1.2 Der goldene Schnitt

Transkript

1 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert einzuteilen ist. An welche Stelle positioniert mn den Blickfng uf einem Foto, wie bemisst mn bei einem Rechteck Länge und Breite für eine schöne Form? Auf solche Frgen hört mn z.t. die Antwort Im goldenen Schnitt. Prktisch bedeutet ds ber nur ein ungefähres Verhältnis. Die gröbste, ber wesentliche Informtion ist nicht in der Mitte. In Anleitungen zum Fotogrfieren wird der goldene Schnitt in eine Drittelregel übersetzt, lso eine Einteilung ein Drittel zu zwei Drittel. Etws ufwändiger, ber prktisch recht einfch zu relisieren ist eine Einteilung in Achtel, wobei mn dnn gnz im Sinne der Grundregel nicht die Mitte eine Einteilung von fünf Achtel zu drei Achtel wählt... Definition des goldenen Schnitts Keine der oben gennnten Einteilungsregeln trifft den goldenen Schnitt genu. Dieser ist eine sehr theoretische Konstruktion mit einer exkten, mthemtischen Definition, die in der Prxis nicht so einfch zu relisieren ist wie die oben beschriebenen Näherungen. Definition Wenn eine Strecke durch einen Punkt so geteilt wird, dss ds Verhältnis von größerem Teil zur gnzen Strecke ds gleiche ist wie ds von kleinerem Teil zum größeren Teil, so sgt mn: Der Punkt teilt die Strecke im Goldenen Schnitt. Der größere Teil wird Mjor, der kleinere Teil Minor gennnt. Mit diesen Begriffen lässt sich die Definition übersichtlicher Mjor schreiben: Gesmtstrecke = Minor Mjor Diese Definition ermöglicht es, ds Teilverhältnis zu berechnen. Setzen wir die Gesmtlänge zu und nennen wir die Länge des Mjors x, so ht der Minor die Länge x. x Dmit lutet die Verhältnisgleichung: = x x Diese Gleichung lässt sich nch x uflösen. x = x x + x = 0 Diese qudrtische Gleichung ht die Lösungen mior (lt) - der größere; minor (lt) - der kleinere

2 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 9 x = = 5 oder x = 5 4 = 5 Die zweite Lösung ist offensichtlich negtiv und dmit keine Lösung des geometrischen Problems, in dem lle Längen positiv sind. Also gilt bei einem goldenen Schnitt für ds Verhältnis Mjor Gesmtstrecke = 5. Diese Zhl wird üblicherweise mit ϕ bezeichnet und es gilt: Goldener Schnitt: ϕ = 5 0,68 Die definierende Gleichung ist ϕ = ϕ.. Geometrische Konstruktion des goldenen Schnitts Die rechnerische Bestimmung des goldenen Schnitts ermöglicht nun eine konstruktive Bestimmung, d in der Rechnung nur die Grundrechenrten und die Qudrtwurzel vorkommen. Gegeben ist die Strecke AB mit der Länge. Gesucht ist der Teilungspunkt T, der AB im goldenen Schnitt teilt. Zur Strecke AB wird in B die Senkrechte b konstruiert und der Mittelpunkt M. Der Kreis um B mit dem Rdius BM schneidet b in C. Die Strecke BC ht folglich die Länge. Um C wird ein Kreis Abb.. Die klssische Konstruktion des goldenen Schnitts. mit dem Rdius CB gezeichnet, der die Strecke AC im Punkt D schneidet. Um A wird ein Kreis mit dem Rdius AD gezeichnet, der die Strecke AB im Punkt T schneidet. T ist der gesuchte Teilungspunkt, AT ht die Länge ϕ. Begründung der Konstruktion Nch den ersten Konstruktionsschritten ist ds Dreieck ABC rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei B. Die beiden Ktheten

3 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 0 hben die Längen AB = = und BC =. Dnn ist die Strecke AC die Hypotenuse, die nch dem Stz von Pythgors die Länge ht: AC = AB + BC = + = 4 + = 5 Durch den Kreis um C mit dem Rdius wird von AC diese Länge subtrhiert. Somit ht die Strecke AD die Länge AD = 5 = 5 = ϕ. Diese ngestrebte Länge wird durch den Kreis um A mit dem Rdius AD lediglich von der Strecke AC übertrgen uf die Strecke AB...3 Die Goldene Verlängerung In einigen geometrischen Problemen spielt ds Umkehrproblem zum Goldenen Schnitt eine Rolle: Gegeben ist die Strecke AB. Gesucht ist die Strecke AC (ls Gesmtstrecke), so dss AB der Mjor zu AC ist. Auch hier schuen wir uns zuerst die rechnerische Lösung n. Die Bedingung lutet formlisiert AB =ϕ AC. Aufgelöst nch der gesuchten Streckenlänge erhält mn D ϕ beknnt ist, ist ϕ berechenbr. ( 5 +) = AC = ϕ AB. ϕ = = 5 5 = = Diese neue Zhl wird üblicherweise mit Φ bezeichnet und es gilt: Φ = ϕ = 5 +,68 D diese Zhl größer ls ist und dmit eine Streckenverlängerung bewirkt, wollen wir Φ Goldene Verlängerung nennen. Goldene Verlängerung: Φ = 5 +,68 Die definierende Gleichung ist Φ = + Φ Gnz nlog zum Goldenen Schnitt knn mn die Goldene Verlängerung einer gegebenen Strecke ebenflls geometrisch konstruieren. Gegeben ist die Strecke AB mit der Länge.

4 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck Gesucht ist der Punkt V, so dss die Strecke AV durch B im goldenen Schnitt geteilt wird und AB der Mjor zu AV ist. Die Konstruktion ist ähnlich zur Konstruktion des goldenen Schnitts. Mn zeichnet in B die Senkrechte b zu AB und konstruiert den Mittelpunkt M zu AB. Der Kreis um B mit dem Rdius BM schneidet b in C. Die Strecke BC ht folglich die Länge. Um C wird ein Kreis mit dem Rdius CB gezeichnet, der den Strhl AC im Punkt D schneidet. Die Strecke AD ht bereits die gesuchte Länge, mit einem Kreis um A wird sieübertrgen uf die Verlängerung von AB über B hinus. AV ist dnn die gesuchte goldene Verlängerung zu AB...4 Anwendungen des goldenen Schnitts und der goldenen Verlängerung Der goldene Schnitt kommt exkt in einigen regelmäßigen Figuren vor. Die einfchste ist ds regelmäßige Fünfeck. Stz Im Fünfeck schneiden sich zwei Digonlen im goldenen Schnitt. D.h. für die nebenstehende Abbildung: S teilt die Strecke EC (und uch BD ) im goldenen Schnitt. Beweis Aus Symmetriegründen sind die Digonle EC und die gegenüber-

5 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck liegende Seite AB zueinnder prllel, ebenso BD und AE. Folglich ist ds Viereck ABSE ein Prllelogrmm (sogr eine Rute). Dmit gilt für die Streckenlängen ES =, EC = d, SC = d. Auf Grund der Prllelität sind die beiden Dreiecke ABE und SCD ähnlich. Folglich gilt die Verhältnisgleichung d = d. Wir formen diese Gleichung ein wenig um. d = d = d d d = d Nun führen wir zur Abkürzung ein = x und erhlten ls Gleichung d x = x. Ds wr ber im Abschnitt.. die qudrtische Gleichung, die den goldenen Schnitt ϕ ls (positive) Lösung htte. Also erhlten wir =ϕ =ϕd. Letzteres besgt, dss die Digonllänge d durch den Abschnitt gerde im Goldenen Schnitt zerteilt d wird. ES = =ϕd =ϕ EC, ws gezeigt werden sollte. Dieser Zusmmenhng versetzt uns in die Lge, ds klssische Problem zu lösen: Konstruiere (mit Zirkel und Linel) zur vorgegebenen Kntenlänge ds regelmäßige Fünfeck. Wegen =ϕd erhlten wir umgekehrt d = = Φ. Die für die ϕ Konstruktion notwendige Digonllänge d erhlten wir us der vorgegebenen Kntenlänge durch Goldene Verlängerung. Mit der klssischen Konstruktion (Abschnitt..3) können wir zu = AB mit Zirkel und Linel die Digonllänge d = AD konstruieren. Dnn zerlegen wir ds regelmäßige Fünfeck in drei Teildreiecke, die wir schrittweise konstruieren können.

6 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 3 Zunächst wird ds Teildreieck ABD us den Seitenlängen AB =, BD = d und AD = d konstruiert. Dnn knn mn zu beiden Seiten mit Kreisbögen mit dem Rdius um A, B und D die Punkte C und E konstruieren. Mit z.t. ufwändigeren Betrchtungen und Rechnungen knn mn zeigen, dss der Goldene Schnitt uch im Ikoseder vorkommt. Hier bilden jeweils vier gegenüber liegende Punkte ein sog. Goldenes Rechteck, d die Seitenlängen im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Ebenso knn mn den Goldenen Schnitt im Dodekeder finden...5 Rechnen mit dem Goldenen Schnitt..5. Die stetige Teilung Für den goldenen Schnitt ls Zhl ϕ = 5 0,68 gilt die wesentliche, definierende Gleichung ϕ = ϕ. Wir hben oben gesehen, dss mn durch die Multipliktion mit ϕ zu einer Streckenlänge die Länge des Mjors bekommt. Folglich bedeutet dnn eine Multipliktion mit ϕ, dss mn zum Mjor durch einen weiteren goldenen Schnitt wiederum den Mjor bestimmt. Die definierende Gleichung ϕ = ϕ besgt nun, dss diese Länge mit der Länge des ersten Minors übereinstimmt.

7 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 4 T teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt. AT ist der Mjor mit der Länge AT =ϕ AB und T B ist der Minor mit der Länge. Nun teilt T die Strecke AT wieder im Goldenen Schnitt. Somit ist AT =ϕ AT =ϕ AB. Wegen der definierenden Gleichung für den Goldenen Schnitt, ϕ = ϕ, gilt dnn AT =ϕ AB = ϕ ( ) AB = T B. Die Teilung im Goldenen Schnitt knn mn uch uffssen ls eine Stuchung der Strecke mit dem Fktor ϕ. Der Endpunkt B wird dbei uf den Teilungspunkt T bgebildet. T teilt die Strecke in den Mjor der Länge ϕ und den Minor der Länge ϕ = ϕ. Bei einer erneuten Teilung des Mjors AT im Goldenen Schnitt entsteht der Teilungspunkt T. Die Strecke T B, der Minor der ersten Teilung, wird dnn verkürzt uf ϕ 3. Diese zweite Einteilung liefert unmittelbr die Gleichung ϕ +ϕ 3 =. Beweis mit der Vorussetzung ϕ = ϕ : ϕ +ϕ 3 =ϕ +ϕ ( ) = ( ϕ) ( +ϕ) = ϕ ϕ = ϕ ( ϕ) = Setzt mn die Stuchung mit ϕ fort, erhält mn Auch hier lässt sich sofort blesen: ϕ 3 +ϕ 4 +ϕ =

8 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 5 An der Strecke AT knn mn erkennen ϕ =ϕ 3 +ϕ 4. Setzt mn ds ein, um einen Zusmmenhng zu erhlten, der nur die Potenzen ϕ 3 und ϕ 4 enthält, so erhält mn 3ϕ 3 +ϕ 4 =. Beweis mit der Vorussetzung ϕ = ϕ : 3ϕ 3 +ϕ 4 =ϕ 3ϕ +ϕ ( ) = ( ϕ) ( 3ϕ +( ϕ) ) = ( ϕ) ( ϕ +) ( ) = =ϕ + ϕ ϕ = ϕ + ϕ Hinweis mit Bezug uf ds nächste Kpitel: In den Summen ϕ +ϕ 3 = und 3ϕ 3 +ϕ 4 = tuchen uf der rechten Seite die Fiboncci-Zhlen uf...5. Potenzen von ϕ und φ Eine weitere Rechnung ergibt sich ohne geometrische Vernschulichung bei der Frge nch einfcheren Termen für die Potenzen von ϕ. Der erste Schritt ist in der definierenden Gleichung für den goldenen Schnitt gegeben: ϕ = ϕ. Hier wird die zweite Potenz von ϕ durch einen lineren Term von ϕ usgedrückt. ϕ 3 =ϕ ϕ = ( ϕ)ϕ =ϕ ϕ =ϕ ( ϕ) = ϕ ϕ 4 =ϕ 3 ϕ = ( ϕ )ϕ = ϕ ϕ = ( ϕ) ϕ = 3ϕ ϕ 5 =ϕ 4 ϕ = ( 3ϕ )ϕ = ϕ 3ϕ = ϕ 3( ϕ) = 5ϕ 3 Anmerkung ohne Beweis: In den lineren Termen tuchen die Fiboncci-Zhlen ϕ = ( ϕ ) uf. Für eine llgemeine Gesetzmäßigkeit formen wir ϕ 3 = + ( ϕ ) die Ergebnisse noch ein wenig um. ϕ 4 = ( 3ϕ ) Hier knn mn nun die Gesetzmäßigkeit ϕ 5 = + ( 5ϕ 3) ϕ n = ( ) n+ ( ϕ ) erkennen. Gnz nlog knn mn die Potenzen der Goldenen Verlängerung Φ linerisieren. Hier ist die definierende Gleichung Φ = Φ +. Φ3 = Φ Φ = ( Φ +)Φ = Φ + Φ = ( Φ +)+ Φ = Φ + Φ4 = Φ 3 Φ = ( Φ +)Φ = Φ + Φ = ( Φ +)+ Φ = 3Φ + Φ5 = Φ 4 Φ = ( 3Φ +)Φ = 3Φ +Φ = 3( Φ +)+Φ = 5Φ +3 Auch hier tuchen in den Ergebnissen die Fiboncci-Zhlen uf.

9 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 6..6 Der goldene Schnitt und die Fiboncci-Zhlen An der Mthemtik irritiert mich, dss der goldene Schnitt und die Fiboncci-Zhlen sich zueinnder so verhlten, ls sei der gnze Kosmos schlmpig gerbeitet. (JMiRi, Kriktur-Zeichner der Deutschen Mthemtiker Vereinigung) Die vorngegngenen Betrchtungen hben schon n mehreren Stellen ufgezeigt, dss die Fiboncci-Zhlen und der goldene Schnitt miteinnder in Beziehung stehen. Hier wollen wir den ussgekräftigsten Zusmmenhng betrchten. Bildet mn in der Folge der Fiboncci-Zhlen jeweils den Quotienten mit der vorhergehenden Zhl (genuer ), so stellt mn f n fest, dss dieser Quotient offensichtlich einen Grenzwert besitzt. Zudem scheint dieser Grenzwert gerde die Goldene Verlängerung Φ,68 zu sein. Wir wollen hier nicht beweisen, dss der Quotient von ufeinnder folgenden Fiboncci-Zhlen existiert. Wir können ber zeigen, dss dieser Grenzwert die Goldene Verlängerung Φ ist. Nennen wir den gesuchten Grenzwert x, lso lim n = x. Wir nehmen die Definitionsgleichung für die Fiboncci-Zhlen und formen sie um. + = + : + = + Im letzten Bruch wird die vorhergehende Fiboncci-Zhl durch die nchfolgende dividiert, ws für unsere Grenzwertbetrchtung gerde flsch herum ist. Dher bilden wir dort den Kehrwert des Kehrwerts.

10 Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 7 + = + f lim n+ n = lim + n Wenn nun der besgte Grenzwert existiert, so gilt = + lim n. In beiden Fällen wird der gleiche Grenzwert betrchtet, nämlich der des Quotienten us einer Fiboncci-Zhl und ihrer vorhergehenden. Diesen Grenzwert htten wir nfänglich x gennnt, lso gilt x = +. Multiplizieren wir diese x Gleichung mit x, erhlten wir x = x +. Diese Gleichung ht, wie wir oben in Abschitt..3 gesehen hben, die Goldene Verlängerung Φ ls positive Lösung. Die Quotienten von ufeinnder folgenden Fiboncci-Zhlen konvergieren gegen die Goldene Verlängerung Φ. lim n = Φ,68 Die Näherungsformel für die Fiboncci-Zhlen (Abschnitt..3) mcht letztlich von dieser Eigenschft gebruch.