Syntax der Aussagenlogik

Transkript

1 Einführende Beispiele bitte im Buch nachlesen: Uwe Schöning: Logik für Informatiker. 5. Auflage, Spektrum Akad. Verlag, 2. Definition: Syntax der Aussagenlogik ) Atomare Formeln (A i, i =, 2, 3,...)sindFormeln. 2) Falls F und G Formeln, dann auch (F ^ G) und (F _ G). 3) Wenn F eine Formel ist, dann auch F. Begriffe wie Negation, Konjunktion, Disjunktion sollten bekannt sein. Was ist eine Teilformel? Syntax der Aussagenlogik Wenn A i die Formel ist, dann ist A i ihre einzige Teilformel. Nun induktiv weiter machen. Einheit Folie.

2 Abkürzungen Namen ohne Index Meistens A, B, C,... für A, A 2, A 3,... Implikation F! F 2 steht für ( F _ F 2 ) Äquivalenz F $ F 2 für ((F ^ F 2 ) _ ( F ^ F 2 )) nw n-faches Oder n-faches Und F i steht für (...((F _ F 2 ) _ F 3 ) _F n ) i= V n F i steht für (...((F ^ F 2 ) ^ F 3 ) ^F n ) i= Frage: Was bedeutet B $ (C! E)? Antwort: ((A 2 ^ ( A 3 _ A 5 )) _ ( A 2 ^ ( A 3 _ A 5 ))) Beachte: Bis hierhin war alles rein syntaktisch... Einheit Folie.2

3 Semantik der Aussagenlogik () Was ist eine Belegung? D sei eine (meistens endliche) Teilmenge von {A, A 2, A 3,...}. Eine Abbildung A : D!{, } heißt Belegung. Durch eine Belegung erhält jede atomare Formel einen Wert. Jetzt wollen wir auch allen anderen Formeln einen Wert zuordnen. Dabei nutzen wir die induktive Definition der Formeln aus: Induktionsanfang Der Wert einer atomaren Formel A i ist genau dann definiert, wenn A i 2 D gilt, und er ist dann A(A i ). Einheit Folie.3

4 Induktionsschritt Semantik der Aussagenlogik (2) Wir nehmen an, dass A(F ) und A(G) definiert sind. Jetzt definieren wir A(F ^ G), A(F _ G) und A( F ): a) A(F ^ G) sei das Minimum von A(F ) und A(G). In anderen Worten: A(F ^ G) =gdw.a(f )= und A(G) =. b) A(F _ G) sei das Maximum von A(F ) und A(G). In anderen Worten: A(F _ G) =gdw.a(f )= oder A(G) =. c) A( F ) sei definiert durch A( F )= A(F ). In anderen Worten: A( F )=gdw.a(f )=, also nicht. Als Beispiel berechnen wir an der Tafel A(B $ (C! E)) für die Belegung A mit D = {A,...,A 5 } und A(A )=A(A 3 )=, A(A 2 )=A(A 4 )=A(A 5 )=. Einheit Folie.4

5 Verknüpfungstafeln Tabellen für ^, _ und sind Ihnen schon bekannt. A(F ) A(G) A(F! G) A(F ) A(G) A(F $ G) Wie man hier sieht, können auch! und $ mit Verknüpfungstafeln beschrieben werden. Kann man auch für eine Formel wie B $ (C! E) eine solche Verknüpfungstafel konstruieren? Einheit Folie.5

6 Baumstruktur für Formeln Wir wollen induktiv für jede Formel einen Baum definieren. ) Für atomare Formeln ein Knoten, in den als Label die atomare Formel eingetragen ist: A i 2) Für F ein Knoten, in den als Label die Verknüpfung eingetragen ist, darunter ein Baum für F : (B sei der Baum für F ) B 3) Für F ^ G ein Knoten, in den als Label ^ eingetragen ist, darunter Bäume für F und G: ^ (B sei der Baum für F, B der für G) 4) Für F _ G wie im Fall 3), aber mit _ als Label des Wurzelknotens. Einheit Folie.6 B B

7 Beispiel für die Baumstruktur Formel: ((A ^ (B _ C)) _ ( A ^ (B _ C))) _ ^ ^ A _ B C A _ B C Wie erfolgt hier die Auswertung? Antwort: Von unten nach oben... Einheit Folie.7

8 Modelle, Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Tautologie Wann ist eine Belegung passend zu einer Formel? A ist genau dann zu F passend, wenn alle in F vorkommenden atomaren Variablen zum Definitionsbereich von A gehören. Wann ist eine Belegung Modell für eine Formel? A ist genau dann ein Modell für F,wennA zu F passend ist und A(F )=gilt. Wann schreiben wir A = F? Wir schreiben A = F genau dann, wenn A ein Modell für F ist. Was bedeutet F ist erfüllbar? Wir sagen, F ist erfüllbar, wenn es ein Modell für F gibt, d.h. es existiert eine Belegung A, diezuf passend ist, mit A(F )=. Was bedeutet F ist gültig? F ist gültig, falls für alle A, diezuf passend sind, A(F )=gilt. Was ist eine Tautologie? Eine Tautologie ist eine gültige Formel F. Einheit Folie.8