ABITURPRÜFUNG 2002 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN)

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1 ABITURPRÜFUNG 00 LEISTUNGSFACH MATHEMATIK (HAUPTTERMIN) Arbeiszei: Hilfsmiel: 70 Minuen Taschenrechner (nich programmierbar, nich grafikfähig) Tafelwerk Der Prüfungseilnehmer wähl von den Aufgaben A1 und A eine und von den Aufgaben B1 und B eine zur Bearbeiung aus und bearbeie die Pflichaufgabe C. Neben jeder Teilaufgabe seh die für diese Teilaufgabe maximal erreichbare Anzahl von Bewerungseinheien (BE). ÖFFNUNG AM. APRIL 00

2 Aufgabe A1 Für jede reelle Zahl mi 0 is eine Funkion f gegeben durch y x+ 1 = f (x) = ( x 1) e ( R) x. a) Unersuchen Sie den Graphen von f auf Schnipunke mi den Koordinaenachsen sowie auf lokale Exrem- und Wendepunke! Geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaen an! Was fäll Ihnen an Ihren Ergebnissen zu den Exrem- und Wendepunken auf! b) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 1 in ein und dasselbe Koordinaensysem! Sellen Sie ausgehend von den Graphen von f 1 und f 1 eine Vermuung über den Zusammenhang zwischen den Graphen von f und f auf und beweisen Sie diese Vermuung! 1 c) Für > 0 sind die Punke O(0; 0), N ; 0, E( 0; e) und 1 W ; die Eckpunke eines Vierecks. Unersuchen Sie für die Diagonale OE, in welchem Verhälnis diese den Flächeninhal des Vierecks OWEN in zwei Dreiecksflächen eil! (n) d) Sellen Sie eine Vermuung für die n-e Ableiung f von f auf! Welche Bedeuung könne die formal nach dieser Regel gebildee Funkion ( f 1) haben? Überprüfen Sie, ob Ihre Vermuung zu ( 1) f zuriff! e) Der Graph einer zur y-achse symmerischen quadraischen Funkion p verläuf durch E und N aus Teilaufgabe c. 1 Für welchen Wer u mi 0 u ( > 0) is die Differenz der Funkionswere p(u) und f (u) am größen? 1 BE 5 BE BE 7 BE

3 3 Aufgabe A Für jede reelle Zahl a ( a > 0) is eine Funkion f a gegeben durch y = fa (x) = a x ln x, ( x R, x > 0). a) Unersuchen Sie den Graphen von f a auf lokale Exrem- und Wendepunke und geben Sie gegebenenfalls deren Koordinaen an! Besimmen Sie lim f a (x)! x 0 Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f in ein und dasselbe Koordinaensysem jeweils im Inervall 0 < x 0! Prüfen Sie, ob die lokalen Exrempunke aller Graphen von f a e auf einer Kurve k mi y = k( x) = ln liegen! x b) Enscheiden Sie, ob einer der Minimumpunke des Graphen von f a auf einer Koordinaenachse liegen kann. Begründen Sie Ihre Enscheidung! c) Finden Sie zwei posiive reelle Zahlen r und s mi r s so, dass das von den Graphen der Funkionen f 1 und f sowie den Geraden mi den Gleichungen x = r und x = s begrenze Flächensück einen ganzzahligen Inhal besiz! Geben Sie diesen Flächeninhal an! 1 BE d) Es sei x w die Wendeselle der Funkion f a. Zeigen Sie, dass die Wendeangene die y-achse im Punk T( 0; fa ( x w ) 1) schneide! e) Für 0 < p < 9 is durch die Punke P(p; f 1 (p)), S(p; f (p)), Q(9; f 1 (p)) und R(9; f (p)) ein Recheck definier. Ermieln Sie p so, dass der Flächeninhal des Rechecks PQRS exremal wird! Um welche Ar des Exremums handel es sich? Besimmen Sie den exremalen Flächeninhal! 7 BE

4 4 Aufgabe B1 In einem karesischen Koordinaensysem sind eine Ebene ε : y + z + 1= 0 und für jede reelle Zahl eine Gerade g mi der Gleichung g : 0 1 x = 3 + λ ( λ R) gegeben. a) Beschreiben Sie die Lage der Ebene ε im Koordinaensysem! Besimmen Sie den Absand der Ebene ε zum Koordinaenursprung! Geben Sie eine Gleichung der Ebene η an, die durch Spiegelung von ε am Koordinaenursprung enseh! b) Die Ebene ε schneide die x-z-ebene. Ermieln Sie die Größe des Schniwinkels und eine Gleichung der Schnigeraden! c) Unersuchen Sie die gegenseiige Lage der Ebene ε und der Geraden g in Abhängigkei von! d) Zeigen Sie, dass die Geraden g 1 und g zueinander windschief sind! Berechnen Sie den Absand der Geraden g 1 und g zueinander! Für welche Were von ha g zu g 1 einen Absand von 5 LE? e) Begründen Sie, dass es keine Gerade g gib, die mi der z- Achse einen gemeinsamen Punk besiz! Überprüfen Sie, ob es eine Gerade g gib, die mindesens eine Koordinaenachse schneide! Ermieln Sie gegebenenfalls einen ensprechenden Wer und die Koordinaen des Schnipunks! 8 BE

5 5 Aufgabe B Ein Gymnasium plan zu seinem 10-jährigen Jubiläum eine Feswoche. Bei der Planung ergeben sich folgende Fragesellungen. a) Im Vorbereiungskomiee sind 7 Lehrer und 13 Schüler, daruner der Schülersprecher. Durch Los werden 5 Verreer ausgewähl. Besimmen Sie die Wahrscheinlichkeien der Ereignisse: A:= Es werden nur Schüler ausgewähl. B:= Es werden genau zwei Lehrer ausgewähl. C:= Es wird mindesens ein Schüler ausgewähl. D:= Es werden mehr Schüler als Lehrer ausgewähl. b) Zur Finanzierung wurde eine große Anzahl von Werbebriefen verschick, die mi der Wahrscheinlichkei p beanwore werden. Wie groß is p mindesens, wenn die Wahrscheinlichkei, dass späesens der Zehne anwore, mehr als 80% beräg? c) Zum Abschlussball sollen ehemalige Schüler eingeladen werden. Zur Planung geh man von der Annahme aus, dass mindesens 40% der ehemaligen Schüler eilnehmen. Diese Annahme soll durch eine sichprobenarige Befragung geprüf werden. Ersellen Sie einen ensprechenden Prüfplan! Welche Fehlenscheidungen sind möglich? d) Für die Fesveransalung sehen 450 Pläze zur Verfügung. Erfahrungsgemäß nimm jeder einzelne der Eingeladenen mi einer Wahrscheinlichkei von 90% an der Veransalung eil. Wie viele Einladungen dürfen höchsens vereil werden, wenn die Pläze mi mindesens 95% Wahrscheinlichkei ausreichen sollen? e) Anlässlich der Feswoche finde ein Volleyballurnier sa, bei dem u.a. eine Lehrermannschaf gegen eine Schülermannschaf spiel. Sieger is, wer zuers 3 Säze gewonnen ha. Mi einer Wahrscheinlichkei von 7% werden mindesens 4 Säze gespiel. Mi welcher Wahrscheinlichkei gewinn uner dieser Voraussezung die Lehrermannschaf einen einzelnen Saz? BE 5 BE 5 BE

6 6 Aufgabe C 1 a) Besimmen Sie folgendes Inegral: x sin x dx! b) Gegeben is eine Zahlenfolge ( n ) Folgenglieder a 1 = und a = b ( b R). a, wenn ( ) Wie laue das Folgenglied 4 Folge is? c) Eine der Funkionen f a mi fa (x) x ax x 4 eine Polselle x =. Ermieln Sie für diesen Fall den Parameer a! a durch ihre ersen zwei a eine arihmeische n = ( R) a ha genau d) Die Vekoren a 1 = r und b = mi r, s R sollen den s gleichen Berag haben und zueinander orhogonal sein. Besimmen Sie für diesen Fall r und s! e) Ein Schüze riff beim ersen Schuss mi einer Wahrscheinlichkei von 0,8. War der erse Versuch ein Treffer, so riff der Schüze beim zweien Versuch mi der gleichen Wahrscheinlichkei. Geh der erse Schuss daneben, dann verringer sich die Treffsicherhei beim zweien Versuch um 10% des ursprünglichen Weres. Der Schüze schieß zweimal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkei des folgenden Ereignisses: Es wurde genau ein Treffer erziel. BE BE BE BE BE

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