe3(t)+11Zw(t)+12Zm(t) +13ZAlter(t)Zw(t)+14ZAlter(t)Zm(t)]: (46) Umzuerkennen,obsichmitModell(46)eineVerbesserungimAIC-Kriteriumergibtwurden wiederumfurverschiedenewertevonw=80+0:25ii2f0;;80gundm=70+0:25ii2 f0;;80gderlog-likelihoodberechnetdieserwurdemaximiertfurw=91undm=75:25,

90 84 derlog-likelihoodandieserstellehatdenwert157744manerkennteinevielstarkereauspragungdesmaximumsfurfrauenbeigenauereranalysedesmodellsfalltauf,dadieinteraktionenundzalter(t)zw(t)undzalter(t)zm(t)kaumsignikantsind(dielokalen KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Wald-TestsgegendieNullypothesen:13=0bzw14=0fuhrenzup-Wertenvon092bzw schlechterungimvergleichzumodell(44) 037)AuchimAICerkenntfuhrtdiehoheAnzahlanFreiheitsgradenzueinerleichtenVer- ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik : :710 2 p-wert ZStufe2 ZStufe3 ZStat :610 1 Zm Zw : :810 1 <10 15 ZAlterZGeschlecht ZGeschlechtZStat ZAlterZStat :110 3 ZStatZStufe :110 3 ZStatZStufe : :510 2 Tabelle414:GeschatzteKoezientenimModell(47) 1:310 6 mundwmittelsmaximierungdeslog-likelihoodbestimmen,dasbedeutet,dawirden schenm,wundalterunberucksichtigtlassenunddannwiederumdieoptimalenwertefur UmeineOptimierunginunseremModellzuerreichen,solltenwirdaherdieInteraktionenzwi- Log-LikelihoodfurModell (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +10ZStat(t)ZStufe3(t)+11Zw(t)+12Zm(t)] +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t) inabhangigkeitvonwundmmaximieren =0(t)exp(tZ(t)) (47) dieanzahlderfreiheitsgradevon14auf12reduzierthabendarausresultierteineverbesserung Wertvon15874:79erhaltenwirsoeinenminimalhoherenWertalsfurModell(46),obwohlwir Wieauchin(46)wirdderLog-Likelihoodmaximalfurw=91undm=75:25Miteinem Modellkonzentrierenwollen desaic-wertesfurdiesesmodell( ),sodawirunsbeiweiterenanalysenaufdieses

91 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 442GraphischeTestsdesPropotionalHazard 85 Stufe2,,MannerstationarStufe3)undschatzendannmitdesNelson-Aalen-Schatzerfurjede wirdendatensatzin12verschiedenegruppen(frauenambulantstufe1,frauenambulant UmfurModell(47)dieAbhangigkeitdesHazardvonKovariablenzuanalysieren,unterteilen Abschnitt379)FallsdieVerteilungderPegedauernnacheinemProportional-Hazard-Modell einzelnegruppediekumulativehazard-oderintensitatsfunktionmitdiesenintensitatsfunktionenplottenwirjeweilszweiinteressierendeuntergruppengegeneinander(andersen-plots,siehe gegebenist,solltederplotsungefahraufeinergeradenliegen,derensteigungdemrelativen RisikounterderProportional-Hazard-Annahme entsprichtumdasrelativeriskozuerhaltenberechnenwirdeshalbmitmodell(47)diezu- RRPH=0(t)exp(^tZGruppe1) 0(t)exp(^tZGruppe2)=exp(^tZGruppe1) gehorigenmultiplikatorenfurdiebasis-hazardfunktion(alswertefurdiekovariablealterver- wendenwirdasdurchschnittalterinderjeweiligenuntergruppe)dieverwendungdesmittel- WendenwirunszunachstderAnalysederKovariablenZGeschlechtzu(Abbildung47)Fur wertesf4urdiezeitabhangigekovariablezalterfuhrtapproximativzueinemlinearenzusam- menhangderjeweiligenrelativenrisikenindeneinzelnenuntergruppen tenkumulativenhazardfunktionenfurfrauen^w(t)(x-achse)undmanner^m(t)(y-achse) die6kategorien(ambulantstufe1,,stationarstufe3)wurdenhierjeweilsdiegeschatz- gegeneinandergeplottetdiegeradeimplotentsprichtdemnachdemproportional-hazardmetrischennelson-aalen-schatzerermitteltenkumulativenhazardfunktionenungefahrdenmit folgendes:instufe2undstufe3entsprechendiefurmannerundfrauenmitdemnichtpara- Modell(47)erwartetenVerhaltnisderkumulativenHazardfunktionenManerkenntzunachst gutdurcheinproportional-hazard-modellapproximiertwirdbeigenauererbetrachtungdes dasowohlimambulanten,alsauchimstationarenbereichdiehazardfunktionnichtbesonders demproportional-hazard-modellgeschatztenkumulativenhazardsinstufe1falltjedochauf, furfrauenzusterbenniedrigerist,alsnachdemproportionalhazard-modellerwartet(derplot PlotfurambulantePegefalltauf,dabiszueinembestimmtenZeitpunktt0dasrelativeRisiko Risikodarstellt)undabt0dannhoherZuwelchenZeitpunktt0sichdieserTrendumkehrt, enferntsichvondergeraden,diedasnachdemproportional-hazard-modellerwarteterelative kannmanmitdenandersen-plotsnichtfeststellenimbereichderstationarenpegeerkennt Frauen UmdiesenZeitpunktt0festzustellen,andemsichderTrendumkehrtplottenwirdieDierenz maneinenumgekehrtentrend,dhzunachstistfurmannerdasrelativerisikoniedrigeralsfur dermitdemnelson-aalen-schatzergeschatztenkumulativenhazardsvonmannernundfrauen gegeneinander,dhwirplottendiezeittgegenlog(^w(t)) log(^m(t))(abbildung48)dagilt (t)=ddt(t)

92 86 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ambulant Stufe ambulant Stufe ambulant Stufe unddielog-funktionechtmonotonwachsendist,kannmandenplotfolgendermaeninterpretie- Abbildung47:Andersen-PlotsunterteiltnachGeschlecht,x-Achse:Frauen,y-Achse:Manner renindenmonotonfallendenbereichenistdasimnichtparametrischenmodellbeobachteterela- tiverisikozwischenfrauenundmannerkleiner,alsdasnachdemproportional-hazard-modell stationaer Stufe 1 stationaer Stufe 2 stationaer Stufe 3 Aalen-Verfahren(nichtparametrisch)geschatztenHazardfunktionen,danngilt Dierenzlogw logmdargestelltseienalsomit^w(t),bzw^m(t)diemitdemnelson- erwartetemitderhorizontalenlinieistdienachdemproportional-hazard-modellgeschatzte ZwundZmsinddiezugehorigenKovariablen-VektoreneinzelnenUntergruppe,zumBeispiel ^m(t)<exp(^tzw) ^w(t) exp(^tzm): hattederkovariablenvektorzwfurdiestationarpegebedurftigenderstufe1diewerte ZGeschlecht=1; ZStufe1=0; ZAlter=DurchschnittsalterstationarpegebedFrauen: ZStat=1;

93 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 87 Loghazardw - Loghazardm Loghazardw - Loghazardm AuchbeidenPlotsfurdieKovariable\Pegeart"Abbildung49erkennenwir,dainPegestufe Abbildung48:DienrenzdesKumulativenHazardfurManner,bzwFrauen 1derAndersen-PlotnichtsehrgutderGeradendesnachModell(47)erwartetenrelativenRiskos ambulant Stufe 1 stationaer Stufe 1 TrendIndenStufen2und3folgendieAndersen-PlotsrelativgutdenGeraden,diedasnach sterben,zunachsthoheristundsichdanneinpendelt,beimannnernsiehtmandenumgekehrten folgthiersiehtman,dafurfraueninstufe1dasrelativerisikoinambulanterpegezu demproportional-hazard-modell(47)erwartetevehaltnisausdrucken HazardfunktionenfurStufe1(x-Achse)gegenStufe2(y,Achse,gestrichelteLinie),bzwStufe furdie4untergruppen(mannerambulant,,frauenstationar)diejeweiligenkumulativen ZuletztbetrachtenwirnochdieAndersen-PlotsfurdieKovariablePegestufe410Hierwurden 3(y-Achse,durchgezogeneLinie)geplottetWirerkennen,dadasVerhaltnisdeskumulativen HazardsfurStufe3zumkumulativenHazardfurStufe1nursehrunzureichenddurchdas Cox-RegressionsmodellbeschriebenwirdDieserkenntman,inunterschiedlicherAuspragung beiallen4plotsfurdhgeradezubeginnderpegezeitistzubeobachten mit^stufe3und^stufe1alsdenjeweiligennichtparametrischennelson-aalen-schatzernfurstufe ^Stufe3(t) ^Stufe1(t)>exp(^tZStufe3) exp(^tzstufe1)furkleinet 3,bzwStufe1dasheitalsogeradeinderZeitkurznachPegebeginnistinStufe3die SterbeintensitatniedrigeralsnachdemModellerwartetNachdergraphischenAnalysekann modelliertdiesesindimeinzelnen manzusammenfassendfolgendefeststellungtreen: FureinigeKovariablenistdasrelativeRisikomitdemProportional-HazardModellsehrgut RelativesRisikoFrauenzuMannern(inStufe2undStufe3)

94 88 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Frauen Stufe Frauen Stufe Frauen Stufe Abbildung49:Andersen-PlotsunterteiltnachPegeart,x-Achse:ambulant,y-Achse:stationar RelativesRisikoambulantePegezustationarerPege(inStufe2undStufe3) 00 RelativesRisikoStufe2zuStufe Maenner 1 Maenner 2 Maenner 3 EineschlechteProportional-Hazard-Modellierungerhaltmanfur RelativesRisikoambulantePegezustationarerPege(inStufe1) RelativesRisikoFrauenzuMannern(inStufe1) Mansieht,dahiernocheineunzureichendeModellierungderRealitatvorliegt,allemAnschein nachverandernsichdieeinigekoezientenmitderpegedauer(vorallemfurdiekovariablestufe)diesezeitlicheveranderungvonkoezientenwolllenwirnunmitderhilfevon RelativesRisikoStufe3zuStufe1 Schoenfeld-Residuen(sieheAbschnitt379)genaueranalysieren gedauertzubekommen,plottenwirdendurchglattung(mitders-plusfunktioncoxphzph, UntersuchungderzeitlichenAbhangigkeitderRegressionskoezienten UmeinGefuhlfureventuellezeitlicheAbhangigkeitvonRegressionskoezientenvonderPe

95 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD Frauen ambulant Maenner ambulant Abbildung410:Andersen-PlotsunterteiltnachPegestufe,x-Achse:Stufe1,y-Achse:Stufe2 (durchgezogenelinie)bzwstufe3(gestricheltelinie) Frauen stationaer Maenner stationaer 411)DiegestricheltenLiniensind95%-KondenzbanderfurdenErwartungswertDersoerhaltenePlotgibteinIndizfurdiequalitivenEntwicklungdesRegressionskoezientenin ErwartungswertvonskaliertenSchoenfeld-Residuen(351)gegendiePegedauert(Abbildung alsglatterverwendenwireinenkubischensplinemit40aquidistantenstutzstellen)geschatzten AbhangigkeitvonderPegedauer festzustellenist(vorallemindenzeitbereichenzwischen0und2000tagen,alsoindenbereichen,indenenvielebeobachtungenvorliegen)insbesondereerkenntmanindiesemzeitintervall Manerkennthier,dafurfastalleKovariablenimKoezienteneinestarkeZeitabhangigkeit eine\trendwende",dhvielederkurvenhabenimzeitbereichvonca1000tageneinlokales Maximum,bzwMinimumBetrachtetmanzumBeispieldiePlotsfurdieKovariablefurStufe ca1000tageneinlokalesminimumerreichtistdanacherkenntmannurnocheineleichte (imvergleichzustufe1)amanfangvielhoheristunddannfallt,bisbeieinemzeitpunktvon 2(rechts,oben)undStufe3(links,2vonoben),siehtman,dadasrelativeRisikozusterben VeranderungdesKoezientenMitfolgenden2SchrittenversuchenwirnundasModellnoch

96 90 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Beta(t) for Age Beta(t) for Art Beta(t) for Zsex Beta(t) for LevelStufe Time Time Time Time Beta(t) for LevelStufe Beta(t) for thetam Beta(t) for thetaw Beta(t) for Age:Art Time Time Time Time Beta(t) for Age:Zsex derregressionskoezienten Abbildung411:GeglatteteSchoenfeld-ResiduenzurBestimmungderfunktionalenAbhangigkeit zuverbessern: Time Time Time Time UmdenZeitpunkteiner\globalenTrendwende"t0zunden,betrachtenwirzunachst einmodell,indemfurpegedauerntt0undt>t0separatregressionskoezienten geschatztwerdendiesesmodellkannfolgendermaendargestelltwerden: Hiersind (t)=0(t)exp[tz(t)+zt0(t)(tz(t))]: Zt0=(1tt0 Z(t)2IR12 0sonst; derkovariablenvektorausmodell(47)und ;2IR12 Beta(t) for Zsex:Art Beta(t) for ArtLevelStufe Beta(t) for ArtLevelStufe

97 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 91 Log-Likelihood vonseparatenkoezientenfurpegedauerntt0undt>t0 Abbildung412:EntwicklungdesLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevont0beiSchatzung diezuschatzendenparameterfurdiesesmodellmaximierenwirdenpartiellenlog IneinemzweitenSchrittschatzenwirdierenziertfurjedeeinzelneKovariablenausModell LikelihoodinAbhangigkeitvont0 BeispielerhaltenwirfurdieKovariableAlterfolgendeDarstellungderHazardfunktion: (47)separateKoezientenfurPegedauernTt0undT>t0umdamitdieKoezientenzubestimmen,beidenendiegroteAbhangigkeitvonderPegedauervorliegtZum WiederumsindZ(t)derVektorausModell(47)und (t)=0(t)exp[zalter(t)zt0(t)+tz(t)]: diezuschatzendenparameter 2IR;2IR12 mitdempaketcoxphauss-plusnichtzurealisierenumdieszuermoglichenmusstediedesignmatrixanjedemzeitpunkt,andemeinereignisbeobachtetwird,neuberechnetwerdenfurenabhangigkeit(t)=0+1t)istmitdemproportional-hazard-schatzergenerellmoglich, Bemerkung:EinezeitstetigeModellierungvonRegressionskoezienten(zBinFormeinerlinea- jedembeobachtungspunkteinenneuenkovariablenvektorinabhangigkeitvonderbeobach- kleinedatensatzekannmandiesnocherreichen,indemmandendatensatzaufsplittetundan gestufeundpegeartmodelliert,hieristdiezeitabhangigkeitjedochinformeinerstuckweise tungszeitdeniert(mitdiesertechnikwurdenauchdiezeitabhangigenkovariablenfurpe- konstantensprungfunktionvorgelegen)

98 92 t0verhaltmanerkennteinglobalesmaximumfurt0=450tagederwertdeslog-likelihood InAbbildung412sehenwirzunachst,wiesichderLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevon KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Umzuerkennen,inwelcherKovariablendiestarkstezeitlicheVariationimKoezientenvorliegt, (47)(miteinemWertvon )ist betragtandieserstelle ,waseinewesentlicheverbesserungimvergleichzumodell wurdefurjedeneinzelenkoezientenausmodell(47)einseparaterkoezientfurpegedauern Tt0,sowieT>t0berechnetundgegent0geplottet(Abbildung413) Alter Art Geschlecht Stufe2 Log-likelihood Log-likelihood Log-likelihood Log-likelihood Pflegedauer Stufe Pflegedauer thetaw Pflegedauer thetam Pflegedauer Alter X Art Log-likelihood Log-likelihood Log-likelihood Log-likelihood Pflegedauer Alter X Geschlecht Pflegedauer Art X Geschlecht Pflegedauer Art X Stufe Pflegedauer Art X Stufe3 Log-likelihood Log-likelihood Log-likelihood Abbildung413:EntwicklungdesLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevont0beiSchatzung InAbbildung413erkennenwirvorallemfurdieKovariableAlter,sowiefurPegestufe2und3 vonseparatenkoezientenfurpegedauerntt0undt>t Pflegedauer Pflegedauer Pflegedauer Pflegedauer einestarkeverbesserungdeslog-likelihoodbeiderschatzungderjeweiligenkoezientenfur DahermodizierenwirdasModell(47)undschatzenfurdieKovariablenAlterundPegestufe imlog-likelihood(hinsichtlichdesp-wertfurdenlokalenlikelihood-ratio-test) Tt0undT>t0InTabelle415erkenntmanalle3KovariableneinesignikanteVerbesserung KoezientenseparatfurTt0undT>t0Technischwurdedieserreicht,indemwirzuden Log-likelihood

99 44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD Kovariable t0 LL(ModellfurTt0,T>t0)LL(Modell(47)) p-wert 93 ZStufe2 ZStufe3 ZAlter : :610 5 <10 15 Tabelle415:MaximumdesLog-LikelihoodfurseparateSchatzungderKovariablenfurAlter, Koezientenin(47)dreiweitereKovariablenZ75,Z125,sowieZ400mit Stufe1undStufe2(unterteiltnachPegedauernTt0undT>t0) einfuhrtenunddereninteraktionmitdenjeweiligenvariablenfuralter,stufe2undstufe3 Zt0(t)=(1tt0 betrachtetenfurdiesesmodellverbessertsichderlog-likelihoodauf158014manerkennt 0sonst ZAlterZ400 Variable Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik <10 15 p-wert ZGeschlecht ZStat :01 ZStufe2Z :89 ZStufe3Z : < :10 ZAlterZGeschlecht Zm Zw :02 ZAlterZStat : :25 ZGeschlechtZStat ZStatZStufe : ZStatZStufe : speziellfurpegestufe3,dageradedieersten400tage(alsoungefahrdaserstejahr)das T>t0furAlterundStufe Tabelle416:GeschatzteKoezientenimModellmitseparatenKoezientenfurTt0und wurdediemodellierungstetigvonderzeitabhangigerkoezienteneineverbesserungdesmodellsergebenausvorhergenanntengrundenwareineschatzungvonkoezientenfurdiese RisikozusterbenimVergleichzuPegestufe1extremhochistWieschonvorhererwahnt, ModellierungaufgrundderGroedesDatensatzesnichtzurealisierenDahermochteichandie-

100 94 serstellemitderanalysedersterbeintensitatenendenundspater,beiderentwicklungeines Versicherungsmodells,dieinTabelle416dargestelltenErgebnisseverwenden KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG AbhangigkeitvonverschiedenenEinufaktorenbeschaftigtIneinemweiterenSchrittwollen 45 BisjetzthabenwirunsnurintensivmitdemEreignis\ToddesPegebedurftigen"unddessen ModellierungderZustandsubergange wirnundieubergangezwischendenverschiedenenpegeartenund-stufengenaueruntersuchen MitHilfezweierverschiedenerModellesollenderDatensatzhinsichtlichfolgendeFragestellungen untersuchtwerden: FluktuationimBestandhinsichsichtlichPegeart(ambulant,stationar) sitaten,bzwwahrscheinlichkeitenhergeleitetwerden MitHilfederinAbschnitt25entwickeltenTheoriesollenfurdieseModelleUbergangsinten- FluktuationimBestandhinsichtlichPegestufe 451ModellierungderZustandsubergangezwischenambulanterundstationarerPege ImfolgendensollnunzunachstMarkov-Modellmitden3verschiedenenZustanden:ambulante Pege,stationarePegeundTod,betrachtetwerdenDieMarkoveigenschaftspiegeltsichinder indemsichdiepegebedurftigepersonzumzeitpunkttbendetundeinemkovariablenvektor Z(t)(Alter,Pegestufe,GeschlechtundeventuellInteraktionen)nichtjedochvonderbisherigen Annahmewieder,daUbergangsintensitaten(t)nurvonderPegedauertundvomZustand, PegehistorieabhangenEinBeispielfurdieModellierungeinesMarkov-ModellsfurKnochentransplantationsdatenndetmanzumBeipielindemdemArtikelvonKleinundKeiding(1994) [24] IneinemerstenSchrittsollendieUbergangsintensitatenij(t);i2f1;2;3g;j2f1;2;3gzu zweitenschrittwerdendannmithilfedergeschatztenintensitaten,dieubergangswahrscheinlichkeitenpij(z;t)ztberechnet deninabbildung414schematischdargestelltenzustandsubergangegeschatztwerdenineinem bzw23(t)eineausfuhrlicheuntersuchungimvorherigenabschnittdurchgefuhrthabeninsgesamtwurden590ubergangevonambulanterzustationarerpegeund28ubergangevositatenzwischenambulanterundstationarerpege,dawirfurdiesterbeintensitaten13(t), BeiderSchatzungderIntensitatenkonzentrierenwirunsvorallemaufdieUbergangsinten- stationarerzuambulanterpegebeobachtet MitHilfederZahlprozenotationfurdenProportional-HazardkonnenwirzurSchatzungdieser

101 45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE 12(t) 95 13(t) 21(t) 23(t) IntensitateneinProportional-Hazard-ModellttenDabeiinteressierenunsfolgendeZahlprozesseN12(t)=#UbergangevonambulanterzustationarerPegebiszumZeitpunktt; furdiewirdiekompensator-,oderkumulativehazardfunktion N21(t)=#UbergangevonstationarerzuambulanterPegebiszumZeitpunktt; Abbildung414:SchematischeUbersichtderZustandsubergangeambulantstationar ineinemproportional-hazard-modellschatzenzunachstgehenwirdavonaus,daijfolgende ij(t)=zt Darstellunghatij(t)=ij0(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht+3ZStufe2(t) 0ij(u)dui;j2f1;2gi6=j onarerzuambulanterpegeerhaltmandieintabelle417dargestelltenkoezientenbeieinem miteinemunspeziziertenbasis-hazardij0(t)furdieubergangsintensitat12(t)vonstati- +4ZStufe3(t)]i;j21;2i6=j; (48) Signikanzniveauvon5%habenalleKovariablenbisaufZStufe3(derp-Wertliegthierbei019) InteraktionenzwischenKovariablenuntersuchenFurdieUbergangevonstationarerzuambu- signikanteneinuaufdasmodelldiesesmodellwerdenwirspaternochgenauerhinsichtlich ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik : :910 5 p-wert ZStufe2 ZStufe :610 4 Tabelle417:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintensitat12 1:910 1 p-wertderlikelihood-ratio-statistikfurdengesamteinuderkovariablenvon0192(wert lanterpegekannmanfurkeinekovariableeinensignikanteneinufeststellenauchder 1: ambulante Pflege 3: tot 2: stationaere Pflege

102 dafur,dakeinsignikanterproportional-hazarderkennbarist,istwohldieextremniedrige 96 derteststatistikist609bei2verteilungmit4freiheitsgraden)istrelativhocheingrund KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG keitenherleitendieanwendungvon(223)fuhrtzufolgendemdierentialgleichungssystem: MitHilfederKolmogorov-DierentialgleichungenkonnenwirnundieUbergangswahrscheinlich- AnzahlanUbergangenvonstationarerzuambulanterPege ddtp11(z;t)=p12(z;t)21(t) P11(z;t)(12(t)+13(t)); ddtp12(z;t)=p11(z;t)12(t) P12(z;t)(21(t)+23(t)); ddtp13(z;t)=p11(z;t)13(t)+p12(z;t)23(t); ddtp22(z;t)=p21(z;t)12(t) P22(z;t)(21(t)+23(t)); ddtp21(z;t)=p22(z;t)21(t) P21(z;t)(12(t)+13(t)); DieDierentialgleichungenfurdieVerweilwahrscheinlichkeitenlauten: ddtp23(z;t)=p22(z;t)23(t)+p21(z;t)13(t): ddtp11(z;t)= P11(z;t)(12(t)+13(t)); (49) ddtp22(z;t)= P22(z;t)(21(t)+23(t)): gestellthaben,daeskaumstufenubergangevonstationarerzuambulanterpegegibt,wollen EineexpliziteLosungdesDientialgleichungssystems(49)istnichtmoglichDawirjedochfest- (410) gehendavonaus,da21(t)=0furallet)diedierentialgleichungen(49)vereinfachensich wirimfolgendendieubergangevonstationarerzuambulanterpegevernachlassigen(dhwir somitzu ddtp11(z;t)= P11(z;t)(12(t)+13(t)); ddtp13(z;t)=p11(z;t)13(t)+p12(z;t)23(t); ddtp12(z;t)=p11(z;t)12(t) P12(z;t)23(t); ddtp22(z;t)= P22(z;t)(21(t)+23(t)); InsbesonderewerdendieZustande2und3zustrikttransientenZustanden,dh ddtp23(z;t)=p22(z;t)23(t): (411) P11(z;t)=P11(z;t); P22(z;t)=P22(z;t):

103 DieseDierentialgleichungenlassensicheinfachlosenFurdieVerweilwahrscheinlichkeitenin 45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE Stufe1erhaltmaneineLosungdurchIntegration 97 wasaquivalentistzulog(p11(z;t)) log(p11(z;z)) Zt zddtp11(z;s) P11(z;s)ds= Zt z [12(s)+13(s)]ds; sodamanmit =0 {z } = Zt P11(z;t)=exp Zt z[12(s)+13(s)]ds z[12(s)+13(s)]ds; einelosungerhaltanalogesvorgehenergibtfurdieverweilwahrscheinlichkeitinstufe2p22(z;t) UmdieUbergangswahrscheinlichkeitP12(z;t)zuerhalten,mussenwirdieDierentialgleichung P22(z;t)=exp Zt z23(s)ds: mittelsvariationderkonstanten(zbinkonigsberger(1992)[20]seite270)losenzuerstbestimmenwirdielosungeny(z;t)deshomogenensystems ddtp12(z;t)= 23P12(z;t)+P11(z;t)12(t) diegegebensinddurch ddty(z;t)= 23(t)y(z;t); EinepartikulareLosungderinhomogenenDierentialgleichungist y(z;t)=cexp Zt z23(s)ds c2ir: P12(z;t) Fubini = Zt zp11(z;s)12(s)expzt zp11(z;s)12(s)dsexpzt z23(u)duds sodawirnunallelosungenderdierentialgleichungangebenkonnen P12(z;t)=Zt zp11(z;s)12(s)dsexpzt z23(u)du+cexp Zt z23(u)du; UnterBerucksichtigungderRandbedingung z23(s)ds diefurc=0erfulltist,erhaltmanalslosung dz!0ddtp12(z;z+dz)=lim 0P11(z;z+dz)!1 {z } 12(z+dz) P12(z;z+dz)!0 {z } 23(z+dz)=12(z); P12(z;t)=Zt zp11(z;u)12(u)p22(u;t)du:

104 98 DieUbergangswahrscheinlichkeitenfurP23erhaltenwirdurchIntegration KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG P23(z;t)=Zt zp22(z;u)23(u)du zexp Zu = exp Zu Stammfunktion:exp( Ru z23(s)ds23(u) z23(s)ds 1=1 P22: {z z23(s)ds) } ZuletzterhaltendieverbleibendeUbergangswahrscheinlichkeitP13(z;t)alsDierenz KommenwirnunnocheinmalaufdieIntensitatenfurdenUbergangvonambulanterzustationarerPegezuruckAuchhierwollendurchweitereAnalysenunsereModellwahloptimieren P13(z;t)=1 P11(z;t) P12(z;t): bulanterzustationarerpegedaraninteresssiert,obsignikanteinteraktionenzwischenden ModellierungeventuellvorhandenerInteraktionen verbleibendenkovariablenzalter,zgeschlechtundzstufebestehendazuschauenwirunsdie WieauchbeiderHerleitungderSterbeintensitatensindwirauchbeidenUbergangenvonam- EntwicklungdesLog-Likelihood(bzwdasAIC)fureinModellmitallenInteraktionenimVergleichzumModellohneInteraktionenan(Tabelle451) alleinteraktionen ohneinteraktion Log-LikelihooddfAIC(n=2) Tabelle418:AIC-KriteriumfurModellohneInteraktionundModellmitallenInteraktionen betrachten (um174)erhoht,sodaeswohlnichtsinnvollisteinuminteraktionenerweitertesmodellzu Hiersiehtman,dadieHinzunahmevonInteraktionendenLog-Likelihoodnurminimal

105 452ModellierungderZustandsubergangezwischendenverschiedenenPegestufen 99 45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE Insgesamtwurden1334Stufenubergangebeobachtet,derenempirscheHaugkeitinTabelle419 standsubergangefurdieverschiedenenpegestufenbeschreibt AnalogzumVorgeheninAbschnitt451betrachtenwirhiereinMarkovmodell,dasdieZu- 12(t) 13(t) 23(t) 14(t) 24(t) 34(t) Pegestufen dargestelltist Abbildung415:SchematischeUbersichtderZustandsubergangezwischendenverschiedenen Stufe1 Stufe2Stufe1Stufe2Stufe3 Stufe3 64 { { Tabelle419:AnzahlderStufenubergangeimDatensatz { erkenntalsoauchhiereinenwesentlichentrendzurverschlechterungdahersollenbeiunseremmodellwiederdievereinfachendeannahmegetroenwerden,dadieubergangintensitatedesanpegebedurftigkeit),nur103pegebedurftigewechseltenineinebesserepegestufeman Insgesamtkonntenwirbei1231UbergangeneineVerschlechterung(dheineErhohungdesGrasitatenRt012(s)ds,Rt013(s)dsundRt023(s)dsalsKompensatorenderZahlprozesse: 31(t)=21(t)=32(t)=0sindWiederumschatzenwirdiekumulativenUbergangsinten- N12(t)=#UbergangevonPegestufe1zuPegestufe2biszumZeitpunktt; N13(t)=#UbergangevonPegestufe1zuPegestufe3biszumZeitpunktt; N23(t)=#UbergangevonPegestufe2zuPegestufe3biszumZeitpunktt 1: Stufe 1 2: Stufe 2 4: tot 3: Stufe 3

106 100 einemproportional-hazard-modellan,dh undnehmenwiederumeineabhangigkeitindenkovariablenzgeschlecht,zalter,zstatnach KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG mit tz(t)=1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t): ij(t)=ij0exp(tz(t))i;j2f1;2;3gi<j; (412) MitdemAnsatz(412)erhaltenwirdieindenTabellen aufgefuhrtenKoezienten ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik :510 9 p-wert ZStat :99 Tabelle420:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat12 0:74 ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistikp-Wert ZStat :05 Tabelle421:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat13 0:52 ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik :810 4 p-wert ZStat :08 Tabelle422:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat23 0:25 jeweilseinzelnfurdieubergangsintensitaten12(t),13(t),23(t)dieentwicklungdeslog- ModellierungvonInteraktionen Umzuerkennen,obInteraktionensignikantenEinuaufdasModellhaben,betrachtenwir LikelihoodimModellDieErgebnissesindinTabelle423aufgefuhrt Wirerkennen,dasichnurbeiderSchatzungderUbergangangsintensitaten12(t)einesigni- denkanndaherttenwirnuneincox-regressionsmodellfur12(t)indemalleinteraktionen kanteverbesserungdeslog-likelihoodsunddamitauchdesaic-kriteriumbeobachtetwer-

107 45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE Modell Log-LikelihooddfAIC(n=2) alleInteraktionen 13alleInteraktionen alleInteraktionen ohneinteraktion Tabelle423:AIC-KriteriumfurModellohneInteraktionundModellmitallenInteraktionenfur berucksichtigtsind,dh dieubergangsintensitaten12(t),13(t)und23(t) 12(t)=120(t)exp(1ZAlter(t)+2ZGeschlecht+3ZStat(t) +6ZGeschlechtZStat(t)+7ZAlter(t)ZGeschlechtZStat(t)) +4ZAlter(t)ZGeschlecht+5ZAlter(t)ZStat(t) (413) Hiersehenwireinestarke3-Faktor-InteraktionzwischenAlter,GeschlechtundPegeart(sieheTabelle424),sodawirspaterbeidenKalkulationenimVersicherungsmodellauf(413) zuruckgreifenwerden ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistikp-Wert :002 ZAlterZGeschlecht ZStat : :130 ZAlterZStat :150 0:003 0:03 ZAlterZGeschlechtZStat ZGeschlechtZArt : Tabelle424:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat12beiBerucksichtigungaller 0:002 Interaktionen AusTabelle423siehtman,dakeinesignikantenInteraktionseektefur13(t)und23(t)vorhandensindBeiBetrachtungderZustandsubergangevonZustand1inZustand3(13(t))sowie vonzustand2inzustand3(23(t))erkenntmankeinesignikanteabhangigkeitderubergangsintensitatvonderkovariablezstat(diekorrespondierendenp-wertebetragen052,bzw025), sodawirdiesekovariableimfolgendennichtberucksichtigenunddieintensitatsfunktionen

108 102 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistikp-Wert Tabelle425:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat13 0:05 modellierenmit MitdenModellen(414)und(415)erhaltenwirdieTabellen425und426aufgefuhrtenKoef- 23(t)=230(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht]: 13(t)=130(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht;] (415) (414) zientenvariable ZGeschlecht ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik :810 5 p-wert Tabelle426:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat23 0:06 bestimmenmanerhalt DieUbergangswahrscheinlichkeitenkannmanwiederummitHilfederDierentialgleichungen P11(z;t)=exp Zt P22(z;t)=exp Zt P33(z;t)=exp Zt z[12(u)+13(u)+14(u)]du; z[23(u)+24(u)]du; P34(z;t)=1 P33(z;t); P23(z;t)=Zt zp22(z;u)23(u)p33(u;t)du; z34(u)du; P24(z;t)=1 P22(z;t) P23(z;t); P12(z;t)=Zt P13(z;t)=Zt zp11(z;u)12(u)p22(u;t)du; P14(z;t)=1 P11(z;t) P12(z;t) P13(z;t): z(p11(z;u)13+p12(z;u)23(u)p33(u;t); MitdiesenVorbereitungenkonnenwirunsnunderKonstruktioneinesVersicherungsmodells zuwenden (416)

109 Kapitel5 Versicherungsmodells Entwicklungeines MitHilfederin25hergeleitetenTheoriezuMarkov-Prozessenundderin45hergeleitetenUbergangsintensitatensollnuneinVersicherungsmodellzurPegeversicherungentwickeltwerden dargestelltsindeinesehrausfuhrlichedarstellungzuranwendungvonmulti-state-modellen inderpersonenversicherungndetmaninhaberman(1999)[19]aufgrundlagenderklassischenlebensversicherungwerdenwirindiesemabschnittnursoweitwienotigeingehen,eine DazusindabernocheinigevorbereitendeDenitionennotig,dieimfolgendenAbschnittkurz und-kalkulationinderpegeversicherung,sowiestatistischesrohmaterialzurgewinnungvon cherungdermunchenerruck(1992)[36]ndetmanausfuhrlichemodellezurproduktgestaltung DarstellungdiesesThemasistinGerber(1997)[16]gegebenIndemHandbuchzurPegeversi- Rechnungsgrundlagen ZustandsraumZ=f1;;ngbeschriebenwerden,dasheit DieEntwicklungeinesversichertenRisikoskannalszeitstetigerMarkov-ProzeSmitendlichem 51 VersicherungalsMarkov-Proze HieristT=[0;);<1dasIntervallvonVersicherungsbeginnbisVersicherungsendeDer VersicherungsprozewirdimMarkovprozealsein(zustandsabhangiger)ZahlungsstromzwischendemVersicherten,oderVersicherungsnehmer(kurz:VN)unddemVersicherer(kurz:VR) S:T7!f1;;ng: Dieeinmaligen,oderkontinuierlichenZahlungendesVersichertenandenVersichererheienBeitrageoderPramien,diedesVersicherersandenVersicherungsnehmerLeistungenFurdieUbergangswahrscheinlichkeitenund-intensitatenverwendenwirdieBezeichnungenausAbschnitt25 103

110 Zahlungsfunktionen KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS Denition51(Zahlungsfunktionen)FurdenVersicherungsprozeS(t)sindfolgendeZahlungsfunktionendeniert ZustandabhangigeZahlungsfunktionen: UmdenZahlungsstrombeschreibenzukonnen,deniertmannunfolgendevonZeitpunktund (ii)bi(t):einestetigerente,dievomversichererbezahltwird,solangesichderversicherungsnehmerimzustandibendet (i)pi(t):einestetigepramie,diedervnbezahlt,solangeersichimzustandibendet (iii)cij(t):diezahlungeinerbestimmtensummefallsderversichertevomzustandiinden (iv)di(t0):diezahlungeinerbestimmtensumme,fallssichderversicherungsnehmerzum Zustandjwechselt Beispiel52(gemischteLebensversicherung) Zeitpunktt0imZustandibendet DerVersicherungsnehmerzahlthierbiszueinembestimmtenZeitpunktt0(zumBeispielbis zumalter65jahre)einenstetigenbeitragderhohepfallsderversicherungsnehmerstirbt, DiegemischteLebensversicherungistinDeutschlanddiehaugsteArtderLebensversicherung BeiderModellierungalsMarkov-ModellinteressierenbeidiesemModellnurdieZustandetot spatestensaberzumzeitpunktt0zahltderversicherereineeinmaligeleistungderhohec undlebendig(abbildung51)derzahlungsstromfurdieseversicherungsiehtwiefolgtaus c12(t)=(ct<t0 p1(t)=(pt<t0 d1(t0)=c; bi(t)=0i=1;2: 0sonst; Abbildung51:ZustandsubergangeinLebensversicherungsproze 1 2 1:lebendig 2:tot Beispiel53(privateAltersrente)DerVersicherungsnehmerzahltsolangeerlebt,jedoch maximalbiszueinembestimmtenaltert0einestetigepramieunderhaltabeinemalter

111 denzustandsubergangeinabbildung51skizziertalszahlungsstromfurdiesesmodellerhalten t1t0einestetigerentederhohebauchfurdiesesbeispielsinddieunsinteressieren- 51VERSICHERUNGALSMARKOV-PROZESS 105 wir p1(t)=(pt<t0 b1(t)=(btt1 0sonst; 512BerechnungvonBarwertenundErwartungswerten c12(t)=0: jedemzeitpunkttmuderwerteinernanziellenleistungermitteltwerdenkonnendieserreichtmanmittelseinersogenanntenzinsstrukturimunseremfallsolldieeinfachstenanzielle UmBarwerteberechnenzukonnenbenotigtmaneinenanzielleStruktur,dasbedeutet,zu Strukturangenommenwerden,dasheitwirbetrachteneinModellmitstetigerZinsstrukturund konstanterzinsintensitat(t)=diediskontierungsfunktionhatdamitdenwert: SeimitvderjahrlicheDiskontierungsfaktorbezeichnet,sogilt: exp Zt 0ds=e t: zumzeitpunktt<ugenausovielgeldanlegen,daerzumzeitpunktudurchstetigeverzinsung Bemerkung:DieZinsintensitatlatsichfolgendermaeninterpretieren:EinAnlegermochtezum v=e : Anlegergenau: mitzinsintensitatdenwert1erhaltfallstunduindiezeitinjahrenangibt,benotigtder Nunkonnenwirdie(zufalligen)BarwerteeinerLeistungfurdieinDenition51deniertenZahlungsfunktionenangebenDieseBarwertesindsozusagenderWerteinerLeistungzumZeitpunkt tds=e (u t)=vu t: exp Zu nenwerdenfolgende(zufalligen)barwertedeniert: Denition54(Barwert)FurdieinDenition51(i)-(iv)beschriebenenZahlungsfunktio- t,fallsdieleistungzumzeitpunktu,bzwimzeitintervall[u1;u2)erbrachtwerden (i)derbarwerteinerstetigenpramiepjzumzeitpunkttistfolgendermaendeniert furdenpramienbarwertuberdasintervall[u1;u2)mittu1<u2erhaltman Ypj t(u;u+du):=vu ti(s(u)=j)pj(u)du: Ypj t(u1;u2):=zu2 u1vu ti(s(u)=j)pj(u)du:

112 106 (ii)analogistderbarwertfureinestetigerentebjzumzeitpunkttfurdasintervall[u1;u2) KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS (iii)derbarwerteinereinmaligenzahlungcijbeiubergangvonzustandinachzustandjist Ybj t(u1;u2)=zu2 u1vu ti(s(u)=j)bj(u)du: (iv)zuletzterhaltenwirnochfureineeinmaligezahlungdj(t0),diederversicherungsnehmer Ycij erhalt,fallsersichzumzeitpunktt0imzustandjbendet t(u)=vu ti(s(u )=i^s(u)=j): 513AktuarielleWerte Ydj t(t0)=vu ti(s(u)=j)dj(t0): liegenderzahlungsstromezwischendemversicherungsnehmerunddemversicherermodelliert haben,interessierenwirunsnunfurdiesogenanntenaktuariellenwerte,diedenerwartungswert(hinsichtlichdesmarkovprozessess)dieserzahlungsstromebeschreibenmithilfedieser NachdemwirinAbschnitt512mitdenBarwertendenWertverschiedenerinderZukunft ZustandidesVersicherungsprozessesSbendetistderaktuarielleWerteinerZahlungsfunktionfureinenZeitpunktubzwfureinZeitintervall[u1;u2)alsderfurdiesenZeitpunkt,bzw ZahlungsfunktionenbedeutetdiesimEinzelnen (i)deraktuariellewerteinerkontinuierlichenpramiepjfurdasinnitesimaleintervall Denition55(aktuarielleWerte)FureinenVersicherten,dersichzumZeitpunkttim aktuariellenwertekannspaterdasversicherungsmodellformuliertwerden -raumerwartetebarwert(gegebens(t)=i)deniertfurdieindenition51beschriebenen FurdasIntervall[u1;u2)erhaltmandenaktuariellenWert [u;u+du)ist E[Ypj E[Ypj t(u;u+du)js(t)=i]=vu tpij(t;u)pj(u)du: (ii)wiederumkannmananalogfureinestetigerentebj(t)denakturiellenwertangebenmit t(u1;u2)js(t)=i]=zu2 u1vu tpij(t;u)pjdu: (iii)fureinmaligezahlungenandenversicherungsnehmer,fallsdieservonzustandjinzustandkwechselt,cjk(u)bedeutetdies u1vu tpij(t;u)djdu: E[Ybj t(u1;u2)js(t)=i]=zu2 furdasintervall[u1;u2)istderaktuariellewert E[Ycjk E[Ycjk t(u1;u2)js(t)=i]=zu2 t(u)js(t)=i]=vu tpij(t;u)jk(u)cjk(u)du u1vu tpij(t;u)cjk(u)jk(u)du

113 51VERSICHERUNGALSMARKOV-PROZESS (iv)schlielicherhaltfureineeinmaligezahlungdesversichererszumzeitpunktt0denbarwert BeitrageundReserven E[Ydj(t0)jS(t)=i]=vt0 tpij(t;t0)dj(t0) DasjederVersicherungzugrundeliegendePrinzipistdasversicherungsmathematischeAquivalenzprinzipSaloppausgedrucktbesagtdiesesPrinzip,dajederVersichertefurseinenerwarteten SchadenselbstaufkommtFurdenZahlungsstrombedeutetdies,dazuPolicenbeginn(t=0) derbisherentwickeltenterminologielatsichdiesesaquivalenzprinzipwiefolgtbeschreiben tuariellenwertderzahlungsstromevomversicherungsnehmerzumversichererentsprichtin deraktuariellewertallerzahlungsstromevomversichererzumversicherungsnehmerdemak- Denition56FureinenVersicherungsprozeS(t)mitPolicenendedenierenwirmit Bi(t;)=Z +Z tvu t24xj2spij(t;u)bj(u)35du +X u:utvu t24xj2spij(t;u)dj(u)35 tvu t24xj2sxk6=jpij(t;u)jk(u)cjk(u)35du diesummeallererwartetenleistungenzumzeitpunktt,gegebens(t)=iundanalogmit diesummeallererwartetenpramienzumzeitpunktt,gegebens(t)=i Pi(t;)=Z tvu t24xj2spij(t;u)pj(u)35du MitdieserDentionlatsichdasAquivalenzprinzipnunfolgendermaenformulieren: cherungsmathematischeaquivalenzprinzipgenaudannerfulltwenngilt: Denition57(VersicherungsmathematischesAquivalenzprinzip)FureineVersicherungspolicemitEndzeitpunktundAnfangszustanddesversichertenRisikosS(0)=1istdasversirungspoliceerfulltDerGrunddafurliegtunteranderemanderTatsache,dadasversicherte GeradeinderPersonenversicherungistdasAquivalenzprinzipmeistnurzuBeginnderVersiche- P1(0;)=B1(0;): (51) bleibtwichtigindiesemzusammenhangist,dawahrenddergesamtenvertragslaufzeitgelten RisikomitwachsendemAlterimmergroerwird,dergezahlteVersicherungsbeitragabergleich mu P1(t;)B1(t;): (52)

114 108 wasbedeutet,dadererwartetezahlungsstromvonversicherungsnehmerzumversichererimmermindestensgenausogroist,wiederumgekehrtestromdergrunddafuristeinleuchtend, KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS Denition58FureinenVersichertenimZustandinenntmandieDierenzausaktuariellemWertallerBeitrageundaktuariellemWertallerLeistungenprospektiveReservezum Zeitpunktt nehmerwird,diepositiondesversichererswirdalsogestarkt aufdieseweisemochtemanverhindern,daderversichererzum\glaubiger"desversicherungs- (51)und(52)Randbedingungen,innerhalbderensichdieVersicherungspramiebewegenkann (51)istkeineeindeutigeBedingungfurdieGestaltungderVersicherungspramie,vielmehrsind Vi(t;)=Bi(t;) Pi(t;): WichtigeBeispielefurdieGestaltungderPramienstruktursind gleichbleibendejahrespramien:derversicherungsnehmerzahltinjahrlichenabstanden Einmalpramien:DerVersichertezahltdiegesamtePramiezuPolicenbeginn 52einenBeitraggleichbleibenderHohe BerechnungvonBeitragenfurPegeversicherungs-Modelle 1 4 3:stationarePege 2:ambulantePege 1:aktivlebend 2 3 4:tot IndiesenAbschnittwollenwirdarstellen,wiemitHilfederbisherigenErgebnissePegeversicherungsbeitragekalkuliertwerdenkonnenUmBerechnungenrealisierenzukonnenmussen Abbildung52:ZustandsubergangeinPegeversicherungsproze zunachstdiemarkov-modelleumeinenweiterenzustand,denwirimfolgendenmit\aktivlebend"bezeichnenerweiternindenabbildungen52bzw53sehenwirdiegraphendesatzbeobachtbarwaren,umrandetdademdatensatznurinformationenuberpegebedurftige soerweitertenmarkovmodellemitdergestricheltenliniesinddiezustande,dieimdaten- Insurance,aus[36]Anhang6,furdieUbergangevonaktivlebendzupegebedurftig) andererenquelleentnehmen(einjahrigepegefall-eintrittswahrscheinlichkeitencustodial-care- Versicherteentnehmbarwaren,werdenwirdieUbergangsintensitatenfur\aktivlebende"einer

115 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE :Pegestufe1 3:Pegestufe2 1:aktivlebend :Pegestufe3 5:tot 521VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenambulanterund Abbildung53:ZustandsubergangeinPegeversicherungsproze dadieubergangsintensitatenfurdiezustande2,3und4schonalslosungdesdierentialgleichungssystems(411)vorliegenfurdenzustand1erhaltenwir4weiteredierentialgleichungen ddtp12(z;t)=p11(z;t)12(t) P12(z;t)(23(t)+24(t)); ddtp11(z;t)= P11(z;t)(12(t)+13(t)+14(t)); ddtp13(z;t)=p11(z;t)13(t)+p12(z;t)23(t) P13(z;t)34(t); BetrachtenwirnundasinAbbildung52skizzierteVersicherungsmodellZunachsterkenntman, stationarerpege FurdasDierentialgleichungssystemerhaltenwirfolgendeLosung ddtp14(z;t)=p11(z;t)14(t)+p12(z;t)24(t)+p13(z;t)34(t): P11(z;t)=exp Zt (53) P33(z;t)=exp Zt P22(z;t)=exp Zt z[12(u)+13(u)+14(u)]du; z34(u)du; z[23(u)+24(u)]du; P34(z;t)=1 P33(z;t); P23(z;t)=Zt P24(z;t)=1 P22(z;t) P23(z;t); P12(z;t)=Zt zp22(z;u)23(u)p33(u;t)du; P13(z;t)=Zt zp11(z;u)12(u)p22(u;t)du; P14(z;t)=1 P11(z;t) P12(z;t) P13(z;t): z[p11(z;u)13+p12(z;u)23(u)p33(u;t)]du; (54)

116 110DiskretisierungdesModells KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS DieRechnungsgrundlageninderklassischenLebensversicherungsmathematiksindnormalerweigeversicherungfurRechnungsgrundlageninderfolgendenNotationublich(mitTisthierdie ZufallsvariableLebensalterbezeichnet,zistdaserreichteLebensalter,fallsnachGeschlechtern seubergangswahrscheinlichkeitenfureinendiskretenzeitraumsosindimbereichderpe- terfurmannereinxundfurfraueneinyverwendet) dierenzierterechnungsgrundlagenanwendungnden,wiralsindexfurdaserreichtelebensal- Mit istdiewahrscheinlichkeitfureinez-jahrigeperson,imlebensjahrzzusterben,gegeben Uberlebenbisz,bezeichnet qz=p(zt<z+1jtz) Mit istdiewahrscheinlichkeitfureinenz-jahrigenaktiv-lebendenimlebensjahrzzusterben, gegebenuberlebenbisz,bezeichnet qaz=p(zt<z+1jtz;aktivlebend) Analogdazuist diewahrscheinlichkeitfureinenz-jahrigenpegebedurftigenimlebensjahrzzusterben qiz=p(zt<z+1jtz;pegebedurftig) Zuletztwirdnochmit diesogenannteeinjahrigepegefalleintrittswahrscheinlichkeitfureinez-jahrigepersonbezeichnet iz=p(pegebedurftigbeierreichendesaltersz+1jtz;nichtpegebedurftig) DawiraufgrundfehlenderBeobachtungenfuraktivlebende,teilweiseauchaufdieseeinjahrigen VersicherungsmodellmitdeneinjahrigenUbergangswahrscheilichkeiten Ubergangswahrscheinlichkeitenangewiesensind,betrachtenwirimFolgendeneinzeitdiskretes wobeihiermitn2in0dieversicherungsdauerinjahrenangibtmithilfederubergangsmatrix pij(n)=p(s(n+1)=jjs(n)=i) (n)=(pij(n))i;j= 0 B@ p 11(n)p12(n)p13(n)p14(n) 0 p22(n)p23(n)p24(n) 0 p33(n)p34(n) 1CA 0 1

117 konnenwirnunanalogzu(54)dieubergangswahrscheinlichkeitenfurdaszeitdiskretemodell angeben,furnm2in0erhaltenwir 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE111 DaunsereZustande1,2und3strikttransientsinderhaltenwirfurdieWahrscheinlichkeitim Zustandizuverbleiben: Pij(n;m)=P(S(m)=jjS(n)=i)=ijfallsn=m: AusdemrekursivenZusammenhang Pii(n;n+1)=1 Xj>ipij(n): fallsmansichschonzumzeitpunktninzustandibefundenhatesgilt bestimmenwirdiewahrscheinlichkeit,damansichzumzeitpunktminzustandibendet, Pii(n;m)=Pii(n;m 1)Pii(m 1;m) Damiterhaltenwir Pii(n;m)=m n 1 Yi=0[1 Xj>ipij(n+i)]: P22(n;m)=m n 1 P11(n;m)=m n 1 Yi=0[1 p23(n+i) p24(n+i)]; Yi=0[1 p12(n+i) p13(n+i) p14(n+i)]; P34(n;m)=1 P34(n;m); P33(n;m)=m n 1 P23(n;m)=m n 1 Yi=0[1 p34(n+i)]; P24(n;m)=1 P22(n;m) P23(n;m); P12(n;m)=m n 1 Xi=0P22(n;n+i)p23(n+i)P33(n+i+1;m); P13(n;m)=m n 1 Xi=0(P11(n;n+i)p13(n+i)+P12(n;n+i)p23(n+i))P33(n+i+1;m); Xi=0P11(n;n+i)p12(n+i)P22(n+i+1;m); P14(n;m)=1 P11(n;m) P12(n;m) P13(n;m): (55) WirbetrachtennuneinVersicherungsmodellindemderVersicherungsnehmergegeneinegleichbleibendeJahrespramiederHohefolgendeLeistungenerhalt: ModellierungdesVersicherungsprozesses

118 112JeweilseinmaligeZahlungenderHohec1jfallservonZustand1inZustandjwechselt j2f2;3ginvielenpegeversicherungstarifenexistierensolcheleistungen,damitwerden KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS Gleichbleibende,jahrlicheRentenzahlungenderHohebj,fallssichderVersicherteinZustandjbendet(j=f2;3g) meistzupegebeginnentstehende,einmaligekosten(wiezbeinbaueinestreppenliftes) gedeckt beliebiglangeversicherungsdaueraktuariellzumodellieren,setztmanfureinbestimmtesalter Wirgehenzudemdavonaus,dadieVersicherungleistet,solangederVersichertelebtUmdiese jahr!stirbtauf1!heittechnischesendaltermitdiesenmodellvoraussetzungenundden Zusammenhangenaus(55)erhaltenwirfurdieverschiedenenLeistungenfolgendeaktuarielle!(inderPraxismeist!=105)dieWahrscheinlichkeitdafur,daderVersicherteimLebens- FurdiedenaktuariellenWert(zuVersicherungsbeginn)einmaligerZahlungenbeiUbergang hinsichtlichdesversicherungsprozessess(n);n2in0 WertezumZeitpunkt0(Versicherungsbeginn)alsErwartungswertderjeweilgenZahlungsstrome bezeichnen,erhaltenwir vonzustand1(aktivlebend)zuzustand2(ambulantpegebedurftig)c12,denwirmitb1;c12(0) B1;c12(0)=! x 1 =! x 1 Xi=0P11(0;i)p12(i)vic12 AnaloggiltnaturlichfurdenaktuariellenWerteinereinmaligenLeistung,diebeiUbergangvon Xi=0Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j)]p12(i)vic12: Zustand1(aktivlebend)inZustand3(stationarpegebedurftig)gezahltwird FurdenaktuariellenWerteinerjahrlichenRenteb2,dieandenPegebedurftigebezahltwird, B1;c13(0)=! x 1 Xi=0Yj<i[1 p34(j) p24(j)]p13(i)vic13: solangesichdieserinzustand2bendet B1;b2(0)=! x 1 Xi=0hXj<iP11(0;j)p12(j)P22(j+1;i)ivib2 Xi=0P12(0;i)vib2 =! x 1 k<i (j+1)[1 p23(j+k+1) p24(j+k+1)]ivib2: Xi=0hXj<iYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k)]p12(j) Y

119 DeraktuarielleWerteinerjahrlichenRenteb3fureinenPegebedurftigeninZustand3ist 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE113 B1;b3(0)=! x 1 Xi=0P13(0;i)vib3 =! x 1 Xi=1nXj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k)]p13(j) Xi=1nXj<ihP11(0;j)p13(j)P33(j+1;i)+P12(0;j)p23(j)P33(j+1;i)iovib3 +Xk<jYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l)]p12(k) l<j (k+1)[1 p23(k+l+1) Yk<i (j+1)[1 p34(j+k+1)] Y SchlielicherhaltenwiralsBarwertfurdievonVersicherungsnehmerzuzahlendeJahrespramie p24(k+l+1)]p23(j) l<i (j+1)[1 p34(j+l+1)]iovib3: Y (solangeersichinzustand1bendet) P1;(0)=! x 1 =! x 1 Xi=0P11(0;i)vi NunkonnenwirdenJahresbeitragbestimmen,dennnachdemAquivalenzprinzipmugelten Xi=0Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j)]vi: DiesenAusdruckkannmannachauosenunderhalt B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;c12(0)+B1;c13(0)=P1;(0): =B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;c12(0)+B1;c13(0) P! x 1 i=0 Qj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j)]vi: ModellierungvonRechnungsgrundlagen schen\aktivlebend"-\pegebedurftig"und\aktivlebend"-\tot"warenaufbasisdergegebenen schendenzustanden\pegebedurftig"und\tot"untersucht,dieubergangsintensitatenzwi- Wieschonvorhererwahnt,sindinderArbeitnurUbegangsintensitatenfurdieUbergngezwi- undp34undp23mitderpegedauer(imfolgendenmitdbezeichnet)eineweiterezeitabhangigkeitmodelliertwirddiemarkov-eigenschaftgehtdadurchverloren,daindiesemmodelldie pij;j2f2;3;4gprimarvomlebensalterxabhangen,furdieubergangswahrscheinlichkeitenp24 DatennichtermittelbarZudemmussenwirbeachten,dadieUbergangswahrscheinlichkeiten (Pegebeginn)abhangigsindAlsModellgroensollenfurdieBerechnungenfolgendeDaten verwendetwerden: Ubergangswahrscheinlichkeitenp24,p34undp23vonderErsteintrittszeitinZustand2,bzw3

120 114FurdieUbergangswahrscheinlichkeitenp12undp13verwendenwirdievonAlterundGe- schlechtabhangigenpegefalleintrittswahrscheinlichkeitendercustodial-insurance,japan KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS (siehe[36],anhang6)diesesindnachalterundgeschlechtdierenziertumeineun inunseremBestandDiesesZeitintervallistsogewahlt,daerstab terscheidungnachpegeartvornehmenzukonnen,betrachtenwirdierelativenhaugkei- tenderneueintritteindieverschiedenenpegeartenimzeitraumzwischen111997und bulanterundstationarerpegebedurftigkeit,konntenwirfolgenderelativenhaugkeiten LeistungenfurstationarePegegewahrtwerdenBeiNeueintritten,unterteiltnacham- feststellen: ambulantfrauen(in%)manner(in%) IndeminAbbildung52dargestelltenVersicherungsmodellsindkeineUbergangezwischen stationar PegestufenvorgesehenBeiderBeitragsberechnungberucksichtigenwirdiePegestufen, 1463 tenalsgewichteverwendenwirdiepegedauerindeneinzelnenstufenwirkonnten folgendehaugkeitenbeobachtenfrauen(in%)manner(in%) indemwirfurjedestufeseparatbarwerteundbeitrageberechnenunddiesedanngewich- Stufe3 Stufe2 Stufe AlsModellgroefurdie\Aktivensterblichkeit"p14verwendenwirdieeinjahrigenSterbewahrscheinlichkeitfurbayerischeMannerundFrauenzwischen1986und1988(Quelle [14],Seiten50-51),dastechnischeEndalter!liegtbei101JahrenHieristzubeachten, dadieseeinjahrigenpegewahrscheinlichkeitenaufbasisdergesamten(alsoauchpegebedurftigen)bevolkerungermitteltwurden,dieeinjahrigensterbewahrscheinlichkeiten fur\aktivlebende"sinddemnachetwasniedriger AlsGroefurdieUbergangswahrscheinlichkeitenp23,p24undp34diskretisierenwirdie SchatzerfurdenBasis-HazardgeschatztenIntensitatenandenBeobachtungszeitpunkten inkapitel4hergeitetensterbeintensitatendazubetrachtenwirdiemitdembreslow- undbildendieeinjahrigeubergangswahrscheinlichkeitenfurlebensalterxundpegedauerd(injahren)erhaltenwir pij(x;d)= dtk<d+1[^ij(tk;zalter=x)y X dtl<tk(1 ^ij(tl;zalter=x))] i2f2;3g; j2f2;3;4g;

121 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE115 dhwirapproximiereneinjahrigeuberlebenswahrscheinlichkeitenmitdemprodukt-limit Ansatz(sieheAbschnitt361)Hierist^ij(tk;ZAlter=x)dasProduktausBasis-Hazard 522VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenPegestufen furdenzustandsubergangvoninachjundkovariablenachdemproportional-hazard- Modell,wobeidieKomponenteZAlterdenWertxannimmt Betrachtenwirnundasin53skizzierteModellWirerkennen,dadieStrukturdeminAbschnitt521betrachtetenModellsehrahnlichist(dieZustaandef1;;4gsindstrikttransient, derzustand5istabsorbierend)dieherleitungderubergangswahrscheinlichkeitenfureinzeitdiskretesmarkovmodell,sowiedieberechnungenvonaktuariellenwertenwirdwieimvoherigen Abschnittdurchgefuhrt DiskreteUbergangswahrscheinlichkeitenimModell MitHilfederUbergangsmatrix (n)=(pij(n))i;j= 0 B@ p 11(n)p12(n)p13(n)p14(n)p15(n) p22(n)p23(n)p24(n)p24(n) p33(n)p34(n)p35(n) 1CA p44(n)p45(n) erhaltenfolgendeubergangswahrscheinlichkeiten 0 1 P22(n;m)=m n 1 P11(n;m)=m n 1 Yi=0[1 p23(n+i) p24(n+i) p25(n+i)]; Yi=0[1 p12(n+i) p13(n+i) p14(n+i) p15(n+i)]; P44(n;m)=n m 1 P33(n;m)=n m 1 Yi=1[1 p45(n+i)]; Yi=0[1 p34(n+i) p35(n+i)]; P45(n;m)=1 P44(n;m); P23(n;m)=n m 1 P34(n;m)=n m 1 Xi=0P22(n;n+i)p23(n+i)P33(n+i+1;m); Xi=0P33(n;n+i)p34(n+i)P44(n+i+1;m); P35(n;m)=1 P34(n;m) P33(n;m); P12(n;m)=n m 1 Xi=0P11(n;n+i)p12(n+i)P22(n+i+1;m);

122 116P24(n;m)=n m 1 Xi=1[P22(n;n+i)p24(n+i)+P23(n;n+i)p34(n+i)]P44(n+i+1;m); KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS P13(n;m)=n m 1 P14(n;m)=n m 1 P25(n;m)=1 P22(n;m) P23(n;m) P24(n;m); Xi=1[P11(n;n+i)p13(n+i)+P12(n;n+i)p23(n+i)]P33(n+i+1;m); +P13(n;n+i)p34(n+i)]P44(n+i+1;m); Xi=0[p11(n;n+i)p14(n+i)+P12(n;n+i)p24(n+i); P15(n;m)=1 P11(n;m) P12(n;m) P13(n;m) P14(n;m): (56) AnalogzuAbschnitt521solldasVersicherungsmodellsollengegeneinegleichbleibendeJahrespramiefolgendeLeistungengedecktsein ModellierungdesVersicherungsprozesses Gleichbleibende,jahrlicheRentenzahlungenderHohebj,fallssichderVersicherteinZustandjbendet(j=f2;3;4g) i;j2f1;2;3;4gi<j JeweilseinmaligeZahlungenderHohecijfallservonZustandiinZustandjwechselt DieaktuariellenWertelassensichnunahnlichwieimvorherigenModellbestimmenFurdie einmaligenzahlungenbeizustandsubergangenerhaltenwir B1;c13(0)=! x 1 B1;c12(0)=! x 1 Xi=1Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]p13(i)vic13; Xi=1Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]p12(i)vic12; B1;c14(0)=! x 1 Xi=1Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]p14(i)vic14: DieaktuarielleWertfurjahrlicheRentenzahlungen,diederVersicherungsnehmererhalt,fallser sichindenzustanden2und3bendetberechnenwiranalogzumvorgeheninabschnitt521 WirerhaltenfurBb2 Bb2=! x 1 k<i j[1 p23(j+k) p24(j+k) p25(j+k)]ivib2: YXi=0hXj<iYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p12(j)

123 sowiefurbb3 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE117 B b3=! x 1 Xi=1nXj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p13(j) +Xk<jYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l) P15(l)]p12(k) k<i (j+1)[1 p34(j+k+1) p35(j+k+1)] p23(j) l<j (k+1)[1 p23(k+l+1) p24(k+l+1) p25(k+l+1)] Y FurdiePegerenteinZustand4erhaltenwir l<i (j+1)[1 p34(j+l+1) P35(j+l+1)]iovib3: Y B1;b4(0)=! x 1 Xi=0Xj<ihP11(0;j)p14(j)+P12(0;j)p24(j)+P13(0;j)p34(j)ip44(j+1;i)vib4 Xi=0P14(0;i)vib4 =! x 1 +Xk<jnP11(0;k)p12(k)P22(k+1;j)op24(j) Xi=0Xj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p14(j) +Xk<jnP11(0;k)P13(k)+P12(0;k)p23(k)oP33(k+1;j)p34(j)i =!Xi=1Xj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p14(j) k<i (j+1)[1 P45(k+j+1)]vib4 Y +Xk<jnYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l) p15(l)]p24(k) +Xk<jnYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l) p15(l)]p13(k) l<j (k+1)[1 p23(k+1+l) p24(k+1+l) p25(k+1+l)]op24(j) Y +Xl<kYm<l[1 p12(m) p13(m) p14(m) p15(m)]p12(l) l<j (k+1)[1 p34(k+1+l) P35(k+1+l)]p34(j)i m<k (l+1)[1 p23(l+k+1) p24(l+k+1) p25(l+k+1)]p23(k)o Y

124 118 k<i (j+1)[1 P45(k+j+1)]vib4: YKAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS ZurBestimmungdesJahresbeitragserhaltenwirsomit nachdemversicherungsmathematischenaquivalenprinzipauosennachergibt B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;b4(0)B1;c12(0)+B1;c13(0)+B1;c14(0)=P1;(0) 53 BeschreibungdesProgrammszurBeitragsberechnung =B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;b4(0)+B1;c12(0)+B1;c13(0)+B1;c14(0) P! x 1 i=0 Qj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]vi : Krankenversicherung(DKV) wickelndiesesbeschreibenwirambeispieldespegekostentagegeldtarifspetderdeutschen HierwollenwirnundiefurdasinAbschnitt521vorgestellteModelleinC-Programment- 531BeschreibungdesTarifsPET Abbildung54:EingabeabfragedesProgramms versicherungdarimrahmendiesestarifswirdeinvomversichererzuzahlendespegetagegeld vereinbart DerPegekostentagegeldtarifderDKVstellteineZusatzversicherungzurgesetzlichenPege- FurambulantePegewerden DerVersichererverpichtetsichimPegefalldiefolgendenLeistungenzuerbringen: DerLeistungsfallwirdimStufensystem,analogzurgesetzlichenPegeversicherung,deniert