Füllstandsregelung eines Drei-Tank-Systems
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- Lena Sommer
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1 Technische Universität Berlin Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Fachgebiet Regelungssysteme Leitung: Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Praktikum Digitale Signalverabeitung Praktikum Regelungstechnik 1 (Zeitdiskrete Regelsysteme) Füllstandsregelung eines Drei-Tank-Systems Behrang Monajemi Nejad Einführung Für ein 3-Tank-System soll eine Füllstandsregelung entworfen und erprobt werden. Abbildung 1 zeigt den Versuchsstand, der aus drei miteinander verbundenen Tanks gleicher Größe besteht. Die Tanks 1 und 2 sowie die Tanks 2 und 3 sind durch jeweils ein quer liegendes Rohr miteinander verbunden, und aus Tank 3 kann zusätzlich Wasser abfließen. Die Flußraten Q 12 und Q 23 zwischen den Tanks und die Abflußrate Q 30 aus Tank 3 hängen von den Füllstandshöhen h 1, h 2 und h 3 in den einzelnen Tanks ab. Mit jeweils einer Pumpe kann Wasser in Tank 1 und in Tank 3 gepumpt werden (Flußraten Q 1, Q 3 0). In diesem Versuch soll die Füllstandshöhe h 1 in Tank 1, die über einen Drucksensor gemessen werden kann, auf einen Sollwert geregelt werden. Über die Flußrate Q 1 kann Einfluß auf das System genommen werden. Die Flußrate Q 3 (nicht abgebildet) wird in diesem Versuch als Störung betrachtet. Modellierung Im folgenden bezeichnet ẋ stets die Ableitung der Größe x nach der Zeit. Die Änderungsgeschwindigkeit des Tankvolumens V ist gleich der Differenz von Zu- und Abflußrate, V = Q zu Q ab, und es gilt V= A 0 ḣ, so daß sich z.b. für Tank 1 die Beziehung ḣ 1 = (Q 1 Q 12 )/A 0 (1) ergibt. Die Flußrate Q i j ist gleich dem Produkt von Rohrquerschnitt A i j und Flußgeschwindigkeitv i j im Rohr, Q i j = A i j v i j, (2)
2 Abbildung 1: Versuchsstand. und nach dem Gesetz von Torricelli gilt unter gewissen Annahmen v i j = sign(h i h j ) 2g h i h j, (3) wenn der Einfachheit halber h 0 = 0 gesetzt wird. Dabei bezeichnengdie Fallbeschleunigung und sign die Signumfunktion, 1, falls x>0, sign(x) = 0, falls x=0, 1, sonst. Mit 1, 2 und 3 folgt für die Füllhöhe im Tank 1 die Beziehung ḣ 1 = ( Q 1 A 12 sign(h 1 h 2 ) 2g h 1 h 2 ) /A 0. Parameter des Versuchstandes Grundfläche der Tanks A 0 = 0, 0154 m 2 Querschnitt der Verbindungsrohre A 12 = A 23 = 2, m 2 Querschnitt des Ausflußrohrs A 30 = m 2 Maximale Füllhöhe der Tanks ĥ = 0, 60 m Maximale Flußrate der Pumpe 1 Q 1 = 0, 1 l/s Fallbeschleunigung g = 9, 81 m s 2 2
3 Aufgaben 1 Aufgabe Geben Sie ein Modell der Form ḣ= f (h, u, d), (4a) y=ch (4b) an, wobei u die Stellgröße und d die Störgröße bezeichnen und h=(h 1, h 2, h 3 ). Welche physikalischen Größen entsprechen u und d? Bestimmen Sie unter der Annahme verschwindender Störung alle Ruhelagen (h, u) von 4a, wobei h 2, h 3 und u als Funktionen von h 1 angegeben werden sollen. Weisen Sie dazu zunächst anhand des Modells 4a nach, daß für jede Ruhelage (h, u) die Ungleichung h 1 h 2 h 3 gilt. Dadurch wird die Berechnung der Ruhelagen erheblich vereinfacht. Geben Sie die Komponenten h 2, h 3 und u der Ruhelage (h, u) für den Fall h 1 = 0, 15m zahlenmäßig an. Gibt es für jedesα 0eine Ruhelage (h, u) mit h 1 =α? Gibt es für jedesα 0 eine Ruhelage (h, u) mit u=α? 2 Aufgabe Um die Reglerentwurfsmethoden für LTI-Systeme anwenden zu können, wird das in Aufgabe 1 ermittelte nichtlineare 3-Tankmodell linearisiert. Die einzelnen nichtlinearen Funktionen f i ( h i )= 2g h i werden durch lineare Abbildungeng i ( h i )=m i h i approximiert, wobei das Fehlerquadrat minimiert werden soll. Die Fehlerquadrate sind durch folgende Funktion gegeben: ξ(m i )= hi,max h i,min ( f i (τ) g i (τ)) 2 dτ Berechnen Sie in allgemeiner Form die Anstiege m i, die das Fehlerquadratξ(m i ) minimieren, geben Sie das resultierende linearisierte Zustandsraummodell an, und geben Sie die Übertragungsfunktion G(s)= Y(s) U(s) an. 3 Aufgabe Das Führungsübertragungsverhalten soll durch ein durch G 1 (s)= K 1 T 1 gegebenes PT1-Glied approximiert s+1 werden, wobei T 1 durch 1/2 n 1 T 1 = i=1 s 2 i 3
4 gegeben ist und s i die n Polstellen von G sind. Ermitteln Sie G 1 und bestimmen Sie die dazugehörige zeitdiskrete Übertragungsfunktion mit einem Abstasthalteglied 0. Ordnung und einer Abtastzeit 0, 5s. Verwenden Sie dazu die Scilab Funktion dscr() und geben Sie den Scilab-Code an. 4 Aufgabe Entwerfen Sie einen zeitdiskreten Regler für das approximierte System G 1 (z) mit dem Polvorgabeverfahren aus Abschnitt vom Vorlesungsskript. Dabei wird gefordert, dass für eine sprungförmige Führungsgröße der Regelfehler Null wird und höchstens geringes Überschwingen auftritt. Die gewünschte Führungsübertragungsfunktion hat die Form T(s)= 1 (s/ω N ) 2 + 2ξs/ω N + 1 (5) mit 0 ξ 1 undω N > 0. (Genauer gesagt: Der Nenner von 5 wird als Nenner der zeitkontinuierlichen Führungsübertragungsfunktion gewünscht.) Gehen Sie dabei so vor: 1. Bestimmen Sie die Struktur der Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Reglers aus dem Nennergrad der 5 entsprechenden zeitdiskreten Übertragungsfunktion (Abstasthalteglied 0. Ordnung) und aus den Anforderungen an die Regelgüte. Stabile Pole und Nullstellen von G 1 sollen gekürzt werden. 2. Wählen Sie zwei Eigenfrequenzenω N derart, daß die Periode der Eigenschwingung 50s bzw. 200s beträgt, sowie eine Dämpfung ξ. Bestimmen Sie die Reglerparameter durch Koeffizientenvergleich unter Zuhilfenahme der 5 entsprechenden zeitdiskreten Übertragungsfunktionen (Ergebnis: zeitdiskrete Übertragungsfunktionen G C50, G C200 ). Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktionen. 3. Simulieren Sie einen Führungssprung auf 0, 15m für die entworfenen Regelkreise und das Störverhalten, wenn in Tank 3 Wasser mit einer Flußrate von 0, 05 l/s gepumpt wird, bzw. wenn in Tank 1 zusätzlich Wasser mit einer Flußrate von 0, 01 l/s gepumpt wird. Verwenden Sie für die Simulation das nichtlineare Modell. Vergleichen Sie Führungs- und Störverhalten und diskutieren Sie den Stellgrößenaufwand für die zwei Regler. Berechnen Sie die Störübertragungsfunktion bzgl. der Eingangsstörung (Tank 1). 4. Entwerfen Sie für den geschlossenen Regelkreis mit Regler G C50 einen Vorfilter G v (z) wie in der Regelkreisstruktur Bild 9, S. 14, Kapitel 5 des Vorlesungsskripts. Durch den Vorfilter sollen die Pole des geschlossen Regelkreises gekürzt werden und das Führungsverhalten mit Vorfilter einem System 4
5 zweiter Ordnung mit Dämpfungξ=0, 9 und Periodendauer der Eigenschwingung von T P = 200 entsprechen. Berechnen Sie die Führungs- und die Störübertragungsfunktion bzgl. der Eingangsstörung (Tank 1). 5. Simulieren Sie einen Führungssprung auf 0, 15m für den in 4 entworfenen Regelkreis und das Störverhalten, wenn in Tank 3 Wasser mit einer Flußrate von 0, 05 l/s gepumpt wird, bzw. wenn in Tank 1 zusätzlich Wasser mit einer Flußrate von 0, 01 l/s gepumpt wird. Vergleichen Sie das Führungsund Störverhalten sowie den Stellgrößenaufwand mit den Ergebnissen aus 3. Dreitank Versuchsdurchführung Portieren Sie ihr Reglerentwurfsskript auf den Versuchsrechner (mittels USB-Stick) und Implementieren Sie den Regler in dem vorgegeben Scicos-Modell. Das Modell beinhaltet Schnittstellen zur realen Strecke. a) Implementieren Sie den von Ihnen entworfenen Regler G C50 und untersuchen Sie das Führungs- und Störverhalten sowie den Stellgrößenaufwand für ein sprungförmiges Referenzsignal von 0 auf 15cm. Stellen Sie die gemessene und die simulierte Sprungantwort sowie den gemessenen und simulierten Stellgrößenaufwand in jeweils einem Diagramm dar. Entsprechen die Kurvenverläufe Ihren Erwartugen? Was läßt sich über die Stellgröße sagen? b) Wiederholen Sie die Teilaufgabe a) für den von Ihnen entworfenen Regler G C200. Wie ändern sich die Kurvenverläufe für diesen Regler? c) Implementieren Sie den in Aufgabe 4.4 entworfenen Vorfilter. Nehmen Sie das Führungs- und Störverhalten dieses Regelkreises für einen Führungssprung auf 15cm und die in der Teilaufgabe 4.5 gegebene Störgröße auf. Vergleichen Sie die Ergebnsisse mit denen der anderen Regelkreise. d) Speichern Sie die Daten von einem erfolgreichen Versuchsdurchgang ab und übergeben Sie eine Kopie der Datei dem/r Versuchsbetreur/in. Auswertung und Diskussion 1. Beschreiben und diskutieren Sie das Regelkreisverhalten! 2. Vergleichen Sie die experimentellen Ergebnisse mit denen der Simulation! 3. Erweitern Sie das Scilab-Skript, das Sie für die Simulation geschrieben haben, um eine Routine, die aus den gespeicherten Versuchsdaten aussagekräftige Plots generiert, die Sie in Ihr Protokoll einbinden! 5
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