Tutorium: Analysis und Lineare Algebra

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1 Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am (Teil 2) 9. Mai 218 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

2 3 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Definition I Gegeben seien zwei Vektorräume V und W über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x, y V und λ K die folgenden Eigenschaften gelten: f ist homogen: f (λ x) =λ f (x) f ist additiv: f (x + y) =f (x)+f(y) Die beiden Bedingungen können zusammengefasst werden: f (λ x + y) =λ f (x)+f (y). 4 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

3 Definition II Eine lineare Abbildung f : V W lässt sich eindeutig beschreiben durch die Bilder einer Basis des Vektorraums V ; eine Abbildungsmatrix A. 5 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Aufgabe 1 Entscheide, ob es sich bei der folgenden Abbildung f : R 3 R 2 um eine lineare Abbildung handelt: ( ) 2x + y z f (x, y, z) =. x + 2z 6 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

4 Aufgabe 2 Gegeben seien eine lineare Abbildung f : R 2 R 2 sowie die Bilder der Basisvektoren b 1 =(1, 2) und b 2 =(, 1) des R 2.Essei f (b 1 )=f(1, 2) =(2, 4) f (b 2 )=f(, 1) =(5, 1). Bestimme das Bild f (v) des Vektors v =(5, 3). 7 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Abbildungsmatrix I Gegeben sei eine lineare Abbildung f : K n K m. Die Bilder f (e 1 ),...,f (e n ) der Einheitsvektoren e 1,...,e n sind die Spalten der Abbildungsmatrix A; es gilt A = f (e 1 ) f (e n ). Handelt es sich bei der gegebenen Basis des Vektorraums K n nicht um die Einheitsvektoren, so müssen beim Erstellen der Abbildungsmatrix zunächst die Bilder der Einheitsvektoren bestimmt werden. 8 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

5 Abbildungsmatrix II Beispiel: Gegeben sei eine lineare Abbildung f : R 2 R 3. Es gelte f (e 1 )=f(1, ) =(1, 2, 3) f (e 2 )=f(, 1) =(, 1, 2) Die Bilder der Einheitsvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatrix A; es gilt 1 A = c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Aufgabe 3 Gegeben seien eine lineare Abbildung f : R 2 R 3 sowie die Bilder der Basisvektoren b 1 =(1, 2) und b 2 =(, 2) des R 2.Essei f (b 1 )=f(1, 2) =(2, 5, 4) f (b 2 )=f(, 2) =(1,, 3). Bestimme die zur linearen Abbildung f gehörende Abbildungsmatrix A. 1 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

6 Bild und Kern einer linearen Abbildung Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern von f ist die Menge { } Kern(f )= v V f (v) =. Das Bild von f ist die Menge Bild(f )= { } f (v) v V. Der Kern von f ist ein Unterraum von V. Das Bild von f ist ein Unterraum von W. 11 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Dimensionsformel Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, W ein beliebiger Vektorraum und f : V W eine lineare Abbildung. Dann ist Bild(f ) endlich erzeugt und es gilt dim(v ) = dim(kern(f )) + dim(bild(f )). c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

7 13 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 I Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar, falls es eine Matrix A 1 gibt, für die A A 1 = A 1 A = E gilt. Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Falls eine Matrix invertierbar ist, so ist ihr Inverses allerdings eindeutig bestimmt. 14 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

8 II Frage: Woher weiß man, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist oder nicht? Wenn man weiß, dass eine Matrix invertierbar ist, wie kann man die inverse Matrix bestimmen? 15 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 III Antwort: Man erstellt zunächst die folgende Blockmatrix: [ A ] E. A ist die zu invertierende Matrix, E ist eine entsprechend dimensionierte Einheitsmatrix. Mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus wird die Matrix [A E] anschließend in reduzierte Zeilenstufenform überführt. 16 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

9 IV Beispiel: 1 2 Gesucht ist das Inverse der Matrix A = Lösung: Zunächst wird die entsprechende Blockmatrix aufgestellt: c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 V Zuerst bringen wir das Hauptdiagonalenelement der ersten Spalte in die richtige Form, indem wir die erste Zeile mit 1 multiplizieren Um den Rest der ersten Spalte in die richtige Form zu bringen, addieren wir das ( 4)-fache der ersten zur dritten Zeile c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

10 VI Weiter mit Spalte 2. Zunächst vertauschen wir die zweite und dritte Zeile Durch Multiplikation mit 1 bringen wir das Hauptdiagonalenelement von Zeile 2 in die richtige Form c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 VII Durch Addition des 2-fachen der zweiten Zeile zur ersten Zeile bringen wir die zweite Spalte in die richtige Form Weiter mit Spalte 3. Multiplikation der dritten Zeile mit 1 3 ergibt: c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

11 VIII Addition geeigneter Vielfacher zu den ersten beiden Zeilen bringt schließlich die dritte Spalte in die richtige Form Wir haben also die inverse Matrix A 1 zu A gefunden A 1 = c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 IX Ist die Matrix A nicht invertierbar, so lässt sie sich mit dem Gauß- Jordan-Algorithmus nicht zur Einheitsmatrix E umformen. Im Gegenzug kann die Matrix A immer zur Einheitsmatrix E umgeformt werden, wenn sie invertierbar ist. 22 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

12 Aufgabe a) Es sei A R 3 3 gegeben durch A = Berechne A 1 mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus. Überprüfe dein Ergebnis auf Richtigkeit! b) Zeige, dass die folgende Matrix B R 3 3 nicht invertierbar ist: B = c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Lineare Gleichungssysteme & inverse Matrizen Hat ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so lässt sich dieses auch mithilfe der Inversen der Koeffizientenmatrix A berechnen. Es gilt Ax = b x = A 1 b. 24 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

13 Determinanten 25 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Determinanten Determinanten kleiner Matrizen Die Determinanten von 1 1, 2 2 und 3 3 Matrizen können mithilfe der folgenden Formeln bestimmt werden: det [ ] a 11 = a11 [ ] a11 a det = a a 21 a 11 a 22 a a a 11 a a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a a 21 a c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

14 Determinanten Die Regel von Sarrus Die Regel zur Berechnung einer 3 3 Determinante ist auch als Regel von Sarrus bekannt und kann durch folgendes Schema einfach dargestellt werden: 27 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Determinanten Die Leibniz-Formel Die Determinante einer beliebigen n n Matrix A =(a ij ) K n n kann mithilfe der Leibniz-Formel berechnet werden: det(a) = σ S n (sgn(σ) n a iσ(i) ). i=1 28 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

15 Determinanten Der Laplacesche Entwicklungssatz Die Determinante einer beliebigen n n Matrix A =(a ij ) K n n kann mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes berechnet werden. Entwicklung nach der j-ten Spalte: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) i=1 Entwicklung nach der i-ten Spalte: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) j=1 Die Matrizen A ij sind die (n 1) (n 1) Untermatrizen von A, die man durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhält. 29 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Determinanten Gaußsches Eliminationsverfahren Die Determinante einer beliebigen n n Matrix A =(a ij ) K n n kann mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden. Ist A eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalenelemente die Determinante von A. Falls B aus A hervorgeht, indem man zwei Zeilen bzw. zwei Spalten vertauscht, so gilt det(b) = det(a). Falls B aus A hervorgeht, indem man ein Vielfaches einer Zeile bzw. Spalte zu einer anderen Zeile bzw. Spalte addiert, so gilt det(a) =det(b). Falls B aus A hervorgeht, indem man das λ-fache einer Zeile bzw. Spalte bildet, so gilt det(b) =λ det(a). 3 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

16 Determinanten Aufgabe 5 Gegeben sei die folgende Matrix A R 3 3 : A = Bestimme die Determinante det(a) a) mithilfe der Regel von Sarrus; b) mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes; c) mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. 31 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Matrizen II 32 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

17 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix I Gegeben sei eine m n - Matrix A. Der Zeilenraum Z(A) ist der durch die m Zeilenvektoren der Matrix A aufgespannte Vektorraum: Z(A) =Lin(z 1,...,z m ) { } = λ 1 z λ m z m λ 1,...,λ m R. Der Spaltenraum S(A) ist der durch die n Spaltenvektoren der Matrix A aufgespannte Vektorraum: S(A) =Lin(s 1,...,s n ) { } = λ 1 s λ n s n λ 1,...,λ n R. 33 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix II Gegeben sei eine m n - Matrix A. Der Nullraum N(A) ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = : { } N(A) = x Ax =. Der Nullraum der Transponierten N(A T ) ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems A T x = : ( ) { } N A T = x A T x =. 34 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

18 Matrizen II Die Fundamentalräume einer Matrix III Gegeben sei eine m n - Matrix A. Es gelten die folgenden Zusammenhänge: Z(A) =S(A T ) S(A) =Z(A T ) dim (Z(A)) = dim (S(A)) dim (Z(A)) + dim (N(A)) = n dim (S(A)) + dim (N(A T )) = m rg(a) =dim(z(a)) = dim (S(A)) 35 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Matrizen II Zusammenhänge mit Determinanten Im Folgenden sei eine quadratische n n - Matrix A betrachtet: det (A) = rg (A) < n det (A) = dim (N(A)) > det (A) rg (A) =n det (A) dim (N(A)) = det (A) = A 1 existiert nicht det (A) A 1 existiert 36 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218

19 Matrizen II Zusammenhänge mit linearen Gleichungssystemen Im Folgenden sei eine quadratische n n - Matrix A betrachtet: rg (A) rg(a b) Ax = b ist nicht lösbar rg (A) =rg(a b) =n Ax = b ist eindeutig lösbar rg (A) =rg(a b) < n Ax = b hat unendlich viele Lösungen 37 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218 Matrizen II Aufgabe 6 Gegeben seien Vektoren z 1, z 2, z 3 und z 4 des R 4, die die Zeilen einer 4 4 Matrix A bilden. Es gelte dim ( Z(A) ) = 2. Wahr oder falsch? (Mit kurzer Begründung!) a) Das Gleichungssystem Ax = b besitzt eine eindeutige Lösung. b) Es gilt dim ( N(A T ) ) = 2. c) Eine Aussage über det (A) ist nur dann möglich, wenn A vollständig bekannt ist. d) Die inverse Matrix A 1 existiert nicht. e) Die Spaltenvektoren s 1,...,s 4 der Matrix A sind linear abhängig. 38 c 218 Steven Köhler 9. Mai 218