Hans Walser, [ a] Approximation der Zykloide Idee: R. W., F.
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- Jacob Scholz
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1 Has Walser, [2229a] Approximatio der Zykloide Idee: R. W., F. Abrolle eies regelmäßige -Ecks Wir rolle ei regelmäßiges -Eck auf eier Gerade ab ud verfolge de Weg eies partikuläre Eckpuktes. Beim Dreieck setzt sich dieser Weg aus zwei Kreisboge zusamme, welche die Seiteläge des Dreieckes als Radius habe (Abb. ). Der Abrollprozess (besser wohl Abkippprozess ) vo liks ach rechts wird durch die Farbveräderug vo rot zu blau idiziert. Abb. : Abrolle des Dreiecks Beim Quadrat habe wir drei Kreisboge, der Radius des mittlere Boges ist gleich der Quadratdiagoale. Abb. 2: Abrolle des Quadrates Beim Siegeeck (Abb. 3) habe wir sechs Böge, dere Radie der Reihe ach die Läge der vo eiem Eckpukt ausgehede Seite ud Diagoale sid ( Diagoalefächer ). Bei eiem -Eck habe wir etspreched Böge. Abb. 3: Abrolle des Siebeecks Für wachsedes ähert sich die Bogefigur der Zykloide a. Die Abbildug 4 zeigt die Situatio für = 2.
2 Has Walser: Approximatio der Zykloide 2/7 Abb. 4: Approximatio der Zykloide 2 Bezeichuge ud Berechuge Im regelmäßige -Eck A...A mit Umkreisradius bezeiche wir mit a i de Abstad zweier Pukte A k ud A k±i mod. Damit ist a = a =, weiter a = a die Seiteläge des regelmäßige -Ecks, ud a i = a i die Läge eier Diagoale, welche i Pukte übersprigt. De Mittelpukt des Umkreises bezeiche wir mit M, de Radius mit r. Die Läge sid also die sukzessive Radie userer Kreisböge. Die zugehöreige Kreissektore habe alle de Zetriwikel. Da jede Seite vo M aus uter eiem Wikel vo a = a = 2si π. Aalog ist a i = a i = 2si( i π ). Für die Läge b i des Boges mit dem Radius a i erhalte wir also: b i = a i = 4π si i π erscheit, ist Der letzte Boge ist ur och ei Pukt, also b =. Wir dürfe also im Folgede die Summatioe vo bis laufe lasse, obwohl wir ur Kreisboge habe. Für die Gesamtläge B der Kurve erhalte wir: = b i B Wir bearbeite zuächst die Summe = 4π si i π si( i π ). Dazu setze wir die Ortsvektore der etsprechede Kreisteilugspukte auf dem Eiheitskreis zu eiem Polygozug zusamme. Die Abbildug 5 zeigt die Situatio für = 5.
3 Has Walser: Approximatio der Zykloide 3/7 Abb. 5: Polygozug aus Eiheitsvektore Wir erhalte ei halbes regelmäßiges 2-Eck der Seiteläge. Die gesuchte Sius- Summe ist die vertikale Höhe dieses 2-Ecks. Dies ist der Ikreisdurchmesser, welcher die Läge Somit ist: hat. ta π 2 = b i B = 4π ta π 2 3 Grezwert Für erhalte wir die Zykloide. Wie lag ist diese? Wir suche de Grezwert: B = lim B( ) = lim 4π 3. Vermutug Die Tabelle gibt eiige Werte a. ta π 2 B( ) = 4π lim ta π 2 Tabelle : Werte vo B
4 Has Walser: Approximatio der Zykloide 4/7 Wir vermute: Fällt das π tatsächlich raus? B = lim B( ) = Beweis Wir bereche B = lim B = 4π lim ta π 2 uter Awedug der Regel vo Beroulli-de l Hôpital. Es ist: B = 4π lim ta π 2 = 4π lim m 3.3 Differezielle Herleitug Wir greife zurück zur Formel = b i B ud führe die Bezeichug Δt = B m = 4π lim ta( π 2 m ) m = b i = 4π ei. Damit wird: mit Hilfe der Substitutio m = ud si( i π ) = 2si iδt Für de Grezübergag köe wir schreibe: Damit wird: B = lim B( ) = lim 2 +ta 2 π 2 m ( ) π 2 Δt 2si( iδt 2 ) Δt = 2si( t 2 )dt B = 2si( t 2 )dt = 4 si( ϑ )dϑ = 8 π = 4π π 2 4 Parametrisierug der Zykloide Die Abbildug 6 ist ei Teil der Abbildug 4. Zusätzlich sid zwei Radie des regelmäßige 2-Ecks eigezeichet. = 8 Abb. 6: Figur zum Aschaue Der Grezübergag führt etspreched zur Figur der Abbildug 7 mit der Zykloide.
5 Has Walser: Approximatio der Zykloide 5/7 Abb. 7: Zykloide Wir etehme daraus für die Zykloide die Parameterdarstellug: t 2si( t 2 )cos( t 2 ) x t = 2si( t 2 )si t 2, t [,] Diese Parameterdarstellug lässt sich umforme zur übliche Parameterdarstellug: = t si( t) cos( t) x t, t, Sie hat aber rechetechische Vorteile. Aus t 2si( t 2 )cos( t 2 ) x ( t) = 2si ( t 2 )si( t 2 ) erhalte wir: " x t = 2si t 2 si ( t 2 ) cos t 2, Damit ergibt sich für die Bogeläge der Zykloide: [ ], t [,] x " ( t) = 2si( t 2 ) B = 2si( t 2 )dt = 4 si( ϑ )dϑ = 8 Mit der übliche Parametrisierug wird die Berechug des Itegrals etwas aufwädiger. 5 Eie eigeartige Kurve Die Abbildug 8 zeigt dasselbe wie die Abbildug 3, aber ohe die Siebeecke. Es sid ur die Sektore gezeichet. π Abb. 8: Nur Sektore
6 Has Walser: Approximatio der Zykloide 6/7 Nu deke wir us Figur als ei bewegliches Modell aus Sektore, welche a de Boge-Ede gelekig verbude sid. I der Situatio der Abbildug 8 habe wir zwische aufeiader folgede Sektore jeweils eie Öffugswikel vo π 7 π (allgemei ). Nu klappe wir das Modell zusamme, so dass die Zwischewikel verschwide (Abb. 9). Abb. 9: Zusammegeklappte Sektore Die Abbildug bis 2 zeige die Figure für = 3, = 4 ud = 2. Abb. : = 3 Abb. : = 4
7 Has Walser: Approximatio der Zykloide 7/7 Abb. 2: = 2 Es etsteht sowohl ie wie auße eie iteressate Kurve. I der Abbildug 3 ist die Kurve durch = approximiert. Zudem ist ei Referezquadrat der Seiteläge 4 eigezeichet. Abb. 3: Was für eie Kurve ist das? Die Außekurve hat atürlich dieselbe Läge wie die Zykloide, also 8. Sie ist die Evolvete der Iekurve. Die Läge der Iekurve ist 4. Dies lässt sich leicht beweise. Für < ist die Iekurve ei Polygozug, desse Streckeläge die Differeze aufeiader folgeder a i sid. Die Gesamtläge C ist also: = a i+ a i C Somit ist: = 2 si i + = 4 si i + i= = 4si 2 + i= ( π ) si i π ( π ) = 4si ( 2 π ) = 4si 2 2 i= π ( ( π ) si( i π )) falls ugerade 4 falls gerade = 4 C = lim C Vermutug: Die halbe Iekurve ist ählich zur halbe Außekurve (Drehstreckug, Drehug um π, Streckfaktor 2). 2
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