Aussagen Interpretation Verknüpfen von Aussagen Tautologie und Widerspruch Äquivalenz
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- Kristin Lorentz
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Transkript
1 Aussagenlogik
2 Aussagen Interpretation Verknüpen von Aussagen Tautologie und Widerspruch Äquivalenz
3 Aussagen
4 Aussagen Eine Aussage ist ein Satz, dem sich ein eindeutiger Wahrheitsert ahr (kurz bz. 1) oder alsch (kurz bz. 0) zuordnen lässt.
5 Aussagen Ein Satz, dem sich ein eindeutiger Wahrheitsert zuordnen lässt.
6 Aussagen Ein Satz, dem sich ein eindeutiger Wahrheitsert zuordnen lässt. Beispiel: Die Katze ist scharz.
7 Aussagen Ein Satz, dem sich ein eindeutiger Wahrheitsert zuordnen lässt. Beispiel: Die Katze ist scharz. 2 und 4 sind Primzahlen.
8 Aussagen Ein Satz, dem sich ein eindeutiger Wahrheitsert zuordnen lässt. Beispiel: Die Katze ist scharz. Gegenbeispiel: Ist die Katze scharz? 2 und 4 sind Primzahlen.
9 Aussagen Ein Satz, dem sich ein eindeutiger Wahrheitsert zuordnen lässt. Beispiel: Die Katze ist scharz. 2 und 4 sind Primzahlen. Gegenbeispiel: Ist die Katze scharz? Schau hin!
10 Aussagen Die Katze ist scharz.
11 Aussagen A := Die Katze ist scharz.
12 Aussagen A := Die Katze ist scharz. Die Katze ist scharz. =: A
13 Aussagen A := Die Katze ist scharz. Die Katze ist scharz. =: A A ird deiniert als Die Katze ist scharz..
14 Interpretation
15 Interpretation Eine Interpretation gibt die Bedeutung und damit den Wahrheitsert einer Aussage an.
16 Interpretation Gibt den Wahrheitsert einer Aussage an. A := Die Katze ist scharz.
17 Interpretation Gibt den Wahrheitsert einer Aussage an. A := Die Katze ist scharz. ahr
18 Interpretation Gibt den Wahrheitsert einer Aussage an. A := Die Katze ist scharz. ahr alsch
19 Verknüpen von Aussagen
20 Verknüpen von Aussagen Junktoren sind selbst keine Aussagen, können aber genutzt erden, um Teilaussagen zu neuen, komplexeren Aussagen zu verknüpen.
21 Negation Nicht
22 Negation Nicht A := Die Katze ist scharz. ( A) = Die Katze ist nicht scharz.
23 Negation Nicht Bei der Negation ist der neue Wahrheitsert das Gegenteil des alten Wahrheitsertes.
24 Negation Nicht A ( A)
25 Konjunktion Und
26 Konjunktion Und A := Die Katze ist scharz. B := Die Katze miaut. (A B) = Die Katze ist scharz und sie miaut.
27 Konjunktion Und Bei der Konjunktion müssen beide der Teilaussagen ahr sein, damit die neue Aussage ahr ist.
28 Konjunktion Und A B (A B)
29 Disjunktion Oder
30 Disjunktion Oder A := Die Katze ist scharz. B := Die Katze miaut. (A B) = Die Katze ist scharz oder sie miaut.
31 Disjunktion Oder Beim Inklusiven Oder muss mindestens eine der Teilaussagen ahr sein.
32 Disjunktion Oder A B (A B)
33 Kontravalenz Enteder oder
34 Kontravalenz Enteder oder A := Die Katze ist scharz. B := Die Katze miaut. (A B) = Enteder die Katze ist scharz oder sie miaut.
35 Kontravalenz Enteder oder Beim Exklusiven Oder muss genau eine der Teilaussagen ahr sein.
36 Kontravalenz Enteder oder A B (A B)
37 Implikation Wenn, dann
38 Implikation Wenn, dann A := Die Katze hat Hunger. B := Die Katze miaut. (A B) = Wenn die Katze Hunger hat, dann miaut sie.
39 Implikation Wenn, dann Die Implikation ist nur alsch, enn aus Wahrem etas Falsches olgt.
40 Implikation Wenn, dann A B (A B)
41 Äquivalenz Genau dann, enn
42 Äquivalenz Genau dann, enn A := Die Katze hat Hunger. B := Die Katze miaut. (A B) = Genau dann, enn die Katze Hunger hat, miaut sie.
43 Äquivalenz Genau dann, enn Die Äquivalenz ist ahr, enn beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitsert haben.
44 Äquivalenz Genau dann, enn Die Äquivalenz ist ahr, enn beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitsert haben. (A B) ist immer dann ahr, enn soohl (A B) als auch (B A) ahr sind.
45 Äquivalenz Genau dann, enn A B (A B)
46 Klammerung Die Katze ist nicht scharz und miaut.
47 Klammerung Die Katze ist nicht scharz und miaut. A := Die Katze ist scharz. B := Die Katze miaut.
48 Klammerung Die Katze ist nicht scharz und miaut. A := Die Katze ist scharz. B := Die Katze miaut. ( A) = Die Katze ist nicht scharz.
49 Klammerung Die Katze ist nicht scharz und miaut. A := Die Katze ist scharz. B := Die Katze miaut. ( A) = Die Katze ist nicht scharz. (( A) B) = Die Katze (ist nicht scharz) und miaut.
50 Klammerung ((( A ( B) ) C) (D E))
51 Klammerung ((( A ( B) ) C) (D E)) Aneinander gereihte Konjunktion düren in beliebiger Reihenolge ausgeührt erden.
52 Klammerung ( ) (( A ( B) C) (D E)) Aneinander gereihte Konjunktion düren in beliebiger Reihenolge ausgeührt erden.
53 Klammerung (( A ( B) C) (D E)) Aneinander gereihte Konjunktion düren in beliebiger Reihenolge ausgeührt erden.
54 Klammerung (( A ( B) C) (D E)) Aneinander gereihte Konjunktion düren in beliebiger Reihenolge ausgeührt erden. Das gleiche gilt auch ür Disjunktionen.
55 Klammerung (( A ( B ) C ) (D E) )
56 Klammerung (( A ( B ) C ) (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
57 Klammerung ( ) (( A B C ) (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
58 Klammerung (( A B C ) (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
59 Klammerung ( ) ( A B C (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
60 Klammerung ( A B C (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
61 Klammerung ( A B C (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
62 Klammerung ( A B C (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
63 Klammerung ( A B C (D E) ) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
64 Klammerung A B C (D E) Am stärksten bindende Junktoren:,,,,
65 Klammerung A B C (D E)
66 Tautologie
67 Tautologie A := Die Katze ist scharz.
68 Tautologie A := Die Katze ist scharz. A A
69 Tautologie A := Die Katze ist scharz. A A Die Katze ist scharz oder sie ist nicht scharz.
70 Tautologie A A A A A A
71 Tautologie Eine Aussage, die unabhängig von der Interpretation stets ahr ist, nennen ir Tautologie.
72 Widerspruch Eine Aussage, die unabhängig von der Interpretation stets alsch ist, nennen ir Widerspruch.
73 Äquivalenz
74 Äquivalenz Zei Aussagen A und B, die ür jede gegebene Interpretation stets den selben Wahrheitsert besitzen, nennen ir äquivalent.
75 Äquivalenz Zei Aussagen A und B, die ür jede gegebene Interpretation stets den selben Wahrheitsert besitzen, nennen ir äquivalent. Es gilt A B genau dann, enn A B eine Tautologie ist.
76 Äquivalenz Genau dann, enn Die Äquivalenz ist ahr, enn beide Teilaussagen den gleichen Wahrheitsert haben. (A B) ist immer dann ahr, enn soohl (A B) als auch (B A) ahr sind.
77 Äquivalenz A B A B B A (A B) (B A) A B
78 Äquivalenz A B A B B A (A B) (B A) A B
79 B A B B A (A B) (B A) A B A Äquivalenz (A B) (B A) A B
80 Äquivalenzumormung (A B) (B A) A B
81 Äquivalenzumormung (A B) (B A) A B (A B) (B A) (C B) (B C)
82 Äquivalenzumormung (A B) (B A) A B (A B) (B A) (C B) (B C) (A B)
83 Äquivalenzumormung (A B) (B A) A B (A B) (B A) (C B) (B C) (A B) (C B)
84 Äquivalenzumormung
85 Äquivalenzumormung Kommutativgesetz: A B B A A B B A
86 Äquivalenzumormung Kommutativgesetz: A B B A A B B A Assoziativgesetz: (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
87 Äquivalenzumormung Kommutativgesetz: A B B A A B B A Distributivgesetz: (A B) C (A C) (B C) (A B) C (A C) (B C) Assoziativgesetz: (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
88 Äquivalenzumormung Kommutativgesetz: A B B A A B B A Distributivgesetz: (A B) C (A C) (B C) (A B) C (A C) (B C) Assoziativgesetz: (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) Regel von de Morgan: (A B) A B (A B) A B
89 Äquivalenzumormung Implikationselimination: (A B) A B
90 Äquivalenzumormung Implikationselimination: (A B) A B Äquivalenzelimination: (A B) (A B) (B A)
91 Äquivalenzumormung Implikationselimination: (A B) A B Äquivalenzelimination: (A B) (A B) (B A) Kontraposition: (A B) ( B A)
92 Äquivalenzumormung Implikationselimination: (A B) A B Absorbtionsregel: A (A B) A Äquivalenzelimination: A (A B) A (A B) (A B) (B A) Kontraposition: (A B) ( B A)
93 Äquivalenzumormung Implikationselimination: (A B) A B Absorbtionsregel: A (A B) A Äquivalenzelimination: A (A B) A (A B) (A B) (B A) Doppelnegation: Kontraposition: A A (A B) ( B A)
94
95 Aussagen sind Sätze, denen man einen eindeutigen Wahrheitsert zuordnen kann.
96 Aussagen sind Sätze, denen man einen eindeutigen Wahrheitsert zuordnen kann. Interpretationen bestimmen diesen Wahrheitsert.
97 Aussagen sind Sätze, denen man einen eindeutigen Wahrheitsert zuordnen kann. Interpretationen bestimmen diesen Wahrheitsert. Junktoren verknüpen Aussagen zu neuen Aussagen.
98 Aussagen sind Sätze, denen man einen eindeutigen Wahrheitsert zuordnen kann. Interpretationen bestimmen diesen Wahrheitsert. Junktoren verknüpen Aussagen zu neuen Aussagen. Der Wahrheitsert mancher Aussagen ist konstant.
99 Aussagen sind Sätze, denen man einen eindeutigen Wahrheitsert zuordnen kann. Interpretationen bestimmen diesen Wahrheitsert. Junktoren verknüpen Aussagen zu neuen Aussagen. Der Wahrheitsert mancher Aussagen ist konstant. Äquivalente Aussagen können einander ersetzen.
Aufgabe 1. n b i i i i i 1 i 1. log( a ) b log a, a 0. n b b b b. log( a ) log a a... a. i 1 2 n. i 1 2 n. log( a ) log a log a...
Augabe 1 n n b i i i i i 1 i 1 i log( a ) b log a, a 0 n i 1 b b b b i 1 n log( a ) log a a... a n i 1 n b b b b i 1 n log( a ) log a log a... log a i 1 n i 1 n i log( a ) b log a b log a... b log a i
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