WÄRMELEITFÄHIGKEIT UND ELEKTRISCHE LEITFÄHIGKEIT VON METALLEN

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1 INSIU FÜR ANGEWANDE PHYSIK Physikaisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße WÄRMELEIFÄHIGKEI UND ELEKRISCHE LEIFÄHIGKEI VON MEALLEN Eineitung In diesem Versuch so die Wärmeeitfähigkeit und die eektrische Leitfähigkeit von Metaen untersucht werden. Der theoretisch berechnete Zusammenhang zwischen diesen beiden ransportvorgängen so mit dem experimente gefundenen vergichen und auf seine Gütigkeit überprüft werden. Wärmeeitung Wärmeeitung ist der ransport von Wärme zwischen verschiedenen Orten, der dann auftritt, wenn an den Orten verschiedene emperaturen voriegen. Der Zusammenhang zwischen transportierter Wärme pro Zeiteinheit und dem emperaturgradienten senkrecht zur durchströmten Fäche wird durch die Wärmeeitungsgeichung beschrieben: A x Dabei ist Q die Wärme, t die Zeit, die Wärmeeitfähigkeit, A die Querschnittsfäche, die emperatur und x der Ort. Die emperatur hängt im agemeinen sowoh vom Ort as auch von der Zeit ab, d. h. =(x,t). Der Differentiaquotient x. ist die partiee Abeitung der emperatur nach dem Ort, die Zeitabhängigkeit beibt hier unberücksichtigt. Der Zusammenhang zwischen der Orts- und Zeitabhängigkeit wird durch die ransportgeichung beschrieben:. t c x Dabei ist die Dichte und c die spezifische Wärmekapazität des Körpers. Die Wärmekapazität eines Körpers ist definiert as Quotient aus dem Körper zugeführter (bzw. vom Körper abgeführter) Wärme Q und der daraus resutierenden emperaturerhöhung (bzw. emperaturerniedrigung) : Q C cm, wobei C die Wärmekapazität und m die Masse des Körpers sind. Zur Messung von wird ein Metastab der Länge und der konstanten Querschnittsfäche A verwendet. Der agemeine Fa der dreidimensionaen Ortsabhängigkeit in der Wärmeeitungsgeichung und der ransportgeichung wird im Versuch auf eine eindimensionae Ortabhängigkeit, hier ebenfas mit der Koordinate x beschrieben, reduziert. Ferner werden die Enden des Stabes durch Wärmereservoire auf konstanter emperatur (, ) gehaten. Dadurch stet sich nach einiger Zeit ein stationärer Zustand ein, d. h. ein Zustand, der sich mit der Zeit nicht mehr ändert: 0 t 0 0 c x x Die agemeine Lösung ergibt sich durch zweimaige Integration (kann durch zweimaiges Differenzieren überprüft werden):

2 x cx c c und c können durch Einsetzen der Randbedingungen bestimmt werden: Damit ergibt sich für mit x x c 0 x c x x aus der Wärmeeitungsgeichung: x (emperaturdifferenz zwischen zwei Punkten des Stabes mit Abstand ). Im stationären Zustand stet sich aso ein konstantes emperaturgefäe entang des Stabes ein. Aus der Wärmeeitungsgeichung fogt dann weiterhin: A const. t Die Integration der Funktion iefert dann Q, d. h. im stationären Zustand ist die transportierte Wärme proportiona zur Zeit. 3 Bestimmung der Wärmeeitfähigkeit Die prinzipiee Versuchsanordnung zur Bestimmung der Wärmeeitfähigkeit ist in Abb. dargestet. Die beiden Enden des Metastabes werden durch Wärmereservoire unterschiedicher emperatur auf jeweis konstante emperatur gebracht. Nachdem sich ein konstantes emperaturgefäe entang des Stabes eingestet hat, wird das untere Wärmereservoir entfernt und die emperaturänderung am Stabende beobachtet. Hieraus kann nun über Q C die transportierte Wärme Q as Funktion der Zeit und die transportierte Wärmeeistung as Funktion der emperatur bestimmt werden. Die Wärmeeitfähigkeit ergibt sich dann aus der Wärmeeitungsgeichung bei bekanntem Stabquerschnitt und bekannter Stabänge, bzw. bekanntem Abstand der emperaturmesspunkte. Aerdings ist der Einfuss der auf die Erwärmung des unteren Reservoirs in einem gesonderten Experiment zu bestimmen, denn es git: Stab Stab

3 4 Eektrische Leitfähigkeit Der Zusammenhang zwischen der eektrischen Leitfähigkeit und dem eektrischen Widerstand R wird durch fogende Geichung beschrieben: A R Aus der Messung des Widerstandes, der Stabänge und des Stabquerschnitts kann aso bestimmt werden. 4. Zusammenhang zwischen eektrischer Leitfähigkeit und Wärmeeitfähigkeit Die eektrische Leitfähigkeit eines Körpers wird durch die Anzah der freien Eektronen bestimmt. Metaatome werden im Festkörper durch eine besondere Bindungsart, die metaische Bindung, zusammengehaten. Bei dieser Bindung geben die Metaatome ihre Vaenzeektronen (d. h. die Eektronen der äußeren Eektronenschae) ab, d. h. diese Eektronen sind nicht mehr an ein speziees Metaatom gebunden. Deshab besitzen die Metae eine hohe Anzah freier Eektronen und daher auch eine hohe eektrische Leitfähigkeit. Wärmeeitung erfogt in Festkörpern durch Gitterschwingungen und durch Eektronen. In Metaen überwiegt bei Raumtemperatur der eektronische Antei der Wärmeeitung. Daher sind bei Metaen die Eektronen sowoh für die eektrische as auch für die Wärmeeitung verantwortich. Der Zusammenhang zwischen der Wärmeeitfähigkeit und der eektrischen Leitfähigkeit wurde zunächst experimente as proportiona zur emperatur bestimmt: L Wiedemann-Franz-Gesetz Die Proportionaitätskonstante L heißt Lorenzzah und ist materiaunabhängig, d. h. sie sote für ae Metae geich sein. L kann theoretisch berechnet werden. Hierzu betrachtet man in einer Näherung ausschießich Eektronen, d. h. ein sogenanntes freies Eektronengas. L ergibt sich dann zu: L k 3e V K 3

4 5 Versuchsdurchführung und Auswertung 5. Bestimmung der Wärmekapazität C des Kaorimeters Die Wärmekapazität und damit bei gegebener Masse auch die spezifische und moare Wärmekapazität eines Körpers kann dadurch bestimmt werden, dass man ihm eine definierte Wärmemenge Q zuführt und die daraus resutierende emperaturerhöhung misst. Die Wärmemenge Q ist jedoch in diesem Versuch nicht direkt messbar, sondern sie wird durch ein Mischungsexperiment bestimmt. Bei einem Mischungsexperiment wird der zu untersuchende Körper (mit der emperatur und der unbekannten Wärmekapazität C ) mit einem zweiten Körper (mit der emperatur und der bekannten Wärmekapazität C ) in thermischen Kontakt gebracht. Der Körper mit der höheren emperatur wird Wärme an den Körper niedrigerer emperatur abgeben, und es wird sich eine gemeinsame Mischtemperatur einsteen. Abb. : emperaturverauf im Kaorimeter Dann git (für > ): Körper : C Q Q Körper : C Q Q Wenn keine Wärmeveruste an die auftreten, so git aufgrund der Energieerhatung: Damit fogt: Q =Q C C 4

5 5. Untersuchung des Einfusses der. Hierzu wird das Wasser im Kaorimeter mit Hife von Eiswürfen auf 0 C abgeküht. Nach Entnahme der Eiswürfe (Sieb benutzen, da sonst emperaturanstieg durch die Hände!) wird der emperaturanstieg über einen Zeitraum von 30min beobachtet. Dabei sote das Wasser ständig umgerührt werden. Die vom Wasser im Kaorimeter von der aufgenommene Wärme Q ist as Funktion der Zeit aufzutragen, dazu muss die Masse des Wassers gemessen werden. Aus diesem Graphen kann nun näherungsweise die Wärmeeistung, d. h. die zeitiche Abeitung der Wärme bestimmt werden. Hierbei ist die zuvor bestimmte Wärmekapazität des Kaorimeters zu berücksichtigen, indem man sie von der gemessenen gesamten Wärmekapazität subtrahiert. Die Wärmeeistung ist as Funktion der Wassertemperatur aufzutragen. 5.3 Bestimmung der eektrischen Leitfähigkeit. Der Metastab wird über einen Schiebewiderstand und ein Amperemeter an den Stufentrafo angeschossen. Der Spannungsabfa über den Stab wird in einer 4-Punkt Messung mit Hife eines µv- Verstärkers gemessen. Aus dem Spannungsabfa und dem Strom ergibt sich bei bekannter Stabänge der Widerstand und damit die eektrische Leitfähigkeit des Stabes. Die Spannungsmessung erfogt mit einem Mikrovotmeter: Wähen Sie an dem Gerät mit den Pfeitasten den empfindichsten Meßbereich. Die Messungen 5.3 und 5.4 sind für beide Metastäbe (Kupfer und Auminium) durchzuführen. 5.4 Bestimmung der Wärmeeitfähigkeiten. Die Enden des Metastabes werden durch zwei Wärmereservoire auf konstante emperaturen gebracht. As Reservoire dienen Kaorimeter, von denen eines mit einem Lötkoben ( 65 C) und das andere mit einem Eis-Wasser-Gemisch ( = 0 C) gefüt sind. Nachdem sich ein konstantes emperaturgefäe eingestet hat (wichtig!), wird das Eis dem Wasser entnommen und der emperaturanstieg des verbiebenen Wassers im Kaorimeter über 5min beobachtet. Hieraus assen sich nun die transportierte Wärme Q (Masse des Wassers bestimmen!) und die transportierte Wärmeeistung / wie unter. bestimmen. Dabei ist die Wärmekapazität des Kaorimeters und der Einfuss der zu berücksichtigen. Die entsprechenden Graphen sind aufzutragen. Die Wärmeeitfähigkeit ergibt sich dann aus der Wärmeeitungsgeichung. 5.5 Lorenzzah Aus den Messwerten ist die Lorenzzah L zu berechnen und mit dem theoretischen Wert zu vergeichen. 5.6 Feherabschätzung und Feherbetrachtung. Literatur Hering, Martin, Stohrer: "Physik für Ingenieure", VDI-Verag, Düssedorf Kitte: "Einführung in die Festkörperphysik", R. Odenbourg Verag, München, Wien 5

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