Elektrische Leitfähigkeit für zufällige Schrödinger-Operatoren

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Elektrische Leitfähigkeit für zufällige Schrödinger-Operatoren"

Transkript

1 Elektrische Leitfähigkeit für zufällige Schrödinger-Operatoren Peter Müller LMU München

2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Zufällige Schrödinger-Operatoren 3 2 Physikalische Heuristik zur elektrischen Leitfähigkeit 9 3 Nicht-kommutative L p -Räume ergodischer Operatoren 13 4 Lineare Antworttheorie in L p (K) 19 1

4 2 INHALTSVERZEICHNIS

5 KAPITEL 1 Zufällige Schrödinger-Operatoren Literatur: W.Kirsch, Random Schrödinger operators: A course in Lecture Notes in Physics, vol. 345, Springer 1989 L.Pastor, A.Figotin, Spectra of random and almost-periodic operators, Springer 1992 R.Carmona, J.Lacroix, Spectral theory of random Schrödinger operators, Birkhäuser 1990 P.Stollmann, Caught by disorder: Bounded states in random media, Birkhäuser 2001 W.Kirsch, An invitation to random Schrödinger operators, arxiv: Ziel: Elektrische Eigenschaften ungeordneter Materialien, z.b. Legierungen, dotierte Halbleiter Abbildung 1.1: irregulärer atomarer Festkörper 3

6 4 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN Modellbildung: Keine Wechselwirkung zwischen den Elektronen 1- Elektronen Hamilton-Operator: kinetische Energie + potetielle Energie } {{ } zufälliges Potential Dies ist das einfachste Modell (Anderson, 1958). 1.1 Definition Sei P 0 ein bezüglich des Lebesgue-Maßes absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß auf R mit dp 0 L (R) und kompaktem Träger. sei dν Ω := R Zd, d N, P := Z dp 0. Für ω = (ω x ) x Z d Ω und λ > 0 sei H ω := +λv ω auf l 2 (Z d ) ( ψ)(x) := y Zd x y =1 ψ(y) ψ l 2 (Z d ) (V ω ψ)(x) := ω x ψ(x) x Z d. Dies ist der sogenannte Hamilton-Operator des Anderson-Modells. 1.2 Bemerkung (i) (ω x ) x Z d kanonisch realisierte i.i.d. Zufallsvariablen (ii) = ( ) beschränkter selbstadjungierter Operator auf l 2 (Z d ). spec( ) = spec ac ( ) = [ 2d,2d] V ω beschränkter selbstadjungierter Multiplikationsoperatorinl 2 (Z d )für P-fast alle ω Ω, da suppp 0 kompakt ist. (iii) Wir haben drei Modellparameter: λ, d und dp 0 dν (a) H : ω H ω ist eine operatorwertige Zufallsvariable 1.3 Definition (und Lemma) H ergodisch (bezüglich Z d -Translationen) Für y Z d sei τ y : Ω Ω, ω τ y ω = (ω x+y ) x und U y : l 2 (Z d ) l 2 (Z d ), ψ u y ψ := ψ( y) (unitärer Verschiebungsoperator). Dann gilt (Beweis: Übung!) H τyω = U y Hω U y y Z d ω Ω. 1.4 Bemerkung (τ y ) y Z d ist Gruppe ergodischer Schifts auf Ω, das heißt gilt für eine Zufallsvariable X auf Ω X τ y = X y Z d, so folgt X = const. P-fast sicher.

7 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN Satz (Nicht-Zufälligkeit des Spektrums) Es existiert S x R kompakt, sodass spec x (H ω ) = S für P-fast alle ω Ω. Hierbei ist x {ac,sc,pp}. Nebenbedingung: spec pp (A) := {Eigenwerte von A}. [ Pastor 1980, Kunz/Souillard 1980, Kirsch/Martinelli 1982] Beweis: (Grundidee) Für alle E 1 < E 2 R ist X E1,E 2 τ y = X E1,E 2 für alle y Z d, wobei ω X ω E 1,E 2 := tr χ [E1,E 2 ](H ω ) messbarer Spektralprojektor. 1.6 Satz (Lage des Spektrums) Wir haben S = [ 2d,2d] +λ supp(p } {{ } 0 ) = spec( ) {E 0 +λν : E } {{ } 0 spec( ), ν supp(p 0 )}, wobei supp(p 0 ) = [v,v + ], v < E 0 < v +. Erwartung: λ Isolator = lokal Leiter = delokal 2d 2d E Abbildung 1.2: 1.7 Definition (Bereich (vollständiger/anderson-)lokalisierung) E loc := {E S : δ,c > 0 sodass x,y Z d E( sup δ x,f(h) χ [E δ,e+δ] (H) δ y 2 ) ce x y }, f L (R): f 1 wobei, das kanonische Skalarprodukt und δ einen kanonischen Basisvektor in l 2 (Z d ) bezeichne.

8 6 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN 1.8 Bemerkung (i) Sei E E loc, I := [E δ,e+δ], f = e it, t 0, im Supremum erlaubt, ψ t := e ith χ I (H)δ 0 } {{ } ψ 0 E[sup δ x,ψ t 2 ] ce x t 0 } {{ } ψ t(x) ψ t (x) 2 q.m.w., dass dass ein Teilchen mit Anfangszustand ψ 0 (Energie I, ψ 0 (x) 2 ce x aus f 1) zur Zeit t bei x gefunden wird (dynamische Lokalisierung). (ii) Die Betonung in Definition 1.7 liegt auf f nicht glatt! Denn für alle f C (R) gilt: Für alle k N existiert c k > 0, sodass für alle x,y Z d δ x,f(h ω δ y ) c k 1+ x y k gleichmäßig in ω. [Deterministisches Ergebnis via Combes-Thomas- Abschätzung und Helffer-Sjøstrand-Formel; siehe Germinet/Klein, Proc. Amer. Math. Soc. 131, (2002)] (iii) Für µ R, T 0, E R sei χ ],µ] (E),falls T = 0 E fµ T (E) = (e (E µ)/t +1) 1,falls T 0 die Fermi-Funktion. T = µ T > 0 Abbildung 1.3: Sei T > 0 oder µ E loc. Dann folgt nach (ii): Für alle k N existiert ein c k > 0, sodass für alle x,y Z d E[ δ x,f T µ (H)δ y 2 ] c k 1+ x y k

9 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN 7 gilt. T > 0 klar; T = 0 und µ E loc ist eine Übung! Es gilt sogar exponentieller Abfall in x y für T = 0 und µ E loc [Aizenmann/Graf, J.Phys. A 32, (1998)]. 1.9 Satz (Dynamische Lokalisierung Spektrale Lokalisierung) S ac E loc = = S sc E loc ( S E loc = S pp E loc ) und für jede Eigenfunktion ψ ω E l2 (Z d ) von H ω mit Eigenwert E ω E loc gilt: lim sup x ln ψ ω E (x) x < 0 (exponentieller Abfall der Eigenfunktionen). Beweis: Verallgemeinerte Eigenfunktionen + RAGE-Theorem [siehe Kirsch 2007] 1.10 Satz (Anderson-Lokalisierung) d = 1: Für alle λ > 0 ist E loc = S d 1: (i) starke Unordnung: Es existiert ein λ 0 > 0, sodass für alle λ λ 0 : E loc = S. (ii) extreme Energien: (= nahe Bandkanten) Für alle λ > 0 existiert ein ε λ > 0 : E loc [inf(s),inf(s)+ε λ [ ]sup(s) ε λ,sup(s)]. [ Fröhlich/Spencer 1983, Aizenmann/Molchanov 1993, Germinet/Klein 2001, 2004] 1.11 Bemerkung für f.a.ω (i) E loc offen in S (nach Definition) = es existieren unendlich viele dicht liegende Eigenwerte {Ej ω } j N in E loc (beachte: {Ej ω } j N variieren in ω, während E loc unabhängig von ω). (ii) Vermutung für d 3: spektrale Delokalisierung: λ ]0,λ 0 [ und Intervall I S, sodass λ [0, λ] : S pp I = = S cc I ( S I = S ac I). (Bewiesen auf Bethe-Gitter statt Z d : Klein, 1996, Aizenmann/Warzel, Froese/Hasler/Spitze).

10 8 1. ZUFÄLLIGE SCHRÖDINGER-OPERATOREN dynamische Delokalisierung auch nicht bekannt: Zum Beispiel Diffusion: ψ 0 l 2 (Z d ) und D > 0, sodass E[ x Z d x 2 (e ith ψ 0 )(x) 2 ] t Dt. Im Folgenden: Direkte physikalische Observable zur Charakterisierung als Leiter/Isolator.

11 KAPITEL 2 Physikalische Heuristik zur elektrischen Leitfähigkeit Elektrische Leitfähigkeit: Quantifizierung der Fähigkeit eines Materials auf ein angelegtes elektrisches Feld mit einem elektrischen Strom zu reagieren. Räumlich konstantes, zeitabhängiges Feld: Abbildung 2.1: Energie: H E (t) := H +E(t) X, H hier gemäß Anderson, Operator: (X α ψ)(x) := x α ψ(x), α = 1,...,d. elektrische Stromdichte für nicht wechselwirkende, identische Elektronen: Q.m. Erwartungswert des Geschwindigkeitsoperators eines elektrons mit Fermi-Funktion J(tE) α := τ(w E (t)ẋα) (2.1) mit - Spur pro Volumen τ := E[ δ 0,( )δ 0 ] 9

12 10 2. PHYSIKALISCHE HEURISTIK ZUR ELEKTRISCHEN LEITFÄHIGKEIT - Geschwindigkeitsoperator Ẋ (nicht zufällig!) Ẋ α := i[h(t),x α ] = i[,x α ]. (Übung: (Ẋαψ)(x) = iψ(x+e α ) iψ(x e α )) - Zeitentwickelter Zustand im E-Feld aus thermodynamischem Gleichgewicht (Temperatur T 0, chemische Potential µ R) zur Zeit t = : w E (t) (zufällig!) löst das Anfangswertproblem der Liouville-von Neumann-Gleichung d dt wω E (t) = i[hω E (t),wω E ] lim t w ω E (t) = ft µ (Hω ) - in geeignetem nicht-kommutativen L p -Raum von Operatoren: Siehe nächstes Kapitel. - chemisches Potential µ codiert die Elektronendichte (Jargon für T = 0: µ = Fermi-Energie) Da (2.1) nicht berechenbar für beliebige E(t) ist (viel zu kompliziert!), beschäftigen wir uns mit der Linearen Antworttheorie: falls J(t, E) Taylorentwickelbar in E bis zur Ordnung 2 ist, so ist die erwartete Form: J(t,E) α = d β=1 t keine E 0 -Terme, da E = 0 J = 0 dt ˇσ αβ (t t )E β (t ) +O(E 2 ). } {{ } J lin (t,e) α Lineare Antwortfunktionen t ˇσ αβ (t) R - Maß wiestarkeine-felde β (t )indervergangenheit (t t Kausalität!) Stromdichte J(t,E) α in der Gegenwart beeinflusst. - wird ausschließlich durch H (hier: Anderson) bestimmt Falls E(t) = R dν eiνt σ αβ (ν)êβ(ν) [E reel Ê(ν) = Ê( ν)] J lin(t,e) α = d β=1 R dν eiνt σ αβ (ν)êβ(ν) Stromdichte in linearer Antwort. Komplexe frequenzabhängige Leitfähigkeit (Matrix mit Einträgen) ν σ αβ (ν) := 0 dt e iνt ˇσ αβ (t), ν R. } {{ } R

13 2. PHYSIKALISCHE HEURISTIK ZUR ELEKTRISCHEN LEITFÄHIGKEIT 11 In-/außerphasiger Anteil ν Re(σ αβ (ν)),gerade in ν i Im(σ αβ (ν)),ungerade in ν Zerlegung J lin (t,e) α = J in lin (t,e) α } {{ } Anteil von Re + Jlin ant (t,e) α. } {{ } Anteil von i Im in- beziehungsweise außerphasiger Anteil des linearen Antwortstroms. Interpretation: E(t) = E 0 cos(ν 0 t) (bzw. sin(ν 0 t)). Ziele: J in lin cos(ν 0 t) (bzw. sin(ν 0 t)) J ant lin sin(ν 0t) (bzw. cos(ν 0 t)) Mathematische Rechtfertigung des obigen Vorgehens Dichte σ αβ durch Spektraleigenschaften von H aus Kubo-Formel Für T = 0 und µ E loc : σ αβ (0) } {{ } = 0 α,β = 1,...,d Gleichstromleitfähigkeit

14 12 2. PHYSIKALISCHE HEURISTIK ZUR ELEKTRISCHEN LEITFÄHIGKEIT

15 KAPITEL 3 Nicht-kommutative L p -Räume ergodischer Operatoren Wir betrachten den Hilbert-Raum H = l 2 (Z d ) und die messbare Abbildung A : Ω BL(H), ω A ω, wobei BL(H) die Menge der beschränkten linearen Operatoren auf H bezeichne. Darüberhinaus ist ω ϕ,a ω ψ messbar für alle ϕ,ψ H.Essei(τ x ) x Z d einegruppeergodischer TransformationenaufΩ.Wir benötigen eine Referenz-Algebra und eine halbendliche, normale, treue Spur. 3.1 Definition (Referenz-Algebra) K := {A : Ω BL(H) messbar, ergodisch, A < }, mit A := P-essup ω Ω A Op. Analog zu 1.3 ist A τxω = U xa ω U x mit U x unitäre (projektive) Darstellung von Z d auf H. 3.2 Lemma K ist von Neumann-Algebra, das heißt -invariante, schwach abgeschlossene Unteralgebra von BL(H Ω ), wobei H Ω := Ω P (dω) H := {Ψ = (ψ ω ) ω Ω : ψ ω H für P-fast alle ω Ω, ω ψ ω messbar, Ψ,Ψ Ω < }. Φ,Ψ Ω := Ω P(dω) ϕω,ψ ω sei das zugehörige Skalarprodukt. Beweis: (Skizze) Ziel: Benutze von Neumanns Bikommutantensatz: K von Neumann-Algebra in BL(H) K = K. Hierbei bezeichnet K := {A BL(H Ω ) : [A,A] = 0 a K} die Kommutante und K := (K ) K die Bikommutante. Wir müssen zeigen, dass K K gültig ist. klar: K BL(H Ω ) [ω (AΨ) ω := A ω ψ ω messbar (zerlegbarer Operator: Diagonal in ω)] Charaktersisierung: 13

16 14 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN 3.3 Satz A BL(H Ω ) zerlegbar A M, wobei M := {M f BL(H Ω ) : f L (Ω,P)} und (M f Ψ) ω := f(ω)ψ ω [Beweis: Dixmier, Cor., p.188] A ergodisch U x A ω = A τ xω U x x Z d. Definiere Ûx BL(H Ω ) via (ÛxΨ) ω := U x ψ τ xω, also A ergodisch S U, wobei U := {Ûx : x Z d } K = M U K M U M U K K M M und K K U U, d.h K M U = K 3.4 Definition (und Lemma; Spur auf K) Sei τ : K C, A dp(ω) δ 0,A ω δ 0 =: τ(a). Dann gilt (i) τ(a) A A K, also τ K (ii) τ(a A) = τ(aa ) A K (iii) Treu: 0 A 0 τ(a) > 0 Ω (iv) Normal: Für alle beschränkten, wachsenden Netzte (A i ) i I τ(sup i I A i ) = sup i I τ(a i ). Es sei erwähnt, dass aus (i) und (ii) die Endlichkeit folgt. gilt Beweis: (i) klar! (ii) τ(a A) Parseval = τ x maßerh. = x Z d x Z d Ω Ω = τ(aa ) dp(ω) δ 0,A ω δ x δ x,a ω δ 0 dp(ω) δ 0,A ω δ x δ x,a ω δ 0

17 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN 15 (iii) Sei A 0 und 0 = τ(a) = Ω dp(ω) δ 0,A ω δ 0 } {{ } 0 0 = δ 0,A ω δ 0 für P-fast alle ω Ω x Z d δ x,a ω δ x = δ 0,Ux Aω U } {{ x δ } 0 A τxω x,y Z d δ x,a ω δ y A 0 = Cauchy-Schwarz (A ω ) δx } {{ } δ x,a ω δ y =0 = 0 ω Ω x, P(Ω x ) = 1 (A ω ) 1 2 δx,(a ω ) 1 2 δy (A ω ) δy Sei Ω := x Z d Ω x, so folgt P( Ω) = 1 und für alle ω Ω δ x,a ω δ y = 0 x,y Z d A ω = 0. (iv) Folgt aus sup i I ϕ 0,A ω i ϕ 0 = ϕ 0,sup i I A ω i ϕ 0 für P-fast alle ω. 3.5 Definition ( Nicht-kommutative L p -Räume) Für p [1, [ ist A p := τ( A p ) 1 p Norm auf K (τ treu, A := (A A) 1 2). Setze für p [1, ] 3.6 Bemerkung L p (K) := K. (i) Definition 3.5 benutzt die Endlichkeit von τ. Falls τ nur halbendlich ist, führe eine Vervollständigung bezüglich der τ-maß-topologie ein (generelles Vorgehen!). (ii) L p (K) enthält unbeschränkte Operatoren für p <. 3.7 Satz (i) L p (K)isteinBanach-Raumfürallep [1, ],insbesondereistl (K) = K. (ii) L 2 (K) ist ein Hilbert-Raum bezüglich A,B := τ(a B). (iii) Für alle p [1, ]; 1 p + 1 q = 1 und A Lp (K), B L q (K) gilt: AB,BA L 1 (K), τ(ab) = τ(ba)und τ(ab) A p B q (Hölder)

18 16 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN (iv) L (K) L p (K) L p (K) L 1 (K) für alle p > p ]1, [. Moral: Wie komm. L p -Räume mit endlichem Maß! 3.8 Definition Sei K B := {A K : R > 0, sodass δ x,aδ y = 0, falls x y > R} -Unteralbegra der endlichen Bandoperatoren. Für α {1,...,d} ist α : A i[x α,a] =: α A wohldefiniert als Abbildung von K B in sich selbst (Übung). Setze := ( 1,..., d ) 3.9 Bemerkung X α ist nicht ergodisch!!! δ x, α Aδ y = (x y) δ x,aδ y 3.10 Lemma ( Nicht-Kommutativer Sobolev-Raum) Für alle p [1, ] gilt: (i) W 1,p (K) := {A L p (K) : α A L p (K), α = 1,...,d} liegt dicht in L p (K) und ist -Derivation auf W 1,p (K). (ii) τ( A) = 0 für alle A W 1,1 (K) Beweis: (Grundidee) (i) K B liegt dicht in K bezüglich (siehe Dombrowski), K p = L p (K) K p B = L p (K) und K B W 1,p (K). -Derivation: α A = ( α A), α linear und α (AB) Rechnen = ( α A)B +A( α B) für alle A,B W 1,p (K) mit AB,( α A)B,A( α B) L p (K) (ii) klar, da X αδ0 = Bemerkung Gemäß Bemerkung 1.8(iii) ist f T µ (H) W1,p (K) p [1, [, falls T > 0 und µ E loc Definition Sei H L (K) und p [1, ]. Wir definieren den Liouville-Operator L : L p (K) L p (K), A i[h,a].

19 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN Bemerkung (i) cl BL(L p (K)) mit L 2 H (ii) Für p = 2 ist L = L auf L 2 (K) (Übung) (iii) Für alle A L p (K) und für alle B L q (K) mit = 1 gilt p q τ((la)b) = τ(a(lb)) (Übung)

20 18 3. NICHT-KOMMUTATIVE L P -RÄUME ERGODISCHER OPERATOREN

21 KAPITEL 4 Lineare Antworttheorie in L p (K) Grundvoraussetzungen: H wie in Definition 1.1 Ê (C c(r)) d, Ê( ν) = Ê(ν), E(t) := R dν eiνt Ê(ν) Für η > 0 sei F η (t) := t ds eηs E(s) adiabatische Einschalten } {{ } E η(s) Ungleichung: Da H Eη (t) = H +E η (t)x nicht beschränkt, verwende H η (t), ( H ω η(t)ψ)(x) := y Zd x y =1 für alle ψ l 2 (Z d ) und für alle x Z d. physikalisch gleichwertig: e ifη(t)(y x) ψ(y)+ω x ψ(x) i t ψ t = H ω E η (t)ψ t i t ψ t = H ω E η (t) psi t ( ) mit psi t := e ifη(t)x ψ t. H η (t) L (K) für alle t. 4.1 Satz (Yosida; Propagator für Schrödinger-Gleichung) Für P-fast alle ω Ω und für alle t,s R existiert ein U ω (t,s) BL(l 2 (Z d )) unitär, sodass U ω (t,r)u ω (r,s) = U Ω (t,s,),u ω (t,t) = 1,U ω (t,s) = (U ω (s,t)) i t Uω (t,s)ϕ = H ω η (t)uω (t,s)ϕ (also:( )) i s Uω (t,s)ϕ = U ω (t,s) H ω η (s)ϕ (t,s) U ω (t,s) stark stetig Beweis: Satz XIV.3.1 in Yosida, Func. Analysis, Bemerkung Spezialfall E(T) = 0 (also H η (t) = H): mit U (ω) 0 (t) := e ithω. U (ω) (t,s) = U (ω) 0 (t s) 19

22 20 4. LINEARE ANTWORTTHEORIE IN L P (K) 4.3 Definition (und Lemma) Für alle p [1, ], für alle A L p (K) und für alle t,s R sei Es gilt: U(t,s) BL(L p (K)) (Messbarkeit). U(t,s)A : ω U ω (t,s)a ω U ω (s,t). U(t,s) ist eine Isometrie, für p = 2 unitär. (t,s) U(t,s) stark stetig. i t U(t,s)A = [ H η (t),u(t,s)a]. i s U(t,s)A = U(t,s)([ H η (t),a]). Aus den letzten beiden Punkten folgt U(t,s) und U(t,s) liegen in t s BL(L p (K)). Analoges gilt für U 0 (t) := e itα 4.4 Satz Sei p [1, [, T > 0 oder µ E loc. Das Anfangswertproblem i t w E η (t) = [ H η (t),w Eη (t)] lim t w Eη (t) = f T µ(h) hat eine eindeutige Lösung t w(t) L p (K), wobei w Eη (t) = lim U(t,s)w 0 s = f T µ( H η (t)) t ds e ηs U(t,s)(E(s) f T µ( H η (s))). Beweis: Satz 4.1, Definition und Lemma 4.3. Explizizte form der Lösung durch Differenzieren bestätigen. Benutze H ω η (t) = eifη(t) X H ω e ifη(t) X f T µ ( H ω η (t)) = eifη(t) X f T µ (Hω )e ifη(t) X in l 2 (Z d ) f T µ ( H η (t)) = e Fη(t) (f T µ (H)) in Lp (K). 4.5 Satz Sei T > 0 oder µ E loc. Dann ist R γ J(t,γE η ) := τ(w γeη (t) H η (t))

23 4. LINEARE ANTWORTTHEORIE IN L P (K) 21 differenzierbar in γ = 0 und für alle α {1,...,d} J lin (t,e η ) α := γ γ=0 J(t,γE η ) α d ( t = τ ds e ηs E β (s) ( ) e i(t s)l β fµ T (H)) α H β=1 d = e ηt dν e iνt Ê β (ν)σ αβ (ν,η) β=1 R mit σ µ,t αβ (ν,η) := τ ( t ds ( e i(t s)(l+ν iη) β fµ(h) ) ) T α H = iτ((l+ν iη) 1 β f T µ (H)) αh adiabatisch regularisierte Leitfähigkeit. 4.6 Definition Sei T > 0 oder µ E loc, sei B R Borel. Σ µ,t αβ (B) := π α H,χ B (L) β f T µ (H) Leitfähigkeitsmaß (gerades, positives Maß!). Damit σ µ,t αβ (ν,η) = i Σ µ,t αβ π (dλ) 1 λ+ν iη. R 4.7 Satz J in lin (t,e) α := lim ηց0 = d β=1 d β=1 R R ( ) dν e iνt Ê(ν) Re σ µ,t αβ (ν,η) Σ µ,t αβ (dν) eiνt Ê(ν). Beweis: ( ) Re σ µ,t αβ (ν,η) = Σ µ,t αβ (dλ) η/π R (λ+ν) 2 +η Bemerkung (i) Ob Σ µ,t αβ absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist, ist ein offenes ( ) σ µ,t αβ (ν) = Σµ,T αβ (dν). dν Problem. Sollte dies gelten, so wäre Re

24 22 4. LINEARE ANTWORTTHEORIE IN L P (K) (ii) Definition 4.6 ist die Kubo-Formel für das Leitfähigkeitsmaß. 4.9 Satz(Gleichstromleitfähigkeit) Es sei µ E loc, so gilt lim ηց0 σµ,0 αβ (0,η) = iτ { fµ(h) [ 0 α fµ(h), 0 β fµ(h) ]} 0 = 0.

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada

Stochastische Analysis. Zufallsmatrizen. Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Stochastische Analysis für Zufallsmatrizen Roland Speicher Queen s University Kingston, Kanada Was ist eine Zufallsmatrix? Zufallsmatrix = Matrix mit zufälligen Einträgen A : Ω M N (C) Was ist eine Zufallsmatrix?

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor GNS-Konstruktion und normale Zustände 1 Rückblick Wir betrachten von-neumann-algebren M B(H), d.h. Unteralgebren mit 1 H M, die in der schwachen Operatortopologie (und damit in jeder der anderen) abgeschlossen

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens phys4.013 Page 1 8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens phys4.013 Page 2 8.6.3 Beispiel: Orts- und Impuls-Erwartungswerte für

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Christoph Bischko, Lukas Einkemmer, Dominik Steinhauser Fakultät für Mathematik, Informatik und Physik Universität Innsbruck 2. Juli, 2010 Christoph,

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Die Klein-Gordon Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber

Mehr

Stabilität mittels Ljapunov Funktion

Stabilität mittels Ljapunov Funktion Stabilität mittels Ljapunov Funktion Definition Eine C 1 Funktion V : D R, D R, heißt eine Ljapunov Funktion auf K r (0) D für f(y), falls gilt: 1) V(0) = 0, V(y) > 0 für y 0 2) V,f(y) 0 ( y, y r) Gilt

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/ Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell

Mehr

Molekularfeldtheorie (MFT)

Molekularfeldtheorie (MFT) 29.06.2006 Motivation Anwendungen der MFT MFT-Herleitung mittels Variationsansatz und Anwendung Grenzen der Anwendung der MFT Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen

Mehr

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat.

Definition:Eine meromorphe Modulform vom Gewicht k Z ist eine meromorphe. f : H C. (ii) C > 0, so daß f(z) im Bereich Im z > C keine Singularität hat. Die k/2 - Formel von Renate Vistorin Zentrales Thema dieses Vortrages ist die k/2 - Formel für meromorphe Modulformen als eine Konsequenz des Residuensatzes. Als Folgerungen werden danach einige Eigenschaften

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten: KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Die Black-Scholes-Gleichung

Die Black-Scholes-Gleichung Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

3 Elektrische Leitung

3 Elektrische Leitung 3.1 Strom und Ladungserhaltung 3 Elektrische Leitung 3.1 Strom und Ladungserhaltung Elektrischer Strom wird durch die Bewegung von Ladungsträgern hervorgerufen. Er ist definiert über die Änderung der Ladung

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Elektrischer Widerstand als Funktion der Temperatur

Elektrischer Widerstand als Funktion der Temperatur V10 Elektrischer Widerstand als Funktion der Temperatur 1. Aufgabenstellung 1.1 Messung Sie den elektrischen Widerstand vorgegebener Materialien als Funktion der Temperatur bei tiefen Temperaturen. 1.2

Mehr

Semidiskretisierung der PDA-Systeme

Semidiskretisierung der PDA-Systeme Kapitel 4 Semidisretisierung der PDA-Systeme Eine Möglicheit zur numerischen Behandlung von Anfangsrandwertproblemen partieller Differentialgleichungen ist die Linienmethode method of lines, MOL, vgl.

Mehr

Das Deckungskapital von Lebensversicherungen bei unscharf gegebener Lebensdauerverteilung

Das Deckungskapital von Lebensversicherungen bei unscharf gegebener Lebensdauerverteilung Universität Leipzig Fakultät für Mathematik und Informatik Mathematisches Institut Das Deckungskapital von Lebensversicherungen bei unscharf gegebener Lebensdauerverteilung Diplomarbeit vorgelegt von Dennis

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg

Optimierung I. 1 Einführung. Luise Blank. Wintersemester 2012/13. Universität Regensburg Universität Regensburg Wintersemester 2012/13 1 Einführung Anwendungen Finanzwirtschaft: maximale Gewinnrate unter Beschränkungen an das Risiko; Portfolio von Investments Produktion: maximiere Gewinn bei

Mehr

Jan Kallsen. Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik

Jan Kallsen. Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik Jan Kallsen Mathematical Finance Eine Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik AU zu Kiel, WS 13/14, Stand 10. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Hilfsmittel 4 1.1 Absolutstetigkeit

Mehr

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale

300 Arbeit, Energie und Potential 310 Arbeit und Leistung 320 Felder und Potentiale 300 Arbeit, Energie und Potential 30 Arbeit und Leistung 30 Felder und Potentiale um was geht es? Arten on (mechanischer) Energie Potentialbegriff Beschreibung on Systemen mittels Energie 3 potentielle

Mehr

II. Klein Gordon-Gleichung

II. Klein Gordon-Gleichung II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In

Mehr

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners 1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man

Mehr

9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen

9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen 9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen 9.1 Elektrostatische Wechselwirkungen als Beiträge erster Ordnung Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Molekülen A und B kann durch

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Einführung in die Kodierungstheorie

Einführung in die Kodierungstheorie Einführung in die Kodierungstheorie Einführung Vorgehen Beispiele Definitionen (Code, Codewort, Alphabet, Länge) Hamming-Distanz Definitionen (Äquivalenz, Coderate, ) Singleton-Schranke Lineare Codes Hamming-Gewicht

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0. 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch

Mehr

Membran- und Donnanpotentiale. (Zusammenfassung)

Membran- und Donnanpotentiale. (Zusammenfassung) Membranund Donnanpotentiale (Zusammenfassung) Inhaltsverzeichnis 1. Elektrochemische Membranen...Seite 2 2. Diffusionspotentiale...Seite 2 3. Donnanpotentiale...Seite 3 4. Zusammenhang der dargestellten

Mehr

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge

Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten

Mehr

Elektrische Leitung. Strom

Elektrische Leitung. Strom lektrische Leitung 1. Leitungsmechanismen Bändermodell 2. Ladungstransport in Festkörpern i) Temperaturabhängigkeit Leiter ii) igen- und Fremdleitung in Halbleitern iii) Stromtransport in Isolatoren iv)

Mehr

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung s s m g m g mgs = mgs s/2 mgs = const. s 2m g m g 2mgs/2 = mgs.. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung Arbeit ist Kraft mal Weg Gotthardstraße Treppe und Lift Feder Bergsteiger/Wanderer

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

Elektronen in Festkörpern

Elektronen in Festkörpern 6 Elektronen in Festkörpern Anhand des Modells des fast freien Elektronengases kann eine Anzahl wichtiger physikalischer Eigenschaften von Metallen erklärt werden. Nach diesem Modell bewegen sich die am

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen?.............................. Modellspezifikation..............................3

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine

ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine 24 ab (a wird gefunden als die Abcisse des Minimums). so erhält man eine gerade Linie. Die (:~). Kurve (verg I. Fig. 5) ist ein Parabel. Wenn nun d gröszer als a wird. wird die Kurve wieder steigen. Die

Mehr

Kapitel 7. Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung. 7.2 Die Klein-Gordon-Gleichung. 7.1 Einleitung

Kapitel 7. Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung. 7.2 Die Klein-Gordon-Gleichung. 7.1 Einleitung 10 Teilchenphysik, HS 007-SS 008, Prof. A. Rubbia ETH Zurich) 7. Die Klein-Gordon-Gleichung Kapitel 7 Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung Wir können im Prinzip die Schrödinger-Gleichung einfach erweitern.

Mehr

Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung

Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-07-20 KDD Übung Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik

Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach Mathematik Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 2000/01 Geltungsbereich: - Allgemein bildendes Gymnasium - Abendgymnasium und Kolleg - Schulfremde Prüfungsteilnehmer Schriftliche Abiturprüfung Leistungskursfach

Mehr

Physik und Chemie der Minerale

Physik und Chemie der Minerale Physik und Chemie der Minerale Phasendiagramme Mehrere Komponenten Segregation, konstitutionelle Unterkühlung Keimbildung Kinetik des Kristallwachstums Kristallzüchtung Literaturauswahl D.T.J Hurle (Hrsg.):

Mehr

194 Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Von P. E RDŐS in Budapest. Für den zuerst von T SCHEBYSCHEF bewiesenen Satz, laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

= 8.28 10 23 g = 50u. n = 1 a 3 = = 2.02 10 8 = 2.02Å. 2 a. k G = Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also

= 8.28 10 23 g = 50u. n = 1 a 3 = = 2.02 10 8 = 2.02Å. 2 a. k G = Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also Aufgabe 1 Ein reines Material habe sc-struktur und eine Dichte von 10 g/cm ; in (1,1,1) Richtung messen Sie eine Schallgeschwindigkeit (für große Wellenlängen) von 000 m/s. Außerdem messen Sie bei nicht

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

3 Konvexe Analysis. 3.1 Grundlagen

3 Konvexe Analysis. 3.1 Grundlagen 25 3 Konvee Analsis 3.1 Grundlagen Die konvee Analsis auch Konveitätstheorie genannt untersucht geometrische Eigenschaften von konveen Mengen, Funktionen und Funktionalen in linearen Räumen. Eine tpische

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Credit Risk+: Eine Einführung

Credit Risk+: Eine Einführung Credit Risk+: Eine Einführung Volkert Paulsen December 9, 2004 Abstract Credit Risk+ ist neben Credit Metrics ein verbreitetes Kreditrisikomodell, dessen Ursprung in der klassischen Risikotheorie liegt.

Mehr

Graphen. Kristin Kliemt, Carsten Neumann

Graphen. Kristin Kliemt, Carsten Neumann Graphen Kristin Kliemt, Carsten Neumann 18.01.2012 1 Gliederung Kohlenstoffmodifikationen (Diamant, Graphit, Graphen) Stabilität und Struktur Dispersionsrelation Eigenschaften und Herstellung von Graphen

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

Computer Vision: Optische Flüsse

Computer Vision: Optische Flüsse Computer Vision: Optische Flüsse D. Schlesinger TUD/INF/KI/IS Bewegungsanalyse Optischer Fluss Lokale Verfahren (Lukas-Kanade) Globale Verfahren (Horn-Schunck) (+ kontinuierliche Ansätze: mathematische

Mehr

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012 SO(2) und SO(3) Martin Schlederer 06. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Wiederholung 2 2.1 Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n)..................... 2 2.2 Erzeuger.....................................

Mehr

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen Darstellung des Zusammenhangs, Korrelation und Regression Daten liegen zu zwei metrischen Merkmalen vor: Datenpaare (x i, y i ), i = 1,..., n Beispiel: x: Anzahl

Mehr

Das Black-Scholes Marktmodell

Das Black-Scholes Marktmodell Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Die Eulersche Zahl. Halbjährliche Verzinsung: (50%=0,5)... n- malige Verzinsung:

Die Eulersche Zahl. Halbjährliche Verzinsung: (50%=0,5)... n- malige Verzinsung: 1 Die Eulersche Zahl Euler war als Mathematiker ein großer Experimentator. Er spielte mit Formeln so, wie ein Kind mit seinem Spielzeug und führte alle möglichen Substitutionen durch, bis er etwas Interessantes

Mehr

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Walter Sanddorf-Köhle Statistik und Ökonometrie Foliensatz Nr. 11 Version vom 24. Januar 2014 1 / 45 6.5.1 Bisherige Vorgehensweise zur Berechnung

Mehr

Warum gibt es Isolatoren?

Warum gibt es Isolatoren? Warum gibt es Isolatoren? Florian Gebhard arbeitsgruppe vielteilchentheorie fachbereich physik philipps-universität marburg Gliederung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40 Gliederung I.

Mehr

Codierung, Codes (variabler Länge)

Codierung, Codes (variabler Länge) Codierung, Codes (variabler Länge) A = {a, b, c,...} eine endliche Menge von Nachrichten (Quellalphabet) B = {0, 1} das Kanalalphabet Eine (binäre) Codierung ist eine injektive Abbildung Φ : A B +, falls

Mehr

Hochdisperse Metalle

Hochdisperse Metalle Hochdisperse Metalle von Prof. Dr. rer. nat. habil. Wladyslaw Romanowski Wroclaw Bearbeitet und herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. Siegfried Engels Merseburg Mit 36 Abbildungen und 7 Tabellen

Mehr

FK06 Elektrische Leitfähigkeit

FK06 Elektrische Leitfähigkeit FK06 Elektrische Leitfähigkeit in Metallen, Halbleitern und Supraleitern Vorausgesetzte Kenntnisse: Boltzmann- und Fermi-Dirac-Statistik, Bänderschema für Metalle, undotierte und dotierte Halbleiter, grundlegende

Mehr

Typische Eigenschaften von Metallen

Typische Eigenschaften von Metallen Typische Eigenschaften von Metallen hohe elektrische Leitfähigkeit (nimmt mit steigender Temperatur ab) hohe Wärmeleitfähigkeit leichte Verformbarkeit metallischer Glanz Elektronengas-Modell eines Metalls

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz

Die Cantor-Funktion. Stephan Welz Die Cantor-Funktion Stephan Welz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 2009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur Hauptseminar Elektronentransport in anostrukturen Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur Michael Kühn 3.0.2009 Inhalt Inhalt:. Vorbemerkung 2. Die Hartree-Fock-Theorie (HF) 3. Die

Mehr

Musso: Physik I. Dubbel. Teil 6 Arbeit und Energie

Musso: Physik I. Dubbel. Teil 6 Arbeit und Energie Tipler-Mosca 6. Arbeit und Energie 6.1 Arbeit und kinetische Energie (Work and kinetic energy) 6. Das Skalarprodukt (The dot product) 6.3 Arbeit und Energie in drei Dimensionen (Work and energy in three

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien

Mehr

5.1. Kinetische Gastheorie. Ziel: Der Gasdruck: Kolben ohne Reibung, Gasatome im Volumen V Wie groß ist F auf den Kolben?

5.1. Kinetische Gastheorie. Ziel: Der Gasdruck: Kolben ohne Reibung, Gasatome im Volumen V Wie groß ist F auf den Kolben? 5.1. Kinetische Gastheorie z.b: He-Gas : 3 10 Atome/cm diese wechselwirken über die elektrische Kraft: Materie besteht aus sehr vielen Atomen: gehorchen den Gesetzen der Mechanik Ziel: Verständnis der

Mehr

4. Auflage. Kapitel IX: Bubbles

4. Auflage. Kapitel IX: Bubbles Eine Einführung in die Theorie der Güter-, Arbeits- und Finanzmärkte Mohr Siebeck c Kapitel IX: Bubbles Inhaltsverzeichnis Dieses Kapitel widmet sich Finanzmärkten, auf denen Finanzprodukte (Assets) gehandelt

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Differentialgleichungen Teilnehmer: Phili Bannach Heinrich-Hertz-Oberchule) Levin Keller Herder-Oberchule) Phili Kende Herder-Oberchule) Carten Kubbernuh Andrea-Oberchule) Giang Nguyen Herder-Oberchule)

Mehr

Quantenchemie auf dem Rechner

Quantenchemie auf dem Rechner Physikalisch-Chemische Praktika Quantenchemie auf dem Rechner Versuch S1 Einleitung Dieser Praktikumsversuch ist der erste Teil eines dreiteiligen Blocks von Versuchen im Rahmen des Praktikums zur Molekülspektroskopie

Mehr

Das St. Petersburg Paradox

Das St. Petersburg Paradox Das St. Petersburg Paradox Johannes Dewender 28. Juni 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Das Spiel 2 2 Das Paradox 3 3 Lösungsvorschläge 4 3.1 Erwartungsnutzen............................... 4 3.2 Risikoaversion..................................

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

A. Kräfte und Bewegungsgleichungen (19 Punkte) Name: Vorname: Matr. Nr.: Studiengang: Platz Nr.: Tutor:

A. Kräfte und Bewegungsgleichungen (19 Punkte) Name: Vorname: Matr. Nr.: Studiengang: Platz Nr.: Tutor: Prof. Dr. Sophie Kröger Prof. Dr. Gebhard von Oppen Priv. Doz. Dr. Frank Melchert Dr. Thorsten Ludwig Cand.-Phys. Andreas Kochan A. Kräfte und Bewegungsgleichungen (19 Punkte) 1. Was besagen die drei Newtonschen

Mehr

Theorien für die Darstellung von Unsicherheit Ein Vergleich der Wahrscheinlichkeits-, Möglichkeits- und Dempster-Shafer Theorie

Theorien für die Darstellung von Unsicherheit Ein Vergleich der Wahrscheinlichkeits-, Möglichkeits- und Dempster-Shafer Theorie Theorien für die Darstellung von Unsicherheit Ein Vergleich der Wahrscheinlichkeits-, Möglichkeits- und Dempster-Shafer Theorie Johannes Leitner Inhalt I Modellierung von Unschärfe Unscharfe Mengen Unscharfe

Mehr

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen Finanzmathematik Absichern und Bewerten von Optionen Arnold Janssen / Klaus Janßen Universität Düsseldorf 27.09.2012 Rohstoffe, Devisen, Aktien, Kredite,... haben Preise, die im Laufe der Zeit zufällig

Mehr