Physikalische und chemische Grundlagen der Keramik

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1 Physikalische und chemische Grundlagen der Keramik Teil II: Eigenschaften keramischer Werkstoffe 2. Auflage, 2005 Jürgen G. Heinrich ng Spannun Dehnung

2 INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG 3 SEITE 2. MECHANISCHES VERHALTEN Elastizität [1; 4; 5; 6; 7; 8, 23] Anelastizität [1; 8] Bruchverhalten [8; 9; 10] Weibull-Statistik [8;10] Hochtemperatur-Plastizität [8; 11] THERMISCHE EIGENSCHAFTEN Spezifische Wärme [8; 12] Thermische Ausdehnung [8; 12] Thermische Leitfähigkeit [8; 12; 13] Thermoschockverhalten [8; 12; 14] CHEMISCHE EIGENSCHAFTEN Korrosion [1; 8; 13; 15] ELEKTRISCHE EIGENSCHAFTEN Elektrische Leitfähigkeit [8; 12; 17; 18] Dielektrizität [8; 17; 18; 19] Spezielle Keramiken für elektrische und elektronische Anwendungen [8; 19] MAGNETISCHE EIGENSCHAFTEN Magnetismus [8; 12; 17; 19] Keramische Magnetwerkstoffe LITERATUR 236

3 1. Einführung Einführung Keramischer Werkstoffe zeigen eine völlig anderes Eigenschaftsprofil als Metalle und Polymere. Die Ursachen hierfür sind auf atomistische Gegebenheiten zurückzuführen, die in Teil 1 dieser Vorlesung: Struktureller Aufbau keramischer Werkstoffe diskutiert werden. Die für das Verständnis der Eigenschaften keramischer Materialien notwendigen Grundlagen werden in dieser Vorlesungsreihe kurz wiederholt. Beim Kauf von Porzellan wird im wesentlichen das Design, die Dekoration und natürlich der Preis als Kriterium herangezogen. Aber schon bei Ziegeln und Steinzeugrohren, Gleitringen oder Tuborladerrotoren aus Keramik spielt die mechanische Belastbarkeit für den erfolgreichen Einsatz eine wesentliche Rolle. Die mechanischen Eigenschaften bei Raumund Hochtemperatur, wo Keramik deutliche Vorteile gegenüber Metallen aufweist, werden daher gleich zu Beginn dieser Vorlesung besprochen. Der Einsatz bei hohen Temperaturen, wo Metalle häufig bereits schmelzen, erfordert u. a. die Kenntnis der Temperaturabhänigkeit der thermischen Eigenschaften, die in Kapitel 3 diskutiert werden. Die chemische Beständigkeit keramischer Werkstoffe gegenüber metallischen Schmelzen in Hochöfen macht die feuerfeste Werkstoffgruppe zu einem unerläßlichen Bestandteil z.b. bei der Stahlerzeugung. Das Korrosionsverhalten oxidischer und das Oxidationsverhalten nichtoxidischer keramischer Werkstoffe wird daher in Kapitel 4 besprochen. Dass die elektrische Leitfähigkeit von Keramik in der Regel mit steigender Temperatur zu, bei Metallen dagegen abnimmt, hat mit dem Bindungscharakter zu tun. Diese Zusammenhänge sind u.a. Inhalt von Kapitel 5, in dem auch die meisten supraleitenden Keramiken vorgestellt werden. Ohne keramische Magnetwerkstoffe würde sich heute kein Auto über unsere Straßen bewegen. Die Besprechung magnetischer Eigenschaften bildet daher den Abschluss dieser Vorlesungsreihe. Die wesentlichen Kapitel sind der zitierten Literatur entnommen. Textauszüge sind zum Teil wörtlich übernommen.

4 Einführung Ich danke Frau Dipl.-Ing. Sabine Meier für die kritische Durchsicht des Manuskripts und Herrn Dipl.-Ing. Jung-Wook Kim für die Überarbeitung des Entwurfs und die Erstellung der CD-ROMs sowie Herrn Daniel Raschke für die kritische Durchsicht des Manuskripts und die Überarbeitung der ersten Auflage. Jürgen G. Heinrich Clausthal, 2005

5 2. Mechanisches Verhalten Mechanisches Verhalten 2.1. Elastizität Bindungsarten Um den Elastizitätsmodul als Materialeigenschaft verstehen zu können, soll zunächst das Verständnis auf atomarem Niveau geschaffen werden. Dafür sind zwei Punkte von Bedeutung: 1. Die atomaren Bindekräfte, d.h. die Kräfte, die zwischen benachbarten Atomen wie kleine Federn wirken (Abbildung 2.1.1). Schematische Darstellung der Bindekräfte zwischen Atomen [4] Abb Die Atompackung, d.h. die Art und Weise, wie Atomschichten aufeinander liegen. Mit der Atompackung wird angegeben, wieviele Federchen pro Einheitsvolumen vorkommen und unter welchem Winkel sie beansprucht werden (Abbildung 2.1.2). Schematische Darstellung verschiedener Atompackungen [4] Abb

6 Elastizität Atomare Bindungen kann man unterteilen in: 1. Primärbindungen: Die ionische, kovalente und metallische Bindung, die als relativ stark anzusehen sind. 2. Sekundärbindungen: Die Van-der-Waals- und Wasserstoffbrückenbindung, die beide als relativ schwach gelten. Diese Bindungen treten selten in reiner Form auf, es handelt sich in realen Werkstoffen meist um Mischtypen. Primärbindungen Keramische Werkstoffe und Metalle werden vollkommen von Primärbindungen zusammengehalten und zwar von Ionenbindung und kovalenter Bindung bei Keramik, von Metallbindung und kovalenter Bindung bei Metallen. Diese starken Bindungsarten bewirken große Elastizitätsmoduln. Ein typisches Beispiel für die Ionenbindung ist das Natriumchlorid. Alkalihalogenide, Oxide sowie bestimmte Zementbestandteile (Carbonate und Oxide) haben ganz oder teilweise Ionenbindungscharakter. Der Kern des Natriumatoms besteht aus 11 Protonen (und 11 Neutronen), die von 11 Elektronen umgeben sind (Abb ). Die Ionenbindung am Beispiel von NaCl [4] Abb

7 2. Mechanisches Verhalten Die Elektronen werden durch elektrostatische Kräfte vom Kern angezogen, haben also negative Energien. Aber nicht alle Elektronen haben die gleiche Energie. Die entfernteren haben die geringste negative (höchste) Energie. Das Elektron, das am leichtesten vom Natriumatom entfernt werden kann, ist demnach das am weitesten außen gelegene. Zu seiner Entfernung benötigt man eine Arbeit von 5,14 ev. Wenn wir dieses Elektron einem Chloratom zuführen, gewinnen wir 4,02 ev zurück. Wir können also Na + - bzw. Cl - -Ionen isolieren, indem wir eine Arbeit U i von 5,14 ev - 4,02 ev ist gleich 1,12 ev verrichten. Zur Ionenbildung müssen wir also Energie aufwenden. Andererseits ziehen sich das positive und negative Ion gegenseitig an. Wenn wir sie zusammenbringen, gewinnen wir Arbeit durch die Anziehungskraft, die den Kräften zwischen Punktladungen entspricht: F = q 4 πε 2 0 r 2 (2.1.1) q ist dabei die Ladung der Ionen, ε 0 die Dielektrizitätskonstante im Vakuum und r der Ionenabstand. Die gewonnene Arbeit bei Annäherung der Ionen (aus dem Unendlichen) ist daher 2 q U= Fdr=. (2.1.2) 4πε 0 r r Energiebilanz der Ionenbindung [4] Abb

8 Elastizität Abb zeigt, wie der Arbeitsgewinn mit abnehmendem r zunimmt bis bei ungefähr r = 1 nm, ein für Ionenbindungen typischer Wert, der Energieaufwand für die Ionenbildung von 1,12 ev wieder wettgemacht ist. Unterhalb von r = 1 nm können wir nur noch gewinnen, d.h., dass die Bindungsstärke mehr und mehr zunimmt. r kann aber nicht unendlich abnehmen und immer mehr Energie freisetzen bis zur Verschmelzung der beiden Kerne. Wenn sich die Ionen immer mehr annähern, würden sich irgendwann die Verteilungsfelder ihrer elektrischen Ladungen überlappen, was zu einer starken Abstoßung führen würde. Abb zeigt den Anstieg der potentiellen Energie, der damit verbunden ist. Die Ionenbindung hat ihre größte Stabilität im Minimum der U(r) Funktion. Den Verlauf der Kurve kann man näherungsweise angeben mit 2 q B U = Ui +. (2.1.3) n 4πε 0 r r Dort, wo die potentielle Energie ihr Minimum aufweist, ist die Bindung am stabilsten. Die Elektronenverteilungen jedes der beiden Ionen sind kompliziert geformte räumliche Gebilde (Orbitale) um den Atomkern herum. In erster Näherung können die Ionen als Kugeln betrachtet werden. Von daher lassen sich die Ionen beliebig anordnen, wodurch zum Ausdruck kommt, dass die Ionenbindung nicht gerichtet ist. Trotzdem müssen Ionenpackungen unterschiedlichen Vorzeichens so zueinander geordnet sein, dass sich positive und negative Ladungen zu Null kompensieren. Der kovalente Bindungstyp liegt in reiner Form beim Diamant, beim Silicium und Germanium vor, die allesamt sehr große Elastizitätsmoduln aufweisen (der von Diamant ist der höchste überhaupt). Ferner überwiegt dieser Bindungstyp bei Silicatkeramiken und Gläsern. Er trägt außerdem in nennenswertem Maße zur Bindung hochschmelzender Metalle, wie Wolfram, Molybdän und Tantal bei. Schließlich findet man kovalente Bindungsanteile auch in Polymeren, wo Kohlenstoffatome zu langen Ketten verbunden sind. Da aber in Polymeren auch andere deutlich schwächere Bindungstypen vorkommen, wird man im allgemeinen eher kleine Elastizitätsmoduln erwarten. Der einfachste Fall kovalenter Bindungen ist der des Wasserstoffmoleküls. Durch die enge Nachbarschaft der beiden Atomkerne entsteht ein gemeinsames Elektronenorbital (Abb ).

9 2. Mechanisches Verhalten Kovalente Bindung [4] Abb hier zwischen zwei Wasserstoffatomen unter Bildung eines Wasserstoffmoleküls Der Energiegewinn, der dadurch hervorgerufen wird, ist Ursache einer stabilen Bindung, wie Abb zeigt. Die Energie der kovalenten Bindung läßt sich empirisch angeben als A U = B m n m n r + ( r < ). (2.1.4) Energiebilanz der kovalenten Bindung [4] Abb Ein typisches Beispiel kovalenter Bindung stellt der Diamant dar. Der Diamant ist eine extrem harte Kohlenstoffmodifikation. Im Falle des Diamants besetzen die gemeinsamen Elektronen die Ecken eines Tetraeders (Abb ).

10 Elastizität Gerichtete kovalente Bindung der Diamantstruktur [4] Abb Die symmetrische Form dieser Orbitale führt beim Diamant zu einer stark gerichteten Bindung. Je nach Orbitalmuster weisen auch andere kovalente Bindungstypen eine starke Ausrichtung auf, die dann ihrerseits Einfluss auf die Atompackung im Kristall hat. Die metallische Bindung ist, wie der Name schon sagt, die vorherrschende Bindungsart in Metallen und Metalllegierungen. In Metallen geben die Atome ihre äußeren Elektronen ab (wobei Ionen entstehen), die dann einen See freibeweglicher Ladungsträger bilden (Abb ). Die zugehörige Energiekurve ist derjenigen der kovalenten Bindung sehr ähnlich und damit durch Gleichung hinreichend definiert. Metallische Bindung [4] Abb

11 2. Mechanisches Verhalten Das hohe Maß an Beweglichkeit der Elektronen ist Ursache für die sehr gute elektrische Leitfähigkeit der Metalle. Die metallische Bindung ist in keiner Weise gerichtet, so dass sich die Metallionen zu sehr dichten Strukturen zusammenlagern können, etwa wie kleine Stahlkugeln, die man in einer Schachtel so lange schüttelt, bis sie ein Minimum an Raum einnehmen. Sekundärbindungen Sekundärbindungen sind ungleich schwächer als Primärbindungen. Sie stellen z.b. die Verbindung zwischen Makromolekülen in Polyethylen und anderen Kunststoffen her, wodurch diese erst zu Festkörpern werden. Van-der-Waals-Bindung [4] Abb Die Van-der-Waals-Bindung beschreibt eine Dipolanziehung zwischen an sich ungeladenen Atomen. Die zu jedem Zeitpunkt in Bezug auf den Atomkern unsymmetrische Ladungsverteilung bewirkt ein Dipolmoment. Das Moment erzeugt bei einem benachbarten Atom ein ebensolches, so dass sich beide anziehen können (Abb ). Die Energie der Anziehung nimmt mit r 6 ab. Die Gesamtenergie der Van-der-Waals-Bindung lässt sich angeben als A B U = + ( n ~ 12). (2.1.5) 6 n r r

12 Elastizität Als gutes Beispiel lässt sich flüssiger Stickstoff anführen, der bei -198 C von Van-der-Waals- Kräften, die die kovalent gebundenen N 2 -Moleküle aufeinander ausüben, in flüssigem Zustand gehalten wird. Dabei reicht die Wärmebewegung bei Raumtemperatur schon aus, um die schwachen Van-der-Waals-Bindungen aufzubrechen. Durch die Wasserstoffbrückenbindung bleibt Wasser bei Raumtemperatur flüssig und manche polymeren Molekülketten verbinden sich zu Festkörpern. Auch die Bindung von Eis ist von diesem Typ (Abb ). Die Bindung entsteht, wenn jedes Wasserstoffatom seine Ladung an ein unmittelbar benachbartes Sauerstoffatom abgibt (das dann negativ geladen ist). Das positiv geladene H-Atom wirkt dabei als eine Brücke zwischen benachbarten O-Atomen. Die Ladungsumverteilung resultiert schließlich in einem Dipolmoment für jedes H 2 O-Molekül, das dadurch zwei andere H 2 O-Moleküle anziehen kann. Die Anordnung von H 2 O-Molekülen in Eis [4] Abb Die Wasserstoffbindungen halten die Moleküle auf Abstand; daher hat Eis eine geringere Dichte als Wasser Atomare Bindekräfte und physikalische Ursache des E-Moduls Mit den Potentialen der verschiedenen Bindungstypen lassen sich die Kräfte zwischen den Atomen abschätzen. Ausgehend von der U(r)-Kurve errechnet sich die Kraft F, die erforderlich ist, um zwei Atome in einen Abstand r zu bringen, durch du F=. (2.1.6) dr In Abb ist dieser Sachverhalt grafisch dargestellt:

13 2. Mechanisches Verhalten U Abschätzung der Kräfte zwischen Atomen [4] Abb r 0 r F (=du/dr) F max Abstossung du/dr wird maximal am Wendepunkt der U/r-Kurve du/r -> 0 Anziehung du/r = 0 r 0 Ionenradius 1. F ist Null im Gleichgewichtsabstand r 0; wenn Atome um eine Strecke (r-r 0 ) verrückt werden sollen, so ist dazu eine bestimmte Kraft erforderlich. Bei kleinen Beträgen ist für alle Stoffe die Kraft dem Abstand nahezu proportional, und zwar unter Zug- und unter Druckbeanspruchung. 2. Die Steifigkeit S der Bindung ergibt sich aus Ist die Auslenkung klein, so bleibt S konstant und ist dann S= df. (2.1.7) dr S 0 2 du = 2 bei r = r 0, (2.1.8) dr d.h. die Bindung verhält sich elastisch. S 0 entspricht der Federkonstanten der Bindung. Die Kraft zwischen zwei Atomen, die um eine Strecke r entfernt werden (wobei r r 0 ) beträgt F= S0 ( r r o ). (2.1.9) Abb zeigt schematisch einen Festkörper, der von Federchen zusammengehalten ist.

14 Elastizität Der Einfachheit halber hat man sich hier darauf beschränkt, die Atome an den Ecken eines Würfels mit der Kantenlänge r 0 anzuordnen. In der Realität folgen zwar nur wenige Stoffe dieser einfachen Struktur, das Verständnis wird dadurch aber erheblich erleichtert. Abschätzung des Elastizitätsmoduls aus der Steifikeit einzelner Atombindungen [4] Abb Die Gesamtkraft, die durch die Fläche hindurchgreift, wenn die beiden Seiten auseinandergezogen werden, ist definiert als die Spannung σ = NS ( r r ), (2.1.10) 0 0 wobei N die Zahl der Bindungen pro Einheitsfläche darstellt, also 1/r 0 2 ist (r 0 2 ist die mittlere Fläche pro Atom). Nr 0 2 = 1 (2.1.11) Wird die Auslenkung (r-r 0 ) in eine Dehnung ε n umgerechnet, Ausgangsabstand r 0 dividiert, so ergibt sich indem man durch den r r ε n = 0 r 0 (2.1.12)

15 2. Mechanisches Verhalten damit gilt: 1 σ = S ε 2 0 n r0 (2.1.13) r 0 S0 σ = ε r 0 n (2.1.14) Der E-Modul ist dann E S r = 0 0. (2.1.15) S 0 lässt sich aus den theoretisch hergeleiteten Kurven U(r) berechnen. Für die Ionenbindung ist U(r) durch Gleichung gegeben. Durch Differenzierung dieser Gleichung nach r erhält man die Kraft zwischen den Atomen. Bei r = r 0 muss sie Null sein. Aus dieser Bedingung erhalten wir die Konstante B= n 1 q 2 r 0 4 π n ε. (2.1.16) 0 S 0 können wir dann angeben als S 0 = α q 4 πε 2 r (2.1.17) mit α = (n - 1). Die Coulomb-Anziehung reicht sehr weit und hängt von 1/r ab. Daher steht ein bestimmtes Na + -Ion nicht nur mit seinen 6 nächsten Cl - -Ionen in anziehender Wechselwirkung, sondern erfährt darüber hinaus eine abstoßende Kraft von seinen 12 übernächsten etwas weiter entfernten Na + -Nachbarn. Auch die nächsten 8 Cl - -Ionen und die übernächsten 6 Na + -Ionen spürt es noch. Um also S 0 genau zu berechnen, müssen alle diese Bindekräfte, anziehende und abstoßende, addiert werden. Das Ergebnis ist Gleichung mit α = Aus Tabellen für physikalische Konstanten können die Werte für q und ε 0 abgelesen werden. Der Atomabstand r 0 liegt bei etwa 2, m. Setzt man diese Werte in Gleichung ein,

16 Elastizität so ergibt sich S 0 1 = 95, Nm, für NaCl. Die Steifigkeit anderer Bindungstypen errechnet sich in ähnlicher Weise. Einen Überblick über Bindungssteifigkeiten gibt Tabelle Bindungssteifigkeiten verschiedener Werkstoffe [4] Tab Bindungsart S 0 in N / m -1 E angenähert aus (S 0 / r 0 ) in GN m -2 Kovalent, z.b. C C Rein ionisch, z.b. Na Cl Rein Metallisch, z.b. Cu Cu H Bindung, z.b. H 2 O H 2 O Van-der-Waals, z.b. Wachse; viele Polymere Kovalent / ionisch, z.b. Al 2 O 3 ; Si 3 N Vergleicht man die berechneten E-Modul-Werte mit gemessenen Werten, stellt man für Metalle und keramische Werkstoffe durchaus akzeptable Übereinstimmungen fest. Die Vorstellung einer Federauslenkung beschreibt die Steifigkeit in diesen Werkstoffen also ganz gut. Eine Reihe von Polymeren und Gummiarten haben aber E-Moduln, die bis zu 100 mal kleiner als der kleinste berechnete sind. Dieses Phänomen hängt damit zusammen, dass Gummi wie viele weitere Polymere aus langen spagettiähnlichen Kohlenstoffketten zusammengesetzt ist. Außerdem liegen die Ketten kreuzweise übereinander. Die Kreuzverbindungen sind wie bei den Bindungen entlang der Ketten kovalente, also sehr steife Bindungen. Sie tragen jedoch zur Gesamtsteifigkeit nur wenig bei. Vielmehr sind es die viel weicheren Van-der-Waals-Bindungen, die sich dehnen, wenn die Struktur belastet wird. Der Gesamtmodul resultiert also in der Hauptsache aus den Van-der-Waalschen-Bindungen und nicht von den kovalenten Bindungen. Bei tiefen Temperaturen entsprechen die beobachteten Moduln dem für diese Bindungsart berechneten Wert von knapp 1 GN/m 2. Sobald sich Gummi auf Raumtemperatur erwärmt, schmelzen die Van-der-Waals-Bindungen. Tatsächlich ist die Bindungssteifigkeit eines Stoffes proportional zu seinem Schmelzpunkt. Aus diesem Grund hat auch Diamant den

17 2. Mechanisches Verhalten höchsten Schmelzpunkt und den höchsten E-Modul (Abb ). Anstieg des E-Moduls in Polymeren mit zunehmender Dichte an kovalenten Bindungen [4] Abb Die elastischen Moduln Der E-Modul ist ein Maß für den Widerstand eines Materials gegenüber elastischer Verformung. Werkstoffe mit kleinem E-Modul haben eine geringe Steifigkeit; wenn sie belastet werden, geben sie stark nach (Federn, Polstermaterial, Stabhochsprungstab). Keramische Werkstoffe haben einen sehr hohen E-Modul, bei Belastung zeigen sie nur sehr geringe elastische Verformung. Zu weiteren Erläuterungen müssen zunächst die Begriffe Spannung und Dehnung definiert werden. Spannung Eine Kraft F soll auf einen Quader wirken wie in Abb dargestellt. Die Kraft greift durch den Quader hindurch. Sie erfährt eine Gegenkraft, die die Unterlage auf den Quader ausübt (andernfalls würde sich der Quader bewegen). Der Unterseite kann man also eine gleichgroße entgegen gerichtete Kraft zuschreiben. F wirkt auf alle Querschnitte des Quaders, die parallel zur Oberfläche liegen. Der gesamte Quader befindet sich im so genannten Spannungszustand.

18 Elastizität Definition der Spannungsgrößen σ und τ [4] Abb F Zugspannung σ = F/S 0 Schubspannung τ = F s /S 0 Zugspannung σ = F l /S 0 Gleichgewicht bedingt Scherung Die Spannung σ wird angegeben durch die Kraft F geteilt durch die Querschnittsfläche S 0 des Quaders σ= F S 0. (2.1.18) Wird die Spannung durch eine Zugkraft senkrecht zur Oberfläche hervorgerufen, spricht man von Zugspannung. Wirkt die Kraft nicht normal zur Oberfläche, sondern in einem bestimmten Winkel dazu (Abb b), kann die Kraft in zwei Komponenten zerlegt werden, in eine normal zur Oberfläche und in eine parallel dazu. Die Normalkomponente bewirkt eine reine Zugbeanspruchung. Ihre Größe ist, wie oben, F t /S 0. Die andere Kraftkomponente F s belastet den Quader ebenfalls, jedoch in Form von Scherung. Die durch die Scherung erzeugte Spannung parallel zu F s heißt Schubspannung τ und ist gegeben durch τ= F Ss 0. (2.1.19) Die Größe der Spannung ist immer gleich der Kraft geteilt durch die Fläche, auf die diese

19 2. Mechanisches Verhalten wirkt. Gebräuchliche Einheiten sind Mega-Newton pro Quadratmeter oder auch Mega-Pascal (MN/m 2 oder MPa). Spannungszustände [4] Abb Einachsiger Zug σ = F/S 0 Einachsiger Druck σ = F/S 0 Reine Scherung τ = F s /S 0 Zweiachsiger Zug σ = F/S 0 Hydrostatischer Druck p = -F/S 0 Man unterscheidet gewöhnlich vier Spannungszustände, die in Abb illustriert sind. Der einfachste ist reiner Zug oder reiner Druck (wie in einer Zugvorrichtung bzw. in einer Säule unter Druckbelastung). Die Spannung errechnet sich als Kraft geteilt durch die Querschnittsfläche. Der zweite Spannungszustand ist der unter zweiachsigem Zug. Wenn eine kugelförmige Hülle (z.b. ein Ballon) von innen mit Gasdruck beaufschlagt wird, wird die Hüllenwand in zwei Richtungen gleichermaßen beansprucht. (Es gibt auch zweiachsige Spannungszustände, in denen die beiden Zugspannungen unterschiedlich sind.) Der dritte Spannungszustand ist der hydrostatische Druck. Hydrostatischer Druck tritt tief im Erdinnern auf oder in großen Ozeantiefen, wo ein Festkörper von allen Seiten gleich stark zusammengedrückt wird. Nach einer Konvention werden Spannungen positiv angegeben, wenn es sich um Zugspannungen handelt. Drucke in Druckrichtung sind allerdings ebenfalls positiv anzugeben, so dass sich Druck und Druckspannungen in ihren Vorzeichen

20 Elastizität unterscheiden. Ansonsten ist der Druck ebenso wie die Druckspannung als Kraft geteilt durch Fläche definiert. Der vierte Spannungszustand ergibt sich bei reiner Scherbeanspruchung. Wenn man ein dünnwandiges Rohr verdreht, dann sind die Wandelemente reiner Scherung unterworfen. Die Schubspannung ist einfach die Scherkraft geteilt durch die Fläche, auf die sie wirkt. Umgekehrt ist klar, dass, wenn man eine Spannung kennt, man die Kraft auf einen bestimmten Querschnitt berechnen kann als Spannung mal Fläche. Dehnung Werkstoffe, auf die eine Spannung wirkt, dehnen sich. Steife Werkstoffe (wie Stahl) dehnen sich nur wenig, nachgiebige Werkstoffe (wie Polyethylen) mehr. Dieser Sachverhalt drückt sich im E-Modul aus. Aber bevor wir diesen angeben können, definieren wir zunächst, was Dehnung ist. 1. Eine Zugspannung ruft eine Dehnung in Zugrichtung hervor. Wenn ein zugbeanspruchter Würfel mit Ausgangskantenlänge l (Abb ) sich um den Betrag u parallel zur Zugrichtung verlängert, definieren wird die zugehörige Dehnung als ε n u = l. (2.1.20) Dabei wird der Würfel gewöhnlich auch dünner. Das Verhältnis, um das er sich zusammenzieht, heißt Poissonzahl oder Querkontraktionszahl ν. ν gibt das negative Verhältnis von Querschnittsverminderung zu Längsdehnung an: ν = - Querkontraktion/Längsdehnung.

21 2. Mechanisches Verhalten Definition der Dehnungsgrößen: ε n, γ und Δ [4] Abb σ u/2 technische Längenänderung ε n = u / l v/2 σ u/2 -v/2 technische Querkontraktion ε n = -v / l Poissonzahl, ν = - Querdehnung / Längsdehnung p p V ΔV ΔV p Kompression (Verdichtung) Δ = ΔV / V w τ w technische Scherung γ = w / l = tan θ = θ für kleine Dehnungen p l τ 2. Eine Schubspannung bewirkt eine Scherung. Wenn ein Würfel um den Betrag w geschert wird, definiert sich die Scherung als γ W = = l tan θ, (2.1.21) wobei θ der Scherwinkel ist (Abb ). Da elastische Dehnungen i.a. sehr klein sind, können wir in guter Näherung auch schreiben γ = θ. (2.1.22) 3. Hydrostatischer Druck führt zu einer Volumenänderung, die auch Kompression genannt wird. Bei einer Volumenänderung ΔV eines Würfels mit Volumen V ist die Kompression definiert als Δ = ΔV V. (2.1.23) Dehnungen sind dimensionslos, da sie ein Verhältnis angeben.

22 Elastizität Das Hookesche Gesetz Die mathematischen Zusammenhänge zwischen Spannungen und Dehnungen sind bereits um 1680 vom englischen Physiker HOOKE aufgrund von Experimenten beschrieben worden (unabhängig von ihm auch vom französischen Physiker MARIOTTE um die gleiche Zeit). Das heute noch für die Elastizitätslehre fundamentale HOOKEsche Gesetz ist bei festen Körpern bis zur Grenze der Proportionalität zwischen Normalspannungen und Dehnungen im elastischen (reversiblen) Bereich anwendbar. Das Hookesche Gesetz stellt zunächst eine Beschreibung einer experimentellen Beobachtung dar, nämlich, dass für kleine Dehnungen die Dehnung der angelegten Spannung mit sehr guter Näherung proportional ist. So ist z.b. die Dehnung nominal zur Zugrichtung der angelegten Zugspannung proportional: σ = E ε n, (2.1.24) wobei E der E-Modul ist. Die gleiche Beziehung gilt natürlich auch für Spannung und Dehnung in Druckrichtung. Auch die Scherung ist proportional zur Schubspannung: τ = G γ (2.1.25) mit G als Schubmodul. Und schließlich ist die Kompression Δ proportional zum Druck: p= KΔ; (2.1.26) K heißt Kompressionsmodul. Da die Dehnung dimensionslos ist, müssen die Moduln die gleiche Dimension wie die Spannung haben: Kraft pro Fläche (N/m 2 ). In der Praxis ist man übereingekommen, die Moduln in Einheiten von Giga-Newton pro Quadratmeter anzugeben (GN/m 2 oder GPa). Ein

23 2. Mechanisches Verhalten Giga-Newton sind 10 9 Newton. Mit der linearen Beziehung zwischen Spannung und Dehnung lässt sich die Reaktion eines Festkörpers auf eine angelegte Spannung im linear-elastischen Bereich auf einfache Weise berechnen. Jedoch muss man sich im Klaren darüber sein, dass die meisten Festkörper nur bis zu sehr kleinen Dehnungen elastisch reagieren (bis etwa 0,1%). Bei höheren Dehnungen verformen sich die meisten Werkstoffe plastisch, andere wiederum brechen spröde. Aber davon soll noch in späteren Kapiteln die Rede sein. Einige wenige Festkörper, wie etwa Gummi, sind noch bei Dehnungen von mehreren 100% elastisch. Jedoch hören sie schon nach etwa 1% auf, linear-elastisch zu sein, d.h. die Spannung ist dann der Dehnung nicht mehr direkt proportional. Die Poissonzahl als das negative Verhältnis von Querkontraktion und Längsdehnung ist eine dimensionslose elastische Konstante. Insgesamt verfügt man also über vier elastische Konstanten: E, G, K und ν. Dabei ist es aber nützlich zu wissen, dass für zahlreiche Metalle gilt K = E, ( a) G = 3 8 E, ( b) ν = 0,33. ( c) Gleichwohl können für viele Stoffe diese Beziehungen ungleich komplizierter ausfallen.

24 Elastizität Der E-Modul nach Werkstoffgruppen [4] Abb Die Elastizitätsmoduln polymerer Werkstoffe sind im allgemeinen kleiner als diejenigen von Metallen. Höchste Elastizitätsmoduln besitzen carbidkeramische Werkstoffe (Abb ). Mit der Temperatur nehmen alle elastischen Eigenschaftskenngrößen in der Regel ab, weil sie von der Stärke der atomaren Bindung abhängen. Da diese infolge der mit wachsender

25 2. Mechanisches Verhalten Temperatur zunehmenden mittleren Atomabstände im allgemeinen abnimmt, zeigen auch z.b. die Elastizitätsmoduln mit steigender Temperatur fallende Tendenz (Abb ). Temperaturabhängigkeit von Elastizitätsmoduln keramischer und metallischer Werkstoffe [5] Abb Dieser Zusammenhang zwischen Bindung und elastischen Eigenschaftskenngrößen ist es auch, der Elastizitätsmodul und Schmelzpunkt korreliert. So haben beispielsweise hochschmelzende Werkstoffe i.a. auch hohe Elastizitätsmoduln. Für Metalle ist dies in Abb wiedergegeben. Schmelzpunkt und Elastizitätsmodul von Metallen [5] Abb

26 Elastizität Die Veränderung der Konzentration der Komponenten in einem mehrkomponentigen Werkstoff oder die Lösung einer zweiten Bausteinart in einem Einkomponentenwerkstoff führt immer zu einer Veränderung der Bindungskräfte. Dies kann allerdings sowohl zu einer Erhöhung als auch zu einer Erniedrigung der elastischen Eigenschaftskenngrößen führen (Abb ). Beziehung zwischen E-Modul und Zustandschaubild von Mg-Sn-Legierungen [5] Abb Durch die Gefügestruktur werden die elastischen Eigenschaftskenngrößen einphasiger Werkstoffe dann beeinflusst, wenn in polykristallinen Werkstoffen die Kristallite Vorzugsorientierungen haben. Der Elastizitätsmodul eines Einkristalls z.b. ist anisotrop, da die Bindungen in den verschiedenen Richtungen unterschiedlich stark sind. Besitzen die Kristallite im polykristallinen Werkstoff eine Orientierung (Textur), so ist auch der Elastizitätsmodul des polykristallinen Werkstoffes anisotrop. Ein ähnliches Verhalten ist bei amorphen einphasigen Werkstoffen denkbar, wenn bestimmte Bindungen bevorzugt in bestimmte Richtungen wirken.

27 2. Mechanisches Verhalten Verbundwerkstoffe Verbundwerkstoffe weisen häufig höhere Moduln auf als die Matrix. Verbundwerkstoffe verhalten sich außerdem mechanisch ausgesprochen anisotrop. Z.B. beträgt der E-Modul von Holz längs der Faser etwa 10 GN/m 2, quer dazu jedoch nur etwa 10% davon. Zur Bestimmung des E-Moduls von faserverstärkten Verbundwerkstoffen gibt es eine einfache Methode. Nimmt man an, dass ein Verbundwerkstoff mit einem Volumenanteil V f an Fasern längs zur Faser beansprucht wird (Abb a) und geht man davon aus, daß sich Fasern (f) und Matrix (m) gleichviel dehnen, dann ist die Spannung, die dem Werkstoff aufgeprägt wird, σ = V σ + ( 1 V ) σ f f f m = VEε + ( 1 V) E ε. f f n f m n (2.1.28) Da aber der Gesamtmodul E Vwst = σ/ε n ist, können wir andererseits schreiben E = V E + ( 1 V ) E. (2.1.29) Vwst f f f m Diese Beziehung stellt offenbar eine obere Grenze des E-Moduls unseres Faserverbundwerkstoffes dar. Größer als dieser Wert kann E Vwst nicht werden. Belastet man den Verbundwerkstoff quer zur Faser (Abb b) dann sieht man, dass die Spannungen in den beiden Komponenten gleich sind und nicht die Dehnungen. In diesem Fall ergibt sich dann die Gesamtdehnung als die mit dem Volumenanteil gewichtete Summe der Einzeldehnungen: ε = V ε + ( 1 V ) ε n f nf f nm σ σ. (2.1.30) = Vf + ( 1 Vf ) E E f m Aus E vwst = σ ε n berechnet sich ein Gesamtmodul von E vwst = 1 Vf 1 Vf +. (2.1.31) E E f m

28 Elastizität Unterschiedliche Belastung eines faserverstärkten Verbundwerkstoffes zur Erzielung eines (a) maximalen E-Moduls (b) minimalen E-Moduls [4] Abb Abb , die die beiden Beziehungen und in grafischer Darstellung gegenüberstellt, macht deutlich, dass faserverstärkte Werkstoffe ihren größten Zuwachs an Steifigkeit haben, wenn man sie längs zur Faser belastet. Quer zur Faser steigt der Gesamtmodul erst nennenswert an, wenn der Faseranteil schon relativ groß ist. Faserverbundwerkstoffe verhalten sich also in der Tat sehr anisotrop. E-Modul von Verbundwerkstoffen mit verschiedenen Volumenanteilen an Steifmachern [4] Abb Auch Poren können prinzipiell als zweite Phase betrachtet werden. Der Einfluß der Porosität auf den E-Modul ist mit folgenden Gleichungen beschrieben worden: E= E e bp 0. (2.1.32)

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