Stochastische Prozesse Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2006

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1 Stochastische Prozesse Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 26 Markus Reiß Universität Heidelberg VORLÄUFIGE FASSUNG: 28. Juli 26 Inhaltsverzeichnis 1 Der Poissonprozess 1 2 Allgemeine Theorie stochastischer Prozesse Grundbegriffe Der Konsistenzsatz von Kolmogorov Stetige Pfade Ergodentheorie Stationäre und ergodische Prozesse Ergodensätze Die Struktur der invarianten Maße Ergänzungen Invarianzprinzip und Brownsche Bewegung Konvergenz im Raum stetiger Funktionen Das Invarianzprinzip von Donsker Der empirische Prozess Martingale in stetiger Zeit Martingale und lokale Martingale Stetige Martingale und quadratische Variation Das Itô-Integral Konstruktion Die Itô-Formel Martingaldarstellungssätze Anwendungen in der Finanzmathematik 14 I

2 1 Der Poissonprozess Literatur. Krengel [12], Billingsley [2], Grimmet/Stirzacker [8], Durrett [5]. 1.1 Definition. Es seien (S k ) k 1 nichtnegative Zufallsvariablen auf (Ω, F, P) mit S k (ω) S k+1 (ω) für alle k 1, ω Ω. Dann heißt N = (N t, t ) mit N t := k 1 1 {Sk t}, t, Zählprozess mit Sprungzeiten (S k ). 1.2 Definition. Ein Zählprozess N heißt Poissonprozess der Intensität λ >, falls (a) P(N t+h N t = 1) = λh + o(h) für h ; (b) P(N t+h N t = ) = 1 λh + o(h) für h ; (c) die Zuwächse (N ti N ti 1 ) 1 i n sind unabhängig für = t < t 1 < < t n ; (d) die Zuwächse sind stationär: N t N s d = Nt s für alle t s. 1.3 Satz. Für einen Zählprozess N mit Sprungzeiten (S k ) sind äquivalent: (a) N ist Poissonprozess; (b) N erfüllt Bedingungen (c),(d) an einen Poissonprozess, und es gilt N t Poiss(λt) für alle t > ; (c) T 1 := S 1, T k := S k S k 1, k 2, sind unabhängige Exp(λ)-verteilte Zufallsvariablen; (d) N t Poiss(λt) für alle t > und die bedingte Dichte von (S 1,..., S n ) gegeben {N t = n} ist gegeben durch f(x 1,..., x n ) = n! t n 1 { x1 x n t}. (1.1) (e) N erfüllt Bedingung (c) an einen Poissonprozess und E[N 1 ] = λ, sowie (1.1) gibt die bedingte Dichte von (S 1,..., S n ) gegeben {N t = n} an. 2 Allgemeine Theorie stochastischer Prozesse Literatur. Bauer [1], Gänssler/Stute [7], Billingsley [2], Klenke [11]. 1

3 2.1 Grundbegriffe 2.1 Definition. Eine Familie X = (X t, t T ) von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt stochastischer Prozess. Bei T = N spricht man von diskreter Zeit, bei T = R + = [, ) von stetiger Zeit. Sind alle X t (S, S )-wertig, so heißt (S, S ) Zustandsraum von X. Für jedes feste ω Ω heißt die Abbildung t X t (ω) Pfad, Trajektorie oder Realisierung von X. 2.2 Lemma. Ist (X t, t T ) ein stochastischer Prozess mit Zustandsraum (S, S ), so ist X : Ω S T mit X(ω)(t) := Xt (ω) eine (S T, S T )-wertige Zufallsvariable. 2.3 Definition. Für einen stochastischen Prozess (X t, t T ) heißen die Verteilungen der Zufallsvektoren (X t1,..., X tn ) mit n 1, t 1,..., t n T endlich-dimensionale Verteilungen von X. Man schreibt P t1,...,t n = P (Xt 1,...,Xtn). 2.4 Lemma. Die endlich-dimensionalen Verteilungen (P t1,...,t n ) eines stochastischen Prozesses mit Zustandsraum (S, S ) erfüllen folgende Konsistenzbedingung: I J T mit I, J endlich A S I : P J (π 1 J,I (A)) = P I(A), (2.1) wobei π J,I : S J S I die Koordinatenprojektion von S J auf S I bezeichnet. 2.5 Definition. Zwei Prozesse (X t, t T ), (Y t, t T ) auf (Ω, F, P) heißen (a) ununterscheidbar, falls P( t T : X t = Y t ) = 1; (b) Versionen voneinander, falls t T : P(X t = Y t ) = Definition. Ein Prozess X heißt stochastisch stetig, falls aus t n t stets X tn X t in stochastischer Konvergenz folgt. 2.2 Der Konsistenzsatz von Kolmogorov 2.7 Definition. Ein System C P(Ω) von Teilmengen von Ω heißt kompaktes Mengensystem, falls es zu jeder Folge (C n ) in C mit n 1 C n = ein n N gibt mit n n C n =. Ein Inhalt µ : A R + auf einer Algebra A über Ω ist eine additive Mengenfunktion. µ heißt kompakt approximierbar, falls A A, ε > C C, C A : µ(a \ C) < ε. 2.8 Satz. Ein kompakt approximierbarer Inhalt auf einer Algebra ist bereits σ-additiv, also ein Prämaß. 2.9 Definition. Ein vollständiger separabler metrischer Raum heißt polnisch und wird kanonisch mit seiner Borel-σ-Algebra versehen. 2

4 2.1 Lemma. Es sei (S, S ) polnisch und T eine nichtleere Menge. Außerdem bezeichne π I : S T S I für I T die Koordinatenprojektion. Dann sind C := t T D := I T I endl. π 1 {t} ({K S K kompakt}) = t T{K t S T \{t} K t S kompakt}, π 1 I ({K S I K kompakt}) = kompakte Mengensysteme über S T. I T I endl. {K I S T \I K I S I kompakt} 2.11 Satz (Konsistenzsatz). Es sei (S, S ) ein polnischer Raum und T eine nichtleere Menge. Für jede endliche Teilmenge I T sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß P I auf (S I, S I ) gegeben, so dass (P I ) I die Konsistenzbedingung (2.1) erfüllt. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (S T, S T ), so dass P(π 1 I (B)) = P I (B) gilt für alle I und B S I Korollar. Zu einer vorgegebenen konsistenten Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen P I auf (S I, S I ) existiert ein stochastischer Prozess mit endlich-dimensionalen Verteilungen (P I ) Korollar. Für eine Familie (P t ) t T von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf einem polnischen Raum (S, S ) existiert das Produktmaß t T P t auf (S T, S T ). 2.3 Stetige Pfade 2.14 Lemma. Ist (S, S ) ein Messraum und T eine nichtleere Menge, so existiert zu jedem B S T eine abzählbare Menge I T derart, dass x S T, y B : ( x(t) = y(t) für alle t I ) x B Korollar. Ist (S, S ) ein mindestens zweielementiger metrischer Raum mit beliebiger σ-algebra, so liegt die Menge C(R +, S) der stetigen Funktionen von R + nach S nicht in S R Definition. Ein Prozess (Y t, t ) heißt stetige Version (oder stetige Modifikation) eines Prozesses (X t, t ), falls Y eine Version von X ist und alle Pfade t Y t (ω) stetig sind Satz. Ein Prozess (X t, t ) besitzt eine stetige Version, falls: (a) X ist stochastisch stetig; (b) es gibt eine Nullmenge N und eine abzählbare dichte Teilmenge D R +, so dass für alle ω N C der eingeschränkte Pfad D t X t (ω) gleichmäßig auf D [, T ] stetig ist für jedes T > (Separabilität) Satz (Stetigkeitssatz von Kolmogorov & Chentsov). Ein reellwertiger Prozess (X t, t ) erlaubt eine stetige Version, sofern es Konstanten α >, β >, C > gibt mit s, t : E[ X s X t α ] C s t 1+β. 3

5 3 Ergodentheorie Literatur. Shiryayev [16], Karlin/Taylor [1], Klenke [11], Petersen [14], Da Prato/Zabczyk [4]. 3.1 Stationäre und ergodische Prozesse 3.1 Definition. Ein stochastischer Prozess (X t, t T ) mit T {N, Z, R +, R} heißt stationär, falls (X t1,..., X tn ) d = (X t1 +s,..., X tn+s) gilt für alle n 1, t 1,, t n T und s T. 3.2 Definition. Eine messbare Abbildung T : Ω Ω auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt maßerhaltend, falls P(T 1 (A)) = P(A) für alle A F gilt. 3.3 Lemma. (a) Jeder reellwertige stationäre Prozess (X n, n ) induziert eine maßerhaltende Transformation T auf (R N, B N R, P X ) gemäß T ((x, x 1, x 2,...)) = (x 1, x 2, ) (Linksshift). (b) Für eine Zufallsvariable Y und eine maßerhaltende Abbildung T auf (Ω, F, P) bildet X n (ω) := Y (T n (ω)), n, (T := Id) einen stationären Prozess. 3.4 Definition. Ein Ereignis A heißt (fast) invariant bezüglich einer maßerhaltenden Transformation T auf (Ω, F, P), falls P(T 1 (A) A) = gilt. Die σ- Algebra (!) aller (fast) invarianten Ereignisse wird mit I T bezeichnet. T heißt ergodisch, falls I T trivial ist, d.h. P(A) {, 1} für alle A I T gilt. 3.5 Lemma. Für eine maßerhaltende Transformation T gilt: (a) Eine Zufallsvariable Y ist genau dann I T -messbar, wenn sie T -invariant ist, d.h. Y T = Y P-f.s. gilt. Insbesondere ist T ergodisch genau dann, wenn jede beschränkte und T -invariante Zufallsvariable P-f.s. konstant ist. (b) Für jedes Ereignis A I T gibt es ein strikt invariantes Ereignis B (d.h. T 1 (B) = B) mit P(A B) =. 3.2 Ergodensätze 3.6 Lemma (Maximallemma, maximaler Ergodensatz). Es seien X L 1 und T maßerhaltend auf (Ω, F, P). Mit den Bezeichnungen S n := n 1 i= X T i, S := und M n := max{s,..., S n } gilt E[X1 {Mn>}]. 3.7 Satz (Birkhoffscher oder individueller Ergodensatz). Es seien X L 1 und T maßerhaltend auf (Ω, F, P). Dann gilt n 1 1 lim X T i = E[X I T ] P-f.s. und in L 1. n n i= 4

6 Ist T sogar ergodisch, so gilt n 1 1 lim X T i = E[X] P-f.s. und in L 1. n n i= 3.8 Satz (L p -Version). Es seien X L p, p 1, und T maßerhaltend auf (Ω, F, P). Dann gilt n 1 1 lim X T i = E[X I T ] P-f.s. und in L p. n n i= 3.9 Korollar. Es sei (X n, n ) ein ergodischer Prozess in L 1 (d.h. X ist stationär, X n L 1 und der assoziierte Linksshift auf (R N, B N R, PX ) ist ergodisch). Dann gilt n 1 1 lim X i = E[X 1 ] P-f.s. und in L 1. n n i= Insbesondere gilt das starke Gesetz der großen Zahlen für unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen (X n ) in L Korollar. Eine maßerhaltende Abbildung T auf (Ω, F, P) ist genau dann ergodisch, wenn A, B F : n 1 1 lim P(A T i (B)) = P(A) P(B). n n i= 3.3 Die Struktur der invarianten Maße 3.11 Definition. Es sei T : Ω Ω messbar auf (Ω, F ). Jedes Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf F mit µ(t 1 (A)) = µ(a) für alle A F heißt invariant bezüglich T. Ist T sogar ergodisch auf (Ω, F, µ), so wird auch µ ergodisch genannt. Die Menge aller invarianten Wahrscheinlichkeitsmaße bezüglich T wird mit M T bezeichnet Lemma. M T ist konvex Satz. Je zwei verschiedene, bezüglich T ergodische Maße sind singulär Satz. Die ergodischen Maße bezüglich T bilden genau die Extremalpunkte der konvexen Menge M T Korollar. Besitzt T genau ein invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß, so ist dieses ergodisch. 5

7 3.4 Ergänzungen 3.16 Definition. Eine maßerhaltende Abbildung T auf (Ω, F, P) heißt mischend, falls A, B F : lim P(A T n (B)) = P(A) P(B) n gilt. Sie heißt gleichmäßig, stark oder α-mischend, wenn α n := sup P(A T n (B)) P(A B) n. A,B F 3.17 Satz (ZGWS unter Mischung). Ist T stark mischend mit Koeffizienten α n = O(n 5 ) und X L 12 auf (Ω, F, P), so gilt ( n 1 1 lim Var n X T i) = n i= i n 1 1 (X T i E[X]) d N(, σ 2 ). n i= E[X (X T i )] =: σ 2 ; 3.18 Definition. Eine Familie (T t ) t messbarer Abbildungen T t : Ω Ω auf (Ω, F, P) heißt Fluss, falls (a) s, t : T s T t = T s+t (Halbgruppeneigenschaft); (b) (ω, t) T t (ω) ist (F B R +, F )-messbar. (T t ) heißt maßerhaltend, falls P(Tt 1 (B)) = P(B) für alle t, B F gilt Definition. Ein Ereignis A mit P(Tt 1 (A) A) = für alle t > heißt (fast) invariant bezüglich (T t ), und I T bezeichnet die σ-algebra (!) aller bezüglich (T t ) (fast) invarianten Mengen. 3.2 Satz (Ergodensatz in stetiger Zeit). Es seien (T t ) ein maßerhaltender Fluss und X L p, p 1, auf (Ω, F, P). Dann gilt 1 lim t t X T s ds = E[X I T ] P-f.s. und in L p. 4 Invarianzprinzip und Brownsche Bewegung Literatur. Billinsley [3], Klenke [11], Gänssler/Stute [7], Karatzas/Shreve [9]. 4.1 Konvergenz im Raum stetiger Funktionen 4.1 Definition. Wir setzen C([, T ]) := {f : [, T ] R f stetig}, f := sup t f(t) und versehen den normierten Raum (C([, T ]), ) mit seiner Borel-σ-Algebra B C. 4.2 Satz. (C([, T ]), ) ist ein Banachraum, d.h. ein vollständiger normierter Vektorraum. 6

8 4.3 Lemma. Es gilt B C = σ(π t, t [, T ]) mit den Projektionen π t : C([, T ]) R, π t (f) = f(t). 4.4 Korollar. (a) Jeder Prozess (X t, t T ) mit stetigen Pfaden kann als C([, T ])- wertige Zufallsvariable angesehen werden. (b) Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf B C ist bereits durch seine endlichdimensionalen Verteilungen P(πt 1 1,...,t n (B n )), n 1, B n B R n, π t1,...,t n (f) = (f(t 1 ),..., f(t n )), eindeutig bestimmt. 4.5 Satz. Eine Folge (µ n ) n 1 von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf B C konvergiert genau dann schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ, wenn alle endlich-dimensionalen Verteilungen von (µ n ) gegen die von µ konvergieren und die Folge (µ n ) n 1 straff ist. 4.6 Definition. Für f C([, T ]) und δ > wird der Stetigkeitsmodul definiert als ω δ (f) := max{ f(s) f(t) s, t [, T ], s t δ}. 4.7 Satz (Arzelà-Ascoli). Eine Teilmenge A C([, T ]) ist genau dann relativ kompakt, wenn (a) sup f A f() < (gleichmäßige Beschränktheit) sowie (b) lim δ sup f A ω δ (f) = (gleichgradige Stetigkeit). 4.8 Korollar. Eine Folge (µ n ) n 1 von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf B C ist genau dann straff, wenn (a) lim R sup n µ n ({ f() > R}) = sowie (b) lim δ lim sup n µ n ({ω δ (f) ε}) = für alle ε >. 4.9 Lemma. Eine Folge (µ n ) n 1 von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf B C ist bereits dann straff, wenn (a) lim R sup n µ n ({ f() > R}) = sowie (b ) lim δ lim sup n sup t [,T δ] δ 1 µ n ({max s [t,t+δ] f(s) f(t) ε}) = für alle ε >. 4.1 Satz. Es sei (X (n) t, t T ) eine Folge stetiger Prozesse mit Verteilungen µ n auf B C. Hinreichend für Bedingung (b ) im obigen Lemma ist dann: (b ) α, β >, K > n 1, s, t [, T ] : E[ X (n) s 7 X (n) t α ] K s t 1+β.

9 4.2 Das Invarianzprinzip von Donsker 4.11 Satz (Donsker, Funktionaler ZGWS). Es sei (X k ) eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen in L 2 mit E[X k ] =, Var(X k ) = 1. Setze S n := n k=1 X k sowie Y (n) t := 1 ( S n nt + (nt nt )X nt +1 ), t [, 1]. Dann gilt Y (n) d B mit einer Brownschen Bewegung (Bt, t 1) und Konvergenz in Verteilung auf (C([, 1]), B C ) Lemma. Mit den Bezeichnungen aus dem Satz gilt für alle λ >, N N ( P max S i λ ) ( N P S N (λ 2) ) N. 1 i N 4.13 Korollar. Die Brownsche Bewegung existiert (auf dem Intervall [, 1]) Satz (Spiegelungsprinzip). Es sei (X k ) eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen in L 2 mit E[X k ] =, Var(X k ) = 1. Setze S n := n k=1 X k, M n := 1 n max 1 i n S i. Dann folgt M n d B1 mit B 1 N(, 1). Ebenso gilt für die Brownsche Bewegung B: max t T B t d = BT. 4.3 Der empirische Prozess 4.15 Definition. Es seien X 1,..., X n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilungsfunktion F auf R. Dann bezeichnet F n (x) := 1 n 1 n {Xk x}, x R, k=1 die empirische Verteilungsfunktion. Für jedes n 1 heißt Y (n) (x) := n(f n (x) F (x)), x R, empirischer Prozess bei n Beobachtungen oder Realisierungen Lemma. Für jedes x R und n gilt Y (n) (x) d N(, F (x)(1 F (x))) Satz. Es seien (X k ) k 1 unabhängige U([, 1])-verteilte Zufallsvariablen sowie Ỹ (n) die lineare Interpolation des zugehörigen empirischen Prozesses Y (n) an den Punkten (X k ) 1 k n mit Ỹ (n) () = Ỹ (n) (1) =. Dann gilt Ỹ (n) d B in (C([, 1]), B C ), wobei (B x, x 1) eine Brownsche Brücke ist Korollar (Kolmogorov-Smirnov). Es seien X 1,..., X n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion F sowie T n =:= d n sup x R F n (x) F (x). Dann gilt T n max t 1 B (t) mit einer Brownschen Brücke B. 8

10 5 Martingale in stetiger Zeit Literatur. Karatzas/Shreve [9], Revuz/Yor [15], Klenke [11], Øksendal [13]. 5.1 Martingale und lokale Martingale 5.1 Definition. Eine Familie (F t ) t von σ-algebren mit F s F t für s t heißt Filtration. Das Tupel (Ω, F, P, (F t )) mit einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und einer Filtration (F t ), die F t F für alle t erfüllt, heißt filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Prozess (X t, t ) auf (Ω, F, P, (F t )) heißt adaptiert, wenn X t F t -messbar ist für alle t. Eine Zufallsvariable τ : Ω [, ] heißt Stoppzeit bezüglich (F t ), falls {τ t} F t für alle t gilt. Mit F τ := {A F A {τ t} F t für alle t } wird die σ-algebra der τ-vergangenheit bezeichnet. 5.2 Lemma. Es sei X ein stetiger Prozess und F R abgeschlossen. Dann ist τ F := inf{t X t F } eine Stoppzeit bezüglich der kanonischen Filtration (F X t ). 5.3 Definition. Ein (F t )-adaptierter Prozess X heißt Martingal (bzw. Submartingal, Supermartingal), falls (a) X t L 1, t, und (b) E[X t F s ] = X s P-f.s. für alle s t gilt (bzw für Submartingal, für Supermartingal). 5.4 Definition. Ein Prozess (X t, t ) heißt progressiv messbar bezüglich (F t ) t, falls für jedes T die Abbildung (t, ω) X t (ω) auf [, T ] Ω bezüglich der Produkt-σ-Algebra B [,T ] F T messbar ist. 5.5 Satz. Jeder adaptierte rechtsstetige oder linksstetige Prozess ist progressiv messbar. 5.6 Satz. Ist τ eine endliche Stoppzeit und X progressiv messbar, so ist X τ eine F τ -messbare Zufallsvariable. 5.7 Satz. (a) Ist (X t, t ) ein Martingal, ϕ eine konvexe Funktion und ϕ(x t ) L 1, t, dann ist (ϕ(x t ), t ) ein Submartingal. Insbesondere ist für ein L 2 -Martingal X der Prozess (X 2 t, t ) ein Submartingal. (b) Es sei (X t, t ) ein Submartingal mit rechtsstetigen Pfaden. Dann gilt: (i) P(sup u t X u α) 1 α E[X t ] für alle α >, t. (ii) E[sup u t X u p ] (p/(p 1)) p E[ X t p ] für alle p > 1, t (Doobsche Martingalungleichung). 9

11 (iii) Wenn sup t<t E[ X t ] endlich ist für T (, ], so existiert lim t T X t P-f.s. und liegt in L 1. (iv) Sind σ τ beschränkte Stoppzeiten, so gilt E[X τ F σ ] X σ P-f.s. sowie Gleichheit für Martingale X. 5.8 Definition. (X t, t ) heißt lokales Martingal bezüglich (F t ), falls es (F t )-Stoppzeiten τ n gibt mit τ n P-f.s. derart, dass die gestoppten Prozesse Xt τn := X t τn, t, (F t )-Martingale sind für alle n 1. (τ n ) n 1 wird lokalisierende Folge von Stoppzeiten genannt. 5.9 Definition. Ein Prozess X der Form X t (ω) = ξ (ω)1 {} (t) + ξ i (ω)1 (ti,t i+1 ](t), t, ω Ω, i= mit = t < t 1 < und t i sowie F ti -messbaren, beschränkten Zufallsvariablen ξ i heißt einfacher Prozess. Für einen solchen einfachen Prozess X und einen weiteren Prozess Y definiert man (X Y ) t := ξ i (Y t ti+1 Y t ti ), t. i= 5.1 Satz. Ist M ein Martingal (bzw. lokales Martingal) und X einfach, so ist X M wiederum ein Martingal (bzw. lokales Martingal). 5.2 Stetige Martingale und quadratische Variation 5.11 Definition. Im folgenden sei stets ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P, (F t )) fest vorgegeben. Mit Mc 2 werde die Menge aller stetiger (F t )- Martingale (M t, t ) mit M = und M t L 2, t, bezeichnet. Setze für M Mc 2 M M 2 c := 2 n ( M n L 2 1). n= Lemma. M 2 c ist ein Vektorraum und d(m, N) := M N M 2 c eine Metrik auf M 2 c, sofern ununterscheidbare Martingale identifiziert werden Satz. (M 2 c, d) ist ein vollständiger metrischer Raum Satz. Ist M M 2 c von endlicher Variation auf [, T ], so ist M P-f.s. konstant auf [, T ] Korollar. Jedes nicht-triviale (d.h. nicht P-f.s. konstante) stetige Martingal besitzt unbeschränkte Variation, ist also insbesondere nicht differenzierbar Definition. Für eine Partition Π = { = t < t 1 < < t m = T } von [, T ] und einen Prozess (X t, t ) setze V 2 t,π(x) := m (X t ti X t ti 1 ) 2, t [, T ]. i=1 1

12 Falls es einen Prozess ( X t, t ) gibt, so dass für T > und alle Folgen von Partitionen (Π n ) mit Π n gilt V 2 T,Π n (X) P X T für n, so heißt X quadratischer Variationsprozess von X Satz. Jedes beschränkte und stetige Martingal M besitzt einen quadratischen Variationsprozess M. Dieser ist (bis auf Ununterscheidbarkeit) eindeutig charakterisiert als einziger Prozess mit stetigen, monoton wachsenden Pfaden, so dass M = und (M 2 t M t, t ) ein Martingal ist Korollar. Zu jedem stetigen lokalen Martingal M existiert ein quadratischer Variationsprozess M, der (bis auf Ununterscheidbarkeit) eindeutig charakterisiert ist als einziger stetiger, monoton wachsender Prozess, so dass M = und (M 2 t M t, t ) ein lokales Martingal ist. 6 Das Itô-Integral Literatur. Karatzas/Shreve [9], Revuz/Yor [15], Klenke [11], Øksendal [13]. 6.1 Konstruktion 6.1 Definition. Mit L werde die Menge der einfachen Prozesse bezeichnet. Für ein Martingal M Mc 2 sei L M die Menge aller progressiv messbaren Prozesse (X t, t ) mit [ T > : X 2 T ] M,T := E Xt 2 d M t <. Für X L M setze X LM := n 1 2 n ( X M,n 1). 6.2 Satz. (L M, d M ) mit d M (X, Y ) := X Y LM ist ein vollständiger metrischer Raum (bei Identifizierung von Prozessen X, Y mit X Y LM = ). 6.3 Satz. Für M M 2 c und einfache Prozesse X L besitzt das Integral X s dm s := (X M) t folgende Eigenschaften: (a) X s dm s Mc 2, insbesondere also X s dm s =, E[ X u dm u F s ] = s X u dm u für s t. (b) X s dm s t = X2 s d M s, insbesondere also E[( X s dm s ) 2 ] = E[ X2 s d M s ] (Itô-Isometrie) und X s dm s M 2 c = X LM. (c) Für α R und X, Y L gilt (αx s + Y s ) dm s = α X s dm s + Y s dm s, t. 6.4 Korollar. Die Abbildung X X s dm s ist eine lineare und isometrische Abbildung vom Unterraum L L M der einfachen Prozesse nach M 2 c. Diese kann in eindeutiger Weise (bis auf Ununterscheidbarkeit) stetig auf den Abschluss L L M fortgesetzt werden. 11

13 6.5 Satz. Zu jedem beschränkten, progressiv messbaren Prozess X und T > existiert eine Folge (X (m) ) einfacher Prozesse mit [ T lim E m 6.6 Satz. Es gilt L = L M. (X (m) t ] X t ) 2 dt =. 6.7 Definition. Für X L M ist das Itô-Integral definiert als eindeutiger Grenzwert von Integralen über einfache Prozesse X (m) mit lim m X X (m) LM = : X s dm s := lim m X (m) s dm s (Konvergenz in M 2 c ). 6.8 Satz. Für M M 2 c und X L M besitzt das Itô-Integral folgende Eigenschaften: (a) X s dm s Mc 2, insbesondere also X s dm s =, E[ X u dm u F s ] = s X u dm u für s t. (b) X s dm s t = X2 s d M s, insbesondere also E[( X s dm s ) 2 ] = E[ X2 s d M s ] (Itô-Isometrie) und X s dm s M 2 c = X LM. (c) Für α R und X, Y L M t Y s dm s, t. gilt (αx s + Y s ) dm s = α X s dm s Korollar. Für die Brownsche Bewegung B und X, Y L B gilt [ ] [( )( )] [ E X s db s =, E X s db s Y s db s = E ] X s Y s ds. 6.1 Definition. Für ein stetiges lokales Martingal M mit M = sei L M,loc die Menge der progressiv messbaren Prozesse X mit P( T X2 t d M t < ) = 1 für alle T >. Ist (σ n ) eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten für M und ρ n := inf{t X2 s d M s n} n, so setze τ n := σ n ρ n und definiere das erweiterte Itô-Integral X s dm s := lim n X τn s dm τn s Satz. Das erweiterte Itô-Integral ist wohldefiniert, linear im Integranden und ein stetiges lokales Martingal mit quadratischer Variation X s dm s t = X2 s d M s, t. 6.2 Die Itô-Formel 6.12 Definition. Ein stetiges Semimartingal (X t, t ) bezüglich (F t ) ist ein Prozess, der sich schreiben lässt als X t = M t + A t, t, 12

14 mit einem stetigen lokalen (F t )-Martingal M mit M = und einem (F t )- adaptierten stetigen Prozess A, der Pfade von endlicher Variation besitzt. Man setzt Y s dx s := Y s dm s + Y s da s, t, sofern Y L M,loc und für alle ω, t das Stieltjes-Integral Y s(ω) da s (ω) wohldefiniert ist Lemma. Für ein stetiges Semimartingal X = M + A gilt X t = M t Satz. Für stetige Semimartingale X und Y gilt die Formel der partiellen Integration: X t Y t = X Y + X s dy s + insbesondere auch X 2 t = X X s dx s + X t. Y s dx s + X, Y t, t, 6.15 Satz (Itô-Formel). Ist X ein stetiges Semimartingal und f C 2 (R), so ist f(x) ein stetiges Semimartingal, und es gilt: f(x t ) = f(x ) + f (X s ) dx s f (X s ) d X s, t Satz (mehrdimensionale Itô-Formel). Ist X = (X 1,..., X d ) ein Vektor von d stetigen Semimartingalen und f C 2 (R d ), so gilt: f(x t ) = f(x ) + d i=1 f x i (X s ) dx i s d i,j=1 2 f x i x j (X s ) d X i, X j s Korollar. Ist X ein stetiges Semimartingal und f C 2 (R 2 ), so gilt: f f(x t, t) = f(x, )+ x (X s, s) dx s f f (X 2 x 2 s, s) d X s + t (X s, s) ds. 6.3 Martingaldarstellungssätze 6.18 Satz (Lévy). Für einen Prozess B sind äquivalent: (a) B ist eine Brownsche Bewegung. (b) B ist ein stetiges lokales Martingal mit B = und B t = t, t Satz. Es sei M ein stetiges lokales Martingal, dessen quadratische Variation P-f.s. absolut stetig ist. Dann existiert (möglicherweise auf einem erweiterten Wahrscheinlichkeitsraum) eine Brownsche Bewegung B und ein Prozess X L B,loc, so dass M t = M + X s db s, t. 13

15 6.2 Satz. Es sei B eine Brownsche Bewegung mit kanonischer Filtration (Ft B ). Dann ist jedes (Ft B )-Martingal M darstellbar als M t = M + H s db s P-f.s., t, mit einer Konstanten M und einem Prozess H L B,loc. Insbesondere besitzt M also eine stetige Version mit absolut-stetiger quadratischer Variation Satz. Ist M ein stetiges lokales Martingal mit M = und M =, so ist τ t := inf{s M s > t}, t, eine Stoppzeit bezüglich der um Nullmengen vervollständigten Filtration. Der Prozess B t := M τt ist eine Brownsche Bewegung, und es gilt M t = B M t. 7 Anwendungen in der Finanzmathematik Literatur. Elliot/Kopp [6], Karatzas/Shreve [9], Øksendal [13] In einem einfachen Modell eines Finanzmarkts gibt es zwei Anlagemöglichkeiten: (a) eine risikolose Anlage (Anleihe) mit deterministischem Wert S t = e rt zur Zeit t ; (b) eine risikobehaftete Anlage (Aktie), deren Wert St 1 zur Zeit t durch ein stetiges Semimartingal modelliert wird, das an die verfügbaren Informationen F t zur Zeit t adaptiert ist. Der Wert eines Portfolios zur Zeit t, bestehend aus Ht Aktien, ist gegeben durch Anleihen und H 1 t V t = H t S t + H 1 t S 1 t, t (Vermögensprozess). Eine selbstfinanzierende Anlagestrategie ist ein (F t )-adaptierter Prozess (H t, H 1 t, t ), so dass dv t = H t ds t + H 1 t ds 1 t, t. Dabei wird vorausgesetzt, dass die zugehörigen Integrale wohldefiniert sind. Führe diskontierte Größen ein: S t := 1, S1 t = e rt S 1 t, Ṽ t = e rt V t. Bei selbstfinanzierender Strategie gilt Ṽt = V + H1 ud S u. 1 Eine europäische Calloption gibt dem Besitzer das Recht, zum Fälligkeitstermin (maturity) T > eine Aktie zum Ausübungspreis (strike) K > zu kaufen. Ihr Wert zur Zeit T ist also C T := (ST 1 K)+ := max(st 1 K, ). Betrachte das Black-Scholes-Modell: ds 1 t = µs 1 t dt + σs 1 t db t, t. 14

16 Bezeichnet C t = C(St 1, t) den fairen Preis der Option zur Zeit t [, T ] und C t = e rt C t, so gilt C t = C + C( S S u, 1 u) d S u 1 mit dem fairen Preis zur Zeit t = (Black-Scholes-Formel) C = S 1 Φ(y) Ke rt Φ(y σ T ), wobei y := log(s1 /K)+T (r+σ2 /2) σ und Φ die Verteilungsfunktion von N(, 1) bezeichnet. T Literatur [1] Bauer, H. (22) Wahrscheinlichkeitstheorie, 5. Auflage, de Gruyter. [2] Billingsley, P. (1986) Probability and Measure, 2nd Edition, Wiley. [3] Billingsley, P. (1999) Convergence of Probability Measures, 2nd Edition, Wiley. [4] Da Prato, G. and Zabczyk, J. (1996) Ergodicity for Infinite Dimensional Systems, Cambridge University Press. [5] Durrett, R. (1999) Essentials of Stochastic Processes, Springer. [6] Elliot, R.J. and Kopp, P.E. (1999) Mathematics of Financial Markets, Springer. [7] Gänssler, P. und Stute, W. (1977) Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer. [8] Grimmet, G. and Stirzacker, D. (21) Probability and Random Processes, 3rd Edition, Oxford University Press. [9] Karatzas, I. and Shreve, S.E. (1999) Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition, Springer. [1] Karlin, S. and Taylor, H.M. (1975) A First Course in Stochastic Processes, 2nd Edition, Academic Press. [11] Klenke, A. (26) Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer. [12] Krengel, U. (23) Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 7. Auflage, Vieweg. [13] Øksendal, B. (22) Stochastic Differential Equations, 5th Edition, Springer. [14] Petersen, K. (1989) Ergodic Theory, Cambridge University Press. [15] Revuz, D. and Yor, M. (1999) Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd Edition, Springer. [16] Shiryayev, A.N. (1984) Probability, Springer. 15

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