Grundlagen der Kursrechnung und Renditeermittlung

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1 Grundlagen der Kursrechnung und Renditeermittlung Eingereicht bei Herrn Dipl.-Math. Norman Markgraf von Marco Halver (MaNr ) Bonhoefferstraße Duisburg 1

2 Gliederung Grundlagen Kursrechnung und Renditeermittlung - Wertpapiere - Kuponanleihe - Null-Kupon-Anleihe / Zerobond - Rendite - Zinsen / Effektivzinsen - Rückzahlung - Renditeabschätzung - Übungsaufgaben - Artikel aus CAPITAL Ausgabe Mai

3 Wertpapiere Betrachtung rein gesamtfälliger festverzinslicher Wertpapiere (Anleihen, Bonds, Schuldverschreibungen, etc.) Anleger zahlt Preis für Wertpapier und erhält daraus einen Anspruch auf vorher definierte Zahlung(en) als Gegenleistung Gegenleistungen sind von Emission bis Rücknahme vertraglich geregelt und können während der Laufzeit aus: Zinszahlungen (Kuponzahlungen) Rückzahlungen (Tilgung) bestehen 3

4 Zinsen bei Wertpapieren Zinsen werden auf Basis des nominellen Jahreszinsfuß (p) auf den Nennwert eines Wertpapiers (Kupon-Anleihe) nachschüssig an den Investor gezahlt: Bsp.: Bei einem Zinsfuß von p = 8 (bzw. i = 8 % p. a.) erhält ein Investor für 100 EUR Nennwert am Ende des Jahres 8 EUR Zinsen ausgezahlt C 0 (Leistung bei Emission) Zeit p* (1) p* (2) p* (3) p* (4) p* (5) p* (6) p* (n) 1 Jahr (Gegenleistung aus dem Wertpapier) C n C 0 : Emissionskurs C n : n: Rücknahmekurs Laufzeit (in Jahren) i* = p* 100 : nomineller Zinssatz p* "Kupon" 4

5 Keine Zinsen bei Wertpapieren Sind Keine Zinsen als Zwischenzahlungen vereinbart worden, wird von einer Null-Kupon-Anleihe oder Zerobond gesprochen. Bsp. a: Emissionskurs = Nennwert, Rücknahme am Ende zu Nennwert zzgl. angesammelter Zinsen (Zinssammler) Bsp. b: Emissionskurs < Nennwert (unter pari oder Disagio) und Rückkauf zum Nennwert (abgezinster echter Zerobond) C 0 (Leistung bei Emission) Zeit 1 Jahr (einmailge Gegenleistung am Ende C n der Laufzeit, d. h. nach n Jahren) C 0 : Emissionskurs C n : n: Rücknahmekurs Laufzeit (in Jahren) i* = p* 100 : nomineller Zinssatz p* "Kupon" 5

6 Bsp. Kuponanleihe Emission einer Kupon-Anleihe zu einem Nennwert von 100 EUR mit folgender Ausstattung: Emissionskurs C 0 : 96 % Rückzahlungskurs am Ende der Laufzeit C n : 103 % Laufzeit n: Nominalzins (Kupon) i* = 7 Jahre 8 % p.a. 96 EUR (Leistung) Zeit 8 EUR 8 EUR 8 EUR 8 EUR 8 EUR 8 EUR 8 EUR 1 Jahr (Gegenleistung) 103 EUR - Emission unter pari (96 % vom Nennwert) - Rückzahlungskurs über pari (103 % vom Nennwert) - Kuponzahlungen immer auf Nennwert (nominelle Zinsen => Rentenpapier) 6

7 Rendite von Wertpapieren Definition: Rendite (Effektivzinssatz) ist der Jahreszinssatz (i eff ), für den die Leistung des Erwerbers (Kaufpreis) äquivalent zu der Gegenleistung des emittierenden Unternehmens wird. Äquivalenzgleichung: q n C 0 = p*.. + C n. q - 1 q n q n C 0 : Emissionskurs, Preis (Leistung) für 100 EUR Nennwert C n : i eff : Rücknahmekurs am Ende von n Jahren zu 100 EUR Nennwert Emissions-Rendite des festverzinslichen Wertpapiers q: = 1+i eff : Effektiver Jahreszinsfaktor p*: Nominalzinsfuß (Kuponzahlung) Bsp. Kuponanleihe: q = q - 1 q 7 q 7 i eff = 9,1228 % p.a. Iterative Lösung mit Hilfe der Regula falsi ( Regel des Falschen ) => Wenn ein Investor zu 9,1228 % eff sein Geld anlegt, erhält er die gleiche Gegenleistungen wie bei Wertpapieranlage 7

8 Emissionskurs C 0 - Berechnung Investor möchte bei gleichem Risiko die gleiche Rendite erzielen Bei Emission muss emittierende Institution daher das Marktzinsniveau beachten Bsp.: Gegeben sind folgende Ausstattungsmerkmale: p* = 7,5; n = 12 Jahre; C n = 101 %; Marktzins = 8 % p. a. Zur Berechnung C 0 wird Äquivalenzgleichung gewählt 1, C 0 = 7, C 1,08-1 1, ,08 12 < = > 0 = 96,63 % Um Investoren für das Wertpapier zu gewinnen, muss das Unternehmen - bei gegebener Ausstattung - das Wertpapier zu 96,63 % emittieren. 8

9 Rückkaufkurs C n - Berechnung Benötigt ein Unternehmen mehr Anfangsliquidität und möchte kein großes Disagio gewähren, kann auch über den Rückkaufkurs C n der Effektivzins gesteuert werden Bsp.: Gegeben sind folgende Ausstattungsmerkmale: p* = 7,5; n = 12 Jahre; C 0 = 98,5 %; Marktzins = 8 % p. a. Zur Berechnung C n wird Äquivalenzgleichung gewählt 1, ,5 = 7,5.. + C. 1,08-1 1,08 12 n 1,08 12 < = > C n = 105,71 % Wesentliche Fragestellungen der Finanzmathematik: - Ermittlung C 0 bei gegebener Rendite (unter Berücksichtigung Marktzins) - Ermittlung Rendite bei Vorgabe Emissionskurs 9

10 Renditeschätzung Regula falsi oder Newton-Verfahren eher schwierig, aber exakte Bestimmung des Effektivzinssatzes möglich Als Anhaltspunkt mit Näherungsformeln behelfen i eff i* C n - C 0 + n C 0 C 0 : Ankaufskurs, ggf. Emissionskurs C n : Verkaufskurs, ggf. Rücknahmekurs n: (Rest-) Laufzeit des Wertpapiers (in Jahren zw. C 0 und C n ) i* = nomineller Zinssatz p.a. (Kupon bezogen auf Nennwert) i*, C 0 und C n sind dezimal anzugeben Linear auf Restlaufzeit verteilte Kursdifferenz (in % p. a.) Konstante jährliche Verzinsung (in % p. a.), die durch den Nominalzins, bezogen auf den Ankaufkurs hervorgerufen wird 10

11 Renditeschätzung Beispiel Ausgangsbasis ist Beispiel aus Äquivalenzgleichung. Emissionskurs C 0 : 96 % Rückzahlungskurs am Ende der Laufzeit C n : 103 % Laufzeit n: 7 Jahre Nominalzins (Kupon) i* = 8 % p.a. 0,08 1,03-0,96 i eff + 0,96 7 = 0, ,01 = 0,0933 = 9,33 % 11

12 Renditeschätzung Beispiel Weitere Näherungsformel: i eff i* C n - C 0 + C 0 n * C 0 Test anhand des bereits bekannten Beispiels: 0,08 1,03-0,96 i eff + = 0,0833 0,96 7 * 0,96 + 0,0104 = 0,0938 = 9,38 % Vergleich der Ergebnisse: i eff = 9,12 % p.a. i eff 9,33 % p.a. i eff 9,38 % p.a. Beide Näherungsformeln kommen dem exakten Ergebnis recht Nahe und dienen als Anhaltspunkt zur Ermittlung der iterativen Lösung mit Hilfe der Regula falsi. 12

13 Übungsaufgaben - 1 Aufgabe : Die Vampir AG benötigt dringend frisches Kapital. Sie will ein festverzinsliches Wertpapier (Nominalwert 100) emittieren, das dem Erwerber während der 10-jährigen Laufzeit eine Effektivverzinsung von 11% garantiert. Emissionskurs: 97,5%, Rücknahmekurs: 101%. Mit welchem nominellen Zinssatz muss die Vampir AG das Papier ausstatten? Aufgabe : Dem Erwerber einer 6%igen Anleihe mit einer Laufzeit von 10 Jahren wird eine effektive Verzinsung von 9% p. a. zugesichert. Wie hoch ist der Rücknahmekurs der Anleihe, wenn der Emissionskurs 99% betragt? Aufgabe : Man ermittle den Emissionskurs eines festverzinslichen Wertpapieres mit einer Laufzeit von 15 Jahren, einer nominellen Verzinsung von 8,75% und einem Rücknahmekurs (am Ende der Laufzeit) von 101,5%, wenn das Marktzinsniveau derzeit 4,8% p. a. betragt (d. h. ein Erwerber soll mit diesem Papier über die Laufzeit eine Rendite von 4,8% p. a. erzielen). 13

14 Übungsaufgaben - 2 Aufgabe : Welche Rendite erzielt ein Wertpapierkäufer beim Kauf eines festverzinslichen Wertpapiers, das zu 96,57% emittiert wird, wenn folgende Ausstattung gegeben ist: Lfz.: 12 Jahre; nomineller Zins: 7,25%; Rücknahmekurs am Ende der Lfz.: 105% Aufgabe : Huber will zum einen Betrag von in voller Hohe in festverzinslichen Wertpapieren anlegen. Seine Wahl fällt auf eine Neu-Emission der DB AG mit folgenden Konditionen: Ausgabetag: , Ausgabekurs: 96%, Laufzeit: 11 Jahre. i) a) Wieviele Stücke im Nennwert von je 50,-- kann er erwerben? b) Welchem Gesamt-Nennwert entspricht seine Wertpapieranlage? ii) Welchen nominellen Zins wird die Deutsche Bahn gewähren, wenn das Papier am Ende der Lfz. zum Nennwert zurückgenommen wird und dem Erwerber (d.h. hier: Huber) eine Rendite von 10,5% p. a. garantiert werden soil? 14

15 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit 15

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