Elliptische Kurven in der Kryptographie

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1 Elliptische Kurven in der Kryptographie Projekttage Mathematik 2002 Universität Würzburg Mathematisches Institut Elliptische Kurven in der Kryptographie p.1/9

2 Übersicht Kryptographie Elliptische Kurven in der Kryptographie p.2/9

3 Übersicht Kryptographie elliptische Kurven Elliptische Kurven in der Kryptographie p.2/9

4 Übersicht Kryptographie elliptische Kurven Addition auf einer elliptischen Kurve Elliptische Kurven in der Kryptographie p.2/9

5 Übersicht Kryptographie elliptische Kurven Addition auf einer elliptischen Kurve Reduktion von Kurven Elliptische Kurven in der Kryptographie p.2/9

6 Übersicht Kryptographie elliptische Kurven Addition auf einer elliptischen Kurve Reduktion von Kurven ElGamal-Algorithmus Elliptische Kurven in der Kryptographie p.2/9

7 Übersicht Kryptographie elliptische Kurven Addition auf einer elliptischen Kurve Reduktion von Kurven ElGamal-Algorithmus Praxisanwendungen Elliptische Kurven in der Kryptographie p.2/9

8 Kryptographie Symmetrische Verfahren Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

9 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

10 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel Asymmetrische Verfahren (Public Key) Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

11 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel Asymmetrische Verfahren (Public Key) Anton und Berta haben jeweils einen eigenen öffentlichen und einen eigenen geheimen Schlüssel Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

12 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel effizient in der Benutzung Asymmetrische Verfahren (Public Key) Anton und Berta haben jeweils einen eigenen öffentlichen und einen eigenen geheimen Schlüssel Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

13 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel effizient in der Benutzung Übermittlung und Geheimhaltung des Schlüssel Asymmetrische Verfahren (Public Key) Anton und Berta haben jeweils einen eigenen öffentlichen und einen eigenen geheimen Schlüssel Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

14 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel effizient in der Benutzung Übermittlung und Geheimhaltung des Schlüssel Asymmetrische Verfahren (Public Key) Anton und Berta haben jeweils einen eigenen öffentlichen und einen eigenen geheimen Schlüssel höhere Sicherheit Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

15 Kryptographie Symmetrische Verfahren Anton und Berta benutzen den gleichen Schlüssel effizient in der Benutzung Übermittlung und Geheimhaltung des Schlüssel Asymmetrische Verfahren (Public Key) Anton und Berta haben jeweils einen eigenen öffentlichen und einen eigenen geheimen Schlüssel höhere Sicherheit komplizierter zu benutzen Elliptische Kurven in der Kryptographie p.3/9

16 elliptische Kurven Was ist eine elliptische Kurve? Elliptische Kurven in der Kryptographie p.4/9

17 elliptische Kurven Keine Ellipse! Elliptische Kurven in der Kryptographie p.4/9

18 elliptische Kurven Das sind elliptische Kurven. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.4/9

19 elliptische Kurven Das sind elliptische Kurven. und das sind auch welche. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.4/9

20 elliptische Kurven Eine elliptische Kurve ist die Menge aller Punkte Gleichung, welche die erfüllen. Die Zahlen und sind die Kurvenparameter. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.4/9

21 Addition auf einer elliptischen Kurve Jetzt bringen wir Euch Addieren bei! Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

22 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

23 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. P Q Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

24 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. Eine Gerade durch und P Q Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

25 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. Eine Gerade durch und noch in einem dritten Punkt. trifft P Q Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

26 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. Eine Gerade durch und noch in einem dritten Punkt. trifft Wir spiegeln diesen Punkt an der -Achse P Q Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

27 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. Eine Gerade durch und noch in einem dritten Punkt. trifft Wir spiegeln diesen Punkt an der -Achse und erhalten. P Q P+Q Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

28 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. Eine Gerade durch und noch in einem dritten Punkt. trifft Wir spiegeln diesen Punkt an der -Achse und erhalten. 11 6P 2P P P 5 P 10 P 13 P 8 P So sehen die Vielfachen von aus. 4 9 P 14P P 3 P 7 P 12 P Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

29 Addition auf einer elliptischen Kurve Man nehme eine elliptische Kurve und zwei Punkte und auf. Eine Gerade durch und noch in einem dritten Punkt. trifft Wir spiegeln diesen Punkt an der -Achse und erhalten. 11 6P 2P P P 5 P 10 P 13 P 8 P So sehen die Vielfachen von Reichlich chaotisch oder? aus. 4 9 P 14P P 3 P 7 P 12 P Elliptische Kurven in der Kryptographie p.5/9

30 Reduktion von Kurven Wir können nicht nur ganze Zahlen addieren. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.6/9

31 Reduktion von Kurven Wir können nicht nur ganze Zahlen addieren. Wir können auch für eine Primzahl in der Restklasse rechnen. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.6/9

32 Reduktion von Kurven Wir können nicht nur ganze Zahlen addieren. Wir können auch für eine Primzahl in der Restklasse rechnen. Dann gilt zum Beispiel für Elliptische Kurven in der Kryptographie p.6/9

33 Reduktion von Kurven Wir können nicht nur ganze Zahlen addieren. Wir können auch für eine Primzahl in der Restklasse rechnen. Dann gilt zum Beispiel für Elliptische Kurven in der Kryptographie p.6/9

34 Reduktion von Kurven Wir können nicht nur ganze Zahlen addieren. Wir können auch für eine Primzahl in der Restklasse rechnen. Dann gilt zum Beispiel für Elliptische Kurven in der Kryptographie p.6/9

35 Reduktion von Kurven Und so sieht die elliptische Kurve in der Restklasse modulo aus. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.6/9

36 ElGamal-Algorithmus Anton wählt Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

37 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

38 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

39 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

40 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt sein geheimer Schlüssel auf ist eine ganze Zahl Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

41 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl ist Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

42 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl Will Berta an Anton eine Nachricht senden, so ist Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

43 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl Will Berta an Anton eine Nachricht senden, so macht Sie aus einen Punkt ist auf Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

44 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl Will Berta an Anton eine Nachricht senden, so macht Sie aus einen Punkt und verschlüsselt mit ist auf Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

45 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl Will Berta an Anton eine Nachricht senden, so macht Sie aus einen Punkt und verschlüsselt mit ist auf Anton empfängt die Nachricht und entschlüsselt sie mit Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

46 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl Will Berta an Anton eine Nachricht senden, so macht Sie aus einen Punkt und verschlüsselt mit ist auf Anton empfängt die Nachricht und entschlüsselt sie mit Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

47 ElGamal-Algorithmus Anton wählt eine elliptische Kurve eine große Primzahl und einen guten Punkt auf sein geheimer Schlüssel sein öffentlicher Schlüssel ist eine ganze Zahl Will Berta an Anton eine Nachricht senden, so macht Sie aus einen Punkt und verschlüsselt mit ist auf Anton empfängt die Nachricht und entschlüsselt sie mit bingo Elliptische Kurven in der Kryptographie p.7/9

48 Praxisanwendungen In der Praxis wird ElGamal zum Schlüsselaustausch für ein symmetrisches Verfahren verwendet Elliptische Kurven in der Kryptographie p.8/9

49 Praxisanwendungen In der Praxis wird ElGamal zum Schlüsselaustausch für ein symmetrisches Verfahren verwendet Im Gegensatz zum RSA-Verfahren werden kleinere Primzahlen bei gleicher Sicherheit benötigt. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.8/9

50 Praxisanwendungen In der Praxis wird ElGamal zum Schlüsselaustausch für ein symmetrisches Verfahren verwendet Im Gegensatz zum RSA-Verfahren werden kleinere Primzahlen bei gleicher Sicherheit benötigt. Bei den momentan üblichen Primzahlgrößen dauert das Knacken des ElGamal-Verfahrens, also das Berechnen von aus Kenntnis von und, Elliptische Kurven in der Kryptographie p.8/9

51 Praxisanwendungen In der Praxis wird ElGamal zum Schlüsselaustausch für ein symmetrisches Verfahren verwendet Im Gegensatz zum RSA-Verfahren werden kleinere Primzahlen bei gleicher Sicherheit benötigt. Bei den momentan üblichen Primzahlgrößen dauert das Knacken des ElGamal-Verfahrens, also das Berechnen von aus Kenntnis von und, ungefähr Jahre. Elliptische Kurven in der Kryptographie p.8/9

52 Das Team Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

53 Das Team Moritz Briedemann Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

54 Das Team Moritz Briedemann Albert Busch Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

55 Das Team Moritz Briedemann Albert Busch Michael Heier Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

56 Das Team Moritz Briedemann Albert Busch Michael Heier Stefanie Hübner Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

57 Das Team Moritz Briedemann Albert Busch Michael Heier Stefanie Hübner Stefan Kraus Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

58 Das Team Moritz Briedemann Albert Busch Michael Heier Stefanie Hübner Stefan Kraus Alexandra Zürn Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

59 Das Team Moritz Briedemann Albert Busch Michael Heier Stefanie Hübner Stefan Kraus Alexandra Zürn Britta Heubeck Professor Günter Köhler Dr. Richard Greiner Elliptische Kurven in der Kryptographie p.9/9

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