Mathematischer Vorkurs

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1 Mathematischer Vorkurs Dr. Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 170

2 Logarithmus- und Exponentialfunktion Kapitel 9 Logarithmus- und Exponentialfunktion Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 89 / 170

3 Logarithmus- und Exponentialfunktion Wir können laut des Hauptsatzes der Dierential- und Integralrechnung alle stetigen Funktionen integrieren. Die Funktion f(x) = 1 x tauchte allerdings in unseren Beispielen zur Dierentiation nie als Ergebnis auf (vgl. Tabellen aus Beispiel 6.3). Ihre Stammfunktion kennen wir also bisher nicht und wir denieren deshalb wie folgt: 9.1 Denition: Logarithmusfunktion Die Logarithmusfunktion (oder der Logarithmus) ln : R + R ist deniert über eine Stammfunktion der auf R + stetigen Funktion x 1 x. Genauer: ln x := x 1 1 t dt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 90 / 170

4 Logarithmus- und Exponentialfunktion 9.2 Satz: Eigenschaften des Logarithmus 1. ln (x) = 1 x. 2. ln 1 = ln 1 = ln x. x 4. ln(x y) = ln x + ln y. 5. ln ist streng monoton steigend. 6. lim ln x = und lim ln x = x x 0+ Da der Logarithmus ln streng monoton ist und seine Bildmenge ganz R ist, existiert seine Umkehrfunktion. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 91 / 170

5 Logarithmus- und Exponentialfunktion 9.3 Denition: Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion exp : R R + ist die Umkehrfunktion des Logarithmus ln : R + R. Die Zahl e := exp(1) = ln 1 (1) 2, heiÿt Eulersche Zahl. 9.4 Satz: Eigenschaften der Exponentialfunktion 1. exp ist streng monoton wachsend. 2. exp(ln x) = ln(exp x) = x. 3. exp(0) = 1 und exp(x) > lim exp(x) = und lim exp(x) = 0 x x 5. exp(x) exp(y) = exp(x + y), insbesondere gilt für n N damit exp(n x) = ( exp(x) ) n. 6. exp (x) = exp(x). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 92 / 170

6 Logarithmus- und Exponentialfunktion 9.5 Bemerkung Aus Satz 9.4 Punkt 5. folgt exp(q) = e q für alle q Q. Deshalb schreiben wir exp(x) = e x auch für x R. Sinn bekommt die Schreibweise aus der vorigen Bemerkung durch 9.6 Denition: allgemeine Potenz Für a, b R mit a > 0 denieren wir die allgemeine Potenz a b durch a b := exp(b ln a). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 93 / 170

7 Logarithmus- und Exponentialfunktion Mit Hilfe des Logarithmus können wir unsere Integralregeln weiter ergänzen: 9.7 Satz 1 1. dx = ln x + c. x f (x) 2. dx = ln f(x) + c. f(x) Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / 170

8 Kapitel 10 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 95 / 170

9 10.1 Denition: Wahrheitswerte, Aussagen Eine Aussage A ist eine Behauptung über einen (mathematischen) Sachverhalt, der genau einer der beiden Wahrheitswerte wahr (w) oder falsch (f) zugeordnet werden kann Denition: Negation, NOT Ist A eine Aussage so nennt man A die Negation von A (man sagt auch nicht A). Sie ist deniert über ihren Wahrheitsgehalt: A ist wahr, wenn A falsch ist und A ist falsch, wenn A wahr ist. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 96 / 170

10 10.3 Deniton: Konjunktion, AND Sind A und B Aussagen, so bezeichnet A B die Konjunktion (man sagt auch A und B). Sie ist deniert über ihren Wahrheitsgehalt: A B ist wahr, wenn A und B beide wahr sind, A B ist falsch, wenn A wahr und B falsch ist, A B ist falsch, wenn A falsch und B wahr ist und A B ist falsch, wenn A und B beide falsch sind Deniton: Disjunktion, OR Sind A und B Aussagen, so bezeichnet A B die Disjunktion (man sagt auch A oder B). Sie ist deniert über ihren Wahrheitsgehalt: A B ist wahr, wenn A und B beide wahr sind, A B ist wahr, wenn A wahr und B falsch ist, A B ist wahr, wenn A falsch und B wahr ist und A B ist falsch, wenn A und B beide falsch sind. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 97 / 170

11 10.5 Deniton: Tautologie, Kontradiktion Es sei A eine beliebige Aussage, dann ist die Tautologie, W, die Aussage mit dem Wahrheitswert der Aussage ( A) A, und die Kontradiktion, F, die Aussage mit dem Wahrheitswert der Aussage ( A) A W ist also immer wahr und F ist immer falsch. Die letzten Denitionen kann man gut mit Hilfe von Wahrheitswerttabellen beschreiben: A B A A B A B A A, W A A, F w w f w w w f w f f f w w f f w w f w w f f f w f f w f Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 98 / 170

12 10.6 Denition: Äquivalenz von Aussagenverknüpfungen Es seien A, B,... Aussagen und F (A, B,...) und G(A, B,...) Ausdrücke die durch Verknüpfung der Aussagen entstehen. Dann heiÿen F (A, B,...) und G(A, B,...) äquivalent, wenn für alle Kombinationen von Wahrheitswerten der Aussagen A, B,... die Aussagen F (A, B,...) und G(A, B,...) den gleichen Wahrheitswert haben. Wir schreiben dann F (A, B,...) G(A, B,...) Bemerkung: Die Äquivalenz von Aussagenverknüpfungen lässt sich sehr gut mit Hilfe von Wahrheitswerttabellen überprüfen. Gehen k Aussagen A 1, A 2,..., A k in die Äquivalenz ein, so braucht man eine Tabelle mit 2 k Zeilen. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 170

13 10.8 Satz: einfache Beispiele Es seien A und B Aussagen. Dann gelten folgende Äquivalenzen: ( A) A A B B A A B B A A A A A A A A W W A W A A F A A F F Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 100 / 170

14 10.9 Satz: Rechenregeln Es seien A, B und C Aussagen. Dann gelten folgende Äquivalenzen: 1. (A B) C A (B C) und (A B) C A (B C) Assoziativgesetze 2. A (B C) (A B) (A C) und A (B C) (A B) (A C) Distributivgesetze 3. (A B) A B und (A B) A B de Morgansche Regeln Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 101 / 170

15 10.10 Denition: Subjunktion, Bikonditional Es seien A und B Ausagen. Dann ist die Subjunktion durch A B : A B und das Bikonditional durch deniert. A B : (A B) (B A) Bemerkung: Die Wahrheitswertabellen dieser Verknüpfungen lauten wie folgt: A B A B A B w w w w w f f f f w w f f f w w Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 102 / 170