AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können

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1 AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können Beispiel 2.1.a: Kreuze die richtige Aussage an! Welcher Term modelliert folgenden Satz: Die Hälfte der Quadratwurzel einer Zahl wird um eins verringert. 1/ : Beispiel 2.1.b: Gegeben ist ein Drehzylinders mit Radius r und Höhe h. Gib die Formeln für Volumen, Grundfläche, Mantelfläche und Oberfläche an! Volumen V = Grundfläche G = Mantelfläche M = Oberfläche O = Beispiel 2.1.c: Den Flächeninhalt A eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c kann man mit der Formel = ( )( )( ) berechnen, wobei s der halbe Umfang ist. (Heronsche Flächenformel) Drücke die Formel für A nur mit den Variablen a, b, c möglichst einfach aus! = Beispiel 2.1.d: Aus Wikipedia: Gemäß der newtonschen Gravitationstheorie erzeugt jede (schwere) Masse ein Gravitationsfeld, in der allgemeinen Relativitätstheorie aber auch jede andere Energieform, also neben schweren Massen auch Licht- und Gravitationsenergie. Die Stärke der Gravitationsbeschleunigung g in einem durch schwere Massen erzeugten Gravitationsfeld ist dabei zum einen der Größe der Masse M proportional, zum anderen dem Quadrat des Abstandes r zum Mittelpunkt von M umgekehrt proportional. In der sich daraus ergebenden Definitionsgleichung für g wird der der (gemeinsame) Proportionalitätsfaktor mit G bezeichnet. G heißt newtonsche Gravitationskonstante, eine Naturkonstante, deren Wert man, sofern die Werte der übrigen Größen durch Messung bekannt sind, durch Umformen obiger Gleichung nach G bestimmen kann. Stelle folgende Formeln auf: = ; = Beantworte: Um wie viel stärker oder schwächer ist die Gravitationsbeschleunigung g für einen Körper mit doppelter Masse und halbem Abstand?

2 Beispiel 2.1.e: Im Archiv einer Schule werden alle Mathematik-Schularbeitshefte einer bestimmten Klasse aufbewahrt. Jede Schülerin/jeder Schüler hat genau ein Heft abgegeben; die Hefte haben entweder 20 Blatt oder 40 Blatt. Es sei z die Anzahl der Hefte mit 20 Blatt und v Anzahl der Hefte mit 40 Blatt. z + v = 25 Es gelten zwei Bedingungen: 20z + 40v = 660 a) Wie viele Schülerinnen und Schüler besuchen die erwähnte Klasse? b) Wie viele Blatt Papier haben alle Mathematik-Schularbeitshefte dieser Klasse zusammen? c) Erweiterung Ein Schüler möchte die oben gestellte Aufgabe lösen. Er macht jedoch einen Angabefehler und schreibt in sein Heft die folgenden Bedingungen: z + v = 25 20z + 40v = 650 Macht dieser Angabefehler für die Beantwortung der Fragen a) und b) einen wesentlichen Unterschied? AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können Beispiel 2.2.a: Eine zweistellige Zahl ist durch 5 teilbar. Vertauscht man die Ziffern so erhält man eine Zahl > 9 und diese neue Zahl ist um 27 kleiner als die ursprüngliche Zahl. Welche der folgenden Gleichungen führt zu Lösung, Die Gleichung 1 führt zur Lösung, wobei x die 2bedeutet. 1 /5 27 = (10 + 5) 27 = 50 + ( + 5) + 27 = 2 ursprüngliche Zahl neue Zahl Zehnerstelle der ursprünglichen Zahl Beispiel 2.2.b: Gegeben ist eine lineare Gleichung in x: ( + 1) + = 0 mit den Parametern a und b: Für welche Parameterwerte gibt es unendlich viele Lösungen? Kreuze alle zutreffenden Aussagen an! = 1; = 1 = 1; = 0 = 0; = 1 = 0; = 0 = 1; = 1

3 AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können Beispiel 2.3.a: Gegeben ist die Gleichung: +!"# $ = 0. Löse die Gleichung nach x unter Verwendung des Parameters a auf! = ; = Beispiel 2.3.b: Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! Jede quadratische Gleichung über R hat genau 2 Lösungen weniger als 3 Lösungen immer eine eindeutige Lösung 0, 1 oder 2 Lösungen 2 verschiedene Lösungen x 1 und x 2 Beispiel 2.3.c: Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Eine quadratische Gleichung + + = 0 ( 0) hat genau eine Lösung, wenn 4 = = 0 4 = 0 = 2 Beispiel 2.3.d: Gegeben ist eine quadratische Gleichung + + = 0 (a 0) über R. Die Gleichung hat genau eine Lösung, wenn der Graph der Funktion 1 die x-achse 2. 1 /() = /() = + + /() = 4 2 nicht schneidet. berührt. in mehreren Punkten schneidet.

4 AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können Beispiel 2.4.a: Kreuze alle Umformungen einer Ungleichung an, die eine äquivalente Ungleichung erzeugen (ohne das Ungleichheitszeichen zu ändern)! Zu beiden Seiten die derselbe positive Zahl addieren Zu beiden Seiten die derselbe negative Zahl addieren Beide Seiten mit derselben positiven Zahl 0 multiplizieren Beide Seiten mit derselben negativen Zahl multiplizieren Beide Seiten quadrieren Beispiel 2.4.b: Die Länge einer Strecke wird mit = 12,4 1 0,4 2 angeben. Welche beiden Aussagen sind dazu äquivalent? , ,8 812; 139 : 12,0 5 12,8 3 12,8 Beispiel 2.4.c: Gegeben ist ein abgeschlossenes Intervall auf der Zahlengeraden: Welche Ungleichung(en) beschreiben alle Zahlen x dieses Intervalls? Kreuze alle richtigen an! : : Beispiel 3.4.d: Gegeben ist die Menge = R 3 3 5? Kreuze die Ungleichung an, die alle Zahlen x aus dieser Menge genau beschreibt!

5 AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können Beispiel 2.5.a: Kreuze die zutreffende Aussage an! Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungsystems in 2 Variablen besteht aus genau einer Zahl aus N genau einer Zahl aus R genau einem Zahlenpaar 0 oder 1 Zahlenpaar 0, 1 oder 2 Zahlenpaaren 0, 1 oder unendlich vielen Zahlenpaaren Beispiel 2.5.b: Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! Folgende Verfahren lösen ein lineares Gleichungssystem in 2 Variablen: Reduktionsverfahren Substitutionsverfahren Minimalverfahren Komparationsverfahren Eliminationsverfahren Beispiel 2.5.c: Ermittle algebraisch die Lösungsmenge von: 3 4A = A = 1 B C = Beispiel 2.5.d: Ermittle geometrisch die Lösungsmenge von: A + 1 = 0 4A = 0 B C =

6 Beispiel 2.5.e: Gegeben sind 2 Zahlen x und y, für die folgendes Gleichungssystem gilt: + A = 4 2 A = 0 B Kreuze die sich daraus ergebende(n) wahren Aussagen(n) an! Die Summe von x und y ist 4 Die Differenz von x und y ist 0. x ist das Doppelte von y y ist das Doppelte von x Die Summe von x und y ist 4 und y ist das Doppelte von x Beispiel 2.5.f: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem in x und y mit dem Parameter R : D: 9 + 6A = 1 DD: 6 + 4A = Ermittle die Menge A aller Werte a, für die das Gleichungssystem (i) keine Lösung = (ii) genau eine Lösung = (iii) unendlich viele Lösungen hat! = Beispiel 2.5.g: Es sind drei Gleichungssysteme gegeben, jede Gleichung stellt eine Gerade dar: Gib für jedes Gleichungssystem an, wie die beiden Geraden zueinander liegen! Geraden a und b: ; Geraden c und d: ; Geraden e und f: