Klassische und Relativistische Mechanik

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1 Klassische und Relativistische Mechanik Othmar Marti Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik

2 Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Rotation des starren Körpers Koordinatensystem zur Berechnung der Rotation eines starren Körpers x y, z ist das ortsfeste Koordinatensystem x, y, z ist das mit dem Körper verbundene Koordinatensystem (dieses dreht sich mit dem Körper mit)

3 Seite 3 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Euler-Winkel Definition der Eulerschen Winkel Die Eulerschen Winkel sind 1. Drehung um e z : α 2. Drehung um 0A : β 3. Drehung um e z : γ 0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch e z und e z.

4 Seite 4 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Euler-Winkel Die Reihenfolge der Drehungen ist 1. Drehung: Bringe e x senkrecht zu e z (In der Abbildung 3 zeigen die Kreise die Ebenen senkrecht zu e z und senkrecht zu e z Die Schnittlinie der beiden Kreise ist 0A. 2. Drehung: Bringe z-achse in richtige Lage 3. Drehung: Bringe x,y-achsen in die richtige Lage.

5 Seite 5 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Freiheitsgrade der Bewegung Die Lage eines starren Körpers ist gegeben durch Lage des Schwerpunktes x S, y S, z S. Dies entspricht 3 Freiheitsgraden der Translation die Eulerwinkel α, β, γ. Dies entspricht 3 Freiheitsgraden der Rotation

6 Seite 6 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Statik des starren Körpers Angriffspunkt einer Kraft in einem starren Körper. Der Angriffspunkt i einer Kraft F am starren Körper darf in der Richtung der Kraft verschoben werden. Das heisst, dass F i in i und F j in j äquivalent sind, wenn F i = F j = F ist und ij F ist.

7 Seite 7 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kräftepaare Ein Kräftepaar besteht aus einer Kraft F am Punkte j und einer Kraft F am Punkte i. Ein Kräftepaar bewirkt ein Drehmoment T = r ij F. F und F dürfen beliebig entlang der Geraden g i und g j verschoben werden. Zwei Kräftepaare heissen äquivalent wenn sie das gleiche Drehmoment bewirken. T = r ij F = r ij F

8 Seite 8 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Dyname Die Wirkung einer beliebigen Kraft mit beliebigem Angriffspunkt auf einen starren Körper entspricht einer Kraft im Schwerpunkt S sowie einem Kräftepaar, d.h. einer Dyname. Bemerkung: Wenn aus anderen Gründen ein Punkt 0 fixiert ist, dann muss man in der obigen Argumentation einfach S durch 0 ersetzen.

9 Seite 9 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Wirkung der Schwerkraft auf einen starren Körper Wirkung der Gravitationskraft auf einen starren Körper.

10 Seite 10 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Wirkung der Schwerkraft auf einen starren Körper Die folgenden Grössen müssen beachtet werden: 1. Kraft: F = i F i = i m i g = mg = F G oder 2. Kräftepaar F = V df = V ρgdv = mg = F G T s = i r Si m i g = i m i r Si g = i m i r Si g =0 oder T s = r Si (ρ(r Si )g) dv = V V = ρ(r Si )r Si dv g =0 V ρ(r Si )r Si gdv Die Definition des Schwerpunktes sagt ja, dass i ρ(r Si )r Si dv = 0 ist. V m i r Si = 0 oder

11 Seite 11 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Stabilität des Gleichgewichts Für die Stabilität des Gleichgewichts gelten die gleichen Regeln wie für die Minima der potentiellen Energie. Wenn die Auslenkung eines Körpers aus seiner Ruhelage eine Kraft oder ein Drehmoment bewirkt, das diesen in die Ruhelage zurücktreibt, spricht man von einem stabilen Gleichgewicht. Im entgegengesetzten Fall handelt es sich um ein labiles Gleichgewicht. Eine Kugel auf einer horizontalen Unterlage befindet sich in einem indifferenten Gleichgewicht.

12 Seite 12 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Der starre Rotator Bezeichnungen an einem starren Rotator

13 Seite 13 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Der starre Rotator Definition: Ein starrer Rotator ist ein starrer Körper, der um eine feste Achse rotiert. Ein starrer Rotator wird mit einem körperfesten Koordinatensystem beschrieben.

14 Seite 14 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Winkelgeschwindigkeit ω (t) = ω (t) e ω (t) = dφ (t) dt Dabei ist φ der momentane Drehwinkel. ω(t) heisst die momentane Winkelgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit des Massenpunktes m i am Ort r i = r i + R i ist v i = ṙ i = Ṙi = ω r i = ω R i

15 Seite 15 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektoridentitäten mit (a b) 2 = (a b) (a b) (a b) = = a 2 b 2 (ab) 2 = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1

16 Seite 16 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektoridentitäten (a b) 2 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 2 = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) 2 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) 2 = a 2 2 b2 3 2a 2a 3 b 2 b 3 + a 2 3 b2 2 +a 2 3 b2 1 2a 1a 3 b 1 b 3 + a 2 1 b2 3 +a 2 1 b2 2 2a 1a 2 b 1 b 2 + a 2 2 b2 1

17 Seite 17 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Vektoridentitäten a 2 b 2 (a b) 2 = ( a 2 ) ( 1 + a2 2 + a2 3 b 2 ) 1 + b2 2 + b2 3 (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 = a 2 1 b2 1 + a2 1 b2 2 + a2 1 b2 3 + a2 2 b2 1 + a2 2 b2 2 + a2 2 b2 3 + a2 3 b2 1 + a2 3 b2 2 + a2 3 b2 3 a 2 1 b2 1 a2 2 b2 2 a2 3 b2 3 2a 1a 2 b 1 b 2 2a 1 a 3 b 1 b 3 2a 2 a 3 b 2 b 3 = a 2 1 b2 2 + a2 1 b2 3 + a2 2 b2 1 + a2 2 b2 3 + a2 3 b2 1 + a2 3 b2 2 2a 1 b 1 a 2 b 2 2a 1 b 1 a 3 b 3 2a 2 b 2 a 3 b 3 Also ist (a b) 2 = a 2 b 2 (ab) 2

18 Seite 18 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kinetische Energie der Rotation Für ein Massenelement m i ist die kinetische Energie E kin = 1 2 m iv 2 i = 1 2 m i (ω R i ) 2 = 1 2 m i (ω 2 R 2 i (ω R i ) 2) da ω R i = 0 ist. = 1 2 ω2 m i R 2 i

19 Seite 19 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kinetische Energie der Rotation Die kinetische Energie E kin aller Massenpunkte ist dann E kin = i = m iv 2 i = 1 2 i m i (ω R i ) 2 m i ( ω 2 R 2 i (ω R i ) 2) i = 1 2 ω2 i m i R 2 i da ω R i = 0 ist.

20 Seite 20 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Kinetische Energie eines rotierenden Körpers E kin = 1 2 Iω2 I = i I = Ri 2 m i oder R 2 ρdv = (e r) 2 ρdv I: Massenträgheitsmoment [I] = kg m 2

21 Seite 21 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Satz von Steiner Jakob Steiner (geboren: 18. März 1796 in Utzenstorf; gestorben: 1. April 1863 in Bern) Schweizer Mathematiker Arbeiten zur Mechanik, Geometrie und Graphentheorie Bild aus Wikipedia ( Originalzitat: Hanns Peter Holl, Jeremias Gotthelf, Zürich / München 1988, S. 33

22 Seite 22 Physik Klassische und Relativistische Mechanik Satz von Steiner Trägheitsmoment für eine beliebige Drehachse.