Sicherheit des geheimen Schlüssels

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1 Sichrhit ds ghimn Schlüssls Michal Starosta 5. April 006. Motivation Wir lbn in inm Zitaltr in dm di Kryptographi nicht mhr nur in dr Mathmatik in Anwndung findt. Im nahzu jdn Lbnsbrich ds Alltags kommn wir, mistns unbwusst mit ihrr praktischr Anwndung in Brührung. Im Zitaltr ds Intrnts ist s sogar lichtsinnig ohn dr gigntn Absichrung dr Datn wichtig Inhalt zu übrmittln. Darum kann s wichtig und villicht auch intrssant sin di Grundlagn dr Chiffrirung knnn zu lrnn, um s slbst fstzustlln wi wichtig s ist manch Datn ghim zu haltn und vor allm wi Klinigkitn s rmöglichn könnn sogar dn schwrstn Cod zu knackn.. Sichrhit ds ghimn Schlüssls Es wird bhauptt, dass das RSA - Vrfahrn in Public Ky Systm ist. Es soll also unmöglich sin, aus dm öffntlichn Schlüssl (n, ) dn ghimn Schlüssl d zu brchnn. Es wird gzigt, dass man das Problm dr Sichrhit ds ghimn Schlüssls, nur auf di mathmatisch Ebn rduzirn kann. Nämlich, s wird vorgwisn, dass di Bstimmung ds ghimn Schlüssls gnau so schwr ist, wi di Zrlgung ds RSA Moduls n in sin Primfaktorn. Das ist das so gnannt Faktorisirungsproblm. Mit dism Problm bschäftign sich Mathmatikr schon sit Jahrhundrtn. Hutzutag glaubt man, dass s shr schwirig ist, s wurd jdoch nicht vrnint. Sollt sich das Faktorisirungsproblm als infach hrausstlln, wird s schnll in dr Öffntlichkit bkannt ggbn, da sich vil Wissnschaftlr zur Zit mit dm Faktorisirungsproblm bschäftign. Nimand kann also von dr Unsichrhit ds RSA auf Daur Vortil gwinnn könnn. Warum glaubt man, dass s gnau so schwr ist, dn ghimn RSA-Schlüssl zu findn, wi das RSA-Modul zu faktorisirn? Dn ghimn Schlüssl kann man nur aus dr Glichung d mod (p-)(q-) ausrchnn; q und p kann abr nur durch di Faktorisirung rmittlt wrdn. Lidr gibt s immr noch offn Fragn drn Antwortn inn großn Einfluss auf di Sichrhit ds RSA-Vrfahrns ausübn könnn. Man wiß nämlich nicht, ob man dn Klartxt aus inm RSA-Schlüssltxt ohn dn ghimn Schlüssl rmittln kann, und zwitns ob das Faktorisirungsproblm wirklich so schwr ist. Es ist dahr shr gfährlich, di Public-Ky-Kryptographi-Anwndungn nur mit RSA zu ralisirn. Und außrdm müssn di Forschr nach Altrnativn zu RSA suchn um im Notfall RSA rstzn zu könnn.

2 .. Das Faktorisirungsproblm ( wlch Zahln sind groß gnug? ) Es gibt kin indutig Antwort. Man faktorisirt immr größr Zahln. Bis hut sind di größtn RSA-576 (dis Nummr bdutt di Anzahl von Bits di für di Darstllung disr Zahl nötig sind und das ist in Zahl di 74 Ziffr hat alt Notation RSA-74) und RSA-640 (9 Stlln). RSA-576 ist rst im Jahr 00 und RSA-640 im Jahr 005 faktorisirt wordn. In dr nächstn Rihnfolg wartn RSA-704, RSA-786, RSA-896, RSA-04 (09 Stlln), RSA-56, RSA-048 (67 Stlln). Für di richtig Lösung kann man zwischn und Dollar bkommn (www.rsascurity.com). Das Hauptproblm bi dr Faktorisirung ist di Erfindung ins schnllrn Algorithmus. Ohn dn sind auch di schnllstn Rchnr unbrauchbar... Einfach Algorithmn Bispil: Systmatischs Probirn Man möcht in Zahl x faktorisirn, di nur 80 Ziffr hat. Man muss also tstn ob in von dn Zahln di klinr als 0 40 (ungfähr) dr Tilr von x ist. Bi optimistischr Annahm, dass nur von Zahln prim ist, gibt s 0 6 Divisionn di man durchführn muss. Bi dr Annahm, dass in Rchnr 0 4 Oprationn pro Skund durchführn kann, vrghn 0 Skundn, bis in ganzs Intrvall barbitt wird. Das rgibt.000 Jahr. Auch bim großn Glück, wo dr Trffr nach % von alln Primzahln vorkommt, übrschritt dr dafür gbraucht Zitraum das mnschlich Lbn. Di Faktorisirungsmthod von Frmat Es si n = pq das Produkt zwir Primzahln p und q. Ist dr Abstand zwischn p und q shr gring, so kann man n mit dr Faktorisirungsmthod von Frmat faktorisirn. In dr Praxis ist in shr klinr Abstand zwischn zufällig ausgwähltn 5 Bit- Primzahln p und g xtrm unwahrschinlich und dahr kann man das RSA-Modul n im Allgminn nicht auf dis Art und Wis faktorisirn. Trotzdm dint dis infach Mthod als di Grundlag für bssr Faktorisirungsalgorithmn und ist dahr shr lhrrich. Id: q + p q p Man nimmt q > p an. Di. Binomisch Forml mit x = und y = lifrt dann: x y = (x - y)(x + y) = pq = n x n = y q p Ist q-p shr klin, so ist auch y = shr klin. Damit kann folgnds Vorghn rfolgrich sin:. Brchn n.. Wähl sukzssiv x Z mit x> n und tst, ob x -n in Quadratzahl y ist.. Ist y gfundn, so ist n = x - y = (x - y)(x + y) in Faktorisirung von n.

3 .. Effizint Algorithmn Hutzutag bnutzt man dri ffizint Algorithmn: - Elliptic Curv Mthod für di Faktorisirung dr Zahln, di bis 4 Ziffrn nthaltn - Quadratic Siv für di Zahln di bis 0 Ziffr habn (schnllr Variantn sind Multipl Polynomial Quadratic Siv und Doubl Larg Prim Variation of th Multipl Polynomial Quadratic Siv). Laufzit: xp( (ln n ln ln n) ) - Numbr Fild Siv für di Zahln di mhr als 0 Ziffr habn. Bis hut di schnllst Mthod. Si wurd bnutzt für di Faktorisirung von RSA-40, RSA-55 und dr nuntn Frmatzahl (55 Stlln). Di nust Variation Gratr Numbr Fild Siv wurd bnutzt für di Faktorisirung von RSA-60 und RSA-576. Laufzit: xp((c+ ο () ) (n) (log n ) ) wobi: 64 für di allgmin Variation ist C = ( ) =, für di spzill Variationn ist C = ( ) =, Schon hut gibt s inn Algorithmus, dr das Faktorisirungsproblm löst - dn Shor- Algorithmus (Laufzit: O(log n)). Er ist für di Quantncomputr gdacht. Lidr gibt s zur Zit noch kinn gigntn Rchnr.. Di Auswahl von p, q, und d Di Auswahl von dn Elmntn ds Schlüssls ist shr wichtig, da di Sichrhit nicht gfährdt sin soll... Di Auswahl von p und q Es gibt konkrt Vorausstzungn, wlch bi dr Auswahl von p und q rfüllt wrdn müssn: - bid Elmnt solln zufällig und möglichst glichvrtilt gwählt wrdn - p und q solln möglichst glich groß sin Hutzutag sind di bidn Faktorn 5-Bit-Zahln. Für di längrfristig Vrwndung und Sichrhit ds RSA - Algorithmus solln di Faktorn 04 odr 048-Bits lang sin. Das ist abr nur in Vrmutung, da di Entwicklung von Algorithmn und dr Hardwar schwr vorauszushn sind... Di Auswahl von Bi dr Wahl von, muss auch di Effizinz dr Vrschlüsslung im Aug bhaltn wrdn. Und das wichtigst dabi - di Sichrhit kann nicht gfährdt wrdn. Es wrdn normalrwis für di Zahln, 7, 7 odr 6557 gwählt. Warum nicht? Wil (n) = (p - )(q - ) grad ist und ggt(, (p - )(q - )) = gltn muss.

4 Abr wnn man nur übr di Effizinz dnkt, xistirt di Gfahr, dass in Angrifr di so gnannt Low Exponnt Attack anwndn wird (sih 4.)... Auswahl von d Um di Entschlüsslung zu bschlunign kann man inn klinn Faktor d wähln, d darf jdoch nicht zu klin sin D. Bonh und G. Durf habn bwisn, dass das RSA Vrfahrn gbrochn wrdn kann, wnn d < n 0.9 ist. 4. Angriffmöglichkitn 4.. Ermittlung ds ghimn Schlüssls Wnn dr Angrifr nur dn öffntlichn Schlüssl knnt, gibt s bis hut kin Mthod um dn ghimn Schlüssl in inr kurzn Zit zu brchnn. Abr was passirt wnn dr Angrifr noch andr Elmnt vom ghimn Schlüssl (p, q, t, d) knnn sollt? - (n,, p) odr (n,, q) Annahm: p ist bkannt (analog für q). q kann man von q=n/p ausrchnn. Wnn man schon p und q hat ist dr Rst infach, s blibt nur p-, q- zu brchnn und dann d aus d mod (p-)(q-) - (n,, t) hir nbn t=(p-)(q-)/ggt(p-,q-) ist auch wichtig, dass (p-)(q-) nah von n ligt. Man kann also ggt(p-, q-) findn - in ganz Zahl di nah von n/t ligt. Dr Wrt von ggt(p-,q-) ist normalrwis nicht zu groß, da di Wahrschinlichkit, dass zwi zufällig Zahln inn großn gminsamn Tilr habn wrdn, shr gring ist. So kann man (p-)(q-) ausrchnn. Dan muss man nur di Forml d mod (p-)(q-) anwndn. Oft außr t wird (n), so gnannt ulrsch Funktion, bnutzt. (n) ist Vilfach von t. Wnn dr Angrifr (n) knnt, kann r d aus d mod (n) ausrchnn. - (n,, d) dr Angrifr kann ohn Problm gsndt Nachricht ntschlüssln. 4.. Multiplikativität Si (n, ) in öffntlichr RSA-Schlüssl. Wnn man damit zwi Nachrichtn m und m vrschlüsslt, rhält man c = m mod n und c = m mod n Es gilt dann c = c c mod n = (m m ) mod n Im Fall, dass jmand c und c knnt, röffnt sich di Möglichkit di Vrschlüsslung m=m m zu brchnn, ohn dn Klartxt m=m m zu knnn. Ein Angrifr kann schon so was ausnutzn. Wi kann man sich von solchn Btrugmöglichkitn schützn? Man kann dn Klartxtraum auf Klartxt mit bstimmtr Struktur so inschränkn, dass das Produkt von zwi Klartxtn kin gültigr Klartxt ist. Ein Möglichkit bstht darin inn Klartxt immr so vorzubritn, dass dr rst und dr ltzt Byt in inm gültign Klartxt übrinstimmn. Für so konstruirt m und m wird das Produkt m m dis Eignschaft nicht bsitzn. Wnn man also solch in Nachricht bkommt und fststllt, dass si in falsch Struktur hat, ist s gwiss, dass s sich hir um in falsch Nachricht handlt. 4

5 4.. Low Exponnt Attack Bvor LEA rklärt wird, kommt noch kurz dr chinsisch Rstsatz. Satz - Chinsischn Rstsatz: Sin m,,m n paarwis tilrfrmd ganz Zahln, dann xistirt für jds Tupl ganzr Zahln a,,a n in ganz Zahl x, di di folgnd simultan Kongrunz rfüllt: x a i mod m i für i =,,n All Lösungn disr Kongrunz sind kongrunt modulo M:= m m m n. Das Produkt M stimmt hir wgn Tilrfrmdhit mit dm kgv übrin. Ein Lösung kann man wi folgt rmittln. Für jds i sind di Zahln M i :=M/m i tilrfrmd, also kann man z.b. mit dm rwitrtn uklidischn Algorithmus zwi Zahln r i und s i findn, so dass Stzn wir i := s i M i, dann gilt r i m i + s i M i +. i mod m i i 0 mod m j, j i Di Zahl x:= a i i n i= ist dann in Lösung dr simultann Kongrunz. Bispil Gsucht si in Zahl x mit dr Eignschaft x (mod ) x (mod 4) x (mod 5) Hir ist M=45=60, M =M/=0, M =M/4=5, M =M/5= Mit Hilf ds rwitrtn Euklidischn Algorithmus brchnt man (-) +0=, also =40 (-) 4+5=, also =45 55+(-)=, also =-4 Ein Lösung ist dann x= (-4)=67. Wgn mod 60 sind all andrn Lösungn kongrunt zu 47 modulo 60. Low Exponnnt Attack basirt auf dm folgndn Thorm. Thorm : Sin N, n, n,,n N paarwis tilrfrmd und m N mit 0 m n i, i. Si c N mit c m mod n i, i und 0 c< i = ni. Dann folgt c=m. 5

6 Bwis: Di Zahl c = m rfüllt di simultan Kongrunz c m mod n i, i und s gilt 0 c< i = n i, wil 0 m n i, i, vorausgstzt ist. Da in solch Lösung dr simultann Kongrunz abr nach dm chinsischn Rstsatz indutig bstimmt ist, folgt c = c. Wi funktionirt das LEA? LEA wird angwandt wnn dislb Nachricht an mhrr Prsonn vrschickt und dafür drslbn bnutzt wird. Trotz vrschidnn öffntlichn Schlüssln n i kann man di Nachricht m dkodirn. Man knnt di Schlüssltxt c i =m mod n i, i. Mit dm chinsischn Rstsatz wird in ganz Zahl c mit c c i mod n i, i und 0 c< i = Thorm gilt c=m. Man muss also t Wurzl ausrchnn, was in dr Polynomzit möglich ist. ni brchnt. Nach dm Bispil: Si =, n = 4, n = 9, n = 899l, m = 5. Dann ist c = 60, c = 0, c = 7. Um dn chinsischn Rstsatz zu vrwndn brchn x, x, x mit x n n mod n, n x n mod n und n n x mod n. Es rgibt sich x = -9, x = -6, x = 6. Dann ist c = (c x n n + c n x n + c n n x ) mod n n n = und m = / = 5. Wi kann man LEA vrhindrn? Es gibt zwi Möglichkitn: - di Klartxtblöck könnn kürzr gwählt wrdn, als s nötig ist, und di ltztn Bits solln zufällig gwählt wrdn - Vrschlüsslungsxponnt kann größr gwählt wrdn. Mann soll abr nicht di Effizinz vrgssn. Üblich ist = Erwitrung ds. Kapitls (Kapitl 9..4 von Buchman J. - Einführung in di Kryptographi ) In dism Kapitl wird folgnd Äquivalnz bwisn. Wnn dr Angrifr di Primfaktorn p und q ds RSA-Moduls n knnt, kann r aus n und dm Vrschlüsslungsxponnt dn ghimn Schlüssl d durch Lösn dr Kongrunz d mod (p-)(q-) brchnn. Es wird gzigt, dass di Umkhrung auch gilt, wi man nämlich aus n,, d di Faktorn p und q brchnt. Dazu stzt man s = max{t N : t tilt d - } und k = (d -)/ s. Lmma : Für all zu n tilrfrmd ganzn Zahln a gilt ordr(a k + nz) { i : 0 i s }. Bwis: Si a in zu n tilrfrmd ganz Zahl. Nach Thorm. gilt a d- mod n. Daraus folgt (a k ) r mod n (wobi r = s ). Also implizirt Thorm., dass di Ordnung von a k + nz in Tilr von s ist. 6

7 Dr Algorithmus, dr n faktorisirt, bruht auf folgndn Thorm. Thorm : Si a in zu n tilrfrmd ganz Zahl. Wnn di Ordnung von a k mod p und mod q vrschidn ist, so ist <ggt(a rk -,n)<n (wobi r = t ist) für in t {0,,,,s-}. Bwis: Nach Lmma. Ligt di Ordnung von a k mod p und mod q in dr Mng { i : 0 i s }. Si di Ordnung von a k mod p größr als di von a k mod q. Di Ordnung von a k mod g si t. Dann gilt t<s, a rk mod q, abr a rk mod q gilt nicht (wobi r = t ist) und dahr ggt(a rk -,n) = q. Um n zu faktorisirn, wählt man zufällig und glichvrtilt in Zahl a in dr Mng {,,n-}. Dann brchnt man g = ggt(a,n). Ist g>, so ist g chtr Tilr von n. Dr wurd ja gsucht. Also ist dr Algorithmus frtig. Ist g=, so brchnt man g=ggt(a rk -,n) (wobi r = t ist), t=s-, s-,,0. Findt man dabi inn Tilr von, dann ist dr Algorithmus frtig. Andrfalls wird in nus a gwählt und dislbn Oprationn wrdn für diss a ausgführt. Es wird jtzt gzigt, dass in jdr Itration diss Vrfahrns di Wahrschinlichkit dafür, dass in Primtilr von n gfundn wird, wnigstns ½ ist. Di Wahrschinlichkit dafür, dass das Vrfahrn nach m Itrationn inn Faktor gfundn hat, ist dann größr als - / m. Thorm : Di Anzahl dr zu n primn Zahln a in dr Mng {,,n-}, für di a k mod p und mod q in vrschidn Ordnung hat, ist wnigstns (p-)(p-q)/. Bwis: Si g in Primitivwurzl mod p und mod q. Ein solch xistirt nach dm chinsischn Rstsatz. Zurst Annahm di Ordnung von g k mod p si größr als di Ordnung von g k mod q. Dis bid Ordnungn sind nach Lmma. Potnzn von. Si x in ungrad Zahl in {,,p-} und si y {,,q-}. Si a in Lösung dr simultann Kongrunz a g x mod p und a g y mod q ( ). Dann ist di Ordnung von a k mod p dislb wi di Ordnung von g k mod p. Di Ordnung von a k mod p ist abr höchstns so groß wi di Ordnung von g k mod q, also klinr als di Ordnung von a k mod p. Schlißlich sind dis Lösungn mod n paarwis vrschidn, wil g in Primitivwurzl mod p und mod q ist. Damit sind (p-)(q-)/ zu n tilrfrmd Zahln a gfundn, für di di ordnung von a k mod p und q vrschidn ist. Ist di Ordnung von g k mod q größr als di mod p, so ght man gnauso vor. Si schlißlich angnommn, dass di Ordnung von g k mod p und mod q glich ist. Da p- und q- bid grad sind, ist dis Ordnung wnigstns. Man bstimmt di gsuchtn Zahln a widr als Lösung dr simultann Kongrunz ( ). Di Exponntnpaar (x,y) müssn dismal abr aus inr gradn und inr ungradn Zahl bsthn. So gibt (p-)(q-)/ mod n vrschidn Lösungn und hat gwünscht Eignschftn. Aus Thorm folgt unmittlbar, dass di Erfolgswahrschinlichkit ds Faktorisirungsvrfahrn in jdr Itration wnigstns / ist. 7

8 Hilfsdfinitionn: Thorm. Si (n,) in öffntlichn und d dr ntsprchnd privat Schlüssl im RSA-Vrfahrn. Dann gilt (m ) d mod n = m für jd natürlich Zahl m mit 0 m<n. Thorm. Si g G und Z. Dann gilt g = gnau dann, wnn durch di Ordnung von g in G tilbar ist. 6. Litratur. Buchmann, Jochans: Einführung in dr Kryptographi; Kapitl 7; Springr; 999. Karbowski, Marcin: Grundlagn dr Kryptographi; Kapitl und ; Gliwic; 006. Frguson, Nils; Schnir, Bruc; Practical Cryptography;

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