Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 4. Vorlesung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 4. Vorlesung"

Transkript

1 Physik der sozio-ökonomischen Syseme mi dem Compuer PC-POOL RAUM 0.0 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK ARBEITSGRUPPE RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK D-6048 FRANKFURT AM MAIN GERMANY

2 Plan für die heuige Vorlesung Kurze Wiederholung der Inhale der lezen Vorlesung: Klassifizierung von symmerischen ()-Spielen, weiere Spielypen, Grundlagen der evoluionären Spielheorie, evoluionär sabile Sraegien Evoluionären Spielheorie (EST) symmerischen ()-Spielen Dominane Spiele (z.b. Gefangenendilemma, Dilemma des Werüsens) Koordinaionsspiele (z.b. Hirschjag Spiel) Ani-Koordinaionsspiele (z.b. Angshasenspiel, Falke-Taube Spiel, Löwe- Lamm Spiel) Bi-Mari Spiele (EST unsymmerischer ()-Spiele) Das Räuber-Beue Spiel

3 Symmerisches ()-Spiel Allgemeines ()-Spiel

4 Weiere

5 Kampf der Geschlecher (Unsymmerisches ()-Koordinaionspiel) Kino Disko Kino (, ) (0, 0) Disko (0, 0) (, ) Auszahlungsmari des zweien Spielers: ˆ 0 0 Auszahlungsmari des ersen Spielers: 0 0 Symmeriebedingung simm nich: T 0 0 ˆ ˆ 0 0 unsymmerisches Spiel ˆ

6 Kampf der Geschlecher (Nash-Gleichgewiche in reinen Sraegien) Es gib keine dominane Sraegie bei diesem Spiel. Es gib zwei reine Nash-Gleichgewiche: (Kino,Kino) (Disko, Disko) Kino Disko Kino (, ) (0, 0) Disko (0, 0) (, )

7 Kampf der Geschlecher (Grafische Veranschaulichung des gemischen Nash-Gleichgewichs) Das Nash-Gleichgewich in gemischen Sraegien befinde sich bei *, y *, 4 4

8 Kein Nash-Gleichgewich in reinen Sraegien! Es gib keine dominane Sraegie und auch keine Nash-Gleichgewiche in reinen Sraegien. Es is ein symmerisches ()-Spiel. Sein Schere Papier Sein (0,0) (,-) (-,) Schere (-,) (0,0) (,-) Papier (,-) (-,) (0,0)

9 Evoluionäre Spielheorie (I) Die evoluionäre Spielheorie berache die zeiliche Enwicklung des sraegischen Verhalens einer gesamen Spielerpopulaion. zeiliche Enwicklung der Populaion (0)=0.5 (0)=0.5 Mögliche Sraegien: (grün, schwarz), Parameer sell die Zei dar. ( : Aneil der Spieler, die im Zeipunk die Sraegie grün spielen.

10 Evoluionäre Spielheorie (II) Die einzelnen Akeure innerhalb der beracheen Populaion spielen ein andauernd sich wiederholendes Spiel mieinander, wobei sich jeweils zwei Spieler zufällig reffen, das Spiel spielen und danach zu dem nächsen Spielparner wechseln. (0)=0.5 Die Anfangspopula ion von Spielern spiel zum Zeipunk =0 das erse Mal das Spiel. Die Spieler wählen im Miel zu 5% die grüne Sraegie. (0)=0.5 Das evoluionäre Spiel schreie voran und die grüne Sraegie wird für die Spieler zunehmend arakiver. Zum Zeipunk =0 spielen schon 50% grün.

11 Weiere

12 Weiere

13 Weiere

14 Weiere

15 Klassifizierung von evoluionären, symmerischen ()-Spielen o Dominane Spiele (. Sraegie dominier.sraegie) Es eisier ein Nash - Gleichgewich, welches die anderen Sraegien dominier. ESS bei =0. o Koordinaionsspiele Es eisieren drei Nash Gleichgewiche und zwei reine ESS, die abhängig von der Anfangsbedingung realisier werden. o Ani Koordinaionsspiele Es eisieren drei Nash Gleichgewiche aber nur eine gemische ESS, die unabhängig von der Anfangsbedingung realisier wird. o Dominane Spiele (. Sraegie dominier.sraegie) Es eisier ein Nash - Gleichgewich, welches die anderen Sraegien dominier. ESS bei =.

16 Weiere

17 Evoluionär Sabile Sraegien Berachen Sie die folgenden Beispiele: Beispiel : Beispiel : Beispiel : Kugel Keine Kugel Kugel Keine Kugel Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Kugel (-, -) (, 0) Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Keine Kugel (0, ) (, ) Keine Kugel (-, ) (, ). Geben Sie mögliche dominane Sraegien und Nash- Gleichgewiche der Spiele an.. Besimmen und zeichnen Sie die Funkion g() für alle drei Spiele?. Berechnen Sie die Nullsellen der Funkion g() (g()=0). 4. Geben Sie die evoluionär sabilen Sraegien der Spiele an?

18 Dominane Sraegien und Nash-Gleichgewiche Beispiel Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Beispiel Kugel Keine Kugel Kugel (-, -) (, 0) Keine Kugel (0, ) (, ) Beispiel Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Das erse Spiel besiz nur ein Nash- Gleichgewich das gleichzeiig die dominane Sraegie des Spiels is (Kugel, Kugel). Das Spiel gehör zur Klasse der dominanen Spiele. Das zweie Spiel besiz keine dominane Sraegie, aber zwei unsymmerische Nash-Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,KK) und (KK,K)) und ein gemisches Nash-Gleichgewich (0.67 K, 0. KK). Das Spiel gehör zur Klasse der Ani- Koordinaionsspiele. Das drie Spiel besiz ebenfalls keine dominane Sraegie, aber zwei symmerische Nash-Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,K) und (KK,KK)) und ein gemisches Nash-Gleichgewich (0. K, 0.67 KK). Das Spiel gehör zur Klasse der Koordinaionsspiele.

19 Beispiel : Die Funkion ha zwei Nullsellen: Nullsellen der Funkion g() ) ( g und 0 Beispiel : Die Funkion ha drei Nullsellen:, p - q Formel 0 5 / ) ( / / / g und, 0 Beispiel : Die Funkion ha drei Nullsellen: und, 0

20 Evoluionäre Sraegien (Beispiel ) Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel laue: d( d g( ( ) ( Eine ESS bei = ( Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Da es sich bei diesem Beispiel um ein dominanes, symmerisches ()-Spiel handel und die Funkion g() im relevanen Bereich (=[0,]) immer größergleich Null is, sreb der Populaionsaneil der Kugel- Spieler unabhängig vom Anfangswer immer gegen. g( ) Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0)

21 Evoluionäre Sraegien (Beispiel ) Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das zweie Beispiel laue: d g( ( ) d ( ( 5( ( Eine ESS bei =0.67 Kugel Keine Kugel Kugel (-, -) (, 0) Keine Kugel (0, ) (, ) Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Ani-Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswer immer zu dem gemischen Nash- Gleichgewich, was idenisch mi der mileren Nullselle der Funkion g() is (=0.67). g( ) 5 Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0)

22 Evoluionäre Sraegien (Beispiel ) Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das zweie Beispiel laue: d g( ( ) d ( ( 4( ( Zwei ESSs : (= und =0) Kugel Keine Kugel Kugel (0, 0) (, -) Keine Kugel (-, ) (, ) Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler abhängig vom Anfangswer zu einem der beiden reinen Nash- Gleichgewiche (= oder =0). g( ) 4 ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0) Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell

23 Theorie Eperimen Eperimenelle Ergebnisse des in Lyon gespielen Beispiels Das erse Spiel besiz nur ein Nash-Gleichgewich das gleichzeiig die dominane Sraegie des Spiels is (Kugel, Kugel). Da es sich bei diesem Beispiel um ein dominanes, symmerisches ()-Spiel handel und die Funkion g() im relevanen Bereich (=[0,]) immer größer-gleich Null is, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswer immer gegen die evoluionär sabile Sraegie =. Die klassische evoluionäre Spielheorie sag demnach voraus, dass die Spieler innerhalb der beracheen Populaion nach einer gewissen Zei maßgeblich die Sraegie Kugel wählen (=). Die roe Kurve in der obigen Abbildung zeig die eperimenellen Ergebnisse des im Vorlesungseil 4 gespielen Beispiels.

24 Theorie Eperimen Eperimenelle Ergebnisse des in Lyon gespielen Beispiels Das zweie Spiel besiz keine dominane Sraegie, aber zwei unsymmerische Nash- Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,KK) und (KK,K)) und ein gemisches Nash-Gleichgewich (0.67 K, 0. KK). Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Ani-Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswer immer zu dem gemischen Nash-Gleichgewich (der einzigen evoluionär sabilen Sraegie des Spiels), was idenisch mi der mileren Nullselle der Funkion g() is (=0.67). Die roe Kurve in der obigen Abbildung zeig die eperimenellen Ergebnisse des im Vorlesungseil 4 gespielen Beispiels.

25 Theorie Eperimen Eperimenelle Ergebnisse des in Lyon gespielen Beispiels Das drie Spiel besiz ebenfalls keine dominane Sraegie, aber zwei symmerische Nash- Gleichgewich in reinen Sraegien ((K,K) und (KK,KK)) und ein gemisches Nash- Gleichgewich (0. K, 0.67 KK). Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmerisches Koordinaionsspiel handel, sreb der Populaionsaneil der Kugel-Spieler abhängig vom Anfangswer zu einem der beiden reinen Nash-Gleichgewiche (= oder =0). Die klassische evoluionäre Spielheorie sag demnach voraus, dass es zwei evoluionär sabile Sraegien gib (= oder =0). Die roe Kurve in der obigen Abbildung zeig die eperimenellen Ergebnisse des im Vorlesungseil 4 gespielen Beispiels.

26 Analyische Lösung von Differenialgleichungen Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel lauee: d( d g( ( ) ( ( Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (=0)berechnen?? g( ) Beispiel : g()=g(() im Bereich [0,] dargesell ( für unerschiedliche Anfangspopulaionen (0)

27 Analyische Lösung von Differenialgleichungen Ein einfaches Beispiel Ein einfaches Beispiel einer Differenialgleichung lauee: Analyische Lösung: d( d ( d d d d d d d / d d... d( d ( (0) ln e ( ( (0) d ( (0) e 0 e d ln( ( ) ln( (0)) ( ln (0) (0) Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (0)berechnen? e (...) ( (0) ( e 0. e (, wobei (0)=0.

28 Analyische Lösung: Analyische Lösung von Differenialgleichungen Beispiel Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel lauee: ) ( ) ( ) ( d d Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (0)berechnen? d d d d d d d d d 0 ) ( (0)... / (0) (0) (0) ) ( (0) (0) (0) ) ( (0) (0) / (0) (0) (0) ) ( ) ( (0) (0) ) ( (0) (0) ) ( ) ( (0) ) ( (0) (0) ) ( ) ( (0) (0) ) ( ln ) ( (0) (0) ) ( ln (...) e e e e e e e e e e e e e e ) (0) ln( (0)) ln( ) ) ( ln( )) ( ln(

29 Analyische Lösung von Differenialgleichungen Beispiel Die Differenialgleichung der Replikaordynamik für das erse Beispiel lauee: d( d ( ( Frage: Wie kann man die Funkion ( für einen besimmen Anfangswer (0)berechnen? Analyische Lösung: ( (0) e (0) (0) e ( 0.e e (, wobei (0)=0.

30 Zwei Länder sehen vor der Enscheidung die Sreikräfe ihres Landes miliärisch, aomar aufzurüsen oder aomar abzurüsen.. Definieren Sie das Spiel. Das Dilemma des Werüsens. Beschreiben Sie eine mögliche Siuaion der Länder und definieren Sie die dem Spiel zugrundeliegende Auszahlungsmari.. Berechnen Sie die Nash- Gleichgewiche des Spiels. Gib es eine dominane Sraegie? Nord Korea USA Aufrüsen Abrüsen Aufrüsen (??,??) (??,??) Abrüsen (??,??) (??,??) 4. Um welche Spielklasse handel es sich? 5. Handel es sich um ein symmerisches oder unsymmerisches Spiel?

31 Dilemma des Werüsens (. Mögliche Definiion des Spiels) Aufrüsen Aufrüsen Abrüsen Abrüsen Aufrüsen Abrüsen ( Länder) ( Sraegien) Spiel : (A, (S, S Menge der Spieler (Länder): A {,} {Land, Land } Sraegienmenge des- en Spielers (Land) : S Sraegienmenge des - en Spielers (Land ) : S Auszahlungsfunkion des. und.spielers: {s, s {s : S s ˆ, s S s ˆ (Auf, Auf ) a (Auf, Ab) b (Ab, Auf ) c (Ab, Ab) d ), (, } {Aufrüsen, Abrüsen} Auf Ab } {Aufrüsen, Abrüsen} und,,,, s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) )) : S S (Auf, Auf ) a (Auf, Ab) c (Ab, Auf ) b (Ab, Ab) d :

32 Dilemma des Werüsens (. Eigenschafen der Auszahlungsmari (I)) s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) Das zunächs allgemein definiere symmerische ()-Spiel des Werüsens zweier Länder wird nun durch Feslegung der freien Parameer (a,b,c und d) an eine spezifische Ausgangssiuaion angepass: Berache man den Nuzen für die Länder bei gemeinsamen Aufrüsen (Auf,Auf) und gemeinsamen Abrüsen (Ab,Ab), so nehmen wir im Folgenden an, dass es sowohl finanziell, als auch für das Wohlbefinden der einzelnen Länder von Voreil is Sraegie (Ab,Ab) zu wählen. a<d

33 Dilemma des Werüsens (. Eigenschafen der Auszahlungsmari (II)) s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) Berache man den Nuzen für die Länder wenn Land aufrüse und Land abrüse (Auf,Ab), und sez voraus, dass beide Länder sich ernshaf voneinander bedroh fühlen, so würde Land diese Sraegienkombinaion sehr posiiv beweren, Land dagegen äußers negaiv. b>>c und b>d und c<a

34 Dilemma des Werüsens (. Eigenschafen der Auszahlungsmari (III)) s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (a, a) (b, c) (c, b) (d, d) Wir legen die Parameer des Spiels wie folg fes: Aufrüsen Abrüsen Aufrüsen (, ) (4, 0) Abrüsen (0, 4) (, ) Siehe: Schlee, Waler Einführung in die Spielheorie, Vieweg, 004 Seie 5

35 Dilemma des Werüsens (. Dominane Sraegien und Nash-Gleichgewiche). Es gib nur ein Nash-Gleichgewich, das gleichzeiig die dominane Sraegie des Spiels is: Aufrüsen Abrüsen Aufrüsen (, ) (4, 0) Abrüsen (0, 4) (, ) (Aufrüsen, Aufrüsen) is die dominane Sraegie des Spiels.

36 Dilemma des Werüsens (4. Spielklasse und 5. Symmerieeigenschaf s ˆ s ˆ Auf Ab s ˆ Auf s ˆ Ab (, ) (4, 0) (0, 4) (, ) Das konsruiere Spiel gehör der Klasse der dominanen Spiele an; es is dem Gefangenendilemma ähnlich. Das Dilemma des Werüsens wurde als ein symmerisches ()-Spiel konsruier. Mögliche Ungleichheien zwischen den Länder (ungleiche Ausgangssiuaionen und Machverhälnisse, einseiige Abhängigkeien, durchsezbare Druckmiel wie z.b. Sankionen, ) wurden vernachlässig. Es wurden desweieren mögliche drie Sraegien (z.b. eine Unerscheidung zwischen konvenioneller und aomarer Aufrüsung) nich mi einbezogen.

37 Analyische Lösung: Dilemma des Werüsens Die Differenialgleichung der Replikaordynamik lauee (eine ganze Populaion von Ländern spiel das Spiel des Werüsens): d( d ( ( ( Wir sezen den Anfangswer der Populaion auf (=0)=0. Analyische Lösung bei fesgelegem Anfangswer des Populaionsvekors ((0)=0.): ( 4 6 9e

38 Weiere

39 Das Falke Taube Spiel

40 Lösen des evoluionären Spiels mi Maple (Vorlage.mw)

41 Lösen des evoluionären Spiels mi Maple (Vorlage.mw)

42 Lösen des evoluionären Spiels mi Pyhon

43 Lösen des evoluionären Spiels mi Pyhon

44 Bi-Mari Spiele unsymmerische ()-Spiele, zwei unerscheidbare Populaionsgruppen Eckspiele Saelspiele Zenrumsspiele

45 Bi-Mari Spiele unsymmerische ()-Spiele, zwei unerscheidbare Populaionsgruppen

46 Symmerische (M)-Spiele Wir beschränken uns zunächs auf symmerische (M)-Spiele, d.h. zwei Personen - M Sraegien Spiele. Da es sich um symmerische Spiele handel, sind alle Spieler gleichberechig und man kann von einer homogenen Populaion ausgehen. Die Differenialgleichung der Replikaordynamik beschreib wie sich die einzelnen Populaionsaneil der zur Zei gewählen Sraegien j (, j=,, M im Laufe der Zei enwickeln. d M M j ( ( : j ( jk k ( d k l k M j kl k ( k ( kl Wobei die Parameer die einzelnen Einräge in der Auszahlungsmari des.spielers darsellen ˆ ˆ... M... M... M M M M... MM Finess der Sraegie j Durchschnilicher Erfolg der j-en Sraegie Durschniliche Finess (Auszahlung) der gesamen Populaion

47 Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmerische ()-Spiele, d.h. zwei Personen - Sraegien Spiele (M=). Die Differenialgleichung der Replikaordynamik vereinfach sich uner dieser Annahme wie folg: d d d j d j ( j ( jk k ( k l k j j j kl k ( k (, Da es lediglich zwei Sraegien und somi zwei Populaionsaneile ( können wir den zweien Populaionsaneil durch den ersen ausdrücken: Wir sezen im Folgenden der Einfachhei halber und und berachen nur j=. d d ) gib, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

48 ,, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j d d d d j j j j j k l k k k kl k jk j j Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele) Wir beschränken uns nun auf symmerische ()-Spiele, d.h. zwei Personen - Sraegien Spiele (M=). Die Differenialgleichung der Replikaordynamik vereinfach sich uner dieser Annahme wie folg:

49 Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele) Man erhäl ein Sysem von drei gekoppelen Differenialgleichungen: d d d d d d Das Sysem von Differenialgleichungen läss sich bei gegebener Auszahlungsmari ˆ und Anfangsbedingung ( 0), (0), (0) meis nur nummerisch (auf dem Compuer) lösen. Die Lösungen besehen dann aus den drei (zeilich abhängigen) Populaionsaneilen, (, ( ). (

50 : mi d d d d d d Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Die Sysem der Replikaordynamik besiz das folgende Aussehen: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel )

51 Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: 0., 0., 0.6 Bei gewähler Anfangsbedingung ( 0), (0), (0) Lösung der Replikaordynamik das folgende Aussehen: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) besiz die Schwarz: Ro : Blau : ( ( (

52 Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) Aufgrund der Eigenschaf kann man ein Populaionsaneil durch die beiden Anderen ausdrücken. Zur Visualisierung projizier man gewöhnlich die zeiliche Veränderung der Populaionsaneile auf ein Dreieck, wobei man Baryzenrische Koordinaen benuz. Reine Sraegie Baryzenrische Koordinaen: y : z : Reine Sraegie Reine Sraegie

53 Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Die reche Abbildung zeig die zeiliche Enwicklung der relaiven Populaionsaneile der gewählen Sraegien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Die einzige evoluionär sabile Sraegie dieses Beispiels befinde sich beim gemischen Nash-Gleichgewich Die einzelnen Pfeile im Dreieck veranschaulichen den durch die,, Spielmari besimmen Sraegien- Richungswind, dem die Populaion zeilich folgen wird. Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (, -) (-, ) Sraegie (-, ) (0, 0) (, -) Sraegie (, -) (-, ) (0, 0) Reine Sraegie Gemisches Nash- Gleichgewich und ESS Reine Sraegie Reine Sraegie

54 Replikaordynamik (für symmerische ()-Spiele, Beispiel ) Wir berachen im Folgenden ein Beispiel eines ()-Spiels mi der rechs angegebenen Auszahlungssrukur: Sraegie Sraegie Sraegie Sraegie (0, 0) (-, -) (-, -) Sraegie (-, -) (0, 0) (-, -) Sraegie (-, -) (-, -) (0, 0) Die reche Abbildung zeig die zeiliche Enwicklung der relaiven Populaionsaneile der gewählen Sraegien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Das Spiel besiz drei Nash-Gleichgewiche in reinen Sraegien, die ebenfalls evoluionär sabile Sraegien darsellen. Welche der drei ESS die Populaion realisier häng von dem Anfangswer der Populaionsaneile ab. Die zeiliche Enwicklung folg wieder dem Sraegien- Richungswind der zugrundeliegenden Auszahlungsmari. Reine Sraegie Reine Sraegie Reine Sraegie

55 Replikaordynamik (Klassifizierung symmerische ()-Spiele) E. C. Zeeman, POPULATION DYNAMICS FROM GAME THEORY, In: Global Theory of Dynamical Sysems, Springer 980 E. C. Zeeman zeig in seinem im Jahre 980 veröffenlichen Arikel, dass man evoluionäre, symmerische ()-Spiele in 9 Klassen eineilen kann. Die Abbildung rechs zeig das evoluionäre Verhalen dieser 9 Spielypen. Die ausgefüllen schwarzen Punke markieren die evoluionär sabilen Sraegien der jeweiligen Spiele. Es gib Spielklassen, die besizen lediglich eine ESS und Klassen die sogar drei ESS besizen.

56 Das Räuber-Beue Spiel

57 Weiere

58 Aufgaben auf Lon-Cappa Weiere

59 Aufgaben auf Lon-Cappa Weiere

Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve

Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve Vorlesung im Rahmen des Deusch-Französischen Dozenen-Ausauschprogramms Minerve Dr. Mahias Hanauske Insiu für Wirschafsinformaik Goehe-Universiä Frankfur am Main Grüneburgplaz, 60 Frankfur am Main Lyon,

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 5. Semester ARBEITSBLATT 6 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 6 5. Semester ARBEITSBLATT 6 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN ARBEITSBLATT PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Eine Gerade sell man im R ensprechend zum R auf, nur daß eine z-koordinae hinzukomm: Definiion: Parameerdarsellung einer Gerade durch die Punke A und B:

Mehr

Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 5. Vorlesung

Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 5. Vorlesung Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer PC-POOL RAUM 0.0 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT 7..07 5. Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG

Mehr

Universität Ulm Samstag,

Universität Ulm Samstag, Universiä Ulm Samsag, 5.6. Prof. Dr. W. Arend Robin Nika Sommersemeser Punkzahl: Lösungen Gewöhnliche Differenialgleichungen: Klausur. Besimmen Sie die Lösung (in möglichs einfacher Darsellung) folgender

Mehr

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R. Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P(

Mehr

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen

III.2 Radioaktive Zerfallsreihen N.BORGHINI Version vom 5. November 14, 13:57 Kernphysik III. Radioakive Zerfallsreihen Das Produk eines radioakiven Zerfalls kann selbs insabil sein und späer zerfallen, und so weier, sodass ganze Zerfallsreihen

Mehr

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff

Abiturprüfung 2017 ff Beispielaufgabe Grundkurs Mathematik; Analysis Beispiel Wirkstoff Die Bioverfügbarkei is eine Messgröße dafür, wie schnell und in welchem Umfang ein Arzneimiel resorbier wird und am Wirkor zur Verfügung seh. Zur Messung der Bioverfügbarkei wird die Wirksoffkonzenraion

Mehr

Kapitel 4. Versuch 415 T-Flipflop

Kapitel 4. Versuch 415 T-Flipflop Kapiel 4 Versuch 415 T-Flipflop Flipflops, die mi jeder seigenden oder mi jeder fallenden Takflanke in den engegengesezen Zusand kippen, heissen T Flipflops ( Toggle Flipflops ). T-Flipflops können aus

Mehr

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Guido Sweers WS 08/09 Jan Gerdung, M.Sc. Gewöhnliche Differenialgleichungen Übungsbla Die Lösungen müssen in den Übungsbriefkasen Gewöhnliche Differenialgleichungen (Raum 0 im MI) geworfen werden.

Mehr

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner

Systemtheorie Teil A. - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen. Manfred Strohrmann Urban Brunner Sysemheorie eil A - Zeikoninuierliche Signale und Syseme - Muserlösungen Manfred Srohrmann Urban Brunner Inhal 3 Muserlösungen - Zeikoninuierliche Syseme im Zeibereich 3 3. Nachweis der ineariä... 3 3.

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Ein einfaches Modell (Domar) Im Domar Wachsumsmodell reffen wir die folgenden Annahmen: Kapiel Differenialgleichungen () Erhöhung der Invesiionsrae I() erhöh das Einkommen Y(): dy d = s di (s = konsan)

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 4. Übungsblatt Prof Dr M Gerds Dr A Dreves J Michael Winerrimeser 6 Mahemaische Mehoden in den Ingenieurwissenschafen 4 Übungsbla Aufgabe 9 : Mehrmassenschwinger Berache wird ein schwingendes Sysem aus Körpern der Masse

Mehr

Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve

Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve Dr. Matthias Hanauske Institut für Wirtschaftsinformatik Goethe-Universität Frankfurt am Main Grüneburgplatz 60 Frankfurt

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

Kapitel : Exponentiell-beschränktes Wachstum

Kapitel : Exponentiell-beschränktes Wachstum Wachsumsprozesse Kapiel : Exponeniell-beschränkes Wachsum Die Grundbegriffe aus wachsum.xmcd werden auch hier verwende! Wir verwenden nun eine Angabe aus der Biologie und in einem weieren Beispiel eines

Mehr

Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen

Elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen 454 Erforderliche Kennnisse: Höhere Analysis Elemenare Lösungsmehoden für gewöhnliche Differenialgleichungen Was is eigenlich eine Differenialgleichung? Eine Differenialgleichung is eine Gleichung, in

Mehr

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen

Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung in gewöhnliche Differenialgleichungen Jonahan Zinsl 25. Mai 202 Definiionen Definiion.(Gewöhnliche Differenialgleichung. Ordnung) Uner einer gewöhnlichen Differenialgleichung. Ordnung verseh

Mehr

Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve

Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve Vorlesung im Rahmen des Deutsch-Französischen Dozenten-Austauschprogramms Minerve Dr. Matthias Hanauske Institut für Wirtschaftsinformatik Goethe-Universität Frankfurt am Main Grüneburgplatz, 6033 Frankfurt

Mehr

MATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

MATLAB: Kapitel 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4. Einleiung Eine der herausragenden Särken von MATLAB is das numerische (näherungsweise) Auflösen von Differenialgleichungen. In diesem kurzen Kapiel werden wir uns mi einigen Funkionen zum Lösen von

Mehr

Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen

Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen Aufgaben zu den verschiedenen Wachsumsmodellen 1. Beispiel: Spezialdünger Durch den Einsaz von Spezialdünger kann der Errag von Feldfrüchen verbesser werden. Erräge können aber nich grenzenlos geseiger

Mehr

7. Vorlesung Wintersemester

7. Vorlesung Wintersemester 7. Vorlesung Winersemeser Der ungedämpfe Oszillaor mi komplexem Lösungsansaz Wie gezeig, wird die DGL des ungedämpfen Oszillaors mẍ() + kx() = 0 () im Komplexen von den Funkionen x () = e iω und x 2 ()

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

Der kinetische Ansatz zur Beschreibung von Selbstorganisationsprozessen. mögliche Variationen und Erweiterungen: diskrete Gleichungen (endliches t):

Der kinetische Ansatz zur Beschreibung von Selbstorganisationsprozessen. mögliche Variationen und Erweiterungen: diskrete Gleichungen (endliches t): Ludwig Pohlmann Thermodynamik offener Syseme und Selbsorganisaionsphänomene SS 007 Der kineische Ansaz zur Beschreibung von Selbsorganisaionsprozessen. Die Beschreibung von Prozessen Prozesse (Veränderungen,

Mehr

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabituiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiuiprüfung 2013 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichung Technik Diensag, 4. Juni 2013, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann

Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann Aufgabe Im abgelaufenen Jahr haen einige große deusche Firmen hohe prozenuale Gewinnzuwächse. Gleichzeiig wurden eilweise massiv

Mehr

Abiurprüfung Mahemaik 007 Baden-Würemberg (ohne CAS) Pflicheil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erse Ableiung der Funkion f mi f () + = ( sin ). Aufgabe : ( VP) ln Berechnen Sie das Inegral e

Mehr

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 9: Radioakiver Zerfall Beim radioakiven Zerfall einer Subsanz S 1 beschreib m 1 () die Masse der noch nich zerfallenen Subsanz zum Zeipunk mi

Mehr

Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr.

Ganzrationale Funktionenscharen. 4. Grades. Umfangreiche Aufgaben. Lösungen ohne CAS und GTR. Alle Methoden ganz ausführlich. Datei Nr. Ganzraionale Funkionenscharen. Grades Umfangreiche Aufgaben Lösungen ohne CAS und GTR Alle Mehoden ganz ausführlich Daei Nr. 7 Sand 3. Sepember 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten!

Probeklausur 1. Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Universiä Regensburg, Winersemeser 3/4 Examenskurs Analysis (LGy) Dr. Farid Madani Probeklausur Thema Nr. (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeien! Aufgabe (5 Punke). Man

Mehr

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung

4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmetrie und Verschiebung 4.5. Prüfungsaufgaben zu Symmerie und Verschiebung Aufgabe : Symmerie (6) Unersuche die folgenden Funkionen auf Punk- oder Achsensymmerie: a) f() = 6 6 + 4 + 8 + 7 b) f() = 8 5 5 + 5 c) f() = (a 5 b +

Mehr

Thema: Singuläres, skalares Problem 2. Ordnung - Lösbarkeit Seminararbeit aus Numerik von Differentialgleichungen

Thema: Singuläres, skalares Problem 2. Ordnung - Lösbarkeit Seminararbeit aus Numerik von Differentialgleichungen Thema: Singuläres, skalares Problem 2. Ordnung - Lösbarkei Seminararbei aus Numerik von Differenialgleichungen Michael Hubner, Sefan Wurm 8. Juli 22 Inhalsverzeichnis. Problemdefiniion 2 2. Einführende

Mehr

Übungen zur Klausur 11M1 21/05/2008 Seite 1 von 5

Übungen zur Klausur 11M1 21/05/2008 Seite 1 von 5 Seie von 5 Aufgabe : Eine ganzraionale Funkion. Grades habe die Nullsellen ; ;. Ihr Schaubild gehe durch P( 6). Besimme die Exremsellen. Skizziere den Graphen der Funkion. allgemeine Form einer Funkion.

Mehr

Prüfung zum Fach Regelungstechnik für Studierende Lehramt an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor)

Prüfung zum Fach Regelungstechnik für Studierende Lehramt an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor) Technische Universiä München Lehrsuhl für Regelungsechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann Prüfung zum Fach Regelungsechnik 14.04.2011 für Sudierende Lehram an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor) Name: Vorname:

Mehr

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen

3.4 Systeme linearer Differentialgleichungen 58 Kapiel 3 Invarianen linearer Transformaionen 34 Syseme linearer Differenialgleichungen Die Unersuchung der Normalformen von Marizen soll nun auf die Lösung von Differenialgleichungssysemen angewende

Mehr

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse:

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse: Masse, Kraf und Beschleunigung Masse: Sei 1889 is die Einhei der Masse wie folg fesgeleg: Das Kilogramm is die Einhei der Masse; es is gleich der Masse des Inernaionalen Kilogrammprooyps. Einzige Einhei

Mehr

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

Analysis: Exponentialfunktionen Analysis www.mahe-aufgaben.com Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander

Mehr

Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch):

Leseprobe. Ines Rennert, Bernhard Bundschuh. Signale und Systeme. Einführung in die Systemtheorie. ISBN (Buch): Leseprobe Ines Renner, Bernhard Bundschuh Signale und Syseme Einführung in die Sysemheorie ISBN (Buch): 978-3-446-43327-4 ISBN (E-Book): 978-3-446-43328- Weiere Informaionen oder Besellungen uner hp://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43327-4

Mehr

Aufgabe 1 (9 Punkte) Prüfungsklausur Technische Mechanik II

Aufgabe 1 (9 Punkte) Prüfungsklausur Technische Mechanik II echn. Mechanik & Fahrzeugdynamik M II Prof. Dr.-Ing. habil. Hon. Prof. (NUS) D. Besle 8. März Aufgabe (9 Punke) Ein Zahnrad 3 wird über eine Sange on einem Kolben 5 angerieben. Dieses Zahnrad greif in

Mehr

gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft

gegeben durch x 4 in dasselbe Koordinatensystem (Längeneinheit auf beiden Achsen: 1 cm). Zur Kontrolle: ft KA LK M2 13 18. 11. 05 I. ANALYSIS Leisungsfachanforderungen Für jedes > 0 is eine Funkion f gegeben durch f (x) = x + 1 e x ; x IR. Der Graph von f sei G. a) Unersuche G auf Asympoen, Nullsellen, Exrem-

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universiä München WS 11/1 Insiu für Informaik Prof. Dr. Hans-Joachim Bungarz Michael Lieb, M. Sc. Dipl.-Inf. Chrisoph Riesinger Dipl.-Inf. Marin Schreiber Numerisches Programmieren 4. Programmieraufgabe:

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser ARBEITSBLATT LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Nachdem wir die Lage weier Ebenen unersuch haben, wollen wir uns nun mi der Lage von drei Ebenen beschäfigen. Anders

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 4

Lösungen zu Übungsblatt 4 Fakulä für Mahemaik, Technische Universiä Dormund Vorlesung Geomerie für Lehram Gymnasium, Winersemeser 24/5 Dipl-Mah Aranç Kayaçelebi Lösungen zu Übungsbla 4 Aufgabe 2 Punke a Geben Sie eine Funkion f

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2012 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 Abiurprüfung Mahemaik 0 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe. (8 Punke) Die Abbildung zeig das Schaubild einer Funkion h mi der Definiionsmenge [-7 ; 4]. Die Funkion H is eine Sammfunkion

Mehr

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik MK.7.05 B5_T_A MK_Loes.xmc Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mahemaik mi 05 Analysis A Ausbilungsrichung Technik.0 Gegeben sin ie reellen Funkionen f a : x --> x x x Definiionsmenge D fa R

Mehr

Aufgabe 1: Kontinuierliche und diskrete Signale

Aufgabe 1: Kontinuierliche und diskrete Signale Aufgabe (5 Punke) Aufgabe : Koninuierliche und diskree Signale. a) Zeichnen Sie jeweils den geraden Aneil v g ( ) und den ungeraden Aneil v u ( ) des in Abb.. dargesellen Signals v (). b) Es gelen folgende

Mehr

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen

4.7. Exponential- und Logarithmusfunktionen ... Eonenialfunkionen Definiion:.. Eonenial- und Logarihmusfunkionen Die Funkion f() = c a mi D = R, c und a R + \{}heiß Eonenialfunkion zur Basis a. Die Eonenialfunkion zur Basis a = e mi der Eulerschen

Mehr

Aufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil

Aufgabensammlung Teil 2: Funktionen mit Parametern Funktionenscharen. Aufgaben im Abiturstil ANALYSIS Gebrochen raionale Funkionen Aufgabensammlung Teil : Funkionen mi Parameern Funkionenscharen Aufgaben im Abiursil Die Lösungen aller verwendeen Abiuraufgaben sammen von mir Neu eingerichee Sammlung

Mehr

Name: Punkte: Note: Ø:

Name: Punkte: Note: Ø: Name: Punke: Noe: Ø: Kernfach Physik Abzüge für Darsellung: Rundung: 4. Klausur in K am 5. 5. 0 Ache auf die Darsellung und vergiss nich Geg., Ges., Formeln, Einheien, Rundung...! Angaben: e =,60 0-9 C

Mehr

existiert. In der Regel wird zusätzlich zum oben gegebenen System von Differentialgleichungen noch eine Anfangsbedingung

existiert. In der Regel wird zusätzlich zum oben gegebenen System von Differentialgleichungen noch eine Anfangsbedingung 0 Eine Anwendung der Jordan-Normalform in der Analysis In vielen physikalischen Anwendungen is es nowendig, Syseme von Differenialgleichungen der Form: y ( = b y ( + b 2 y 2 ( + + b n y n ( + f ( y 2(

Mehr

Prüfung zum Fach Regelungstechnik für Studierende Lehramt an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor)

Prüfung zum Fach Regelungstechnik für Studierende Lehramt an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor) Technische Universiä München Lehrsuhl für Regelungsechnik Prof. Dr.-Ing. B. Lohmann Prüfung zum Fach Regelungsechnik 7.9. für Sudierende Lehram an beruflichen Schulen (Diplom/Bachelor) Name: Vorname: Mar.-Nr.

Mehr

ABITURPRÜFUNG 2002 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)

ABITURPRÜFUNG 2002 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) ABITURPRÜFUNG 00 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeiszei: Hilfsmiel: 70 Minuen Taschenrechner (nich programmierbar, nich grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungseilnehmer wähl von den Aufgaben A1 und

Mehr

Übungsaufgaben zur Vektorrechnung, 6. Klasse (10. Schulstufe) 3 t 2 = 4. durch P an, welche die Gerade g schneidet.

Übungsaufgaben zur Vektorrechnung, 6. Klasse (10. Schulstufe) 3 t 2 = 4. durch P an, welche die Gerade g schneidet. Übungsaufgaben zur Vekorrechnung,. Klasse (0. Schulsufe) Übungsaufgaben zur Vekorrechnung. Klasse ) Zwei Geraden im R Gegeben sind die Gerade sind enweder schneidend, parallel oder. X : g der Punk P(-

Mehr

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten

7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasten Einmassenschwinger eil I.7 Impulslasen 53 7 Erzwungene Schwingung bei Impulslasen Impulslasen im echnischen Allag sind zum Beispiel Soß- oder Aufprallvorgänge oder Schläge. Die Las seig dabei in kurzer

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 310 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2009 Mathematik 12 Technik - A I - Lösung Teilaufgabe 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x)

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2009 Mathematik 12 Technik - A I - Lösung Teilaufgabe 1.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x) Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 9 Mahemaik Technik - A I - Lösung Teilaufgabe. Gegeben is die reelle Funkion f( x) in der Definiionsmenge ID f = IR. Teilaufgabe. (4 BE) Unersuchen Sie das Verhalen

Mehr

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2

Lösungen Test 2 Büro: Semester: 2 Fachhochschule Nordwesschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Insiu für Geises- und Naurwissenschaf Dozen: Roger Burkhard Klasse: Sudiengang ST Lösungen Tes Büro: 4.613 Semeser: Modul: MDS Daum: FS1 Bemerkungen:

Mehr

Fit für die Q-Phase? Mathematiktraining für die Schüler und Schülerinnen des Beruflichen Gymnasiums Gelnhausen

Fit für die Q-Phase? Mathematiktraining für die Schüler und Schülerinnen des Beruflichen Gymnasiums Gelnhausen Fi für die Q-Phase? Mahemaikraining für die Schüler und Schülerinnen des. Gleichungen (mi und ohne Parameer) Löse folgende Gleichungen:. 4 7.6 e ( e )..7 4 4 k k. 6.8 6 0.4 4 4 4 49.9 cos..0 4.6. e e.7

Mehr

Merkmale flexibler Fertigung

Merkmale flexibler Fertigung FFS.41 PROF.DR.-ING. K.RALL TUHH 2-295 - 1 FFS.42 Die Aufgabe des Bedieners wurde anspruchsvoller (wenige psychische und physische Belasung, dafür mehr Warung, Überwachung, Sörungsbeseiigung). Die Ferigung

Mehr

Grundlagen der Informatik III Wintersemester 2010/2011

Grundlagen der Informatik III Wintersemester 2010/2011 Grundlagen der Informaik III Winersemeser 21/211 Wolfgang Heenes, Parik Schmia 11. Aufgabenbla 31.1.211 Hinweis: Der Schnelles und die Aufgaben sollen in den Übungsgruppen bearbeie werden. Die Hausaufgaben

Mehr

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion)

f ( x) = x + x + 1 (quadratische Funktion) f '( x) = x + (Ableitungsfunktion) R. Brinkmann hp://brinkmann-du.de Seie.. Tangene und Normale Tangenenseigung Die Seigung eines Funkionsgraphen in einem Punk P ( f ( ) ) is gleichbedeuend mi der Seigung der Tangene in diesem Punk. Nachfolgend

Mehr

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl

Typ A: Separierbare Differentialgleichungen I. Separierbare Differentialgleichungen II. Beispiel einer separierbaren Dgl Typ A: Separierbare Differenialgleichungen I Gegeben sei die Differenialgleichung y () = f () g(y) in einem Bereich D der (, y) Ebene. Gil g(y) 0, so lassen sich die Variablen und y rennen: y () g(y) =

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN

BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN BESCHREIBUNG VON ZERFALLSPROZESSEN ab Ende der 1. Schulsufe Kreuze zu jedem angeführen Beispiel das richige mahemaische Modell an, begründe deine Enscheidung und beschreibe die Bedeuung der in den Modellen

Mehr

Lösung - Serie 8. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung

Lösung - Serie 8. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Seiger Lösung - Serie 8 MC-Aufgaben Online-Abgabe 1. Was für eine Kurve sell die Paramerisierung sin1 r = cos1, R dar? a Ein Kreis. Es gil x + y = sin 1 + cos

Mehr

Grundlagen Rechnernetze und Verteilte Systeme IN0010, SoSe 2018

Grundlagen Rechnernetze und Verteilte Systeme IN0010, SoSe 2018 Grundlagen Rechnerneze und Vereile Syseme IN, SoSe 28 Übungsbla 3 3. pril 4. Mai 28 Hinweis: Mi * gekennzeichnee Teilaufgaben sind ohne Lösung vorhergehender Teilaufgaben lösbar. ufgabe Erzielbare Daenraen

Mehr

Durch Modellierung beschreibt man Vorgänge aus der Natur sowie industrielle Prozesse

Durch Modellierung beschreibt man Vorgänge aus der Natur sowie industrielle Prozesse Kapiel Modellierung Durch Modellierung beschreib man Vorgänge aus der Naur sowie indusrielle Prozesse mi mahemaischen Werkzeugen, zum Beispiel Gleichungen oder Ungleichungen. Modellierung geschieh durch

Mehr

sin = cos = tan = Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck Aufgabe: Berechnen Sie die fehlende Seitenlänge und den Winkel. Gegenkathete Hypotenuse

sin = cos = tan = Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck Aufgabe: Berechnen Sie die fehlende Seitenlänge und den Winkel. Gegenkathete Hypotenuse Sinus und Cosinus im rechwinkligen Dreieck Ankahee Hpoenuse. Gegenkahee sin = cos = an = Gegenkahee Hpoenuse Ankahee Hpoenuse Gegenkahee Ankahee Aufgabe: Berechnen Sie die fehlende Seienlänge und den Winkel.

Mehr

Kurzrepetition Ökonometrie I - Lösungen

Kurzrepetition Ökonometrie I - Lösungen . Einführung Ökonomerie II - Peer Salder Kurzrepeiion Ökonomerie I - Lösungen Aufgabe (Inerpreaion von Regressionsergebnissen) a) Der prozenuale Aneil der Varianz der abhängigen Variablen, der durch die

Mehr

4. Quadratische Funktionen.

4. Quadratische Funktionen. 4-1 Funkionen 4 Quadraische Funkionen 41 Skalierung, Nullsellen Eine quadraische Funkion is von der Form f() = c 2 + b + a mi reellen Zahlen a, b, c; is c 0, so sprechen wir von einer echen quadraischen

Mehr

Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 7. Vorlesung

Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer. 7. Vorlesung Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer PC-POOL RAUM 01.120 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT 01.12.2017 7. Vorlesung MATTHIAS HANAUSKE FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIES JOHANN WOLFGANG

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven (

Mehr

Definition Ein Homomorphismus von Lie-Algebren. Für uns ist vor allem die im folgenden Satz eingeführte Darstellung von Bedeutung.

Definition Ein Homomorphismus von Lie-Algebren. Für uns ist vor allem die im folgenden Satz eingeführte Darstellung von Bedeutung. 1 Lie-Gruppen 1. Lie-Algebren Im lezen Vorrag haben wir bereis das Konzep der Lie-Algebren kennengelern. Zunächs werde ich noch einige weiere grundlegende Definiionen dazu angeben. In diesem Kapiel sei

Mehr

Der Primzahlsatz, Teil 1. 1 Erste Abschätzungen zum Primzahlsatz

Der Primzahlsatz, Teil 1. 1 Erste Abschätzungen zum Primzahlsatz Der Primzahlsaz, Teil Vorrag zum Seminar zur Funionenheorie, 07.05.0 Raffaela Biesenbach Diese Arbei beschäfig sich mi der Herleiung des Primzahlsazes. Dazu werden Definiionen und Säze aus dem Sri zur

Mehr

A.24 Funktionsscharen 1

A.24 Funktionsscharen 1 A.24 Funkionsscharen Das Buch: Dieses Kapiel is Teil eines Buches. Das vollsändige Buch können Sie uner www.mahe-laden.de besellen (falls Sie das möchen). Sie werden in diesem Buch ein paar Sachen finden,

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2011

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2011 Karlsruher Insiu für Technologie KIT) Insiu für Analysis Dr. A. Müller-Rekowski Dipl.-Mah. M. Uhl Sommersemeser Höhere Mahemaik II für die Fachrichungen Elekroingenieurwesen und Physik inklusive Komplee

Mehr

Analysis 3.

Analysis 3. Analysis 3 www.schulmahe.npage.de Aufgaben. Ermieln Sie die erse Ableiung. Vereinfachen Sie. a) fx) = e x x 3) b) fx) = ln x x + 4. Ermieln Sie die folgenden unbesimmen Inegrale. e x 5 a) e x dx b) dx

Mehr

5.5. Abstrakte Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen

5.5. Abstrakte Abituraufgaben zu Exponentialfunktionen 5.5. Absrake Abiuraufgaben zu Eponenialfunkionen Aufgabe : Kurvenunersuchung, Inegraion, Opimierungsaufgabe Gegeben is die Funkion f() ( ) e,5. a) Unersuchen Sie das Schaubild von f auf Achsenschnipunke,

Mehr

PHYSIK III. Serie 12, Musterlösung

PHYSIK III. Serie 12, Musterlösung Prof Dr Danilo Pescia Tel 044 633 50 pescia@solidphysehzch Winersemeser 06/07 wwwmicrosrucureehzch Serie, Muserlösung Niculin Saraz Tel 044 633 3 8 saraz@physehzch Reflexion Die Fresnel schen Formeln lauen:

Mehr

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen Unersuchung von Gleienladungen und deren Modellierung durch Funkengeseze im Vergleich zu Gasenladungen Dipl.-Ing. Luz Müller, Prof. Dr.-Ing. Kur Feser Insiu für Energieüberragung und Hochspannungsechnik,

Mehr

Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen

Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen 13. Großübung Anfangswerprobleme gewöhnlicher Differenialgleichungen gesuch: mi T und y () = f(, ), y( ) = y (1) y( j+1 ) = y( j ) + j+1 j f(s, y(s)) ds () Idee: Erseze Inegral durch Quadraurformel Näherungen

Mehr

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit Moivaion Finanzmahemaik in diskreer Zei Eine Hinführung zu akuellen Forschungsergebnissen Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg Prof. Dr. Thorsen Schmid Abeilung für Mahemaische Sochasik Freiburg, 22. April

Mehr

5.2 Logische Schaltungen und bistabile Kippstufen (FF)

5.2 Logische Schaltungen und bistabile Kippstufen (FF) Dipl.-Ing. G.Lebel Logische Schalungen und bisabile Kippsufen (FF) logik+ff- 5.2 Logische Schalungen und bisabile Kippsufen (FF) Sachwore: Logische Schalungen, Äquivalenz-Gaer, EXOR-Gaer, UND-Gaer, ODER-Gaer,

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck ( )

Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck ( ) Sinus und Cosinus im rechwinkligen Dreieck (6.8.8) Ankahee. Hpoenuse Gegenkahee sin = cos = an = Gegenkahee Hpoenuse Ankahee Hpoenuse Gegenkahee Ankahee Was ha das rechwinklige Dreieck mi Schwingungen

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt = r cos t. mit 0 t 2π und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. Übungen zur Ingenieur-Mahemaik III WS 9/ Bla 3 7.. Aufgabe 59: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schraubenlinie r γ() := r h mi π und inerpreieren Sie das Ergebnis geomerisch. Lösung: Der Tangenialvekor

Mehr

Arbitragefreie Preise

Arbitragefreie Preise Arbiragefreie Preise Maren Schmeck 24. Okober 2006 1 Einleiung P i () Preis von Anleihe i zur Zei, i = 1,..., n x i Anzahl an Einheien der Anleihe i V () = n i=1 x ip i () Wer eines Porfolios mi x i Einheien

Mehr

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN

DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN Skrium zum Fach Mechanik 5Jahrgang HTL-Eisensad DIE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNG ZWEITER ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEF- FIZIENTEN DilIngDrGüner Hackmüller 5 DilIngDrGüner Hackmüller Alle Reche vorbehalen

Mehr

Beispiele Aufladung von Kondensatoren, Berechnung von Strömen, Spannungen, Zeiten und Kapazitäten.

Beispiele Aufladung von Kondensatoren, Berechnung von Strömen, Spannungen, Zeiten und Kapazitäten. Beispiele Aufladung von Kondensaoren, Berechnung von Srömen, Spannungen, Zeien und Kapaziäen. 1. (876) Beispiel 1.1 Angaben: R 1 = 2M, R 2 = 5M, C = 2µF, U = 60V 1.2 Aufgabe: Nach wie vielen Sekunden nach

Mehr

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II

5. Übungsblatt zur Linearen Algebra II Fachbereich Mahemaik Prof. J. Bokowski Dennis Frisch, Nicole Nowak Sommersemeser 27 5., 8. und 2. Mai 5. Übungsbla zur Linearen Algebra II Gruppenübung Aufgabe G (Hüllen) In dieser Aufgabe soll es darum

Mehr

(x) 2tx t 2 1, x R, t R 0.

(x) 2tx t 2 1, x R, t R 0. Aufgaben zu Geradenscharen. Folgende Funkionen beschreiben Geradenscharen. Sellen Sie diese Scharen dar, inde sie die Geraden für k = -, k = 0, k = und k = 3 zeichnen. a) f k (x) (k )x, x R, k R b) f k

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Karlsruher Insiu für Technologie Insiu für Analysis Dr. Chrisoph Schmoeger Michael Ho, M. Sc. M. Sc. SS 6 9.7.6 Höhere Mahemaik II für die Fachrichung Physik Lösungsvorschläge zur Übungsklausur Aufgabe

Mehr

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge

14 Kurven in Parameterdarstellung, Tangentenvektor und Bogenlänge Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universiä Hannover Mahemaik für Ingenieure Mahemaik hp://www.windelberg.de/agq 14 Kurven in Parameerdarsellung, Tangenenvekor und Bogenlänge Aufgabe 14.1 (Tangenenvekor und

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

Musterlösungen. zu den Aufgaben der Klausur zum. Kurs 1701 Grundlagen der Technischen Informatik. und. Kurs 1707 Technische Informatik I

Musterlösungen. zu den Aufgaben der Klausur zum. Kurs 1701 Grundlagen der Technischen Informatik. und. Kurs 1707 Technische Informatik I Muserlösungen zu den Aufgaben der Klausur zum Kurs 7 Grundlagen der Technischen Informaik und Kurs 77 Technische Informaik I im Sommersemeser vom 5.8. Muserlösung zur Haupklausur der Kurse 7 und 77 im

Mehr

Flip - Flops 7-1. 7 Multivibratoren

Flip - Flops 7-1. 7 Multivibratoren Flip - Flops 7-7 Mulivibraoren Mulivibraoren sind migekoppele Digialschalungen. Ihre Ausgangsspannung spring nur zwischen zwei fesen Weren hin und her. Mulivibraoren (Kippschalungen) werden in bisabile,

Mehr

Explizites und implizites Euler-Verfahren

Explizites und implizites Euler-Verfahren Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser 215/16 Explizies und implizies Euler-Verfahren am Beispiel eines Räuber-Beue-Modells Vorlesung Numerische Mehoden für Differenialgleichungen Winersemeser

Mehr