Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

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1 R. Käppeli L. Herrmann W. Wu Herbstsemester 2016 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 6 Aufgabe 6.1 Berechnen Sie die Determinanten der beiden Matrizen 6.1a) Berechnen Sie die Determinanten der beiden folgenden Matrizen A = á e e e ë e π π π π x x x x x x y y y y und B = x y z z z, x y z u u x y z u v Lösung: Wir führen den Gauss-Algorithmus durch: á ë á ë e e e e e 20 π 0.1 ( 1) det(a) π π π π e 30 π 0.2 (+1) e 40 π 0 (+1) à í à í π π 0 ( 4) ( 5) á 0 0 2π ë 0 0 2π π 0.5 = e 10 2π ( 0.3) ( 1) Die Determinante von A ist also 6πe. Serie 6 Seite 1 Aufgabe 6.1

2 Nun führen wir den Gauss-Algorithmus für B aus: x x x x x x x x x x x y y y y 0 y x y x y x y x det B x y z z z 0 y x z x z x z x x y z u u 0 y x z x u x u x x y z u v 0 y x z x u x v x á ë á ë y x y x y x y x y x y x y x y x y x z x z x z x 0 z y z y z y = x det = x det y x z x u x u x 0 z y u y u y y x z x u x v x 0 z y u y v y Ö è z y z y z y = x(y x) det z y u y u y z y u y v y Ö è z y z y z y = x(y x) det 0 u z u z 0 u z v z Ç å u z u z = x(y x)(z y) det = x(y x)(z y)(u z)(v u). u z v z Ç a Im letzten Schritt haben wir benutzt, dass det c å b = ad bc für alle 2 2-Matrizen gilt. d 6.1b) Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix C = Lösung: Wir finden, dass die sechste Spalte eine Nullspalte ist, deshalb ist die Determinant von C ist Null. Das folgt, da det(c T ) (C) (siehe Notizen zu Kapitel 3 S.13 (D10)) und die Determinant der Matrize mit einer Nullzeile ist Null (siehe Notizen zu Kapitel 3 S.9 (D6)). Aufgabe 6.2 Determinante Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen richtig sind für beliebige (n n)-matrizen A und B. Serie 6 Seite 2 Aufgabe 6.2

3 det (2A) = 2 det (A) det (2A) (2I n A) (2I n ) det (A) = 2 n det (A) det (A 4 ) = (det (A)) 4 det (A 2 ) (A A) (A) det (A) und entsprechend für det (A 4 ). (iii) det (A) = a 1,n a 2,n 1 a n,1 wenn a i,j = 0 für i + j > n + 1, d.h. es handelt sich um eine Dreiecksmatrix, bei welcher rechts unten Nullen stehen. Nein. Ein einfaches Beispiel ist n = 2: Ç å a1,1 a det 1,2 = a a 2,1 0 1,2 a 2,1. (iv) det (A + B) (A) + det (B) Falsch, zum Beispiel ist det( ) = 1, aber det( ) ( ) = 0. (v) det (AB) (BA) Stimmt: det (AB) (A) det (B) (B) det (A) (BA) (vi) Wenn A singulär ist, dann ist auch AB singulär. Wenn A singulär ist, ist det (A) = 0. Daher ist det (AB) (A) det (B) = 0, und somit ist AB auch singulär. (vii) det (AA A) (A) 3 det (AA A) (A) det (A ) det (A) (A) 3 Aufgabe 6.3 Multiple Choice: Bitte kreuzen Sie richtige Antworten an. Evtl. sind mehrere Antworten richtig. 6.3a) Sei A eine n n-matrix. Das Gleichungssystem Ax = b sei nicht für beliebige rechte Seiten lösbar. Daraus folgt det A = 0, det A 0. Serie 6 Seite 3 Aufgabe 6.3

4 Lösung: det A = 0, da das Gleichungssystem Ax = b im Fall det A 0 für beliebige rechte Seiten genau eine Lösung hat (siehe Satz III.1 in den Notizen oder Satz 3.11 im Buch). 6.3b) Sei A eine n n-matrix. Das homogene Gleichungssystem Ax = 0 habe nur die triviale Lösung. Daraus folgt det A 0. det A = 0, Lösung: det A 0, siehe Satz III.1 in den Notizen oder Satz 3.11 im Buch. 6.3c) Sei M eine orthogonale Matrix. Daraus folgt det M 0, det M = 0, (iii) det M = ±1. Lösung: det M 0 und det M = ±1 sind richtig. Weil orthogonale Matrizen regulär / invertierbar sind folgt det M 0, und da M 1 = M T bei orthogonalen Matrizen, folgt dass 1 I n = det(m 1 M) (M T M) (D9) M T det M (D10) = (det M) 2, also det M = ±1. 6.3d) Die LR-Zerlegung angewandt auf die Matrix A liefert die Rechtsdreiecksmatrix á ë R = Daraus folgt det A = 60. Richtig. Falsch. Lösung: Die Aussage ist falsch. Gemäss der LR Zerlegung haben wir P A = LR. Da die Matrix L Einsen in der Diagonalen hat und eine Dreiecksmatrix ist, folgt det L = 1 (siehe auch (D7) aus den Notizen auf S. 10). Die Matrix P ist orthogonal, dann det P = ±1. Aus (D9) aus den Notizen auf S. 11 folgt det P det A L det R, und daraus (siehe auch Pivot-Formel auf S. 14 der Notizen): det A = (det P ) 1 det L det R = (±1) det R 1 = ± e) Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix A im folgenden Gleichungssystem Ax = b: x 1 + x 2 = 2 α x x 2 = 1 Serie 6 Seite 4 Aufgabe 6.3

5 det A = 1, det A = α + 2, (iii) α+2 Lösung: A = Seite 51). det A = α 2. Ç å 1 1, damit det A = 1 2 α 1 = 2 α (siehe Buch, Gleichung (3.1) α 2 6.3f) Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystemes aus Aufgabe 4.1e) x 1 + x 2 = 2 α x x 2 = 1 ist für α = 2: die leere Menge, x 1 = 3/4, x 2 = 5/4, (iii) x 1 = t 2, x 2 = t, t R. Lösung: Das System x 1 + x 2 = 2 2x 1 + 2x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1/2 hat keine Lösung. Aufgabe a) Es seien n N eine natürliche Zahl mit n 2, I n die n n-einheitsmatrix, A eine n n Matrix, u, v R n zwei Vektoren und es gelte A 2 = 2 I n und A u = v. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Die Determinante von A ist entweder 2 n oder 2 n. Andere Werte sind nicht möglich. Richtig, aus A 2 = 2I n folgt (det A) 2 (A 2 ) (2I n ) = 2 n. Also erfüllt det A die quadratische Gleichung x 2 = 2 n. Das lineare Gleichungssystem A x = u hat die Lösung x = 1 2 v. Richtig, aus Au = v folgt A 2 u = Av und mit A 2 u = 2u folgt 2u = Av oder u = A( 1 2 v). Veröffentlichung am 25. Oktober Abzugeben bis 2. November Serie 6 Seite 5 Aufgabe 6.4