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1 Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung) Wir arbeiten in ( R 2,, standard ). Def. Betrachte einen Kreis um O vom Radius r > 0. Inversion (bzgl. des Kreises) ist eine Abbildung I O,r : R 2 \ {O} R 2 \ {O}, die Punkt X auf den Punkt Y abbildet, s.d. OY = O Bemerkung OY = X Y r2 OX OX. 2 Koordinatendarstellung: Für O = x 0 y 0, X = x y. Dann ist Y = O + OY = x 0 r y x x 0 (x x 0) 2 +(y y 0) y y 0 r2 OX OX = r2 2 OX. Also, OY OX = r2

2 Geometrische Beschreibung der Lage von Y : O, X, Y liegen auf einem Strahl mit Anfangspunkt O. OY OX = r 2 Bemerkung Inversion ist eine Bijektion (als Abbildung des R 2 \ {O} auf sich selbst. )

3

4 Einfachste Eigenschaften und komplexe Zahlen Einfachste Eigenschaften: 1. Liegt X auf dem Kreis um O vom Radius r, so ist I O,r (X) = X. 2. I ist eine Involution: I I = Id. 3. I bildet innere Punkte des Kreises auf äussere ab und umgekehrt. 4. I kommutiert mit Isometrien: Ist F : R 2 R 2 eine Isometrie, so ist I F(O),r (F(X)) = F (I O,r (X)) Falls O = 0 0 ist, und r = 1, so ist die Inversion gegeben durch I x y = 1 x 2 +y 2 x y. Falls wir z = x + i y setzen, wird die Inversion wie folgt gegeben: I(z) = z 1 z, wobei z die komplexe Konjugation ist (da := z 2 1 Ana I z = x i y x+i y und deswegen x 2 +y 1 z =. ) 2 x 2 +y 2 Man bedenke auch, dass die Konjugation, also die Abbildung z = x + iy z = x iy die Spiegelung bzgl. der Geraden L 0, 1 ist. 0

5 Inversion als Bijektion von R 2 Betrachte verallgemeinerte Ebene R 2 := R 2 definiere die Inversion I : R 2 R 2 wie folgt: Y s.d. OY = r2 OX 2 OX für X O, I(X) = falls X = O O falls X = }{{}. Dann ein formaler Punkt Inversion ist eine bijektive Abbildung der verallgemeinerten Ebene auf sich selbst. Frage Warum die Bezeichnung? Antwort: Wir brauchen einen künstlichen Punkt, um I(O) zu definieren. Je näher X an O ist, je weiter ist I(X) von O entfernt. (Weil OY = r 2 OX ). Man kann sich I(O) als unendlichen Punkt vorstellen, daher die Bezeichnung.

6 Def. Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis (vom Radius > 0), oder die Vereinigung G } {{ }, wobei G eine Gerade ist. verallgemeinerte Gerade Lemma 19. Inversion bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab. Ferner gilt: Inversion IO,r überführt alle verallgemeinerten Geraden, die O enthalten, in sich selbst, und andere verallgemeinerte Geraden in Kreise, die O enthalten. Inversion überführt die Kreise, die O enthalten, in verallgemeinerte Geraden, und andere Kreise in Kreise.

7 ßÞÐ Def. Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis (vom Radius > 0), oder die Vereinigung G, verallgemeinerte Gerade wobei G eine Gerade ist. Lemma 19. Inversion bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab. Ferner gilt: Inversion IO,r überführt alle verallgemeinerten Geraden, die O enthalten, in sich selbst, und andere verallgemeinerte Geraden in Kreise, die O enthalten. Inversion überführt die Kreise, die O enthalten, in verallgemeinerte Geraden, und andere Kreise in Kreise. Beweis Betrachten eine Inversion I O,r und einen Kreis K. Da Inversion mit Isometrien kommutiert, genügt es die Aussage des Lemmas für I F(O),r und den Kreis Bild F (K) zu beweisen, wobei F eine Isometrie ist. Nach Isometrie O O

8 Also sei O = 0 0 (und deswegen ist I x y = r2 2 x x 2 +y y,) und der zu untersuchende Kreis sei K := { x y s.d.(x x c ) 2 + y 2 R 2 = 0}. Da I I = Id, besteht Bild I (K) aus allen Punkten, die auf Punkte von K abgebildet werden, also aus allen Lösungen der Gleichung ( ) 2 ( 2 r 2 x 2 +y x x 2 c + r 2 x 2 +y y) R 2 = 0. Multiplizieren mit (x 2 + y 2 ) 2 ergibt (x 2 + y 2 )(R 2 xc 2 ) } {{ } (x y) R 2 xc 2 c x R 2 x 2 y +2r 2 x } {{ } c x = r 4 ( ) a 1 Ist R 2 xc 2, so hat R 2 xc 2 gleiche Eigenwerte, und ist ( ) R 2 xc zwei 2 die Gleichung eines Kreises. ( und Punkt sind ausgeschlossen, weil K mehr als einen Punkt hat.) Ist R 2 = xc 2, was bedeutet, das K durch O geht, O so ist ( ) 2x c x = r 2, und dies ist die Gleichung der Gerade. Beweis für die Geraden, die durch O gehen ist ähnlich.

9 Glatte Kurven und deren Tangenten Def. Eine (glatte ebene) Kurve ist das Bild einer Abbildung C : [α,β] R 2, d.h., C(t) = C 1 C 2 (t) wobei C 1,C 2 stetig differenzierbar sind, und (C 1 )2 + (C 2 )2 > 0. Physikalisch kann man eine Kurve als die Bahn eines Teilchens verstehen. Bsp. Strecke C u t C 2 (t) = x y 0 + v t, t [α,β], ist eine Kurve. Bsp. Kreis ist eine Kurve. Z.B. C 1 C 2 (t) = cos(t) sin(t), t [0,2π], ist die Abbildung deren Bild der Kreis mit der Gleichung x 2 + y 2 = 1 ist. Bsp. Ellipse ist eine Kurve. Z.B. C 1 λ C 2 (t) =¼cos(t) µ½, sin(t) t [0,2π], ist die Abbildung, deren Bild die Ellipse mit der Gleichung λx 2 + µy 2 = 1 ist.

10 Sei C : [α,β] R 2, ( C(t) = C 1 (t) C 2 (t) ) eine Kurve. Was ist deren Tangente im Punkt P = C(t 0 )? Geometrische Definition: Nehme die Folge von Sekanten (=Geraden die durch C(t 0 ) und C(t i ) gehen,) wobei t i t 0. Dann heißt deren Grenzwert die Tangente. (Jede Gerade ist gegeben durch eine Gleichung der Form ax + by + c = 0, wobei ( ) a 2 + b 2 = 1 (Hessische Normalform). OBdA ist c 0, also können wir die Gleichung so wählen, dass ( ) c > 0. Die Bedingungen ( ), ( ) bestimmen die Gleichung einer gegebenen Geraden eindeutig. Also bekommen wir die Folgen a i, b i, c i. Die Folgen konvergieren, siehe Beweis von Lemma 20. Seien ā, b, c die Grenzwerte. Dann ist die Gerade mit der Gleichung āx + by + c = 0 die Tangente. ) Analytische Definition: Die Tangente einer Kurve C(t) = C 1 (t) C 2 (t) in t 0 ist { } die Gerade C(t 0 ) + C 1 (t wobei s R. C 2 0) s (t Lemma 20. Die analytische und geometrische Definition stimmen überein.

11 Beweis OBdA ist t 0 = 0. Betrachte die Taylor-Reihe von C 1 (t), C 2 (t) im Punkt t = 0: C 1 (t) = C 1 (0) + C 1 (0)t + Rest 1(t) C 2 (t) = C 2 (0) + C 2 (0)t + Rest 2(t), Rest wobei lim 1(t) Rest t 0 t = lim 2(t) t 0 t = 0. Dann ist die Gleichung der Sekantedurch C(0), C(t) gleich (LAAG1, Vorl. 25) det C 1 (0) x C 2 (0) y C 1 (0) C 1 (t) C 2 (0) C 2 (t) =0 C ßÞ Ð 1 ßÞ Ð (0) x C 2 (0) y C 1 (0) (C 1 (0) + C 1 (0)t + Rest 1(t)) C 2 (0) (C 2 (0) + C 2 (0)t + Rest 2(t)) =0 det C 1 (0) x C 2 (0) y C 1 (0) + 1 t Rest 1(t) C 2 (0) + 1 t Rest 2(t) =0 x (C 2 (0) + 1 t Rest(t)) y (C 1 (0) + 1 t Rest(t)) = det ßÞ C 1 (0) C 2 (0) C 1 (0) + 1 t Rest 1(t) C 2 (0) + 1 t 2(t) (0) Ð Rest a(t) b(t) OBdA ist Vorzeichen von c(t) konstant in der nähe von 0 Da die Normalisierung a a, b b, c c a 2 +b 2 a 2 +b 2 a 2 +b a bzgl. a,b,c, ist der Grenzwert von, b und a 2 +b 2 a 2 +b 2 Wert in t = 0, und damit gleich C x 2 ÕC (0) 1 (0)2 +C 2 y C 1 ÕC (0) (0)2 1 (0)2 +C 2 = 1 ÕC det C 1 (0) C 2 (0)2 1 (0)2 +C 2 (0)2 C 1 (0) C 2 stetig ist 2 c a gleich dem 2 +b2 Also ( ist) der Richtungsvektor der Grenzwertgeraden (proportional zu) C 1 (0) C 2 (0), und die Gerade geht durch C(0). Damit ist die Gerade wie in der analytischen Definition.

12 Winkeltreuesatz Bsp. Tangente an Kreis { cos(t) sin(t), t [0,2π]} in t 0 ist } die Gerade { cos(t 0 ) sin(t 0 ) sin(t 0 ) + cos(t 0 ) s, wobei s R. Def. Seien C(t) und C(t) zwei Kurven, die einander im Punkt P = C(t 0 ) = C( t alpha 0 ) schneiden. Der Winkel zwischen den Kurven im Schnittpunkt, ist der Winkel (alpha [0, π 2 ]) zwischen deren Tangenten im Schnittpunkt. Ist der Winkel = 0, so berühren die Kurven einander Satz. Seien C(t),C(t) glatte ebene Kurven, die im Punkt P O einander schneiden. Dann gilt: Der Winkel zwischen C und C im Punkt P ist gleich dem Winkel zwischen I O,r (C(t)), I O,r (C(t)) im Punkt I O,r (P). In Worten: Inversion ist winkeltreu.

13 Diese Information genügt oft, qualitative Bilder zu machen. Z.B.

14 Beweis OBdA ist r = 1 und O = 0 0. Dann ist I x y = 1 deswegen I ( C 1 C 2 (t) ) von I(C(t)) gleich ( d dt 1 2 C 1 C 1(t) 2 +C 2(t) C 2 (t) ) x 2 +y 2 x y, und = 1 C 1(t) 2 +C 2(t) 2 C 1 (t) C 2 (t). Dann ist der Richtungvektor =¼ C 1 2 C 2 (t) 2 C 1 (t) 2 2C 1 (t)c 2 (t) 2 C (C 1(t) 2 +C 2(t) 2 ) 2C 1 (t)c 2 (t) C 1 (t) 2 C 2 (t) 1 (t) C 1 (t) 2 +C 2 (t) 2 2C 1(t) C 1 (t)c 1 (t)+c 2 (t)c 2 (t) (C 1 (t) 2 +C 2 (t) 2 ) 2 2½ = C 2 (t) C 1 (t) 2 +C 2 (t) 2 2C 2(t) C 1 (t)c 1 (t)+c 2 (t)c 2 (t) (C 1 (t) 2 +C 2 (t) 2 ) ( 1 α β (t) (t) = 1 C 2 γ β α ) C 1 (t) C 2 (t), wobei α,β,γ nur von C(t) abhängen. Also werden wir ( für die Kurve C, s.d. C(t) = C(t), die Formel d α β ) C dt I(C(t) = 1 1 γ β α (t) mit denselben α,β,γ haben. C 2 ( ) α β Wir wissen aber, dass 1 γ zu einer orthogonalen Matrix β α ( ) α β proportional ist. Also ist v 1 γ v eine Verkettung von einer β α orthogonalen Abbildung und einer Streckung. ( Dann ist) der Winkel α β zwischen u,v gleich dem Winkel zwischen 1 γ v, β α ( ) 1 α β γ u, also ist der Winkel zwischen C β α (t),c (t) gleich dem Winkel zwischen (I(C(t))), (I(C(t))).

15 Diese Information genügt oft, schulgeometrische Aufgaben zu lösen Aufgabe Der Kreis S berührt S 1 und S 2. Man beweise: Die folgenden 3 Geraden 1. durch Berührungspunkte. 2. durch Mittelpunkte von S 1 und S die Gerade, die beide Kreise berührt haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

16 HA: Winkel zwischen Kreis und Gerade fallen in beiden Schnittpunkten zusammen. B C A Beweis: ACB ist gleichschenklig, und deswegen CAB = CBA. Da CAO = CBO = π 2, gilt BAO = ABO. Folgerung Betrachte ein O auf der Geraden und eine Inversion, die A in B und B in A B A überführt (d.h. AO BO = r 2 O ). Dann führt sie den Kreis in sich selbst über. Beweis. Die Gerade enthält O und wird deswegen auf sich selbst abgebildet. Der Kreis wird auf einen Kreis abgebildet (Lemma 19). Da der Kreis die Punkte A und B enthält, und da A auf B, B auf A abgebildet wird, wird das Bild des Kreises die Punkte A und B enthalten. Da Inversion winkeltreu ist, erhält sie Winkel zwischen Bild des Kreises und der Geraden, also wird der Kreis auf sich selbst abgebildet.

17 S2 A B S 1 O Lösung der Aufgabe Betrachte die Gerade durch Berührungspunkte, und die Gerade durch Mittelpunkte von S 1 und S 2. Sei O deren Schnittpunkt. Nehme die Inversion mit Zentrum in O, die A in B und B in A überführt (r = OA OB ). Nach HA wird Kreis auf sich selbst abgebildet. Dann wird S 1 auf einen Kreis abgebildet, der Kreis in A berührt. Aber da Gerade auf sich selbst abgebildet wird, und da sie durch Mittelpunkt des Kreises S 1 geht (s.d. Winkel zwischen S 1 und Gerade gleich π/2 ist), muss nach Winkeltreuesatz die Gerade durch Bild des Kreises S 1 gehen. Also ist das Bild von S 1 gleich S 2. Ähnlich zeigt man, dass das Bild von S 2 der Kreis S 1 ist. S2 S 1 O Dann wird die Gerade durch O, die S 1 berührt, auf sich selbst abgebildet (Lemma 19) S 2 berühren (Winkeltreuesatz) Also haben alle 3 Geraden durch Berührungspunkte, durch Mittelpunkte von S 1 und S 2, die Gerade, die beide Kreise berührt, einen gemeinsamen Schnittpunkt O.

18 C O B A Aufgabe Betrachte die geschlossene Kette aus 4 Kreisen: S 1 berührt S 2, S 2 berührt S 3, S 3 berührt S 4, und S 4 berührt S 1. Man zeige: die Berührungspunkte der Kreise liegen auf einem Kreis. Beweis. Betrachte die Inversion mit Zentrum in O. Nach der Inversion werden die Kreise wie rechts aussehen. Der Kreis durch OCA wird in eine Gerade durch C und A überführt. Man zeige: die Gerade enthält B. C B A P alpha C B A N alpha Wir betrachten die gemeinsame Tangente in B. Es gilt: CPB = ANB = alpha. Nach HA ist BAN = ABN. Da alpha + BAN = ABN = π, ist ABN = π alpha 2. Ähnlich, ist CBP = π alpha 2. Also ist CBP = ABN,und die Segmente CB und BA liegen auf einer Geraden.

19 Kreise, die zum Inversionskreis orthogonal sind Folgerung A Betrachte einen Kreis, der zum Kreis mit Zentrum in O und Radius r orthogonal ist. Dann gilt: die Inversion I O,r bildet den Kreis auf sich selbst ab. O A B I(A) O Beweis. Die Tangenten zum Kreis sind in den Schnittpunkten orthogonal zu den Tangenten des Inversionskreises, und gehen deswegen durch O.Der Kreis, dessen Tangenten OA und OB, und die Punkte A und B haben die folgenden Eigenschaften: = A, I(B) = B Bild I (OA) = (OA) Bild I (OB) = (OB) Kreis berührt OA in A und OB in B. Dann berührt das Bild des Kreises OA in A und OB in B, und deswegen fällt es mit dem Kreis zusammen.

20 Sekantensatz Folgerung B (Sekantensatz) OB OC = OA 2 O B A C Beweis Betrachte den Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r = OA. O B A C Er ist orthogonal zum Kreis. Dann bildet I O,r den Kreis auf sich ab. Da I O,r die Gerade erhält, ist I O,r (B) = C. Dann ist OB OC = r 2 = OA 2. Folgerung C Jeder Kreis, der durch A und I O,r (A) geht, ist zum Kreis um O vom Radius r orthogonal.

21 Warum heißt Inversion auch Kreisspiegelung? Folgerung D Alle Kreise, die zum Kreis um O vom Radius r orthogonal sindund Punkt A enthalten (angenommen, A liegt nicht auf dem Kreis um O vom Radius r), haben genau 2 gemeinsame Schnittpunkte (z.b. A und B). Ferner gilt: I O,r (A) = B und I O,r (B) = A. O O A B A B Bemerkung Betrachte die Spiegelung S bzgl. einer Geraden G. Dann sind alle Kreise, die durch A G und B := S(A) gehen, zur Geraden orthogonal. Bemerkung Inversion von O vom Bild oben gibt das Bild links.

22 Frage Was macht eine Inversion mit dem Abstand zwischen Punkten? Lemma 21 Sei A,B R 2 \ O.Dann gilt: I O,r (A)I O,r (B) = AB r 2 O I(A) B A OA OB. Beweis. Die Dreiecke OAB und O I(A)I(B) sind ähnlich, weil Winkel O gleich ist, und, weil OA OI(A) = OA OA OB = OI(B) OI(A) OI(B) = r 2. Dann AB I(A)I(B) = OA OI(B). Dann I(B) I(A)I(B) = AB OI(B) OA OB OI(B) =r = 2 r AB 2 OB OA, Def. Doppelverhältnis (A, B; C, D) ist die Zahl AC BC : AD BD = AC BD BC AD. ( ) Lemma 22 (A,B;C,D) = (I(A),I(B);I(C),I(D)) (falls es definiert ist) (In Worten: Inversion erhält das Doppelverhältnis.) Beweis. Nach Lemma 21 ist r 2 I O,r (A)I O,r (C) = AC OA OC, I r 2 O,r(B)I O,r (C) = BC OB OC r 2 I O,r (A)I O,r (D) = AD OA OD, I r 2 O,r(B)I O,r (D) = BD OB OD. Einsetzen in ( ) ergibt die Aussage.

23 Satz von Ptolemäus B A C D Satz von Ptolemäus. Ecken eines Vierecks ABCD liegen auf einem Kreis. Dann gilt: AC BD = AB CD + AD BC. Beweis.Z.z.: 1 = AB CD + AD BC. Aber AC BD AB CD + AD BC = AB CD AC BD AC BD + AD BC = (A,D;B,C) + (D,C;A,B) und das AC BD ändert sich nicht nach einer Inversion (Lemma 22). Nach geeigneter Inversion (s. Bild) wird das Bild wie folgt verändert: B C Nach Inversion I I(B) I(D) A D I(A) a b c I(C) O Man bezeichne I(A)I(B) = a, I(B)I(C) = b, I(C)I(D) = c. Dann ist I(A)I(C) = a + b, I(B)I(D) = b + c, I(A)I(D) = a + b + c. Es folgt I(A)I(B) I(C)I(D) + I(A)I(D) I(B)I(C) I(A)I(C) I(B)I(D) = ac+(a+b+c)b (a+b)(b+c) = ac+ab+b2 +bc ab+b 2 +ac+bc = 1,

24 Kreistreu Transformationen. Def. Wir sagen, dass eine bijektive Abbildung F : R 2 R 2 ist Kreistreu, wenn für jeden verallg. Kreis K gilt: das Bild F(K) ist auch ein verallg. Kreis. Konvention. Wir werden die Isometrien und Ähnlichkeitstransformations als Abbildungen von R 2 R 2 wie folgt verstehen: für jede Isometrie oder Ähnlichkeitstransformation F wir erweitern den Definitionsbereich bis R 2 = R 2 { }: wir setzen F( ) =.

25 Jede Kreistreu Transformation ist eine Ähnlichkeitstransformation, oder die Verkettung einer Inversion und einer Isometrie. Def. Wir sagen, dass eine bijektive Abbildung F : R 2 R 2 ist Kreistreu, wenn für jeden verallg. Kreis K gilt: das bild F(K) ist auch ein verallg. Kreis.Konvention. Wir werden die Isometrien und Ähnlichkeitstransformations als Abbildungen von R 2 R 2 wie folgt verstehen: für jede Isometrie oder Ähnlichkeitstransformation F wir erweitern den Definitionsbereich bis R 2 = R 2 { }: wir setzen F( ) =. Bsp. Jede Isometrie und jede Ähnlichkeittransformation ist kreistreu: sie sind bijektiv auf R 2 und deswegen auch auf R 2. Sie bilden Kreise Kreise, Geraden Geraden, also veralg. Kreise auf veralg Kreise. Bsp. Inversion ist auch kreistreu (Lemma 19). Bsp. Verkettungen von Ähnlichkeittransformationen und Isometrien sind kreistreu: sie sind bijektiv als Verkettungen von bijektiven Abbildungen. Offensichtlich, wenn F 1 und F 2 kreistreu sind, ist auch F 1 F 2 kreistreu: in der Tat, für einen veralg. Kreis K haben wir dass F 1 F 2 (K) = F 1 (F 2 (K)) ein veralg. Kreis ist, weil F 2 (K) ein veralg. Kreis ist. Satz. Eine kreistreu Abbildung F : R 2 R 2 ist eine Ähnlichkeittransformation oder die Verkettung von einer Inversion und einer Isometrie.

26 Beweis. Sei F : R 2 R 2 eine kreistreu Abbildung. Fall 1. F( ) =. Dann gilt: Bild von jede Gerade ist Gerade. Also, die Abbildung F beschränkt auf R 2 = R 2 \ { } ist dann eine geradentreu Abbildung, also eine Kollinearität (siehe matveev/lehre/la10/vorlesung9.pdf) Dann ist die eine bijektive affine Abbildung nach Fundamentalsatz der reellen affinen Geometrie, siehe Satz 17 aus matveev/lehre/la10/vorlesung9.pdf, also hat das Aussehen F(x) = Ax + b. Wenn A nicht zu einer Orthogonalmatrix proportional ist, ist Bild des Einheitkreises kein Kreis. Also, F (beschränkt auf R 2 ) hat das Aussehen F(x) = k Ox + b für eine Orhtogonalmatrix O; dann ist sie eine Ähnlichkeitsabbildung.

27 Fall 2. F( ) = Z. Wir betrachten dann eine Inversion I Z,r mit Zentrum Z und Radius r. Radius r können wir zuerst beliebig wählen, später werden wir aber den Radius r eichen. Die Abbildung I Z,r F ist eine kreistreu bijektive Abbildung und erfüllt die Bedingung F( ) =. Dann ist sie I Z,r F eine Ähnlichkeitsabbildung, wie wir es oben in Fall 1 bewiesen haben, also ist I Z,r F(x) = k Ox + b.

28 Man merke jetzt, dass die zwei Inversionen mit einem Zentrum und verschieden Radien I Z,r und I Z,R unterscheiden sich durch eine zentrische Streckung mit Koeffizient R 2 /r 2 : z.b. direkt ausrechnen: die Formel für I Z,r und I Z,R sind I Z,r (X) = Z + r2 ZX, IZ,R XZ 2 (X) = Z + R2 ZX. XZ 2 Die Formel für die Streckung mit dem Koeffizient k und Zentrum Z ist Dann gilt für k = R 2 /r 2 : S Z,k (X) = Z + k(x Z). ) S Z,k I Z,r (X) = Z + k (Z + r2 ZX Z XZ 2 = Z + R2 ZX = IZ,R XZ 2. Dann aus I Z,r F(x) = k Ox + b bekommen wir I Z,R F(x) = Ox + 1 k b, wobei R so gewählt ist dass k = R 2 /r 2. Wir wenden die Inversion I Z,R auf beiden Seiten der letzten Gleichung und bekommen F(x) = I Z,R (Ox + 1 k b),

29 Verkettung von Inversionen Folgerung. Verkettung von Isometrien und Ähnlichkeitabbildungen (in beliebiger Reihenfolge) ist eine Ähnlichkeitsabbildung oder eine Verkettung von Inversion und Isometrie. Beweis. Die Verkettung von Isometries und Ähnlichkeitabbildungen ist eine kreistreu Abbildung und daher eine Ähnlichkeittransformation oder die Verkettung von einer Inversion und einer Isometrie.

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