Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen im Fortgeschrittenenpraktikum des Physikstudiums

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1 Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen im Fortgeschrittenenpraktikum des Physikstudiums Staatsexamensarbeit in Physik von Matthias Klaus Sickmüller Referent: Prof. Dr. Hilbert νοn Löhneysen Physikalisches Institut Universität Karlsruhe (TH) März 1999

2 Inhaltsverzeichnis 1 EINLEITUNG... 3 GRUNDLAGEN ELEKTRISCHER WIDERSTAND VON METALLEN SUPRALEITUNG LEITFÄHIGKEIT VON HALBLEITERN... 1 Leitfähigkeit intrinsischer Halbleiter... 1 Leitfähigkeit extrinsischer Halbleiter VERSUCHSABLAUF AUFGABENSTELLUNG VERSUCHSAUFBAU He-Kryostat Die Proben Heizer Thermometer Supraleitende Spule Die Meßmethode VERSUCHSDURCHFÜHRUNG Abkühlen des Kryostaten Messungen AUSWERTUNG LITERATURVERZEICHNIS ANHANG WIDERSTANDSVERLAUF DES PLATINTHERMOMETERS PT100: WIDERSTANDSVERLAUF DES KOHLETHERMOMETERS: STROM-MAGNETFELDSTÄRKE ZUSAMMENHANG DER SUPRALEITENDEN SPULE:... 34

3 1 Einleitung Die Messung der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit bzw. des elektrischen Widerstands ist eine der am häufigsten verwendeten Methoden zur Charakterisierung der elektrischen Eigenschaften von Festkörpern. Obwohl sie zu den experimentell einfachsten Methoden gehört, erlaubt sie eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Ermittlung von Materialeigenschaften. In Metallen gibt zum Beispiel der Restwiderstand bei tiefen Temperaturen Aufschluß über Probenreinheit oder das mögliche Vorliegen magnetischer Störstellen. In Supraleitern läßt sich die supraleitende Übergangstemperatur und durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes der Verlauf des oberen kritischen Magnetfeldes bestimmen. In Halbleitern schließlich läßt sich in Verbindung mit der Messung des Hall-Effekts die Mobilität und Konzentration der Ladungsträger, sowie die Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband bestimmen. Der hier beschriebene Versuch soll nicht nur den Aspekt der Ermittlung der supraleitenden Übergangstemperatur Τ c behandeln, sondern außerdem den Einfluß äußerer Magnetfelder auf die Stabilität der supraleitenden Phase. Damit wird zugleich durch die im Versuchsaufbau verwendete supraleitende Magnetspule ein praktisches Anwendungsbeispiel von Supraleitern zur Erzeugung von hohen Magnetfeldern geliefert. Überdies wird die elektrische Leitfähigkeit eines Halbleiters bestimmt. Zur Einführung in die Tieftemperaturphysik wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Versuchsaufbau im Fortgeschrittenenpraktikum aufgebaut. Den Studierenden werden praktische Grundlagen zur Erzeugung und Handhabung tiefer Temperaturen vermittelt. Somit entstand ein Versuch mit dem Titel: Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen". In dieser Arbeit wird der experimentelle Aufbau sowie die im Praktikum durchzuführenden Messungen und deren Auswertung beschrieben. Als weiteres wird ein Überblick über die Theorien der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen und Halbleitern und des Phänomens der Supraleitung gegeben. 3

4 Grundlagen.1 Elektrischer Widerstand von Metallen Die elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern, insbesondere von Metallen, stellte schon sehr früh eine ihrer wichtigsten und interessantesten Eigenschaften dar. So ist es durch die experimentell leicht zu bestimmende Größe des elektrischen Widerstandes möglich, Leiter bzw. Isolatoren quantitativ zu charakterisieren. Dies in einem derart weiten Bereich von 10-8 Ω bis 10 0 Ω, wie es für keinen anderen physikalischen Parameter der Fall ist" [1]. Die Theorien hierzu wurden, wie alle physikalischen Theorien, immer wieder weiterentwickelt. Auf eine klassische Beschreibung folgten quantenmechanische Modelle (freies Elektronengas, Bloch-Welle, Bändertheorie) und die Theorien zur Supraleitung. Der elektrische Widerstand kann bereits klassisch aus einfachen Annahmen hergeleitet werden. Drude ging davon aus, daß die Elektronen in einem elektrischen Feld Ε beschleunigt werden und nach einer mittleren freien Weglänge, die vom Abstand der Gitteratome abhängig ist, an den Atomrümpfen gestreut werden. Dabei verlieren die Elektronen die aus dem elektrischen Feld aufgenommene Energie. Es stellt sich eine konstante Driftgeschwindigkeit V D ein. Aus der Bewegungsgleichung m ν τ D = ee folgt mit j = enν D e τ n = E = σe m ne τ σ = m Hierbei bezeichnet τ die Relaxationszeit und m die Masse des Elektrons. Somit konnte das Ohmsche Gesetz sehr einfach auf mikroskopischer Ebene erklärt werden. Um nun den Einfluß der Temperatur auf das Verhalten der Leitfähigkeit zu beschreiben, benötigt man eine allgemeinere Sichtweise. Da bei Metallen die Ladungsträgerkonzentration n temperaturunabhängig ist, muß man, um die Temperaturabhängigkeit des Widerstands zu erklären, lediglich das Temperaturverhalten der Relaxationszeit τ bzw. der Beweglichkeit der Elektronen µ betrachten. τ ist die Zeit, die benötigt wird, damit nach einem Abschalten des elektrischen Feldes die Impulsverteilung wieder in den Gleichgewichtszustand übergegangen ist. Ein Leitungselektron kann sowohl an den lonenrümpfen der Metallatome gestreut werden, als auch an den Gitterschwingungen (Phononenstreuung). Ein weiterer Einfluß sind Stöße an unmagnetischen Fremdatomen und strukturellen Gitterfehlern (Störstellenstreuung). Diese 4

5 Beiträge sind oft in guter Näherung voneinander unabhängig, so daß für die Gesamtstreurate τ -1 gilt: = + τ τ Ph τ St 1 1 mit τ Ph der mittleren Streurate für Phononenstreuung bzw. τ St der Streurate für Störstellenstreuung. Nicht betrachtet werden hier Streuprozesse an magnetischen Verunreinigungen, die z.b. zum Kondo-Effekt führen. In isotropen Medien kann der spezifische Widerstand ρ aus der Leitfähigkeit mit ρ=1/σ geschrieben werden als ρ = ρ ( ) + ρ st Ph T geschrieben werden. Dieser zuerst experimentell gefundene Zusammenhang ist als Matthiesensche Regel bekannt. Da die Störstellenstreuung temperaturunabhängig ist, führt dies zu einem ebenfalls temperaturunabhängigen Anteil am spezifischen Widerstand ρ st, dem sog. spezifischen Restwiderstand. Dieser temperaturunabhängige Beitrag ist bei sehr niedrigen Temperaturen, bei denen der Anteil der Phononenstreuung näherungsweise Null ist, zu erkennen. Wie sieht nun die Temperaturabhängigkeit der Streuung an Phononen aus? Für die Phononenstreuung kann man den Streuquerschnitt für Streuung an einem Phonon als proportional r s q des betreffenden Phonons mit zum mittleren Quadrat der Schwingungsamplitude ( ) Wellenvektor q r ansetzen []. Im klassischen Grenzfall höherer Temperaturen, d.h. Τ» Θ ergibt sich: r Mω q s = ( q) k T B Hierbei bezeichnet Μ die Masse der Atomrümpfe, ω ρ die Phononenfrequenz und Θ die Debye- Temperatur. (Die Debye-Temperatur Θ bezeichnet diejenige Temperatur, ab der alle möglichen Zustände gerade besetzt sind). Somit folgt 1 τ Ph ~ s r kt ( q) ~ Mω q Ersetzt man die Phononenfrequenz ω q durch die Debyesche Abschneidefrequenz ω D = k B Θ / ћ, so folgt für Τ» Θ: τ Ph ~ MΘ T bzw. ρ ~ T. 5

6 Für Temperaturen Τ < Θ nimmt die Anregung von Phononen stark ab. In einer exakten Theorie konnte Grüneisen [3] einen für alle Metalle universellen Ausdruck für den spezifischen Widerstand p Ph infolge von Phononenstreuung angeben ρ Ph ( T ) = A( T Θ ) Θ T 5 0 x 5 dx x x ( e 1)( 1 e ) der für tiefe Temperaturen (Θ/Τ -> ) wie Τ 5 mit der Temperatur geht. Die drei wesentlichen Temperaturbereiche des Restwiderstands, des T 5 -Zusammenhangs sowie den linearen Anstieg des Widerstands bei höheren Temperaturen sind sehr gut im Experiment zu beobachten (siehe dazu Kapitel 5). Aus der Matthiesenschen Regel folgt für den gemessenen Widerstand R: R = R Rest + R T (Τ) wobei bei Supraleitern derjenige Wert als Restwiderstand angesehen wird, der direkt oberhalb der Sprungtemperatur gemessen wird. Für R T gilt nach Grüneisen-Borelius [3] folgender Zusammenhang: R T R Θ Θ = 1,17 T 0, 17 R Θ wobei Θ die Debye-Temperatur bezeichnet. Damit erlaubt eine Messung von R T die Bestimmung der Debye-Temperatur Θ. 6

7 . Supraleitung Bei der Supraleitung, die experimentell 1908 von Heike Kamerlingh Onnes ( ) an Quecksilber entdeckt wurde, vermutete man schon sehr bald, daß es sich aufgrund der auffallenden Änderung der elektrischen Leitfähigkeit, um einen Ordnungsvorgang im System der Leitungselektronen handelt. Es mußte also eine Wechselwirkung gefunden werden, die ungeachtet der hohen Energien der Elektronen (einige ev, was einer mittleren thermischen Energie k B T von etwa Grad entspricht) zu einer Ordnung im System führen konnte" [4]. Eine anziehende Wechselwirkung der Elektronen wurde 1950/51 von Fröhlich und Bardeen theoretisch beschrieben, als eine indirekte Wechselwirkung der Leitungselektronen über die Gitterschwingungen des Atomgitters, d.h. eine Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Hieraus formulierten Bardeen, Cooper und Schrieffer 1957 eine mikroskopische Theorie der Supraleitung. Bekannt ist diese unter der Abkürzung BCS-Theorie". Betrachtet man vereinfacht zwei Elektronen im Atomgitter, deren Atomrümpfe aus ihrer Ruhelage ausgelenkt werden können und bei endlichen Temperaturen Schwingungen ausführen, so werden diese positiven Rümpfe durch das erste Elektron angezogen. Man sagt: Das Gitter wird durch die negative Ladung polarisiert [4]. Das zweite Elektron kann die durch das erste hervorgerufene Polarisation spüren und erfährt somit eine Anziehung in Richtung des Ersten. Somit kann eine indirekte anziehende Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen stattfinden. Abb. 0. Zur Polarisation des Gitters der Atomrümpfe durch die Elektronen. Cooper konnte als erster zeigen, daß die Korrelation zweier solcher Elektronen mit entgegengesetzten, gleich großen Impulsen und entgegengesetzten Eigendrehimpulsen (Spin) zu einer Absenkung der Gesamtenergie führen. Ein sogenanntes Cooper-Paar" läßt sich schreiben als: r r Cooper-Paar: { p, p } 7

8 Der Gesamtimpuls eines solchen Paares ist selbstverständlich gleich Null. Betrachtet man diesen Vorgang der Anziehung als Austauschwechselwirkung, so stellen die Phononen (elementare Schwingungsformen des Atomgitters) die Austauschteilchen dar. Diese haben eine wohl definierte Energie. Ihr Impuls beträgt p r r r = hk, wobei k = π / λ, h = h / π. Man spricht auch von einer Elektron-Elektron-Wechselwirkung via Phononen [4], wobei diese auch als virtuelle Phononen" bezeichnet werden, da sie lediglich während des Austauschs von einem Elektron zum anderen existieren. Dadurch ist natürlich noch nicht das Phänomen der Supraleitung erklärt. Der entscheidende Schritt zum Verständnis des vollständig veränderten Leitungsverhaltens beim Eintritt in die supraleitende Phase ist die Forderung, daß alle die oben beschriebenen Cooper- Paare nicht unabhängig voneinander, sonder starr korreliert sind. Und zwar in der Weise, daß alle Paare einen einzigen quantenmechanischen Zustand besetzten. Da jedes einzelne Cooper-Paar den Impuls p = 0 hat, ist somit auch der Gesamtimpuls gleich Null. Diese Korrelation geschieht über Abstände der sog. BCS-Korrelationslänge ξ BCS, typisch einige 100Å. Legt man nun an ein so beschaffenes System von Ladungsträgern ein äußeres elektrisches Feld an, so werden diese beschleunigt und erhalten somit einen Impuls, der, da alle Paare im gleichen Zustand sein müssen, für alle Paare gleich ist. Unsere Forderung verbietet also, daß ein Cooper- Paar allein durch Wechselwirkung mit dem Gitter Impuls austauscht. Dies bedeutet aber nichts anderes als die Existenz eines widerstandslosen Ladungstransports durch das Gitter [4]. Die Forderung, nach der alle Cooper-Paare den gleichen Zustand besetzen, erscheint zunächst willkürlich und widerspricht sogar dem sog. Pauliprinzip, nach dem Teilchen mit halbzahligen Spin (Fermionen, wozu auch Elektronen zählen) der Fermi-Statistik gehorchen und jeden Quantenzustand nur einmal besetzen dürfen. Jedoch handelt es sich bei den Cooper-Paaren nicht mehr um einzelne Elektronen, sondern um Elektronenpaare. Diese besitzen einen Gesamtimpuls von Null (geradzahlig), sind somit also Bosonen und unterliegen der sog. Bose-Einstein-Statistik, was zur Folge hat, daß ein bereits besetzter Zustand wieder besetzt wird, und zwar um so wahrscheinlicher, je häufiger er bereits besetzt ist. Die Stabilität dieses Teilchens ist natürlich nicht unbegrenzt. Soll ein einzelnes Paar aufgebrochen werden, so ist hierfür die Bindungsenergie der Paarkorrelation erforderlich. Wird der gemeinsame Impuls der Cooper-Paare gesteigert, erreicht man einen kritischen Wert, bei dem die aus dem elektrischen Feld aufgenommene Energie dieser Bindungsenergie entspricht. Oberhalb dieses kritischen Impulses (der gleichbedeutend mit einer kritischen Stromdichte ist) setzt die Wechselwirkung mit dem Gitter wieder ein - der Supraleiter geht in den normalleitenden Zustand über. Der hier gegebene Überblick über die BCS-Theorie ist natürlich unvollständig. Für eine weitergehende Behandlung wird auf die angegebene Literatur verwiesen. Aus der oben erwähnten Existenz einer kritischen Stromdichte folgt unmittelbar die eines kritischen Magnetfeldes. Da durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes im Supraleiter (R=0!) 8

9 Dauerströme induziert werden, kann auch bei einer Erhöhung der Magnetfeldstärke ein kritischer Strom erreicht werden, der den supraleitenden Zustand zerstört. Diese Dauerströme bewirken, daß das äußere Feld nicht in das Innere der Probe eindringen kann, dieser Effekt wird Meissner- Ochsenfeld-Effekt genannt, bzw. Meissner-Phase. Von der Meissner-Phase sprechen wir immer dann, wenn das Magnetfeld aus einem Supraleiter bis auf eine dünne Oberflächenschicht der Dicke λ verdrängt wird. Bei manchen Supraleitern gibt es bei höheren Feldern eine zusätzliche Phase, die sogenannte Shubnikov-Phase. In diesem Zustand dringt das Feld in Flußschläuchen, sog. Vortices ein. Man unterscheidet daher die folgenden zwei Arten von Supraleitern: [4] 1. Supraleiter 1. Art" zeigen bis zu einem kritischem Feld B cth den Meissner-Effekt.. Supraleiter. Art" zeigen bei genügend kleinen Feldern Β < Β c1 den Meissner-Effekt, gehen aber für Felder Β c1 < Β < Β c (Β c >Β cth ) in die Shubnikov-Phase über. Um dies besser zu verstehen, soll folgendes betrachtet werden: Die Dauer- oder Abschirmströme, die das äußere Magnetfeld im Innern des Supraleiters kompensieren, geben dem Leiter ein magnetisches Moment m r r (bzw. eine Magnetisierung M m r = V, V ist dabei das Volumen der Probe). Diese Magnetisierung entspricht der eines idealen Diamagneten mit der Suszeptibilität μ0m χ = = 1 B. Der Unterschied der oben beschriebenen Supraleiterarten 1 und wird besonders deutlich, betrachtet man die jeweiligen Magnetisierungen als Funktion eines äußeren Magnetfeldes B a. Eine gleichwertige Aussage liefert selbstverständlich die Betrachtung des Magnetfeldes im Inneren des Supraleiters in Abhängigkeit von B a. So kann aus dem oben abgebildeten Verlauf (Abb.l-1) ersehen werden, daß bei einem Supraleiter 1. Art das Magnetfeld im Inneren durch den Abschirmstrom bis zum Erreichen eines kritischen 9

10 Feldes Β c gleich Null ist. Dies gilt natürlich nicht exakt bis zur Oberfläche der Probe, was bedeuten würde, daß das Magnetfeld an dieser Stelle unstetig vom Wert Β a auf Null springen würde. Die Abschirmströme fließen in einer dünnen Oberflächenschicht der Dicke λ (Londonsche Eindringtiefe). Anders verhalten sich Supraleiter. Art. Bei steigendem Magnetfeld zeigt auch dieser zuerst eine völlige Verdrängung im Inneren. Bei einem Wert Β c1 beginnt allerdings das äußere Feld einzudringen, wodurch die Magnetisierung des Supraleiters bei weiterer Erhöhung der Feldstärke monoton abfällt, bis sie bei einem Wert Β c schließlich gleich Null ist. Hierbei werden B c1 und Β c auch als das obere und untere kritische Feld bezeichnet. Eine phänomenologische Beschreibung der Beziehungen zwischen den Feldern Β c1, Β c und Β cth liefert die sogenannte GLAG-Theorie (benannt nach den Wissenschaftlern, die diese Theorie entwickelten: Ginsburg, Landau, Abrikosov und Gorkov). Hierbei spielen die Begriffe der Eindringtiefe λ und der Kohärenzlänge ξ GL, eine wesentliche Rolle. Wie oben bereits erwähnt kann das Magnetfeld nicht unstetig an der Probenoberfläche auf Null abfallen, da sonst eine unendlich hohe Stromdichte an der Oberfläche erforderlich wäre. Als Eindringtiefe λ wird nun die Länge bezeichnet, bei der das Magnetfeld auf den e-ten Teil abfällt. Die experimentell beobachtete Temperaturabhängigkeit wird sehr gut angenähert durch: [4] λ λ ( T ) ( 0) = 1 T T c 4 1 Die sog. Ginsburg-Landau Kohärenzlänge ξ GL hingegen beschreibt eine charakteristische Länge, die als minimale Länge auf der die Cooper-Paar-Dichte räumlich variieren kann, betrachtet werden kann. Das obere kritische Feld Β c läßt sich dadurch schreiben als B ( T ) = 0 c GL πξ Hierbei kann πξ ( T ) als minimale Kreisfläche mit dem Radius ( T ) Gl durch die ein Flußquant Φ 0 =, Vs [5] fließt. Weiter folgt aus ξ GL ( T ) Φ ( T ) 0 ξgl = 1 T T c ξ GL betrachtet werden, eine lineare Temperaturabhängigkeit B c Φ 0 ( T ) = ( 1 T T ) πξ (0) GL c 10

11 Nahe der Sprungtemperatur ergibt sich aus der Steigung db dt c Tc Φ = πξ 0 ( ) = : S 0 GL T c die Kohärenzlänge ξ ( ) Φ [ ] GL = π S T c ( 0) Die Kohärenzlänge ξ ist mit der mittleren freien Weglänge l für Niob im Grenzfall l«ξ BCS verknüpft. [1] GL ξ ( 0) = 39nm l GL Der Zusammenhang zwischen dem oberen kritischen Feld eines Supraleiters. Art mit dem thermodynamischen kritischen Feld des entsprechenden Supraleiters (siehe Abbildung 1-1 oben) stellt sich in der GLAG-Theorie folgendermaßen dar: B = κ c B cth Mann nennt den Parameter κ den Ginsburg-Landau-Parameter. λ κ = ξ GL Er charakterisiert somit den Typ des Supraleiters, 1. Art κ < 1,. Art κ > 1. Stellt man die kritischen Felder als Funktion der Temperatur dar ergibt sich folgendes typisches Phasendiagramm eines Supraleiters. Art (siehe z.b. [4]). Den Eintritt in die supraleitende Phase, der mit der im Versuch angewandten Widerstandsmessung beobachtet wird, entspricht dem in die Shubnikov-Phase beim oberen kritischen Feld Β c, da der Widerstand Null wird, sobald sich ein supraleitender Pfad in der Probe ausgebildet hat. Das untere kritische Feld Β c1 kann z.b. durch Magnetisierungsmessungen bestimmt werden. ξ GL kann durch eine große Störstellenstreuung, d.h. Verkleinerung der mittleren freien Weglänge, verkürzt werden. Deshalb sind Supraleiter aus Legierungen meist Typ. Art, wohingegen die meisten Elemente (Pb, In, Α1) 1. Art sind. Eine Ausnahme bildet z.b. Nb, daß an der Grenze zum 1 Typ. Art steht, κ 1 in wenig gestörten Proben. 11

12 Außer acht gelassen wird bei diesen Überlegungen, daß eine Bewegung der Flußschläuche zu Dissipation führen kann, wodurch sich ein Widerstand R 0 auch im supraleitenden Zustand ergibt..3 Leitfähigkeit von Halbleitern Das Verhalten der elektrischen Leitfähigkeit eines Halbleiters unterscheidet sich wesentlich von dem eines Metalls. Bei einer Betrachtung der elektronischen Eigenschaften von Halbleitern müssen diese jedoch zuerst genauer spezifiziert werden. Als intrinsisch werden reine Halbleiter bezeichnet (z.b. reines Silizium), im Unterschied zu extrinsischen, die größere Mengen von Fremdatomen enthalten. Eine solche Verschmutzung" beeinflußt das elektrische Verhalten wie wir sehen werden sehr stark. Leitfähigkeit intrinsischer Halbleiter Das Bänderschema eines intrinsischen Halbleiters ist (bei Τ=0) durch ein vollbesetztes Valenzband und ein leeres Leitungsband charakterisiert. Die dazwischen liegende Bandlücke beträgt bei Silizium ca. 1,1 ev. Bei endlichen Temperaturen besteht immer eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit, daß einige Elektronen aufgrund ihrer thermischen Energie k B T ins Leitungsband springen" [1]. Die dafür notwendige Energie kann auch durch Absorption eines Photons erbracht werden (optische Eigenschaften von Halbleitern, siehe z.b. [1]). Die angeregten Elektronen, die sich dadurch im Leitungsband befinden, hinterlassen sog. Löcher" im Valenzband. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Elektron-Loch-Paaren. Wird nun ein äußeres elektrisches Feld angelegt, so werden Elektronen und Löcher in entgegengesetzter Richtung beschleunigt. Somit liefern beide Ladungsträgerarten einen Beitrag 1

13 zur Leitfähigkeit, wobei sich die unterschiedlichen Ladungen und die entgegengesetzten Richtungen kompensieren, so daß beide zum Stromfluß beitragen [1]. Die gesamte Leitfähigkeit kann somit als Produkt der Einzelleitfähigkeiten der Elektronen (e) und der Löcher (h hole") aufgefaßt werden. σ = σ + σ ges e h bzw. ges i ( μ μ ) σ = n e + e h wobei n i ; die Dichte der Elektronen bzw. Löcher pro Einheitsvolumen und μ i ; die entsprechenden Beweglichkeiten bezeichnet. Die Dichte der Elektronen erhält man aus der Fermi-Dirac- Verteilung, die unter der Annahme kleiner Dichte und Ε C - Ε F» k B in die Bolzmann-Verteilung übergeht: 3 n = Const T exp [ ( E E ) kt ] c F wobei Ε F die Fermienergie und Ε C die obere Leitungsbandkante bezeichnet. Mit der Beziehung Ε C - Ε F Ε g / für einen intrinsischen Halbleiter (Ε g : Bandlücke siehe oben) d.h. Ε F liegt etwa in der Mitte der Lücke, ergibt sich für die Ladungsträgerdichte bzw. die Leitfähigkeit aufgrund der Elektron-Loch-Paare: n i = Const T 3 Eg exp kt σ = Const e i ( + ) 3 g μ μ T exp e h E kt Somit resultiert die Temperaturabhängigkeit von σ i ; aus den Temperaturabhängigkeiten der Übergänge von Elektronen ins Leitungsband und der temperaturabhängigen Beweglichkeiten. Für letztere erwartet man einen Zusammenhang der Form µ ~ T -3/, für Phononenstreuung. Diese Temperaturabhängigkeit wird aber bei intrinsischen Halbleitern von iner expotentiellen n(t)- Abhängigkeit überlagert. Dies führt schließlich zu der folgenden Form der Leitfähigkeit intrinsischer Halbleiter: Eg σ i = Ci exp kt Das bedeutet, daß sich σ i ; bei steigenden Temperaturen asymptotisch an C i ; annähert. 13

14 Leitfähigkeit extrinsischer Halbleiter Durch Zugabe kleiner Mengen geeigneter Fremdatome kann die Leitfähigkeit eines Halbleiters stark erhöht werden. Dabei werden zu den Halbleiterelementen der IV. Hauptgruppe (Silizium und Germanium) entweder Elemente der ΙΙΙ. Hauptgruppe (z.b. Bor, Indium) oder Elemente der V. Hauptgruppe (z.b. Arsen, Phosphor) beigegeben. Als n-dotierte oder n-leitende Halbleiter werden hierbei jene benannt, bei denen fünfwertige Elemente ( Donatoren") eingebaut wurden. Dabei nehmen vier der Außenelektronen an der kovalenten Bindung des Siliziumkristalls teil und das fünfte bleibt schwach am Fremdatom gebunden. Diese schwach gebundenen Elektronen liegen im Bandschema sehr dicht unterhalb des Leitungsbands (in den sogenannten Donatoren-Niveaus). Durch Zuführung der Energie Ε α kann ein solches Elektron an das Leitungsband abgegeben werden. Dies geschieht bereits bei geringer thermischer Anregung (bei Si:P Ε d 0,045eV). Bei sogenannten p-dotierten (oder p-leitenden) Halbleitern werden dreiwertige Fremdatome ( Akzeptoren") eingebaut, was dazu führt, daß bei der Bindung im Kristall eine Leerstelle entsteht. Diese ist an den Akzeptor gebunden und darf somit nicht mit einem Loch (siehe oben) verwechselt werden. Die Akzeptoren-Niveaus liegen nun im Bandschema sehr dicht oberhalb des Valenzbandes. Durch Aufbringung der Energie Ε a kann nun das Akzeptorniveau Elektronen aus dem Valenzband aufnehmen, wodurch das Fremdatom ionisiert wird und als negative Störstelle zurückbleibt. Dies geschieht ebenfalls bereits durch geringe thermische Anregung (für Bor in Silizium ist Ε a = 0, 036 ev). Daher muß nun bei der Beschreibung der Leitfähigkeit im Gegensatz zum intrinsischen Halbleiter noch der Einfluß angeregter Ladungsträger aus den Störstellen hinzukommen. Für die Beweglichkeit gilt zum einen μ ~ T 3 als Beitrag durch Phononenstreuung bei hohen Temperaturen, sowie 3 μ ~ T als Beitrag durch Streuung an geladenen Störstellen bei niedrigen Temperaturen. Insgesamt ergibt sich für σ = enµ ein kompliziertes Temperaturverhalten. 14

15 Die vollständige Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerdichte soll hier am Beispiel eines n-dotierten Halbleiters erläutert werden. Das folgende Bild zeigt die Elektronendichte im Leitungsband und die Lage des Fermi-Niveaus als Funktion der reziproken Temperatur [8, 11]: Abb. : Elektronendichte im Leitungsband eines n-halbleiter (oben) und Lage des Fermi-Niveaus (unten) als Funktion der reziproken Temperatur. α- Bereich sehr tiefer Temperaturen: Lage des Fermi-Niveaus durch Störstellen (Donatoren) bestimmt, Ladungsträgerdichte nimmt exponentiell mit steigender Temperatur, d.h. abnehmender T -1, zu. β Bereich tiefer Temperaturen: Fermi-Niveau etwa in der Mitte zwischen Leitungsband und Donatoren-Niveau (E D ), Anstieg der Leitungselektronendichte verringert sich um den Faktor. γ Raumtemperatur Bereich: Man spricht hier vom Erschöpfungszustand, da alle Störstellen ionisiert sind. δ Bereich hoher Temperaturen: Verhalten wie ein intrinsischer Halbleiter (Eigenleitung). 15

16 3 Versuchsablauf 3.1 Aufgabenstellung In diesem Versuch soll sowohl das Temperaturverhalten des elektrischen Widerstandes von Metallen und Halbleitern als auch der Einfluß eines äußeren Magnetfelds auf den Widerstand eines Normalleiters und auf die supraleitende Phase untersucht werden. 1. Messung der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Widerstände von Kupfer, Niob und Silizium im Bereich 4Κ - 300Κ.. Messung des supraleitenden Übergangs von Nb. Bestimmung der Sprungtemperatur Τ C ohne äußeres Magnetfeld und in Abhängigkeit des äußeren Feldes. 16

17 3. Versuchsaufbau Der Aufbau besteht aus den Komponenten Kryostat mit Pumpsystem, Probentank mit Thermometern, Proben, supraleitendem Magnet und elektronischer Meßeinheit (Stromquellen, Voltmeter) He-Kryostat Der Kryostat (Abb. 3, 4) setzt sich aus einem doppelwandigen äußeren Glasdewar zur Aufnahme von flüssigem Stickstoff und einem doppelwandigen, inneren Glasdewar zusammen. Der innere Dewar wird mit flüssigem Helium gefüllt und enthält die Probenkammer mit Magnetspule. Den oberen Abschluß des Heliumdewars bildet ein Glas-Metallübergang (Firma Larson) an den ein Edelstahldeckel angeschweißt ist. Von diesem aus verzweigt sich die Heliumrückleitung, der Anschluß der Spulenzuleitung, das Ventil zur Probenkammer, ein Pirani-Meßröhre für den Probenkammerdruck sowie die Buchse für die elektrischen Meßleitungen. Hier befindet sich auch der Einlaß für den Helium-Heber. Zur Evakuierung und Spülung des inneren Dewars, sowie zum Pumpen am Heliumbad und zur Verbindung mit dem Helium-Rückgewinnungssystem ist der Kryostat mit dem schematisch dargestellten Pumpenstand verbunden. 17

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21 Im inneren Dewar befindet sich der Edelstahl-Probenbecher. Dieser ist mit einer Indium- Drahtdichtung He-dicht verschlossen und kann zur thermischen Entkopplung des Probenhalters vom Heliumbad (Τ = 4,Κ) über das Edelstahlrohr evakuiert werden. Um die Wärmeeinstrahlung über das Edelstahlrohr in den Probenbecher möglichst gering zu halten wurde das Rohr am unteren Ende mit einem Knick versehen. Zusätzlich sind am Rohr zwei Kupfer-Wärmeschilde angebracht. Die Zuleitungsdrähte für die Proben, die Thermometer sowie den Heizer befinden sich im Inneren des Edelstahlrohrs. Dabei handelt es sich um Manganindrähte mit einem Durchmesser von 80 μm. Μanganin wurde wegen seiner, im Vergleich zu Kupfer, schlechten Wärmeleitung verwendet, was wiederum den Wärmeeintrag in die Probenkammer vermindert. Die Zuleitung der Spule liegt außerhalb des Rohrs und besteht bis zum Anschluß an den NbTi- Draht, der sich ca. 10 cm oberhalb des Probenkammerdeckels befindet, aus flexiblen Kupferleitungen mit einer Querschnittsfläche von,5 mm. Der Probenhalter (Abb. 5 und 6) besteht aus Cu-Vollmaterial, was ein thermisches Gleichgewicht zwischen Probe, Heizer und Thermometer gewährleistet. Um eine schwache thermische Ankopplung an den Probenbecher und damit an das Heliumbad zu haben wurde zwischen dem Edelstahldeckel des Probenbechers und dem Probenhalter ein Kupferbügel als sog. weak-link" angebracht (siehe Abb. 5). Der Durchmesser des Kupferbügels beträgt 1 mm. 1

22 3.. Die Proben Verwendet werden folgende drei Proben: a) Die Kupferprobe wurde aus einem isolierten Draht mit 0,1 mm Durchmesser angefertigt, der auf einen 3 mm dicken Kupferzylinder aufgewickelt wurde. Der spezifische Widerstand bei 91 Κ wird in der Literatur [6] mit ρ = 0, Ωm angegeben. Die Kontakte für die 4-Punkt-Messung (siehe 3.6) wurden an den Drahtenden angelötet. b) Die in Abb. 6 gezeigte Niobprobe besteht aus einem ca. 13,5 cm langen isolierten Nb- Draht. Laut Herstellerangaben (Alfa, Karlsruhe) beträgt der Kerndurchmesser 0,05 mm und die Dicke der Isolierschicht 0,03 mm. Der Draht wurde auf einen 3 mm dicken Kupferträger aufgewickelt. Die Kontakte für die 4-Punkt-Messung (siehe 3.6) wurden an den Drahtenden gelötet. Folgende Angaben über Sprungtemperatur und kritisches Magnetfeld sind Literaturwerte [7]: Sprungtemperatur: Τ c = 9, Κ Oberes kritisches Magnetfeld bei Τ = 0 Κ: Β c (0) = 0,198 Τ WICHTIG: Die in Abb. 6 gezeigte Niobprobe wurde zwischenzeitlich ausgetauscht gegen eine aufgedampfte Niobschicht mit den Abmessungen: BxLxD = 0,9 mm x 8 mm x 40 nm c) Bei der Halbleiterprobe handelt es sich um Ρ-dotiertes (n-leitendes) Silizium (Si:P). Die Konzentration beträgt n, cm -3. Die Kontakte bestehen aus Golddrähten, die an die Probe mit Leitsilber geklebt wurden. Anordnung der Kontakte und Abmessungen siehe Abb. 7. Die Siliziumprobe wurde auf Kaptonfolie aufgeklebt, um sie gegen den Probenhalter elektrisch zu isolieren Heizer Für den Heizer (siehe Abb. 5) wird ein Dehnungsmessstreifen verwendet. Der Widerstand des Heizers beträgt bei Raumtemperatur 350 Ω. Er wird mit Hilfe eines Heizreglers betrieben, der speziell hierfür in der elektrischen Werkstatt angefertigt wurde. Dieser Heizregler besteht aus

23 einem Proportionalregler und einem vorgeschalteten Kompensator, der die Spannung des Kohlethermometers mit einem vorgegebenen Sollwert vergleich (siehe Abb. 8) Thermometer Bei der Temperaturmessung kommt, wie bei der supraleitenden Spule, eine Eigenschaft zum tragen, die selbst Gegenstand des Versuches ist: Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes. Nach Messung des Temperaturverlaufs R(Τ) kann demnach aus der Bestimmung des Widerstands die zugehörige Temperatur bestimmt werden. Diese Kalibrierung ist an den vorhandenen Widerstandsthermometern vorgenommen worden. Die Tabelle der Eichpunkte ist im Anhang wiedergegeben. Zur Messung über Κ werden die unten beschriebenen Platin- bzw. Kohlethermometer verwendet. Das Platinthermometer (Pt100) besitzt bei Raumtemperatur einen Widerstand von ungefähr 100 Ω und verhält sich im Wesentlichen bis ungefähr 50 Κ linear (siehe Abb. 9, vgl. Widerstandsverlauf von Metallen, Kapitel.1). Um beliebige Zwischenwerte auszuwerten, empfiehlt sich folgende lineare Interpolation. Im linearen Bereich (Τ > 60 Κ) Werte der linearen Regression: A B 1 1 = = ( K ) = A B ( Ω) T + 1 1R ( ± ) K (. 353± ) K Ω Im Bereich von 30 Κ - 60 Κ: 3 ( K ) = A + B R + C R D R R Ω T + in 3

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